Centrale Maths 1 MP 2019

Thème de l'épreuve Matrices compagnons, endomorphismes cycliques et décomposition de Frobenius
Principaux outils utilisés matrices, algèbre linéaire, réduction, polynômes, espaces euclidiens
Mots clefs endomorphismes cycliques, matrices compagnons, théorème de Cayley-Hamilton, décomposition de Frobenius, endomorphisme orthocyclique

Corrigé

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 Centrale Maths 1 MP 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Corentin Fierobe (ENS Lyon) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université). Ce sujet d'algèbre linéaire propose d'étudier une certaine classe d'endomorphismes, les endomorphismes cycliques, ainsi que leurs équivalents matriciels, les très classiques matrices compagnons. Les questions autour de ces objets visent notamment à redémontrer certains résultats puissants, comme le théorème de Cayley-Hamilton ou la décomposition de Frobenius d'un espace vectoriel associée à un endomorphisme. Elles nécessitent des connaissances solides en algèbre linéaire, notamment sur la réduction et sur les polynômes d'endomorphismes. · La partie I analyse les liens entre endomorphismes cycliques et matrices compagnons, présentant au passage des propriétés sur leurs polynômes minimaux et caractéristiques. Elle fait redémontrer le théorème de Cayley-Hamilton en utilisant ces objets. · La partie II complète les résultats de la partie I afin d'obtenir une condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme quelconque soit cyclique : lorsque E est un C-espace vectoriel, f L (E) est cyclique si et seulement si la famille (Id , f, . . . , f n-1 ) est libre, où n est la dimension de l'espace E. · La partie III propose une démonstration du théorème de décomposition de Frobenius d'un espace associée à un endomorphisme : pour un endomorphisme noté f , il existe des sous-espaces vectoriels E1 , . . . , Er de E stables par f , tels que ­ E = E1 · · · Er ; ­ f induit sur chaque Ei un endomorphisme cyclique ; ­ le polynôme minimal de f sur Ei+1 divise celui de f sur Ei . On s'en sert pour montrer des propriétés sur le commutant d'un endomorphisme en lien avec le caractère cyclique de celui-ci. · La partie IV étudie les endomorphismes orthocycliques, un cas particulier d'endomorphisme cyclique sur un espace euclidien. La principale difficulté de ce sujet réside dans sa longueur. De nombreuses questions sont très classiques et devaient être résolues rapidement afin de se concentrer sur les quelques questions plus délicates. Indications Partie I 1 Comparer M et t M . 3 On pourra faire une opération élémentaire judicieuse sur la première ligne, ou développer par rapport à la dernière colonne. t t 4 Pour un vecteur X, calculer CQ X. Si, de plus, X est un vecteur propre de CQ pour la valeur propre , montrer qu'il est lié au vecteur (i )06i6n-1 . 5 Pour le sens direct, décomposer f (en ) dans la base B. 6 Si f est diagonalisable, considérer la décomposition en sous-espaces propres de la matrice t CQ , où CQ est une matrice compagnon représentant f . 7 Remarquer que si Q est un polynôme de degré d tel que Q(f ) = 0, alors la famille (Id , f, . . . , f d-1 ) est liée. 8 Considérer le plus grand entier p tel que la famille (x, f (x), . . . , f p-1 (x)) est libre, en justifiant son existence. 10 Utiliser les résultats des questions 8, 9 et 3. 11 Montrer que f (f )(x) = 0 pour tout vecteur x non nul de E. Partie II 12 Montrer que si x0 est tel que f n-1 (x0 ) 6= 0, alors la famille (x0 , . . . , f n-1 (x0 )) est libre. 13 Utiliser le lemme des noyaux. 16 On pourra utiliser la question 12 pour montrer que k 6 mk pour tout k. Raisonner ensuite par l'absurde en supposant qu'il existe un k tel que k < mk pour trouver un polynôme non nul de degré < n qui annule f . 17 Prouver que k = dim Fk pour tout k. 18 Utiliser le fait que u1 F1 , . . . , um1 +···+mp-1 +1 Fp , que F1 , . . . , Fp sont stables par f , et la décomposition E = F1 · · · Fp . Partie III 22 On pourra montrer que g = n-1 P k f k . k=0 24 Vérifier que, sans perte de généralité, on peut supposer qu'il existe un vecteur x1 F1 r j6=1 Fj , et un vecteur x2 F2 r j6=2 Fj , puis considérer les vecteurs x1 + tx2 pour t R. 25 Vérifier que xEr{0} Ker f,x = E et que cette réunion est en fait finie. 29 Pour x E1 , relier (x) aux coordonnées de x dans une base de E1 à déterminer. 30 Montrer que F = Ker et appliquer le théorème du rang. 31 Envisager une récurrence sur la dimension de E. 32 Utiliser le résultat de la question 31 pour exhiber une famille libre de cardinal n d'endomorphismes qui commutent avec f . 33 Étudier la dimension de ces deux espaces. Partie IV 34 Utiliser le théorème de réduction des isométries. 35 Si CQ est une matrice compagnon représentant f dans une base orthonormale, ses colonnes sont orthonormées pour le produit scalaire canonique. 36 Pour cette question classique, on pourra d'abord montrer que f se triangularise dans une certaine base, puis utiliser Gram-Schmidt. 37 Pour le sens indirect, on pourra essayer d'adapter la base trouvée à la question 36, afin de transformer la matrice triangulaire correspondante en une matrice de la forme 0 ··· ··· ··· 0 .. 1 . . . . .. . . .. 0 . . . . . . . . . . . . . ... .. 0 ··· 0 1 0 I. Matrices compagnons et endomorphismes cycliques 1 On constate que par symétrie de XIn et linéarité de la transposée t t t t XIn - M = ( XIn ) - M = ( XIn - M) t Ainsi, t M = det ( XIn - M) Comme le déterminant d'une matrice est le même que celui de sa transposée t M = det t ( XIn - M) = det(XIn - M) = M En particulier les polynômes t M et M ont les mêmes racines. Or les valeurs propres d'une matrice sont les racines de son polynôme caractéristique. Ainsi, Les matrices M et t M ont le même spectre. t 2 Prouvons d'abord que pour toute matrice A Mn (K) diagonalisable, A est t aussi diagonalisable. Il suffira alors d'appliquer le résultat à A = M, puis à A = M t t en utilisant le fait que ( M) = M, pour obtenir l'équivalence voulue. Soit A Mn (K) diagonalisable. Il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = P-1 DP. En transposant cette égalité, on obtient t t t t t A = ( P-1 DP) = P D ( P-1 ) t t Or la matrice Q = ( P-1 ) est inversible, d'inverse Q-1 = P. Puisque D est diagot nale, D = D et ainsi t t A = Q-1 D Q = Q-1 DQ t Ceci permet de conclure que A est diagonalisable. Compte tenu de la remarque initiale, t La matrice M est diagonalisable si et seulement si M est diagonalisable. 3 On peut écrire X -1 det(XIn - CQ ) = 0 .. . .. . 0 0 X ··· 0 .. . -1 .. .. . . ··· ··· .. . 0 0 .. . .. . a0 a1 a2 .. . .. ··· . -1 X an-2 · · · 0 -1 X + an-1 On effectue alors l'opération suivante sur la première ligne L1 L1 + XL2 + X2 L3 + . . . + Xn-1 Ln de sorte que le déterminant devient 0 -1 det(XIn - CQ ) = 0 .. . .. . 0 0 X ··· ··· . -1 . . .. .. . . ··· ··· .. . 0 0 .. . .. . Q(X) a1 .. ··· a2 .. . . -1 X an-2 · · · 0 -1 X + an-1