Centrale Maths 1 MP 2020

Thème de l'épreuve Fonctions arithmétiques multiplicatives et applications
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, arithmétique, séries de fonctions, séries numériques, groupe symétrique
Mots clefs indicatrice d'Euler, fonction de Moebius, séries de Dirichlet, déterminant de Smith, endomorphismes de permutation, matrice de Redheffer

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Mathématiques 1

T

MP
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 4 heures Caleulatrice autorisés (CN

(=
(a
(=

Fonctions arithmétiques multiplicatives et applications

La première partie établit des résultats utiles dans les parties suivantes, qui 
sont indépendantes entre elles.
Notations

On note |x]| la partie entière du nombre réel x, c'est-à-dire le plus grand 
nombre entier inférieur ou égal à x.
On note P l'ensemble des nombres premiers.

On note m A n le plus grand commun diviseur (pgcd) des entiers naturels m et n.

Si a et b sont deux nombres entiers relatifs, on note [a,b] ={keZ|a = > la somme

din deD,,
sur tous les nombres entiers naturels d divisant n.

Une fonction arithmétique est une fonction f : N* -- C. L'ensemble des 
fonctions arithmétiques est noté A.
On dit qu'une fonction arithmétique f EUR À est multiplicative si

". #0,
V(m,n) EUR (NW)? mAn=1 -- f(mn) = f(mj)f(n).

On note M l'ensemble des fonctions arithmétiques multiplicatives.
On note 1, 6 et I les fonctions arithmétiques

NC NY -- C

ô : { sin=l pue
nhl nh

nRhRn

1:

0 sin >2

On remarque que ces trois fonctions arithmétiques sont multiplicatives.

Si f et g sont deux fonctions arithmétiques, le produit de convolution de f et 
g est la fonction arithmétique notée
f + g définie par

Vnen, (f+g)(n)= > fa).

din

TI Quelques résultats utiles

I.A -- Propriétés générales de la loi *
Q 1. Vérifier que 6 est un élément neutre pour la loi x.
Pour tout n EUR N*, on note ©, = {(d,,d2) EUR (N*)? | did = n}.
Q 2. Justifier que, pour tout n EUR N*,
(fxg)(n)= D, f(d)g(d).

(di,do)EC y
Q 35. En déduire que * est commutative.
Q 4. De même, en exploitant l'ensemble ©! = {(d,,d,,d3) EUR (N*)Y | didyd3 = 
n}, montrer que * est
associative.
Q 5. Que peut-on dire de (A, +, x) ?

2020-05-18 09:39:12 Page 1/5 CHELLES
I.B --- Groupe des fonctions multiplicatives

Q 6. Soient f et g deux fonctions multiplicatives. Montrer que si
VpeP, VkREN*, f(p*) = g(p),

alors f = g.
Q 7. Soient m et n deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Montrer 
que l'application

- D,xD, --D,,
'| (d,d:)R did,

est bien définie et réalise une bijection entre D,, x 2D,, et D.
Q 8. En déduire que si f et g sont deux fonctions multiplicatives, alors f x g 
est encore multiplicative.

Q 9. Soit f une fonction multiplicative. Montrer qu'il existe une fonction 
multiplicative g telle que, pour
tout p EUR P et tout k EUR N*,

g(p°) = -- >; f{p')gtp")

k
1

et qu'elle vérifie f x g = à.
Q 10. Que dire de l'ensemble M muni de la loi * ?

IC --- La fonction de Môbius

Soit 4 la fonction arithmétique définie par

L sin = I
in) = { (--1)" si n est le produit de r nombres premiers distincts
Û sinon

Q 11. Montrer que est multiplicative.
Q 12. Montrer que y x 1 -- 6.

Q 13. Soit f EUR À, ct soit F EUR À telle que, pour tout n EUR N*, F(n) -- > 
f(d). Montrer que, pour tout n EUR N*,
din

fn) = Eu@r(=). (1)

din
On note 4 la fonction indicatrice d''Euler, définie par :

Vne N*, win)=card{ke fin] |kAn=1}.
Q 14.  Démontrer que =uxl.

LD ---  Déterminant de Smith

Soient f une fonction arithmétique, n EUR N* et g = f x y. On note M = (m;;) la 
matrice de M,,(C) de terme
général m;,; -- f(i A j). On définit aussi la matrice des diviseurs D -- (d;;) 
par :

d..-- 1 si j divise ?,
7 | O0 sinon.
g(j) si j divise 1,

Soit M" la matrice de terme général m°. -- {
tJ 0 sinon.

Q 15. Montrer que M = M'D', où D' est la transposée de D.
Q 16. En déduire que le déterminant de M vaut

det M = [I g(k). (1.2)
k=1

2020-05-18 09:39:12 Page 2/5 FO) 8y-Nc-sA
LE -- Séries de Dirichlet

Soit f une fonction arithmétique. On définit, pour tout réel s tel que la série 
converge,

L ;(s) D

k=1

On appelle abscisse de convergence de L;

converge absolument }.

f(k)
ks

A,(f) = inf{s EUR R | la série > ro

On convient que À,(f) = + s'il n'existe pas de réel s tel que la série > 
converge absolument.

f(x)
k£s

Q 18. Soient f et g deux fonctions arithmétiques d'abscisses de convergence 
finies. Montrer que si, pour tout
s > max(A,(f), À,(9)), L,(s) = L,(s), alors f = g.
Q 19. Soient f et g deux fonctions multiplicatives d'abscisses de convergence 
finies. Montrer que, pour tout

s > max(A,(f), A,(g)),

Q 17. Montrer que si s > A,(f), alors la série > converge absolument.

L'ts) = L}(s)L,(s). (L.3)

IT Matrices et endomorphismes de permutation

Dans cette partie n est un entier naturel non nul.
On note G,, le groupe des permutations de [1,n]. On notera la composition des 
permutations de manière
multiplicative ; par exemple, si y et a sont deux permutations de G,,, y*o* = 
yoyoyoo0a.

On dit que deux permutations © et 7 de G,, sont conjuguées s'il existe une 
permutation p EUR G,, telle que

nm

T=pop |.
Pour £ EUR ]2,n], on rappelle que, dans G,,, un cycle de longueur £ est une 
permutation 7 EUR G,, pour laquelle il
existe £ éléments deux à deux distincts a;,..,a, de [1,n] tels que
x six É {a1,..., ay},
fx) = < à; sit=a; pour i<£--I1, @] Si X = Qy. L'ensemble Supp(y) = {a,,.....,a,} est appelé support du cycle 7 et on note + = (a, as + ay). On rappelle le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration. Toute permutation o EUR G,, se décompose de manière unique (à l'ordre des facteurs près) en produit de cycles y,,...,7, à supports disjoints : o = 7,7, À toute permutation o EUR G,,, on associe la matrice de permutation P, -- (a;;) EUR M, (C) où 1 sii= o(j). ci = À (3) Ô sinon. IT. À --- Similitude de deux matrices de permutation L'objectif de cette sous-partie est de démontrer la propriété (S) suivante. Les matrices de permutations P,. et PF: sont semblables si et seulement si les permutations o et T7 sont conjuguées. Q 20. Pour toutes permutations p, p" EUR G,,, montrer que Pop = P,P,. En déduire que, pour toutes permu- tations ©, T EUR G,,, si o et 7 sont conjuguées alors PF et P_ sont semblables. Q 21. On considère, dans cette question uniquement, n = 7 et les cycles 7, = (1 3 7) et y = (2 6 4). On considère également une permutation p EUR G, telle que p(1) = 2, p(3) = 6 et p(7) = 4. Vérifier que py1p | = Yo. Q 22. Plus généralement, montrer que, dans G,,, deux cycles de même longueur sont conjugués. Pour o EUR 6, et {EUR [2,n], on note c;(o) le nombre de cycles de longueur £ dans la décomposition de © en cycles à supports disjoints. On note c,(o) le nombre de points fixes de o : (0) = Card{j EUR [ln], o(j) = j}. Q 23. Montrer que o EUR 6, ct Tr EUR G,, sont conjugués si et seulement si, pour tout £ EUR [1,n], cy(o) = cy(T). La matrice-ligne T}, = (c,(o) c(o) ... c,(o)) s'appelle le type cyclique de o. On vient donc de démontrer que deux permutations sont conjuguées si et seulement si elles ont le même type cyclique. 2020-05-18 09:39:12 Page 3/5 FO) 8y-Nc-sA Pour tout o EUR G6,,, on note x, le polynôme caractéristique de la matrice P, : X,(X) = det(X1,, -- P.). Q 24. Soit {e [2,n] et soit y EUR G, un cycle de longueur £. Montrer que x,(X) = X°-- 1. On pourra se ramener au cas y = (1 2 -.. {) et considérer la matrice D ... ... ... 0 1 Î 0 0 ES SE EE 7 0) 1 0 0 0 OU 1 0 nm Q 25. Montrer que si o EUR G,,, alors x, (X) = I [tx -- 1)ce(0), £=1 On pourra justifier que P.. est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs sont des matrices de la forme l', (£ > 1), où l', est définie ci-dessus si £ > 2 et où L', = (1) 
si £ = 1.
Q 26. En raisonnant sur la multiplicité des racines de x,, et de x,, montrer 
que si PF, et P: sont semblables,
alors, pour tout q EUR [1,nl,

(On somme sur les valeurs de { multiples de q et appartenant à ]1,n].)
Q 27. En déduire la propriété (S).
On pourra calculer 7°.D où T°, est le type cyclique de o et D est la matrice 
des diviseurs définies au 1.D.

ITI.B --- Endomorphismes de permutation

Dans cette sous-partie, Æ est un C-espace vectoriel de dimension n > 1. On dit 
qu'un endomorphisme u de Æ
est un endomorphisme de permutation s'il existe une base (e,,...,e,) de E et 
une permutation © EUR G,, telles
que u(e;) = e,ç; pour tout j EUR [1, nl].

On note Id, l'identité de E.

On note Tr(u) la trace d'un endomorphisme « de E et Y,, son polynôme 
caractéristique.

Q 28. Montrer que u est un endomorphisme de permutation si et seulement s'il 
existe une base dans laquelle
sa matrice est une matrice de permutation.

Q 29. Soit u un endomorphisme de permutation de Æ. Montrer que u est 
diagonalisable et que sa trace
appartient à [0,n].

Q 30. Soient À, B deux matrices diagonalisables de M,,(C). Montrer que À et B 
sont semblables si et
seulement si elles ont même polynôme caractéristique.

Q 31. Soit u un endomorphisme de E tel que u° = Id. Montrer que u est un 
endomorphisme de permutation
si et seulement si Tr(u) est un entier naturel.

Q 32. Étudier si l'équivalence de la question précédente subsiste lorsqu'on 
remplace l'hypothèse u? = Id
par u° = Id; pour k = 3, puis pour k = 4.
Q 33. Soit u un endomorphisme de Æ. Montrer que u est un endomorphisme de 
permutation si et seulement

s'il vérifie les deux conditions suivantes :
nm

(a) il existe des entiers naturels c,,...,c, tels que x, = I [tx -- 1):
£=1
(b) il existe N tel que uY = Id;..
Q 34. Soient u et v deux endomorphismes de E tels que, pour tout k EUR N, 
Tr(u*) = Tr(v"). Montrer que u
et v ont même polynôme caractéristique.

Q 35. Soit u un endomorphisme diagonalisable de E. Montrer que u est un 
endomorphisme de permutation

si et seulement s'il existe des entiers naturels EUR,,...,c, tels que, pour 
tout kEUR N,
TL
Tr(u*) = D lcy.
{=1
£lk

(On somme sur les valeurs de £ divisant k et appartenant à [1,n].)

2020-05-18 09:39:12 Page 4/5 FO) 8y-Nc-sA
III Valeurs propres de la matrice de Redheffer
On définit la matrice de Redheffer par H,, = (h;;)G peqing2 Où

1 sij--l,
h;; = 4 1 sit divise jet j #1,

Ü sinon.

On définit également la fonction de Mertens M, en posant, pour tout n EUR N*, 
M{n) -- D _u(k) où u est la
k=1
fonction de Môbius définie au I.C.

Q 36. Soient À,, -- (a;;)(; jepi,ng2 la matrice de terme général

a(3) sii=l,
dij -- I Si 1 -- 1;
0 sinon

et C, = A,,H,,. En calculant les cocfficients de C,,, montrer que det 4H, = Mn).

Pour le calcul du terme d'indice (4, j) de C',, on pourra distinguer le cas à = 
j = 1, le cas à > 1, j = 1 et
le cas à > 1, 3 > 1.

On note %x,, le polynôme caractéristique de Æ,,, de sorte que x, (À) = det(AZ,, 
-- H,,) pour tout réel À.

Pour À réel distinct de 1, on définit par récurrence la fonction arithmétique 
b, en posant b(1) = 1 et, pour tout
entier naturel 7 > 2,

b(j) = =] 2, 0)

On définit également la matrice B,,(À) = (b;;)(; ne n2 de terme général

b(5) Si? = I,
0 sinon.

Q 37. En calculant le produit B, (A)(AL, -- H,,), montrer que

nm

Xn (A) = (1) -- (A DT D (5).

j--2

1
Dans toute la suite du problème, on suppose que À est un réel distinct de 1 et 
on pose w = ----.

À--1
On pose de plus f = (1 +w)ô -- w1.
Q 38. Montrer que f x b -- 6.
Q 39. En utilisant les notations des séries de Dirichlet données dans la 
sous-partie LE, exprimer, pour des
valeurs du réel s à préciser, L£(s) en fonction de w et L.(s).

]
On note log, la fonction logarithme en base 2, définie par log, (x) -- Me pour 
tout réel x > 0.
n
Q 40. Montrer que, pour s réel suffisamment grand,
l co og, m|
= 1 + m _* w D,(m)
Het 2" À

où D,(m) est le nombre de manières de décomposer l'entier m en un produit de k 
facteurs supérieurs ou égaux
à 2, l'ordre de ces facteurs étant important.

nm
Q 41. Pour n > 1, on pose S,(n) -- > D,(m). Déduire de la question précédente 
que
m--2

Log, n|

Xn(A) = (1-1) 0 (A1) IS, (n).

k=1
Q 42. Montrer enfin que À, possède 1 comme valeur propre et que sa multiplicité 
est exactement

n-- [log,n] -- 1.

ee erFINee.e

2020-05-18 09:39:12 Page 5/5 FO) 8y-Nc-sA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 MP 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thierry Limoges (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Matthias Moreno Ray (professeur en CPGE) et Vincent Puyhaubert (professeur
en CPGE).

Ce sujet d'algèbre est constitué de deux problèmes indépendants. Le premier
traite des fonctions arithmétiques multiplicatives et de leurs applications 
(parties I
et III) ; le second porte sur les endomorphismes de permutation (partie II).
· Dans la première partie, on établit des résultats généraux à propos d'une loi
de composition interne  sur l'ensemble A des fonctions arithmétiques. Quatre
applications suivent, sur la fonction de Möbius µ, la fonction indicatrice 
d'Euler , le déterminant de Smith et les séries de Dirichlet. Cette dernière 
est la
seule qui utilise des outils d'analyse.
· La deuxième partie étudie les endomorphismes de permutation. On commence
par des propriétés sur les bijections de [[ 1 ; n ]] qui prolongent celles du 
cours et
on obtient une condition nécessaire et suffisante pour que deux permutations
soient conjuguées. On applique ensuite ces résultats aux endomorphismes de
permutation, ce qui permet de les caractériser par les traces de leurs 
puissances
successives parmi les endomorphismes diagonalisables.
· Enfin, on s'intéresse à la matrice de Redheffer, dont on montre que 1 est 
valeur propre avec une multiplicité connue en fonction de sa taille. Il s'agit 
d'un
résultat récent (1977).
Ce sujet de 42 questions est long et technique, hormis quelques questions 
proches
du cours. Il permet d'approfondir certains chapitres de seconde année. On 
utilise
les structures algébriques, notamment le groupe symétrique, les déterminants, la
réduction des endomorphismes et, dans une moindre mesure, les séries numériques.
À l'exception des questions 14, 18 et 19, la première partie est faisable en 
MPSI et
constitue un entraînement sur les sommes doubles, l'arithmétique et les 
structures
algébriques. La partie II.A peut également être abordée en MPSI.

Indications
Partie I
1 Calculer   g et g   pour g  A.
2 Établir une bijection entre Cn et Dn .
3 Montrer puis utiliser que l'application suivante est involutive :
(
Cn - Cn
:
(d1 , d2 ) 7- (d2 , d1 )
4 Prendre la réunion des Cn/d3 pour d3 |n.
5 Montrer que (A, +, ) est un anneau commutatif.
6 Montrer que f (n) = g(n) pour tout n  N par récurrence sur le nombre de
facteurs premiers distincts de n.
7 Pour l'injectivité, utiliser le lemme de Gauss. Pour la surjectivité, 
vérifier que
si d|nm, alors (d1 , d/d1 ) où d1 = pgcd (d, n) est son antécédent par .
8 Transformer la somme à l'aide de la question 7.
9 Définir g d'abord sur les pk avec p premier par récurrence sur k, puis sur N .
Enfin, calculer f  g.
10 Montrer que (M, ) est un groupe abélien.
11 Revenir à la définition et utiliser la décomposition d'un entier en produit 
de
facteurs premiers.
12 Utiliser les questions 8 et 6.
13 Utiliser les questions 12 et 1.
P
14 Montrer que n = (d) pour tout n  N .
d|n

15 Après le calcul d'un coefficient de M0 DT avec la formule sommatoire, 
utiliser une
caractérisation du pgcd.
16 Remarquer que M0 et D sont triangulaires.
17 Majorer le module du terme général de la série.
18 Raisonner par contraposition, considérer
k0 = min {k  N | f (k) 6= g(k)}

et

(Lf (s) - Lg (s)) k0 s

puis faire tendre s vers + en justifiant proprement le passage à la limite.
19 Utiliser une sommation par paquets. L'hypothèse de multiplicativité n'est pas
nécessaire.
Partie II
22 Utiliser un élément de Sn qui envoie le support de 1 sur celui de 2 .
23 Généraliser la construction de la question précédente à deux composées de 
plusieurs cycles de longueurs deux à deux correspondantes.
24 Remarquer que tout cycle de longueur ` est conjugué avec le cycle (1 2 · · · 
`) puis
développer le déterminant du polynôme caractéristique par rapport à la première
ligne.

25 Montrer que  est conjuguée à une permutation de la forme

 = 1 · · · `1 (`1 + 1) · · · (`1 + `2 ) · · · (`1 + · · · + `n-1 + 1) · · · (`1 
+ · · · + `n )
où les `i sont à préciser.
26 Étudier la multiplicité de la racine z = e 2i/q de  .
29 Utiliser la même réduction par blocs qu'à la question 25.
31 Trouver une matrice de permutation ayant même polynôme caractéristique que u.
32 Pour l'implication réciproque, diagonaliser u puis obtenir des conditions 
sur la
dimension des sous-espaces propres à l'aide de la trace.
Dans le cas k = 3, montrer que l'équivalence subsiste en s'inspirant de la 
question 31. Dans le cas k = 4, trouver un contre-exemple.
33 Pour l'implication directe, utiliser que Sn est un groupe fini.
Pour l'implication réciproque, considérer  de type cyclique (c1 , . . . , cn ) 
en précisant pourquoi elle existe.
34 Introduire la réunion des valeurs propres de u et v puis utiliser le 
déterminant de
Vandermonde sur un système défini par les Tr (uk ) = Tr (v k ).
35 Calculer Tr (uk ) dans le cas où la matrice de u est de la forme ` .
Partie III
36 Dans le calcul des coefficients de Cn , considérer aussi le cas i = 1, j > 
1. Développer le déterminant de Cn par rapport à la première ligne.
37 Calculer Bn ()Hn en distinguant différents cas comme dans la question 36, 
puis
développer le déterminant det(Bn ()(In - Hn )) par rapport à la première ligne.
38 Calculer b  1.
40 Établir une relation de récurrence vérifiée par les Dk (m) puis en déduire 
que,
blog2 (m)c

m > 2
Enfin, utiliser la question 19.

b(m) =

X

wk Dk (m)

k=1

41 Utiliser la formule de l'indication de la question 40 ci-dessus et la 
question 37,
puis intervertir les deux sommes.
42 Commencer par traiter les cas n = 1 et n = 2.
Pour n > 3, remarquer qu'on peut factoriser n sous la forme
n () = ( - 1)n-blog2 (n)c-1 Q()

avec

Q(1) 6= 0

Publié dans les Annales des Concours

I. Quelques résultats utiles
1 Soit g  A. D'une part, si d > 2, alors (d) = 0. Donc, pour tout n  N ,
(  g)(n) = (1)g(n) = g(n)
Ainsi   g = g. D'autre part, pour tout n  N , si d|n et d < n, alors n/d > 2,
donc (n/d) = 0. D'où
(g  )(n) = g(n)(1) = g(n)
Ainsi g   = g. En conclusion,
La fonction  est un élément neutre pour .
(
:

2 L'application

:

- Dn

est une bijection

(d1 , d2 ) 7- d1
(

de réciproque

Cn

Dn - Cn
d 7- (d, n/d)

Ainsi, pour tout n  N ,
(f  g)(n) =

X
dDn

soit

n  N

f (d)g

n
d

(f  g)(n) =

X

=

f (d1 )g(d2 )

(d1 ,d2 )Cn

X

f (d1 )g(d2 )

(d1 ,d2 )Cn

3 Remarquons que pour tout (d1 , d2 )  Cn , on a (d2 , d1 )  Cn et 
réciproquement.
Aussi, l'application
(
Cn - Cn
:
(d1 , d2 ) 7- (d2 , d1 )
est une bijection involutive de Cn . Ainsi, pour tout n  N ,
X
X
(f  g)(n) =
f (d1 )g(d2 ) =
f (d1 )g(d2 ) =
(d1 ,d2 )Cn

(d2 ,d1 )Cn

X

g(d2 )f (d1 )

(d2 ,d1 )Cn

par commutativité du produit dans C. Les variables d1 et d2 étant muettes,
(f  g)(n) = (g  f )(n)
en appliquant le résultat de la question 2 dans lequel on a échangé les rôles 
de f et g.
D'où f  g = g  f et par suite
La loi  est commutative.