Centrale Maths 1 MP 2021

Corrigé

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Mathématiques 1
MP

4 heures Calculatrice autorisée

2021

La loi du demi-cercle
Notations
-- Pour tous entiers naturels p et q tels que p < q on note [p, q] l'ensemble {i EN | p  1, on note M,,(R) l'ensemble des 
matrices à n lignes et n colonnes
à coefficients réels, 8, (R) l'ensemble des matrices symétriques et à 
coefficients réels de taille n et O,,(R)
l'ensemble des matrices réelles orthogonales de taille n.

-- Pour toute matrice symétrique réelle M EUR 8, (R) on note À,(M) > ÀA(M) > + 
> À, (M) ses valeurs propres
rangées dans l'ordre décroissant.

-- On note MT la transposée d'une matrice M.

-- Pour tout (i,j) EUR [1,n]?, on note E;; la matrice de la base canonique de 
W,,(R) dont tous les coefficients
sont nuls sauf celui situé sur la i-ème ligne et la j-ième colonne qui vaut 1.

-- Pour toute matrice M E M, (R), on note [M], = 4/tr(MM T) sa norme 
euclidienne canonique.

-- Dans tout le problème, on note (Q,.4,P) un espace probabilisé. Toutes les 
variables aléatoires considérées
sont définies sur (2.

-- Etant donnée une variable aléatoire discrète X à valeurs réelles admettant 
une espérance, on note E(X) son
espérance. Si X admet une variance, on note V(X) sa variance.

Problématique

En essayant d'expliquer la répartition des niveaux d'énergie des noyaux des 
atomes lourds, Eugene Wigner à
été amené, dans les années 1950, à étudier le spectre de matrices symétriques 
réelles aléatoires de grande taille.
La figure 1 montre un histogramme qui représente la répartition des valeurs 
propres d'une matrice symétrique
réelle de taille n -- 2500 constituée de variables aléatoires indépendantes 
identiquement distribuées, d'espérance
nulle et de variance égale à 1.

39

30 J DIET

25 . HE

20

15

10

100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100
À

Figure 1

On voit que les valeurs propres se répartissent suivant un profil en 
demi-cercle de rayon 24n. En normalisant
par un facteur 1//n on obtient le profil d'un demi-cercle de rayon 2.

MO042/2021-03-19 10:19:26 Page 1/6 CIEL
Plus précisément, on considère (X;;)/; ;ew)2 une famille de variables 
aléatoires discrètes réelles telles que
-- pour tout (1,3) EUR (N*)°, X,, = X ; :
-- les variables aléatoires X;; sont de même loi, d'espérance nulle et de 
variance 1 ;

-- pour n > 1, les variables aléatoires X;,;, pour 1 << 7 < n, sont mutuellement indépendantes. 19? Pour tout n EUR N* et pour tout w EUR (, on note M,,(w) la matrice (Xi;(w)) >

EE MaiR):

I
Ayn(w) les valeurs propres de M, (w).

Vn nm

On définit ainsi, pour n EN*etie {[1,n], des variables aléatoires réelles 
discrètes À;,, sur (Q,.4,P).

VW

Pour tout w EUR (, on note À; ,(w) > +

On se propose de montrer le résultat suivant :

------ Loi du demi-cercle
Pour toute fonction f : R -- R, continue et bornée,

2

(ED | 7  JiVa ar
i=1 '

Dans la partie I, on établit une inégalité portant sur les valeurs propres d'un 
couple de matrices symétriques.
La partie IT est consacrée à la résolution d'un problème de dénombrement qui 
est utilisée dans la partie IIT où
la loi du demi-cercle est démontrée pour des variables aléatoires uniformément 
bornées. Dans la partie IV, on
établit la loi du demi-cercle dans le cas général en utilisant les résultats 
des parties I et IIT.

I Inégalité de Hoffman-Wielandt
I.A - Soient À et B deux matrices de &#,,(R).
Q 1. Montrer que, pour tout M dans W,,(R) et pour tous Pet Q dans O,,(R), on a 
|PMQ|, = |M|..

Q 2. On note D, = diag(X,(A),..., À, (A)) et Dh = diag(À\,(B),..., À, (B)). 
Montrer qu'il existe une matrice
orthogonale P = (p, ji jen telle que |A -- B|$ = |DA4P -- PDgl$.

Q 3. Montrer que

2 2
14 -- B|, = >. p} (A; (4) -- À;(B))
1<2,3 1 et & > à. Montrer que, pour M EUR 
M,,(R) et pour x EUR R*,
JCM +xE;; + TE,p --TE;z -- LE) -- f(M) = 27 (\;(4) -- \;(A))(A4(B) -- X;(B)) < Ù Q 6. Soient n > 2 et M = (mi, jé; jen EUR BAR) une matrice différente de 
l'identité. On note 1 le plus petit
entier appartenant à [1,7] tel que m,,; # 1. Montrer qu'il existe une matrice 
M° = (m EUR B,(R) telle

que FM") < f(M) et m°,= 1 pour tout j EUR [li]. Lies à à,7/ 1Ki,5 1, on note C,, le nombre de mots bien parenthésés de 
longueur 2n. On pose par commodité

IT. À -

Q 9. En énumérant les différents mots bien parenthésés de longueur 2, 4 et 6, 
montrer que C; = 1, CC; = 2
et déterminer C2.

Q 10. Montrer que, pour tout entier naturel n, EUR, & 2°". Que peut-on en 
déduire pour le rayon de conver-
gence de la série entière 5° Cyx" ?

Q 11. Montrer par un raisonnement combinatoire que, pour tout entier k > I.

k--1
Cr = > CC 1

10

On peut remarquer qu'un mot bien parenthésé est forcément de la forme (m)m" 
avec m et m' deux mots
bien parenthésés, éventuellement vides.

IT. B - Pour tout x EUR | -- : on pose F(x) -- Ù Cyr.
4'4 P (x) -- k
I I 2
Q 12. Montrer que, pour tout x EUR + ï : F(x) = 1+x(F(x)).
| L 1 | -- KR
Q 13. Montrer que la fonction f : 44 ne s'annule pas.
x RH 2xF(x) --1

JL I
Q 14. Déterminer, pour tout x EUR | n : une expression de F(x) en fonction de x.

Q 15. Déterminer le développement en série entière de la fonction u > V1 -- u. 
On écrira les coefficients
sous la forme d'un quotient de factorielles et de puissances de 2.

Q 16. Montrer que, pour tout entier naturel n,

M042/2021-03-19 10:19:26 Page 3/6 (cc) BY-NC-SA
III Loi du demi-cercle, cas uniformément borné
On suppose, uniquement dans cette partie, que les variables aléatoires X;; sont 
uniformément bornées :
iK ER V(i,j) EUR (NY [XI  AË, admet une espérance et que
i=1

1 I I

k _ k\\ X. . X..

E F Ya, = nitk/2 - (tr(M)) EH nitk/2 >, EX à, Ai, À si Né de
i=1 (Gi, i)e[l,n]*

On appelle cycle de longueur k à valeurs dans [1,n], tout (k + 1)-uplet ? = 
(4,,i9,...,ir,t1) d'éléments de [1,n|].

Les éléments 1,,...,1, sont appelés sommets du cycle ?. On dit aussi que le 
cycle passe par ces sommets. On note

| le nombre de sommets distincts du cycle 7.

On appelle arêtes du cycle (i,,49,.....,ip,t1) les couples non ordonnés 
(l'ordre des deux éléments de chaque couple
n'est pas significatif) (d1,49), (dos ta), «...., (èps dt).

Par exemple ? = (1,3,5,3,2,2,1) est un cycle de longueur 6 dans [1,5]. Les 
sommets de ce cycle sont les
éléments 1, 2, 3 et 5, donc 1) -- 4. Les arêtes distinctes de ce cycle sont 
(1,3), (3,5), (3,2), (2,2) et (2,1). Les
arêtes (3,5) et (5,3) sont les mêmes.

Q 22. Montrer que le nombre de cycles de longueur k dans [1,n] passant par { 
sommets distincts est inférieur
ou égal à n'éF.

Q 23. En déduire que

n -- +o0
----

1
nitk/2 > EX ns Le vi Ni)
ie[1,n]f
hi] <(k+1)/2 On classe les cycles de longueur k en trois sous-ensembles : -- l'ensemble .4,, constitué des cycles où au moins une arête n'apparait qu'une fois : -- l'ensemble B,, constitué des cycles où toutes les arêtes apparaissent exactement deux fois : -- l'ensemble C,, constitué des cycles où toutes les arêtes apparaissent au moins deux fois et il en existe au moins une qui apparait au moins trois fois. M042/2021-03-19 10:19:26 Page 4/6 (cc) BY-NC-SA Q 24. Montrer que, si le cycle (à,,49,..,4,,t1) appartient à .4,, alors .X X. Tr_17% ii) E(X, , X, 122 dos = 0. k +1 Q 25. Montrer que, pour tout cycle ? appartenant à EUR, fi] < 5 1 nm Q 26. Que peut-on dire de B, si k est impair ? En déduire que lim E F > se) -- 
( dans ce cas.
n--+00 n < ' = 1 . k . On suppose dans la suite que k est pair et que * EUR 8, est un cycle passant par 9 + 1 sommets distincts. k Autrement dit |?| -- 5 + 1. On parcourt les arêtes de ? dans l'ordre. À chaque arête de 7 on associe une parenthèse ouvrante si cette arête apparait pour la première fois et une parenthèse fermante si elle apparait pour la deuxième fois. Par exemple, au cycle (1,3,2,38,1) correspond (()), au cycle (1,2,1,3,1) correspond ()(). Q 27. Justifier que l'on obtient ainsi un mot bien parenthésé de longueur k. Q 28.  Dénombrer les cycles ? qui correspondent à un mot bien parenthésé fixé. Q 29.  Déduire de ce qui précède que | 1 ÿ k ne L (: =] se) = Crya- III. C - Q 30. En déduire que, pour tout polynôme P EUR R{X|, 2 1 1 im E[-S P(A,,)| = | P(x)Va- x? ax. ne (ASP) 3 frevi-as --2 ITI.D -- Soit À > 2.
Q 31. Montrer que, pour tout (p,q) EUR N°,

1 Ain
n--+00 1LEn
IA; ,1>A

Q 33. Soient f une fonction continue et bornée de R dans K et P un polynôme de 
degré p. Justifier qu'il
existe une constante K telle que

V&ER\I]-A, AL |f(x) -- P(x)l < K}xf°. Q 34. En déduire que lim El D [f-PI(A,,) | =0. -->
n--+00 7 ln
A; ,|>A

M042/2021-03-19 10:19:26 Page 5/6 (cc) BY-NC-SA
TIIE --

Q 35. Soit f une fonction continue et bornée de R dans R. Montrer que

2

1 1

lim E | -- À; = -- 4 -- x° dx.

in É DE )] 5 [ra r° dr
--2

IV Loi du demi-cercle, cas général

On revient au cas général. On note 14 la variable aléatoire indicatrice d'un 
événement À.

Pour tout (i, j) EUR (N*)* et pour tout C > 0, on pose

iÿ(C) = VV Ax, ec):

Si 0;,(C) Æ 0, on pose

X;5(C) ne (Xl x,  1, on note M, (C') = (X,,(C)) . Pour tout 
w EUR (, on note

1. Z À,,(w) les valeurs propres de M, (C')(w) rangées dans l'ordre 
décroissant.

Vn nm

On obtient ainsi des variables aléatoires réelles discrètes À ., An sur 
((,.4,P).

1,n° .

Soit f : R -- R une fonction X-lipschitzienne.

Q 41. Montrer que

E Fe Dr] --E F 1)

Q 42. On suppose de plus f bornée. Montrer

1 n -- +00 1
120) > = Jr) 4 -- x? dx.

IV.C -

Q 43. Montrer la loi du demi-cercle dans le cas général.

ee eFINeee

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 MP 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Angèle Niclas (ENS Lyon) ; il a été relu par Tristan
Poullaouec (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à
l'université).

L'objet de ce problème est l'étude de la répartition des valeurs propres des 
matrices symétriques réelles aléatoires de grande taille et la preuve de la loi 
du demicercle. Cette loi affirme que pour toute matrice symétrique réelle 
constituée de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées, 
d'espérance
 nulle et de
variance égale à 1, les valeurs propres normalisées par un facteur 1/ n se 
répartissent suivant un profil en demi-cercle de rayon 2.
Le sujet est composé de quatre parties. Les deux premières sont indépendantes
et s'attachent à montrer des résultats intermédiaires utiles dans les deux 
dernières
parties.
· Dans la partie I, on montre l'inégalité de Hoffman-Wielandt liant l'écart 
entre
les valeurs propres de deux matrices symétriques et la norme de la différence 
des
deux matrices. Pour cela, on est amené à minimiser une fonction sur l'ensemble
des matrices bistochastiques. Cette partie utilise les chapitres sur la 
réduction
des matrices et sur les espaces vectoriels normés.
· La partie II porte sur le dénombrement des mots bien parenthésés pour 
retrouver les nombres de Catalan. Si le début fait appel à quelques techniques
classiques de dénombrement, il faut surtout maîtriser le cours sur les séries
entières.
· Dans la partie suivante, on montre la loi du demi-cercle dans le cas 
simplifié où les variables sont uniformément bornées. On commence par quelques
calculs d'intégrales puis on fait des dénombrements plus complexes que dans
la partie II. Après avoir prouvé la loi du demi-cercle pour les polynômes, on
l'étend aux fonctions bornées. Cette partie est assez longue et demande une
bonne compréhension de la démarche car les questions s'appuient les unes sur
les autres.
· La partie IV étend les résultats de la partie III au cas général. Pour cela, 
on
introduit de nouvelles variables tronquées qui vérifient les hypothèses de la
partie III, et avec les résultats de la partie I on prouve finalement la loi du
demi-cercle dans le cas général.
Ce problème est long, assez difficile pour un sujet de la banque 
Centrale-Supélec
et a dû déconcerter beaucoup de candidats par son originalité. La partie II est 
une
bonne révision sur les séries entières, tandis que les parties II et III 
permettent
de travailler le dénombrement. Le sujet dans sa globalité fait appel à de 
nombreux
chapitres du programme de deuxième année. Pour le réussir, il fallait prendre 
le temps
de comprendre le chemin suivi par l'énoncé pour démontrer la loi du demi-cercle.

Indications
Partie I
2 Appliquer le théorème spectral à A et B, puis utiliser le résultat de la 
question 1.
4 Montrer que Bn (R) est un compact de Mn (R). On pourra utiliser la 
caractérisation séquentielle des fermés puis majorer kMkF pour tout M  Bn (R).
6 Construire la matrice recherchée par récurrence en annulant un par un les 
coefficients mi,j et mj,i pour j  [[ i+1 ; n ]]. Pour cela, on pourra se servir 
de la matrice
définie en question 5.
7 Pour tout M  Bn (R), utiliser la question 6 pour construire par récurrence une
suite de matrices M(k) se rapprochant de In et vérifiant f (M(k) ) 6 f (M).
8 Utiliser le résultat des questions 2 et 3 puis montrer que M = (pi,j 2 
)16i,j6n est
une matrice de Bn (R) pour appliquer le résultat de la question 7.
Partie II
10 Utiliser
d'Abel pour minorer le rayon de convergence de la série enP le lemme
tière
Ck x k .
12 Utiliser le résultat de la question 11 et la formule du produit de Cauchy 
pour
développer (F(x))2 en série entière.
13 Dériver la relation de la question 12 puis raisonner par l'absurde.
14 Utiliser la relation de la question 12 pour reconnaître une équation du 
second
degré en F(x), puis le résultat de la question 13 pour choisir la racine réelle 
à
conserver.
15 Utiliser le développement en série entière de (1 + x) puis lier le produit 
des
nombres impairs au produit des nombres pairs pour faire apparaître les 
factorielles
demandées.
16 Développer en série entière chaque membre du résultat de la question 14 en 
utilisant le développement en série entière de la question 15.
Partie III
17 Remarquer que la fonction intégrée est impaire.

19 Intégrer la fonction x 7 x 4 - x2 et dériver la fonction x 7 x2k+1 pour 
obtenir
une relation liant m2k+2 et m2k .
20 Utiliser le résultat des questions 18 et 19 pour exprimer m2k en fonction de 
k puis
utiliser le résultat des questions 16 et 17.
21 Calculer par récurrence le coefficient (Mn k )i,j pour tout (i, j)  [[ 1 ; n 
]]2 .
23 Appliquer le résultat de la question 22 à ` = (k + 1)/2.
24 Utiliser l'indépendance mutuelle des (Xij )16i6j6n et le fait que E(Xij ) = 
0 pour
tout (i, j)  [[ 1 ; n ]]2 .
25 Remarquer que tout cycle comportant ` sommets comporte au moins ` - 1 arêtes
distinctes.
26 Utiliser le résultat de la question 21 puis séparer la somme entre Ak et Ck 
. Utiliser
le résultat de la question 24 pour traiter la somme sur Ak et le résultat des
questions 23 et 25 pour la somme sur Ck .

28 Étant donné un mot bien parenthésé, remarquer que tout cycle correspondant 
est
associé à une unique liste ordonnée des arêtes distinctes, puis que toute liste 
ordonnée des arêtes distinctes est associée à une unique liste ordonnée des 
sommets
distincts.
29 Réutiliser le raisonnement de la question 26 et séparer les cycles de Bk 
selon leur
nombre de sommets distincts `. Utiliser le résultat de la question 23 si ` < k/2 + 1 et le résultat de la question 28 si ` = k/2 + 1. 30 Utiliser le résultat des questions 20, 26 et 29. 32 Appliquer le résultat des questions 29 et 31 puis le résultat de la question 10 pour estimer Cp+q /Ap+2q quand q  +. 34 Utiliser le résultat des questions 32 et 33. 35 Approcher uniformément sur un intervalle [ -A ; A ] la fonction f par un polynôme, puis utiliser le résultat des questions 30 et 34. Partie IV 36 Utiliser la caractérisation séquentielle de la limite et le caractère sommable de la famille (xP(X = x))xX() . 37 Appliquer le résultat de la question 36 à Xij et (Xij )2 . b ij sont bien 38 Utiliser le résultat de la question 37 pour montrer que les variables X définies. 40 Utiliser le résultat de la question 39 et l'inégalité (a + b)2 6 2a2 + 2b2 pour tout (a, b)  R2 . Conclure en utilisant le résultat de la question 36. 41 S'aider de la concavité de la fonction x 7 x pour faire apparaître la quann P b i,n )2 puis utiliser le résultat de la question 8. tité (i,n - i=1 42 Calculer la limite du résultat de la question 41 à l'aide de la question 40. Montrer b ij vérifient toutes les hypothèses de la partie III à l'aide du ensuite que les X résultat de la question 38 pour ensuite appliquer le résultat de la question 35. 43 Prouver en introduisant une fonction lipschitzienne bien choisie que n 1P E 1|i,n |>3 ---- 0
n
n i=1
Effectuer ensuite un raisonnement similaire à celui de la question 35 en 
remplaçant
le polynôme P par une fonction lipschitzienne qui vaut P sur [ -3 ; 3 ].

Publié dans les Annales des Concours

I. Inégalité de Hoffman-Wielandt
1 Soient M  Mn (R) et (P, Q)  On (R)2 , alors
kPMQkF =
=
=
=
=

p
Tr (PMQ(PMQ)T )
p
Tr (PMQQT MT PT ) ((M1 M2 )T = M2 T M1 T )
p
Tr (PMMT PT )
(QQT = In )
p
Tr (PT PMMT ) (Tr (M1 M2 ) = Tr (M2 M1 ))
p
Tr (MMT )
(PT P = In )

kPMQkF = kMkF
2 La matrice A est réelle et symétrique et le théorème spectral permet 
d'affirmer
qu'elle est diagonalisable dans une base orthonormale. De même, la matrice B est
réelle et symétrique donc diagonalisable dans une autre base orthonormale. 
Ainsi, il
existe (Q, R)  On (R)2 tel que
A = QDA QT

et

B = RDB RT

Remarquons alors que
kA - BkF =
=
=
kA - BkF =

kQDA QT - RDB RT kF
kQ(DA QT - QT RDB RT )kF
kQ(DA QT R - QT RDB )RT kF
kDA QT R - QT RDB kF

(Q-1 = QT )
((RT )-1 = R)
(question 1)

Définissons P = QT R. Comme QT et R appartiennent à On (R), alors P  On (R) et
2

2

Il existe une matrice orthogonale P telle que kA - BkF = kDA P - PDB kF .
3 Posons M = DA P - PDB . En utilisant le résultat de la question 2, on a
2

2

kA - BkF = kMkF = Tr (MMT ) =

n
P

(MMT )i,i =

i=1

n P
n
P

Mi,j (MT )j,i =

i=1 j=1

n P
n
P

Mi,j 2

i=1 j=1

Soit (i, j)  [[ 1 ; n ]]2 , remarquons que
Mi,j = (DA P - PDB )i,j =

n
P

[(DA )i,k pk,j - pi,k (DB )k,j ]

k=1

Les matrices DA et DB sont diagonales : pour tout (r, s)  [[ 1 ; n ]]2 avec r 
6= s
alors (DA )r,s = (DB )r,s = 0. En particulier,
Mi,j = (DA )i,i pi,j - pi,j (DB )j,j = (i (A) - j (B))pi,j
On conclut que

2

kA - BkF =

P

pi,j 2 (i (A) - j (B))2

16i,j6n