Centrale Maths 2 MP 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été
relu
par Benoît Chevalier (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).
Ce sujet traite des quadriques de R3 et des automorphismes orthogonaux qui les
laissent invariantes ; il comporte deux parties indépendantes.
· Dans la première partie, on étudie une quadrique donnée explicitement, ses
symétries et différentes propriétés des automorphismes orthogonaux qui la
laissent
globalement invariante.
On utilise principalement les propriétés de base du groupe orthogonal (il laisse
invariant le produit scalaire), la connaissance des rotations et, dans la partie
I.D, la notation matricielle des formes quadratiques.
· Dans la seconde partie, on définit une forme quadratique f sur R3 via la
donnée
d'un endomorphisme symétrique U ; on s'attache d'abord à déterminer les
endomorphismes tels que les surfaces de niveau de f soient des surfaces de
révolution
autour d'un axe donné, puis on classifie les différentes surfaces f -1 ({1})
(image
réciproque de {1} par f ) envisageables.
On utilise dans cette partie à peu près les mêmes notions que dans la première,
ainsi que certaines propriétés des endomorphismes symétriques (caractérisation,
diagonalisabilité).
Ce sujet ne présente pas de difficulté particulière : les questions sont assez
directes
et ne nécessitent pas l'usage d'astuces remarquables ; une bonne connaissance
des
notions du cours suffit donc pour en venir à bout. En outre, il est d'une
longueur
tout à fait raisonnable.
Indications
Partie I
I.A.1 Penser aux symétries. Noter qu'on demande des exemples et non une liste
exhaustive.
I.A.4 Utiliser la question I.A.2.
I.B.1 De même qu'à la question I.A.1, on ne demande que quelques exemples.
On peut remarquer (pour la suite) que si O(E) laisse Dk invariant,
alors elle laisse aussi son orthogonal Pk invariant.
I.B.2.b Noter que est une isométrie.
I.C.2.a Aucune démonstration n'est demandée, mais une justification est tout de
même bienvenue. On peut regarder l'action sur k et utiliser la question
I.B.2.c.
I.C.2.b Utiliser la question I.C.2.a.
I.C.3.b.i Utiliser la question I.C.3.a.
I.C.3.b.iii Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
I.C.4 Utiliser les questions I.C.2.c et I.C.3.b.
I.D.1 Raisonner par double inclusion : on peut calculer q (k) et k(k)k2 pour
le sens C K, et montrer que est une isométrie du plan Pk pour l'autre
sens.
I.D.2.b Pas de démonstration demandée, mais une justification. . .
I.D.3 Remarquer, via l'expression matricielle, que q s'écrit q(u) = hu, ui.
I.D.4 Appliquer la relation de commutation à k.
I.D.5 Utiliser les questions I.D.4, I.D.3 et I.D.1.
Partie II
II.B Utiliser la quesion II.A.
II.C.1 Au choix, s'inspirer des méthodes de polarisation ou utiliser la
diagonalisabilité des endomorphismes symétriques.
II.C.4 Utiliser les questions II.A et II.C.1.
II.D.3 Utiliser les questions II.C.4 et II.D.2.
II.E.2 Utiliser la forme polaire de f .
II.E.3 Utiliser les questions II.A et II.D.3.
I.
Étude d'un cas particulier
I.A
Une étude de Q0
I.A.1 On remarque aisément que pour tout réel t, (-t)2 = t2 . Par définition
(x, y, z) Q0 x2 + y 2 - z 2 = 0
donc
(x, y, z) Q0 (-x, y, z) Q0 (x, -y, -z) Q0
et Q0 admet Pi et Di respectivement comme plan et axe de symétrie. De même pour
Pj , Pk , et Dj , Dk .
Enfin, comme (x, y, z) Q0 si et seulement si (-x, -y, -z) Q0 , Q0 admet
l'origine O(0, 0, 0) pour centre de symétrie.
Comme l'énoncé ne demandait pas une liste complète d'éléments de symétrie
de Q0 , on s'est contenté de donner ici quelques exemples simples. On en verra
d'autres dans la suite du problème. . .
I.A.2 Pj est le plan vectoriel orthogonal à j : on a donc
n
o
Pj = (x, y, z) R3 y = 0
n
o
d'où
Q0 Pj = (x, y, z) R3 q(x, y, z) = 0 et y = 0
n
o
et
Q0 Pj = (x, 0, z) R3 x2 - z 2 = 0
soit comme
x2 - z 2 = 0 x = z
ou
x = -z
on en déduit que l'intersection du plan Pj avec Q0 consiste en la réunion des
deux
droites D1 = Di+k et D2 = Di-k d'équations respectives x = z et x = -z.
En voici une représentation spatiale :
j
k
O
D2
i
D1
Pj
I.A.3.a Considérons un vecteur quelconque u = (x, y, z) E. Soit R. R est
une isométrie vectorielle et préserve donc la norme. En outre, c'est une
rotation d'axe
Dk donc elle fixe k et préserve la troisième coordonnée z.
De ce fait, si l'on note R (u) = (x , y , z ), on a
kR (u)k2 = kuk2
ie
x2 + y 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2
x2 + y 2 = x2 + y 2
d'où
soit
et
et
z = z
z = z
et
z = z
q R (u) = x2 + y 2 - z 2 = x2 + y 2 - z 2 = q(u)
Ainsi, pour tout u dans Q0 et pour tout réel , on a q R (u) = q(u) = 0 soit
R (u) Q0 , donc
I.A.3.b On a montré
soit
R
R (Q0 ) Q0
R
R (Q0 ) Q0
R
donc
R- (Q0 ) Q0
R (R- (Q0 )) R (Q0 ) Q0
d'où, comme R- = R-1
,
Q0 R (Q0 ) Q0
et finalement
R
R (Q0 ) = Q0
I.A.4 L'ensemble Q0 étant invariante par toutes les rotations vectorielles R ,
c'est
une surface de révolution d'axe Dk . Elle est alors engendrée comme toutes les
surfaces de révolution par son intersection avec un plan contenant l'axe : Pj
fait ici
l'affaire.
Il nous suffit donc de considérer Q0 Pj , qui voir la question I.A.2 est
l'union
de deux droites sécantes (et même orthogonales) en O et qui engendre par
révolution
autour de Dk le cône Q0 de sommet O et de demi-angle /4.
D2
k
Q0
i
O
j
D1
