Centrale Maths 1 MP-MPI 2025

MP, MPI
4 heures

Calculatrice autorisée

2025

Mathématiques 1

Irrationalité de (2)
Notations
­ Si x  R, on note x sa partie entière.
­ Si p est un nombre premier et si n  N , on note vp (n) la valuation p-adique 
de n, c'est-à-dire le plus grand
entier naturel k tel que pk divise n.
­ Si x est un réel supérieur ou égal à 1, on note (x) le nombre de nombres 
premiers inférieurs ou égaux à x. En
d'autres termes,
X

(x) = card ({p premier, p  x}) =

1

px
p premier

où card(A) désigne le cardinal de l'ensemble fini A.

Partie A ­ Un encadrement de la fonction 
Le but de cette partie est d'établir l'encadrement suivant de la fonction  :
x
ln(2) x
 (x)  4
.
6 ln(x)
ln(x)

x  [3, + [

I ­ Calculs préliminaires
Q1. Soit n  N . Montrer que

p

2n + 1
n

Y

p < 4n . Y n+2p2n+1 p premier 4n . Q2. Montrer que, pour tout n  N , pn p premier On pourra procéder par récurrence et effectuer l'hérédité en discutant suivant la parité de n. Q3. En déduire que, pour tout réel x  1, Y p < 4x . px p premier Q4. Montrer que, pour tout n  N , 4n 2n 2n n 1/6 < 4n . Q5. Soit p un nombre premier. Montrer que, pour tout n  N, vp (n!) = + X n pk k=1 . Q6. En déduire que, pour tous n  N , k  N et p nombre premier : si pk divise 2n , alors pk  2n. n II ­ Majoration de (x) Q7. Soit n  N . Justifier que Y p pn p premier Y p. n ln(4).
t
sur l'intervalle [e, +[, montrer que
ln(t)
x
(x)  4
.
ln(x)

Q10. Soit x  3. En utilisant la croissance de la fonction t 7

III ­ Minoration de (x)
Q11. Soit n  N . Montrer que
 
2n
 (2n)(2n) .
n
Q12. Soit n  N . Vérifier que
2n ln(2)
n ln(2)
-1
,
ln(2n)
ln(2n)
puis en déduire que
(2n)  n

ln(2)
.
ln(2n)

Q13. Soit x  3. Montrer que
(x) 

ln(2) x
.
6 ln(x)

2/6

On pourra poser n = x/2 et utiliser Q12.
L'inégalité précédente a été asymptotiquement améliorée en 1896, ainsi on 
admettra dans la suite du problème le
(difficile) résultat suivant, appelé théorème des nombres premiers,
(x)

x

x+ ln(x)

.

Partie B ­ Une majoration d'un PPCM
I ­ Une première majoration
Q14. Soit r  N . Soient a1 , . . . , ar des entiers naturels non nuls. 
Justifier qu'il existe un unique entier naturel
d(a1 , . . . , ar ) tel que
a1 Z  a2 Z  · · ·  ar Z = d(a1 , . . . , ar )Z.
Q15. Soit r  N . Soient a1 , . . . , ar des entiers naturels non nuls. Montrer 
que d(a1 , . . . , ar ) est le plus petit entier
naturel non nul qui est divisible par a1 , . . . , ar .
Soit r  N . Si a1 , . . . , ar sont des entiers naturels non nuls, d(a1 , . . . 
, ar ) s'appelle le plus petit commun multiple de
a1 , . . . , ar et on le notera dans la suite PPCM(a1 , . . . , ar ).

Pour tout n  N , on note dn le PPCM des entiers naturels compris entre 1 et n, 
autrement dit : dn = PPCM(1, 2, . . . , n).
Q16. Calculer d2 , d3 et d4 , puis montrer que dn  n! pour tout entier naturel 
n  N .

II ­ Une majoration plus fine
Le but de cette sous-partie est d'améliorer la majoration de dn .
Dans les deux questions suivantes, on fixe un entier naturel non nul n et, pour 
tout nombre premier p, on note kp le
plus grand entier naturel tel que pkp  n.
Y
Q17. Montrer que dn =
pkp .
pn
p premier

ln(n)
. En déduire que dn  n(n) .
Q18. Pour tout nombre premier p, montrer que kp =
ln(p)

Q19. En déduire qu'il existe un entier naturel N non nul tel que, pour tout n  
N , dn  3n .
On pourra utiliser le théorème des nombres premiers mentionné ci-dessus.

Partie C ­ Un critère d'irrationalité
Soit   R+ . On suppose qu'il existe deux suites d'entiers naturels non nuls (pn 
)nN et (qn )nN telles que
pn
=
n+ qn
lim

On suppose en outre que pour tout n  N,

et

-

pn
qn

=

n+

o

1
qn

pn
= .
qn

Q20. Montrer que  est un nombre irrationnel.

Soit  =

+
X
1
.
n!
10
n=1

Q21. Justifier que  est bien défini, puis montrer que  est un nombre 
irrationnel.
3/6

.

Q22. Soit n  N . Justifier que (2) =

+
X
1
k=1

k2

est bien défini, puis montrer que l'on peut écrire
n
X
1
k=1

k2

=

pn
qn

avec pn  N et qn = d2n .
Q23. Peut-on appliquer le résultat de Q20 à ces suites (pk )kN et (qk )kN pour 
conclure sur l'irrationalité de (2) ?

Partie D ­ Calcul d'une intégrale double
I ­ Une intégrale double
Soient r et s deux entiers naturels strictement positifs tels que r  s.
Q24. Soit y  ]0, 1[. Justifier que la fonction
xr y s
1 - xy

x 7
est intégrable sur [0, 1].
On pose, pour y  ]0, 1[,
Z 1
fr,s (y) =
0

xr y s
dx.
1 - xy

Q25. Montrer que fr,s est continue et intégrable sur ]0, 1[.
On pose
Z 1
Jr,s =

Z 1Z 1
fr,s (y) dy =

0

0

0

xr y s
dx dy.
1 - xy

Q26. Montrer que
Jr,s =

+
X
k=0

1
.
(r + k + 1)(s + k + 1)

II ­ Une écriture sous forme de quotients
Dans cette sous-partie, on suppose r > s.
Q27. Justifier que
1
1
=
(r + k + 1)(s + k + 1)
r-s

1
1
-
s+k+1 r+k+1

Q28. En déduire que
+ 

Jr,s =

1 X
r-s

k=0

1
1
-
s+k+1 r+k+1

Q29. En déduire que
Jr,s =

r
X
1
1
.
r-s
k
k=s+1

4/6

.

.

Q30. En déduire que l'on peut écrire
Jr,s =

pr,s
qr,s

avec pr,s et qr,s des entiers naturels et qr,s divisant d2r .
On admettra que Jr,r = (2) -

r
X
1
k=1

k2

.

Partie E ­ Une démonstration de l'irrationalité de (2)
On définit sur [0, 1] la fonction Pn par :
x  [0, 1],

Pn (x) =

1 dn (xn (1 - x)n )
.
n!
dxn

Q31. Soit n  N . Justifier que Pn est une fonction polynomiale sur [0, 1] de 
degré n à coefficients dans Z.
On pose dans la suite
n
X

Pn (x) =

ak xk

k=0

(1 - y)n =

n
X

bk y k

k=0

avec pour tout k  J0, nK, ak  Z et bk  Z.
Q32. Soit n  N . Justifier l'existence de
Z 1Z 1
In =
0

0

(1 - y)n Pn (x)
dx dy
1 - xy

et montrer que
In =

n
X

ar bs Jr,s +

n
X

ar br Jr,r .

r=0

r,s=0
r=s

Q33. Soit n  N . En déduire qu'il existe deux entiers relatifs pn et qn tels que
In =

pn + (2)qn
.
d2n

On admettra dans toute la suite que pn et qn sont non nuls pour tout n  N .
Q34. Soit n  N . Montrer que pour tout y  ]0, 1[,
Z 1
0

Pn (x)
dx = (-y)n
1 - xy

Z 1
0

xn (1 - x)n
dx.
(1 - xy)n+1

Q35. En déduire que
In = (-1)

n

Z 1Z 1
0

0

xn (1 - x)n y n (1 - y)n
dx dy.
(1 - xy)n+1

Q36. Montrer que
(x, y)  ]0, 1[2 ,

x(1 - x)y(1 - y)
5 5 - 11

.
1 - xy
2

5/6

Q37. Soit n  N . En déduire que
|In |  (2)

n
5 5 - 11
.
2

Q38. Montrer qu'il existe N  N tel que pour tout n  N ,
 n
5
0 < |pn + (2)qn |  (2) . 6 5 5 5 - 11 On pourra utiliser, sans la prouver, l'inégalité 9 . 2 6 Q40. On admet, uniquement dans cette question, que (2) = Fin 6/6 2 . Montrer que  est un nombre irrationnel. 6 M062 - 28 avril 2025 - 14:52:17 c b e a Q39. Montrer que (2) est un nombre irrationnel.