Centrale Maths 2 MP 2003

Thème de l'épreuve Équations différentielles matricielles
Principaux outils utilisés équations différentielles, calcul matriciel, problème de Cauchy, exponentielle de matrice, matrices orthogonales

Corrigé

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 n__>_ e......___... __ m...:QËËEË äâ... .....wa UËOEQ3OEI OEÈEQOEÜ m<3QUQDÜ Dans tout le texte, 1 désigne un intervalle de IR contenant au moins deux points et n est un entier strictement positif. On note %,,(IR) l'ensemble des matrices n >< n à coefficients réels et on désigne par E,,(I ) l'ensemble des applications de classe C1 de I dans %,,(IR) . Si Me E,,(I) , M' désigne la dérivée de M. Parmi les éléments de E,,(I ) , on s'intéresse en particulier à ceux qui vérifient l'une ou l'autre des propriétés qui suivent : (P1) : V(x,y)e 12, MMM(x> (P2) : \7'xe I, M'(x)M(x) : M(x)M'(x) On adopte les notations suivantes : I n désigne la matrice identité d'ordre n, IR" l'espace vectoriel des vecteurs--colonnes à n lignes, O,,(IR) le groupe des matrices orthogonales réelles d'ordre n et S O,,(1R) le sous-groupe des matrices orthogonales réelles d'ordre n et de déterminant +1 ; Si M EUR %,,(IR) , on désigne par M [i, j] le coefficient de M en position (i, j) lorsque 1 s i S n et 1 5 j 5 n . Enfin, on dit d'une matrice triangulaire de %,,(IR) qu'elle est stricte si elle a les coef-- ficients diagonaux tous nuls et d'une matrice de %,,(IR) qu'elle est scalaire si elle est proportionnelle à l'identité (M = Un , avec % & IR ). Enfin, on rappelle que, si M est élément de %,,(IR), l'application de [R dans %,,(IR) définie par +°° k (fl--> exp(tM) : 2 %Mk k = o ' est un élément de E,,(IR) dont la dérivée est tHMexp(tM) : exp(tM)M. Partie I - Exemples élémentaires I.A - . I.A.1) Montrer que tout élément de En(l ) vérifiant (PI) vérifie (P2). IA 2) Démontrer que si M est une application élément de E (I), alors pour tout k & IN ,l'application Mk :x +--> M (x) est élément de E (I ) calculer sa déri- Véé. LA. 3) Démontrer que si M est une application élément de En(l ) , telle que pour tout x e I la matrice M (x) est inversible, alors l'application M'l: x +--+ M(xf1 est élément de En(l ) ; calculer sa dérivée. I.B - Dans la suite de la Partie I, on prend 77. = 2 . Un élément M de E2(I ) s'écrit pour x e I : M... ={ a 1 "6 b(x) vérifiant (P2). c(x) 1--9c2 Pour chaque élément de E2(]R) ainsi trouvé, - dire s'il vérifie (PI), - déterminer la dimension du sous-espace vectoriel de % ,,(1R) engendré par l'ensemble des M (x) , noté Vect{M (x), x & IR}. I.C - Soit M un élément de E2(l ) tel que pour tout x e I , M (x) est la matrice d'une réflexion. 1.0.1) Montrer qu'il existe une application 9 de classe C1 de I dans ]R telle que la première colonne de M (x) soit { COS 9(x)] pour tout x e 1. sin 9(x) I.C.2) À quelle condition, portant sur la fonction 9, M vérifie--t--elle (P2) '? On dit d'une application de I x%,,(IR) dans %,,(IR) qu'elle est de type (@ ) (abréviation pour quasi--polynomial) si elle est de la forme (x, M) H 2 a,, Pk(x) Mk Qk(x) k=0 où sont donnés melN a0,...,am de classe C0 de I dans IE Po,-°°»Pm'Q0v-me de classe C0 de I dans %,,(IR) On dira qu'une telle application est polynomiale si, de plus, les applications Pk et Qk sont toutes constantes, égales à I n . On admettra alors le théorème ÿ Cauchy-Lipschitz : a) Si F : I x%,,(lR)-->%,,(IR) est de type (Æ), et si (xO,U0)eIx%n(IR), 11 existe une unique solution maximale U de l'équation différentielle matricielle suivant, qui est une version du théorème de M'(x) : F(x, M(x)) , définie sur un intervalle J tel que x0 & JcI vérifiant de plus U (xe) : b) Si, en outre, E est un sous-espace vectoriel de %,,(IR) , si F(I >< E) c E et si er E,alors U(x)e E pour tout xe J. L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans les questions qui suivent, les hypothèses faites entraînent que les fonctions matricielles solutions d'éventuelles équa- tions différentielles sont définies sur I tout entier et que, partant, le point de vue de la maximalité de ces solutions est accessoire. Partie II - Étude de cas particuliers II.A - Soit une équation différentielle matricielle polynomiale de la forme (% ) : M'(x) : E ak(x)M2k+l(x). k=0 Déduire du théorème Y le résultat (9? ) suivant : si une solution U sur I de (g ) est telle que, pour une valeur 960 e I , U (360) est une matrice antisymétrique, alors U (x) est antisymétrique pour tout x e I. Donner un énoncé plus général concernant une forme analogue d'équation différentielle matricielle, mais de type (Æ ) pour laquelle le résultat (% ) soit conservé. II.B - Soit une équation différentielle matricielle polynomiale, de la forme M'(x) = 2 ak(x)Mk(x). k=0 Soit M une solution sur I et x0 & 1 tel que le polynôme caractéristique de M (xe) soit scindé. On choisit alors P & GLn(IR) et To & %,,(1R) triangulaire supérieure telles que M(xo) : PT0 P"1 H. B. 1) Former une équation différentielle matricielle polynomiale vérifiée par T: x 1--> P M (x) P permettant de montrer que T(x) est triangulaire supérieure pour tout x EUR I. II.B.2) On suppose en outre que T0 est triangulaire stricte. En considérant les fonctions à valeurs réelles x +--> T(x)Ü i] avec 1 S i S n , donner une condition nécessaire et suffisante sur la fonction "0 pour que T(x) soit triangulaire stricte pour tout x e I . II.B.3) Cette condition étant supposée remplie, on choisit re ]N* tel que TG : 0 ; former une équation différentielle matricielle de type (Ê ) vérifiée par x EUR I +--a Tr(x) permettant de montrer que l'application T est nulle. II.C - II.C.1) Soit U solution sur I de l'équation différentielle matricielle mm = 2 ak Qk(x). k = 0 On suppose qu'il existe x0 5 I tel que U (xo) commute avec toutes les matrices Pk(x) et Qk(x) pour tout x e I . Montrer que U (x) commute avec U (xD) pour tout xe]. II.C.2) Soit U une solution sur I d'une équation différentielle matricielle poly- nomiale. Vérifie-t-elle (PI) , vérifie-t-elle (P2) ? Montrer que dim(Vect{ U (x), x e I }) est inférieure ou égale à n . II.D - Soit E un sous-espace vectoriel de %,,(IR) tel que (M, N) e E2 => MN -- NM & E . En introduisant une équation différentielle matri- cielle bien choisie, montrer que V(t, M, N) EUR I >< E2 , exp(tM )N exp(--tM ) e E . Partie III - Cas des matrices orthogonales III.A - On s'intéresse à une équation différentielle matricielle de la forme (Ë') : M'(x) : a(x)(In--M2(x)), où a désigne une fonction donnée, de classe C0 de I dans IR. III.A.1) Si U est une solution sur I de (Ë') telle que (U (xD))2 : In (matrice d'une symétrie) pour un certain x0 & I , que peut-on dire de la fonction U '? III.A.2) Soit J e %,,(IR). On suppose qu'une solution U de (Ë') sur I vérifie tU(xO)JU(xO) : J pour un x0EUR I. On pose alors N(x) : 'U(x)JU(x) pour tout x e I . Former une équation différentielle matricielle de type (Æ ) vérifiée par N --J et en conclure que N (x) : J pour tout x e I . Si, en outre, J est inversible, montrer que l'application x +--> det(U(x)) est constante. III.B - Dans toute cette section III.B, on choisit n = 3 . Soit U une matrice élé- ment de E3(I ) à valeurs dans SO3(IR) vérifiant (P2) et telle que, U (x) # 13 Vx & I , { . --1 n'est pas valeur propre de U (x) III.B.1) a) Pour x0 EUR I fixé, on pose U 0 = U (xD) . Montrer qu'il existe un vecteur Zo uni-- taire dans IR3 euclidien canonique, tel que U 0% : Zo- b) On choisit alors X 0 et Y0 tels que B = (X O,YO,ZO) soit une base orthonormale directe de IR3 , on pose X : Y0+ZO et C : (X,U0X,UËX). De quelle forme est la matrice dans B de l'endomorphisme de IR3 ayant U 0 pour matrice dans la base canonique ? Calculer alors detB(C) en fonction des coeffi- cients de cette matrice et en déduire que C est une base de IR3 . c) En conclure qu'il existe trois fonctions u, v, w de I dans IR telles que U'(x) : u(x)I3 + v(x)U(x) + w(x)U2(x) pour tout x e 1. On admettra que ces trois fonctions sont continues. ' d) En exprimant la dérivée de "U U en fonction de u , v , w , "U + U , montrer que U est solution d'une équation différentielle matricielle, notée ? , de la forme (Ë') : on exprimera, à l'aide de certaines des fonctions u , v , w , la fonction a correspondante. HI.B.2) Transformer l'équation (% par le changement de matrice inconnue défini par la formule : (13 + U (x))A(x) : I3 -- U (x) , en justifiant l'introduction de A(x) . Montrer que A est solution sur 1 d'une équation différentielle matricielle poly-- nomiale très simple. Résoudre cette équation et en déduire une expression de U(x) pour tout x e 1. 111.0 - En s'inspirant de III.B.1-d), construire une fonction élément de E3(IR) à valeurs dans SO3(IR) vérifiant (P2) mais pas (PI). III.D - Chercher la solution maximale U dans %fiIR) de l'équation différen- tielle matricielle M'(x) : 12 + M2(x) , définie au voisinage de () et telle que U(O)=(Ol]. 10 Pour cela, on montrera que les solutions sont nécessairement de la forme xe I +---->U(x) : { a(x) b(x)J b(x) a(x) 2 , et on cherchera ensuite une équation différentielle vérifiée par u : b2--a sachant que u(0) : 1 . ooo FIN ooo

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 Centrale Maths 2 MP 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sattisvar Tandabany (ENS Lyon) ; il a été relu par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Ce sujet propose d'étudier des équations différentielles matricielles. Il propose une version du théorème de Cauchy-Lipschitz, et aborde la notion de matrices orthogonales. L'énoncé se compose de trois parties. · La première partie examine quelques exemples simples, afin de comprendre la nature des objets manipulés. · La deuxième étudie des cas particuliers d'équations différentielles matricielles polynomiales ou quasi-polynomiales, en travaillant avec des matrices antisymétriques, triangulaires, etc. · La troisième partie développe le cas des matrices orthogonales et l'utilisation de quelques-unes de leurs propriétés dans les équations différentielles matricielles. Un certain nombre de questions sont assez difficiles ; l'épreuve est plutôt longue, et recelle quelques difficultés qui demandent technicité et imagination. Néanmoins, la difficulté est progressive dans chacune des trois parties. Indications Partie I I.A.1 Dériver par rapport à x, à y fixé. I.A.2 Retrousser ses manches et montrer à la main le caractère C 1 . Ne pas oublier qu'ici les matrices ne commutent plus. I.A.3 Exprimer l'inverse d'une matrice en fonction de la comatrice. I.B.1 Dériver les fonctions que l'on demande d'étudier. I.B.2 Appliquer la matrice B - vA aux vecteurs d'une base bien choisie. I.C.1 Utiliser le théorème de relèvement. Partie II II.A Utiliser l'alinéa b du théorème T de l'énoncé. II.B.2 Procéder par analyse et synthèse. II.B.3 T est un polynôme en T et commute donc avec lui. II.C.1 Utiliser l'espace vectoriel des matrices qui commutent avec U(x0 ). Partie III III.A.1 Deviner le résultat et utiliser l'unicité de la solution maximale pour conclure que cette intuition était bonne. III.A.2 La fonction x 7 det(U(x)) est continue. III.B.1.b Interpréter géométriquement les caractéristiques de U0 données à la question précédente. III.B.1.c S'inspirer de la question I.B.2. t d UU =0 dx III.B.2 Se rappeler que -1 n'est pas valeur propre de U0 , ce qui entraîne que I3 + U(x) est inversible pour tout x. III.B.1.d Écrire que III.C Penser que deux matrices SO3 (R) de même axe de rotation commutent nécessairement. III.D Étudier a + b et a - b séparément, et non b2 - a2 comme l'indique l'énoncé. I. Exemples élémentaires I.A.1 Soit M un élément de En (I), vérifiant (P1) : y I x I M(x)M(y) = M(y)M(x) Dérivons cette expression par rapport à x, à y fixé, y I M (x)M(y) = M(y)M (x) x I En particulier, pour y = x on obtient la propriété (P2) : M (x)M(x) = M(x)M (x) x I I.A.2 Commençons par montrer que si M et N sont deux applications continues de I dans Mn , alors MN est aussi continue. Dire que M et N sont continues sur I est équivalent à dire que y I lim M(x) = M(y) xy y I lim N(x) = N(y) xy Considérons alors l'expression suivante : pour tout y I, donc M(x)N(x) - M(y)N(y) = M(x)N(x) - M(y)N(y) + M(x)N(y) - M(x)N(y) = M(x) (N(x) - N(y)) + (M(x) - M(y)) N(y) | {z } | {z } | {z } -xy -- 0 -xy -- 0 -xy -- M(y) y I lim M(x)N(x) = M(y)N(y) xy Par conséquent, l'application MN est continue. Montrons que l'application est dérivable ; dire que M et N sont dérivables sur I, c'est dire que la limite suivante existe : M(x) - M(y) y I lim = M (y) xy x-y Calculons pour tout y de I M(x)N(x) - M(y)N(y) x-y = M(x) - M(y) N(x) - N(y) N(x) + M(y) x-y x-y | {z } | {z } -xy -- M (y) -xy -- N (y) MN(x) - MN(y) = (MN) (y) = M (y)N(y) + M(y)N (y) x-y et l'application dérivée du produit est continue comme somme et produit de fonctions continues. Par conséquent, le produit de deux éléments de En (I) est encore dans En (I), et on conclut par une récurrence immédiate sur k que l'application Mk est un élément de En (I) et que donc y I lim xy (Mk ) (x) = k-1 P Mp (x)M (x)Mk-p-1 (x) p=0 car la matrice M ne commute pas nécessairement avec sa dérivée M . On peut remarquer que si M vérifiait la propriété (P2), on aurait (Mk ) (x) = kM (x)Mk-1 (x) I.A.3 Pour l'inverse de la matrice M, rappelons la formule suivante : M(t)-1 = 1 t Com M(t) det M(t) Comme les coefficients de M(t)-1 sont des fractions rationnelles en les coefficients de M(t), M(t)-1 est continue. Montrons maintenant qu'elle est dérivable ; calculons M-1 (x) - M-1 (y) M-1 (y)M(y)M-1 (x) - M-1 (y)M(x)M-1 (x) = x-y x-y = -M-1 (y) M(x) - M(y) -1 M (x) x-y | {z } -xy -- M (y) Après avoir remarqué que l'application dérivée est elle-même continue, on peut conclure que l'application M-1 est dans En (I) et que (M-1 ) (y) = -M-1 (y)M (y)M-1 (y) Là encore, on remarque que si M vérifie (P2), alors M-1 commute avec M : M-1 (x)M (x) = M-1 (x)M (x)M(x)M-1 (x) = M-1 (x)M(x)M (x)M-1 (x) -1 M (x)M (x) = M (x)M-1 (x) (M-1 ) (x) = -M (x)(M-1 (x))2 et qu'alors I.B.1 Dans cette question, on suppose a(x) b(x) M(x) = et c(x) d(x) a (x) M (x) = c (x) b (x) d (x) et on suppose que M vérifie la propriété (P2) : a(x)a (x) + b(x)c (x) M(x)M (x) = c(x)a (x) + d(x)c (x) a(x)b (x) + b(x)d (x) c(x)b (x) + d(x)d (x) a (x)a(x) + b (x)c(x) M (x)M(x) = c (x)a(x) + d (x)c(x) a (x)b(x) + b (x)d(x) c (x)b(x) + d (x)d(x) et d'où, en égalisant les coefficients de la première ligne, il vient b (x)c(x) = b(x)c (x) et b(x)(d (x) - a (x)) = b (x)(d(x) - a(x)) Dérivons alors les fonctions à étudier, c c (x)b(x) - c(x)b (x) (x) = =0 b b2 (x) et d-a b (x) = (d (x) - a (x))b(x) - (d(x) - a(x))b (x) =0 b2 (x)