Centrale Maths 2 MP 2002

Thme de l'preuve tude de quadriques en dimension 3
Principaux outils utiliss algbre bilinaire et groupe orthogonal
Mots clefs espace euclidien, endomorphisme orthogonal

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


MA Sujets 2()()2:Bon  tirer:MP Math Il X.l().()l--4 version du 28 mars 2002 M: Il Gouno=OE OOE:OE .. OES...OE.OEQ NN .... z>mz>_ocmm __ \ . . w . . . . m. aoeOEmboe ......oeoe@oeoeoe ... 3 a...m5m...oe aoe BoeoeE.m @ . .Ob woe@m:oe QG...Gboe ......mob  - GE... m...m @@ @@ H>.C U....mfibOE. ooe5fioe mmeoe @@ m%@a %... @@ H>. U....oefiboew m...... ammmoew ......oewoeoeoob aoe @@ m.oev & ......oboew n:oe oE. Sc.... @ wmm... ... oeAov fi o. EUR OEb Q...E n:oe... oE. .8fi... @ w.......oe...... @@ mm_... . USEOE. ? bm.....oe oemoBmfim @@ o . --.w - >eOGHU...m--OEm cSooeofim-- --mm-- @: ...HSeOEOEOEOE o?oofioe:x ...mm .o ... . mm....-om 03535 ..... ...mz>_ocmm __ \ . . w . . . . m. aoeOEmboe ......oeoe@oeoeoe ... 3 a...m5m...oe aoe BoeoeE.m @ . .Ob woe@m:oe QG...Gboe ......mob  - GE... m...m @@ @@ H>.C U....mfibOE. ooe5fioe mmeoe @@ m%@a %... @@ H>. U....oefiboew m...... ammmoew ......oewoeoeoob aoe @@ m.oev & ......oboew n:oe oE. Sc.... @ wmm... ... oeAov fi o. EUR OEb Q...E n:oe... oE. .8fi... @ w.......oe...... @@ mm_... . USEOE. ? bm.....oe oemoBmfim @@ o . --.w - >eOGHU...m--OEm cSooeofim-- --mm-- @: ...HSeOEOEOEOE o?oofioe:x ...mm .o ... . mm....-om 03535 ..... ...mz>_ocmm __ \ . . w . . . . m. aoeOEmboe ......oeoe@oeoeoe ... 3 a...m5m...oe aoe BoeoeE.m @ . .Ob woe@m:oe QG...Gboe ......mob  - GE... m...m @@ @@ H>.C U....mfibOE. ooe5fioe mmeoe @@ m%@a %... @@ H>. U....oefiboew m...... ammmoew ......oewoeoeoob aoe @@ m.oev & ......oboew n:oe oE. Sc.... @ wmm... ... oeAov fi o. EUR OEb Q...E n:oe... oE. .8fi... @ w.......oe...... @@ mm_... . USEOE. ? bm.....oe oemoBmfim @@ o . --.w - >eOGHU...m--OEm cSooeofim-- --mm-- @: ...HSeOEOEOEOE o?oofioe:x ...mm .o ... . mm....-om 03535 ..... ...u " AN_QCV . fio5w 55 @ 39... 05 ......ooem ... fia " Nmm * \CC " &. O5  . Um5o5fiw 55m 73 mm.... m55...<5...oe5$ @... 46 m ...? & o 3... n \ . =.w - 05 535% ...e... ... N+mL " \0oeTN+DY m5 555555 55... ... % m 5. >.5 ... \ o ......a . E.OE.OE m5 a......a55. 55m... 55 ...mm m5@o5ooe5moe m%5m...fi5m Q m5m5m55 555 85&OEo5oe EUR 3... 5855532... 853m #5 m5....ooeoe m.... 5mm0noeoe. ooo HflHZ ooo bmmm m\m  m :o:moe : --.U - Oo5--5oe5 m.... ...5u " AN_QCV . fio5w 55 @ 39... 05 ......ooem ... fia " Nmm * \CC " &. O5  . Um5o5fiw 55m 73 mm.... m55...<5...oe5$ @... 46 m ...? & o 3... n \ . =.w - 05 535% ...e... ... N+mL " \0oeTN+DY m5 555555 55... ... % m 5. >.5 ... \ o ......a . E.OE.OE m5 a......a55. 55m... 55 ...mm m5@o5ooe5moe m%5m...fi5m Q m5m5m55 555 85&OEo5oe EUR 3... 5855532... 853m #5 m5....ooeoe m.... 5mm0noeoe. ooo HflHZ ooo bmmm m\m

Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Maths 2 MP 2002 -- Corrig Ce corrig est propos par Tristan Poullaouec (Professeur agrg) ; il a t relu par Benot Chevalier (ENS Ulm) et Jean Starynkvitch (ENS Cachan). Ce sujet traite des quadriques de R3 et des automorphismes orthogonaux qui les laissent invariantes ; il comporte deux parties indpendantes.  Dans la premire partie, on tudie une quadrique donne explicitement, ses symtries et diffrentes proprits des automorphismes orthogonaux qui la laissent globalement invariante. On utilise principalement les proprits de base du groupe orthogonal (il laisse invariant le produit scalaire), la connaissance des rotations et, dans la partie I.D, la notation matricielle des formes quadratiques.  Dans la seconde partie, on dfinit une forme quadratique f sur R3 via la donne d'un endomorphisme symtrique U ; on s'attache d'abord  dterminer les endomorphismes tels que les surfaces de niveau de f soient des surfaces de rvolution autour d'un axe donn, puis on classifie les diffrentes surfaces f -1 ({1}) (image rciproque de {1} par f ) envisageables. On utilise dans cette partie  peu prs les mmes notions que dans la premire, ainsi que certaines proprits des endomorphismes symtriques (caractrisation, diagonalisabilit). Ce sujet ne prsente pas de difficult particulire : les questions sont assez directes et ne ncessitent pas l'usage d'astuces remarquables ; une bonne connaissance des notions du cours suffit donc pour en venir  bout. En outre, il est d'une longueur tout  fait raisonnable. Indications Partie I I.A.1 Penser aux symtries. Noter qu'on demande des exemples et non une liste exhaustive. I.A.4 Utiliser la question I.A.2. I.B.1 De mme qu' la question I.A.1, on ne demande que quelques exemples. On peut remarquer (pour la suite) que si O(E) laisse Dk invariant, alors elle laisse aussi son orthogonal Pk invariant. I.B.2.b Noter que est une isomtrie. I.C.2.a Aucune dmonstration n'est demande, mais une justification est tout de mme bienvenue. On peut regarder l'action sur k et utiliser la question I.B.2.c. I.C.2.b Utiliser la question I.C.2.a. I.C.3.b.i Utiliser la question I.C.3.a. I.C.3.b.iii Utiliser l'ingalit de Cauchy-Schwarz. I.C.4 Utiliser les questions I.C.2.c et I.C.3.b. I.D.1 Raisonner par double inclusion : on peut calculer q (k) et k(k)k2 pour le sens C K, et montrer que est une isomtrie du plan Pk pour l'autre sens. I.D.2.b Pas de dmonstration demande, mais une justification. . . I.D.3 Remarquer, via l'expression matricielle, que q s'crit q(u) = hu, ui. I.D.4 Appliquer la relation de commutation  k. I.D.5 Utiliser les questions I.D.4, I.D.3 et I.D.1. Partie II II.B Utiliser la quesion II.A. II.C.1 Au choix, s'inspirer des mthodes de polarisation ou utiliser la diagonalisabilit des endomorphismes symtriques. II.C.4 Utiliser les questions II.A et II.C.1. II.D.3 Utiliser les questions II.C.4 et II.D.2. II.E.2 Utiliser la forme polaire de f . II.E.3 Utiliser les questions II.A et II.D.3. I. tude d'un cas particulier I.A Une tude de Q0 I.A.1 On remarque aisment que pour tout rel t, (-t)2 = t2 . Par dfinition (x, y, z) Q0 x2 + y 2 - z 2 = 0 donc (x, y, z) Q0 (-x, y, z) Q0 (x, -y, -z) Q0 et Q0 admet Pi et Di respectivement comme plan et axe de symtrie. De mme pour Pj , Pk , et Dj , Dk . Enfin, comme (x, y, z) Q0 si et seulement si (-x, -y, -z) Q0 , Q0 admet l'origine O(0, 0, 0) pour centre de symtrie. Comme l'nonc ne demandait pas une liste complte d'lments de symtrie de Q0 , on s'est content de donner ici quelques exemples simples. On en verra d'autres dans la suite du problme. . . I.A.2 Pj est le plan vectoriel orthogonal  j : on a donc n o Pj = (x, y, z) R3 y = 0 n o d'o Q0 Pj = (x, y, z) R3 q(x, y, z) = 0 et y = 0 n o et Q0 Pj = (x, 0, z) R3 x2 - z 2 = 0 soit comme x2 - z 2 = 0 x = z ou x = -z on en dduit que l'intersection du plan Pj avec Q0 consiste en la runion des deux droites D1 = Di+k et D2 = Di-k d'quations respectives x = z et x = -z. En voici une reprsentation spatiale : j k O D2 i D1 Pj I.A.3.a Considrons un vecteur quelconque u = (x, y, z) E. Soit R. R est une isomtrie vectorielle et prserve donc la norme. En outre, c'est une rotation d'axe Dk donc elle fixe k et prserve la troisime coordonne z. De ce fait, si l'on note R (u) = (x , y , z ), on a kR (u)k2 = kuk2 ie x2 + y 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 = x2 + y 2 d'o soit et et z = z z = z et z = z q R (u) = x2 + y 2 - z 2 = x2 + y 2 - z 2 = q(u) Ainsi, pour tout u dans Q0 et pour tout rel , on a q R (u) = q(u) = 0 soit R (u) Q0 , donc I.A.3.b On a montr soit R R (Q0 ) Q0 R R (Q0 ) Q0 R donc R- (Q0 ) Q0 R (R- (Q0 )) R (Q0 ) Q0 d'o, comme R- = R-1 , Q0 R (Q0 ) Q0 et finalement R R (Q0 ) = Q0 I.A.4 L'ensemble Q0 tant invariante par toutes les rotations vectorielles R , c'est une surface de rvolution d'axe Dk . Elle est alors engendre  comme toutes les surfaces de rvolution  par son intersection avec un plan contenant l'axe : Pj fait ici l'affaire. Il nous suffit donc de considrer Q0 Pj , qui  voir la question I.A.2  est l'union de deux droites scantes (et mme orthogonales) en O et qui engendre par rvolution autour de Dk le cne Q0 de sommet O et de demi-angle /4. D2 k Q0 i O j D1