Centrale Maths 2 MP 2000

MATHÉMATIQUES II Filière MP

MATHÉMATIQUES ||

On se propose dans ce problème d'étudier une méthode de calcul approché des
valeurs propres d'une matrice symétrique réelle.

Notations : On désigne par Mat(n, IR) l'espace vectoriel des matrices carrées
d'ordre n à coefficients réels, par Sn(IR) le sous-espace des matrices symétri-
ques, par On(lR) le groupe des matrices orthogonales d'ordre n et par O,Ï(IR) le
groupe des matrices orthogonales directes (Le. dont le déterminant vaut 1 ).

On désigne par diag(ocl,...,ocn) la matrice diagonale d'ordre n :

oc1 0

La notation A = (ai, ]) signifie que la matrice A de Mat(n, ]R) a pour 
coefficient

a en i-ème ligne et j -ème colonne. Dans ce cas, la transposée de A sera

i,j n
notée 'A et la trace de A définie par Tr(A) : 2 au. .

i=1

Liens entre les parties du problème : La partie I sert dans tout le problème.
La partie Il traite d'un cas particulier que l'on aura intérêt à traiter 
soigneuse-

ment avant de poursuivre. La partie IV est indépendante de ce qui précède et
sert dans V.D -- .

Partie I - Une norme sur Mat(n, IR)

I.A - Montrer que pour tout couple de matrices carrées (A, B) ,
( Tr(AB)) : Tr(BA) .

LB - Montrer que l'application
q> : Mat(n, IR) XMat(n, IR) _) IR, définie par : @(A, B) = Tr(A'B)

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F...èreMP

est un produit scalaire ; calculer en particulier o(A, A). On note || Il la 
norme
associée à @. Exprimer "All2 en fonction des (a- 1).

I. C- Montrer que pour toute matrice A-- _ (a

(; a...) En 2 2 ai].

i=1j=1

ij)ij de Mat(n, IR), on a:

En déduire la norme de l'application Tr : M at(n, IR) --> IR (norme subordonnée 
à
la norme II Il ).

I. D- Soit Q un élément de O ,,.(IR) Montrer que pour toute matrice A,
UQAM: "All. Prouver que si A est une matrice symétrique, la matrice B-- _ t'QAQ
est elle- -même symétrique et que l'on a, en notant (bi,j) les coefficients de 
B .

2 Ëbi,j= E E"i.j°

i=1j=l i=1j=1

Partie II - Diagonalisation pour n = 2

Soient A une matrice de S2(IR) , et Q une matrice de 02(IR) définies par :

A : a1,1a1,2 , Q : cos(9) sin(6) _
a12 a2 2 --sin(6) cos(9)
On pose B-- _ Q--AQ _ (bij).

II.A - Calculer les termes de la matrice B .

II.B - Montrer que
2

Ebi,i+2 b2,1=zai,i+2a2,'l

i-- _ 1 i = 1
II.C - On suppose ici que a1'2 # 0 . Montrer qu'il existe un réel 9 appartenant 
à

]--Ë, 0 [ u] O,Ë ] ,et un seul, tel que b2, 1 = 0 (penser à distinguer deux 
cas).

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MA THÉMA TIQUES II Filière MP

Définir la fonction F qui, à une matrice symétrique non diagonale de SZ(IR) ,
associe le réel 6 ainsi défini.

II.D - Montrer que pour ce choix de 6 , la matrice B est diagonale et que 51,1 
et
b2, 2 sont les valeurs propres de A .

ILE - On donne

A=1112_
512--6

Calculer 9 : F(A) puis la matrice B . En déduire les éléments propres de A .

Partie III - Quelques résultats généraux

On définit, pour 6 réel, p et q entiers donnés (avec p0, anse IN, VkEUR IN, anEUR=>xke U B(awe),
u=1
où Boo

V.D.2) Montrer que les suites (Dk) et (Ak) convergent dans (Mat(IR, n),ll |!) et
dire en quoi l'algorithme ainsi défini permet d'obtenir une valeur approchée des
valeurs propres de A .

Partie VI - Étude d'un exemple pour n = 3

On donne ici

15 4 3
A = 4 6 12 , et on définit la suite Ak comme dans V -- .

312--1

VI.A - Déterminer 60 puis 90- Donner les valeurs rationnelles des coefficients
1

 .

VI.B - Calculer de la même façon 61 , 821 et les coefficients (aÎË-) de A2.

VLC - Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A.
Observation ?

00. FIN 000

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