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Centrale Maths 2 MP 2001

Thème de l'épreuve Étude des cônes isotropes de formes quadratiques et de leurs sections planes
Principaux outils utilisés algèbre bilinéaire et euclidienne, coniques, quadriques, systèmes linéaires

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 MP 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par
Sébastien Gadat (ENS Cachan) et Olivier Schmitt (École Polytechnique).

Ce problème développe certains aspects géométriques de la théorie des formes
quadratiques sur R3 . C'est un excellent sujet de révision sur les quadriques ; 
il est
assez classique.
· La première partie étudie quelques propriétés de cônes isotropes contenant 
cinq
vecteurs donnés.
· La deuxième partie montre algébriquement qu'une section plane d'un tel cône
est une conique.
· La troisième partie donne une condition algébrique, nécessaire et suffisante,
pour qu'une telle section soit un cône.
· La quatrième partie montre géométriquement que l'intersection d'un cône de
révolution et d'un plan est une conique, celle-ci étant caractérisée par la 
donnée
d'un couple foyer-directrice et d'une excentricité.
· La cinquième partie donne des conditions pour que la conique soit une conique
à centre.

Indications
Partie I
I.B.1 Construire « canoniquement » une application linéaire  7 q de R3 vers
l'ensemble Qi,j,k des formes quadratiques q telles que Cq contienne i, j, k.
Remarquer alors que l( ) = q (e). . .
I.B.3 Traduire la condition (2) sur les coordonnées de e  e et remarquer que
{e  e } = Vect (e, e ). Traduire ensuite le fait qu'une forme q appartient à
Qe,e par un système linéaire puis résoudre ce système.
Partie II
II.A Dans toute base (en particulier une base orthonormale) de P0 , la matrice 
de
q est symétrique, donc diagonalisable en base orthonormale. . .
II.B.1.a On a nécessairement |z0 | = d(P0 , P1 ).

II.B.1.c Utiliser la forme de la matrice de q relativement à B écrite à la 
question
II.B.1.b.
Partie III
III.A Rechercher explicitement le couple (, l) qui peut convenir, puis vérifier 
qu'il
convient bien.
III.B Calculer explicitement x , y  et z  et se servir d'une expression de q 
obtenue
avant le calcul de la forme linéaire l de la question III.A.
Partie IV
-- --
kOa  OMk
.
IV.A Utiliser la formule d (a , (OM) ) =
--
kOMk
IV.C Commencer par chercher un scalaire  tel que
(x + y + z - a)2 =  d(M, Pa )2
Partie V
V.B Utiliser le fait que H = Vect (V).
V.C Commencer par décrire le supplémentaire F potentiel à l'aide de la question 
V.B. Rechercher ensuite à quelle condition il s'agit effectivement d'un
supplémentaire.
V.D Utiliser « la » formule sur la comatrice. . .
V.E Se ramener à un système linéaire à résoudre. Pour la fin de la question,
remarquer que SP1 est une symétrie centrale et laisse Cq stable.
V.F Utiliser (également) la question II.B.1.c.

Question préliminaire A
Comme le suggère l'énoncé, faisons une disjonction de cas portant sur le signe 
de
det M = rt - s2 .
Premier cas : rt - s2 = 0
La forme quadratique q est dégénérée et non nulle (par hypothèse), donc q est de
rang 1. Le théorème d'inertie de Sylvester dit qu'il existe un réel non nul a 
et une
forme linéaire non nulle l sur R2 tels que
x  E

q(x) = a l(x)2

Nécessairement, l'un des deux réels r ou t est non nul (sinon, s serait 
également nul
et q serait donc la forme quadratique nulle). De plus, r et t sont de même 
signe : c'est
le signe de a étant donné que r = q(i) = a l(i)2 et t = q(j) = a l(j)2 . Il 
nous faut
maintenant discuter selon ce signe, qui est d'après ce qui vient d'être dit, le 
signe
(strict) de r + t :
· si r + t > 0, q a pour signature (1, 0) ;

· si r + t < 0, la signature de q est (0, 1).

Dans les deux cas,

Cq = {x  E | q(x) = 0} = {x  E | l(x) = 0} = Ker l

Cq est donc un hyperplan de E, c'est-à-dire une droite.

Second cas : rt - s2 6= 0
Dans ce cas, q est non dégénérée et il existe deux réels non nuls a1 , a2 , 
ainsi que
deux formes linéaires indépendantes sur R2 , l1 et l2 tels que
x  E

q(x) = a1 l1 (x)2 + a2 l2 (x)2

Dans la base duale de (l1 , l2 ) que l'on note B , q a donc pour matrice
!
a1 0
Mat B (q) =
0 a2
Comme le signe du déterminant dans une base de la matrice de q ne dépend pas de
la base, a1 a2 est du signe de rt - s2 .

· Si rt - s2 est négatif, a1 et a2 sont de signe opposé. Quitte à intervertir 
les
couples (a1 , l1 ) et (a2 , l2 ), on peut supposer a1 strictement positif et a2 
strictement négatif. On a en notant (x, y) les coordonnées d'un vecteur X  R2 
dans
la base B ,

X  Cq 
( a1 x - -a2 y)( a1 x + -a2 y) = 0

a1 x - -a2 y = 0 ou
a1 x + -a2 y = 0
Cq est donc réunion de deux droites.

· Si rt-s2 est positif, a1 et a2 sont de même signe, qui est le signe de r = 
q(i) = a1 l1 (i)2 + a2 l2
Deux sous-cas se présentent :
­ si r > 0, q est définie positive et est donc un produit scalaire ; alors Cq =
{0} et q a pour signature (2, 0) ;

­ si r < 0, q est définie négative. Dans ce cas, Cq = {0} et q a pour signature
(0, 2).

L'énoncé suggère de faire une discussion. Pour répondre précisément à la
question, la discussion doit se faire jusqu'au bout sur les données de l'énoncé,
c'est-à-dire sur r, s et t (et non pas sur des quantités introduites dans la
réponse, comme ici a, a1 . . .)

I.

Cône contenant cinq vecteurs donnés

I.A Notons M la matrice de q relativement à Bc

a11 a12

M = Mat Bc (q) = a12 a22
a13 a23

de sorte que

a13

a23 
a33

q ((x, y, z)) = a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2 a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz
Ainsi, il vient

q(i) = 0  a11 = 0

Donc i  Cq si et seulement si le premier coefficient de la matrice de q 
relativement
à Bc est nul.
De même, j et k sont dans Cq si et seulement si les coefficients diagonaux de M
sont nuls, si bien que, en notant a23 = 2, a13 = 2, a12 = 2, il vient que :
Cq contient i, j et k si, et seulement si, il existe des réels ,  et  tels que
X = (x, y, z)  R3

q(X) =  yz +  xz +  xy

I.B.1 Pour un triplet  , notons q la forme quadratique qui à X = (x, y, z)  R3
associe q (X) =  yz +  xz +  xy. Notons également Qi,j,k l'ensemble des formes
quadratiques telles que Cq contienne i, j et k. L'application  7 q est 
visiblement
linéaire de R3 dans Q. D'après la question précédente, son image est exactement
Qi,j,k . Elle est également injective : si q = 0,

0  
1
Mat Bc (Q ) =  0  = 0
2
  0
et donc

 =0

De plus, nous avons, pour   R3
q (e) = l( )
q (e ) = l ( )