Centrale Maths 2 MP 2000

Thème de l'épreuve Approximation des valeurs propres d'une matrice par la méthode de Jacobi
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, suites numériques

Corrigé

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MATHÉMATIQUES II Filière MP MATHÉMATIQUES || On se propose dans ce problème d'étudier une méthode de calcul approché des valeurs propres d'une matrice symétrique réelle. Notations : On désigne par Mat(n, IR) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels, par Sn(IR) le sous-espace des matrices symétri- ques, par On(lR) le groupe des matrices orthogonales d'ordre n et par O,Ï(IR) le groupe des matrices orthogonales directes (Le. dont le déterminant vaut 1 ). On désigne par diag(ocl,...,ocn) la matrice diagonale d'ordre n : oc1 0 La notation A = (ai, ]) signifie que la matrice A de Mat(n, ]R) a pour coefficient a en i-ème ligne et j -ème colonne. Dans ce cas, la transposée de A sera i,j n notée 'A et la trace de A définie par Tr(A) : 2 au. . i=1 Liens entre les parties du problème : La partie I sert dans tout le problème. La partie Il traite d'un cas particulier que l'on aura intérêt à traiter soigneuse- ment avant de poursuivre. La partie IV est indépendante de ce qui précède et sert dans V.D -- . Partie I - Une norme sur Mat(n, IR) I.A - Montrer que pour tout couple de matrices carrées (A, B) , ( Tr(AB)) : Tr(BA) . LB - Montrer que l'application q> : Mat(n, IR) XMat(n, IR) _) IR, définie par : @(A, B) = Tr(A'B) Concours Centrale-Supélec 2000 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière MP F...èreMP est un produit scalaire ; calculer en particulier o(A, A). On note || Il la norme associée à @. Exprimer "All2 en fonction des (a- 1). I. C- Montrer que pour toute matrice A-- _ (a (; a...) En 2 2 ai]. i=1j=1 ij)ij de Mat(n, IR), on a: En déduire la norme de l'application Tr : M at(n, IR) --> IR (norme subordonnée à la norme II Il ). I. D- Soit Q un élément de O ,,.(IR) Montrer que pour toute matrice A, UQAM: "All. Prouver que si A est une matrice symétrique, la matrice B-- _ t'QAQ est elle- -même symétrique et que l'on a, en notant (bi,j) les coefficients de B . 2 Ëbi,j= E E"i.j° i=1j=l i=1j=1 Partie II - Diagonalisation pour n = 2 Soient A une matrice de S2(IR) , et Q une matrice de 02(IR) définies par : A : a1,1a1,2 , Q : cos(9) sin(6) _ a12 a2 2 --sin(6) cos(9) On pose B-- _ Q--AQ _ (bij). II.A - Calculer les termes de la matrice B . II.B - Montrer que 2 Ebi,i+2 b2,1=zai,i+2a2,'l i-- _ 1 i = 1 II.C - On suppose ici que a1'2 # 0 . Montrer qu'il existe un réel 9 appartenant à ]--Ë, 0 [ u] O,Ë ] ,et un seul, tel que b2, 1 = 0 (penser à distinguer deux cas). Concours Centrale-Supélec 2000 2/6 MA THÉMA TIQUES II Filière MP Définir la fonction F qui, à une matrice symétrique non diagonale de SZ(IR) , associe le réel 6 ainsi défini. II.D - Montrer que pour ce choix de 6 , la matrice B est diagonale et que 51,1 et b2, 2 sont les valeurs propres de A . ILE - On donne A=1112_ 512--6 Calculer 9 : F(A) puis la matrice B . En déduire les éléments propres de A . Partie III - Quelques résultats généraux On définit, pour 6 réel, p et q entiers donnés (avec p0, anse IN, VkEUR IN, anEUR=>xke U B(awe), u=1 où Boo V.D.2) Montrer que les suites (Dk) et (Ak) convergent dans (Mat(IR, n),ll |!) et dire en quoi l'algorithme ainsi défini permet d'obtenir une valeur approchée des valeurs propres de A . Partie VI - Étude d'un exemple pour n = 3 On donne ici 15 4 3 A = 4 6 12 , et on définit la suite Ak comme dans V -- . 312--1 VI.A - Déterminer 60 puis 90- Donner les valeurs rationnelles des coefficients 1  . VI.B - Calculer de la même façon 61 , 821 et les coefficients (aÎË-) de A2. VLC - Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A. Observation ? 00. FIN 000 Concours Centrale--Supélec 2000 6/6

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 Centrale Maths 2 MP 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tri Nguyen-Huu (ENS Lyon) ; il a été relu par Clotilde Breuillin (Mines de Paris), Brice Goglin (ENS Lyon) et Thomas Chomette (ENS Ulm). Ce problème est composé de six parties. Le but est d'étudier un algorithme permettant un calcul approché des valeurs propres d'une matrice réelle symétrique : la méthode de Jacobi. ­ La partie I se propose de définir une norme sur les matrices. Elle permet de démontrer quelques résultats classiques. ­ Dans la partie II, on explicite une méthode de diagonalisation pour les matrices carrées symétriques d'ordre 2. La fin de cette partie consiste à appliquer cette méthode à un exemple. ­ La troisième partie cherche à analyser la méthode précédente dans le cas de matrices d'ordre quelconque. Elle présente le principe d'une itération de la méthode de Jacobi. ­ La quatrième partie a pour but de montrer la convergence de suites vérifiant certaines propriétés, résultat nécessaire pour la suite du problème. ­ La cinquième partie expose le principe de la méthode de Jacobi et cherche à prouver qu'elle converge bien. ­ Enfin, on trouve dans la partie VI un exemple de matrice d'ordre 3 à laquelle on applique l'algorithme défini précédemment. Cette épreuve est relativement longue et comporte de nombreux calculs dans lesquels on peut se perdre facilement. C'est un bon exercice pour acquérir certains automatismes et éviter ainsi d'être déstabilisé le jour de l'épreuve. Indications I.C Démontrer l'inégalité lorsque ai,j = 0 pour i 6= j en utilisant la convexité de (x 7- x2 ). II.C Si cela n'a pas déjà été fait, faire apparaître des termes en 2 dans l'expression de b1,2 . De plus, avoir lu l'énoncé en entier peut donner une idée de la valeur à trouver... II.E Utiliser les formules 1 cos (Arctan x) = 1 + x2 et x sin (Arctan x) = 1 + x2 IV.A.1 Extraire une suite de (xn )nN et considérer une de ses valeurs d'adhérence. 1 IV.A.2 Choisir < Min ka - aµ k et considérer n0 > n tel que 2 16,µ6M n > n0 kxn+1 - xn k < 1 2 Min 16,µ6M ka - aµ k - 2 V.C.2 Montrer que kAkl -k tend vers 0 et remarquer que les Akl ont tous le même polynôme caractéristique. V.D.2 Montrer que (Dk+1 - Dk ) tend vers 0 coefficient par coefficient. Puis utiliser (k+1) la question III.B.2 pour réécrire les termes ai,i . VI.A Utiliser les formules | cos x| = r 1 + cos 2x 2 et | sin x| = r 1 - cos 2x 2 I. Une norme sur Mn (R) I.A Utilisons la définition de la fonction Tr : Tr (AB) = n P (AB)i,i i=1 = n P n P ai,j bj,i n P n P bj,i ai,j i=1 j=1 = j=1 i=1 Tr (AB) = n P (BA)j,j j=1 On en déduit que Tr (AB) = Tr (BA) I.B vérifie les propriétés suivantes : · est clairement bilinéaire ; · est symétrique : (A, B) = Tr (A t B) t t = Tr ( (A B)) t = Tr (B A) (A, B) = (B, A) · est définie positive : pour tout A dans Mn (R), on a n n P n n P P P a2i,j (A)i,j ( t A)j,i = (A, A) = i=1 j=1 i=1 j=1 On en déduit que (A, A) > 0 et (A, A) = 0 si et seulement si ai,i = 0 pour tout i soit (A, A) > 0 et (A, A) = 0 si et seulement si A = 0. · Conclusion : A 7- (A, A) est une forme quadratique définie positive. est donc un produit scalaire. En conséquence, on a kAk2 = (A, A) = n P n P i=1 j=1 a2i,j I.C La fonction (x 7- x2 ) est convexe. Quels que soient les coefficients ai,i , on peut alors écrire n 2 n 1 P 1 P ai,i 6 a2 n i=1 n i=1 i,i soit encore n P ai,i i=1 n P Or, on a clairement i=1 2 a2i,i 6 6n n P i=1 n P n P i=1 j=1 a2i,i a2i,j L'inégalité est valable pour toute matrice carrée A. En particulier, elle doit rester vraie lorsque les termes ai,j sont nuls pour i 6= j. Ne pas s'apercevoir tout de suite que ces termes ne jouent aucun rôle dans l'égalité rend le problème beaucoup plus difficile. C'est une bonne illustration de problèmes pour lesquels se ramener à des cas particuliers (ici une matrice diagonale) n'est pas une perte de temps et permet d'avoir une vision plus nette de la marche à suivre. Il vient donc n P ai,i i=1 2 6n n P n P i=1 j=1 a2i,j Une autre méthode consiste à utiliser le fait que a2 + b2 > 2ab (que l'on a déduit de l'inégalité (a - b)2 > 0). On a alors n 2 n P n n P n a2 + a2 P P P i,i j,j ai,i = ai,i aj,j 6 2 i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 n P n a2 + a2 n P P i,i j,j =n a2i,i 2 i=1 j=1 i=1 or d'où l'on déduit le résultat. Il vient donc naturellement pour une matrice A | Tr (A)| 6 en d'autres termes ||| Tr ||| = nkAk | Tr (A)| 6 n kAk AMn (R) Sup De plus, la borne supérieure est atteinte en In , ce qui signifie que l'on a ||| Tr ||| = n I.D Reprenons la définition de la norme. On a t t t t t kAk2 = Tr (A (A)) = Tr (A A ) = Tr ( A A) t Comme appartient à On (R), on a = In ; il en découle que kAk = kAk Si A est une matrice symétrique, on a par définition t A=A