Centrale Maths 1 MP 2019

Mathémati 1 OO
4 heures Calculatrice autorisée ON

Notations et définitions

Dans tout le problème, K désigne R ou EUR, N désigne l'ensemble des entiers 
naturels et n est un entier naturel.

On note K,,[X] le sous-espace vectoriel de K[X] des polynômes de degré 
inférieur ou égal à n à coefficients dans

Ket, pour n > 1, M,(K) la K-algèbre des matrices carrées de taille n à 
coefficients dans K. La matrice unité est

notée I, et on désigne par GL, (K) le groupe des matrices inversibles de M, (K).

Pour toute matrice À de M,(K), on note AT la transposée de la matrice À, rg(A) 
son rang, tr(A) sa trace,

Xx4 = det(X1, -- À) son polynôme caractéristique, r4 son polynôme minimal et 
sp(A) l'ensemble de ses valeurs

propres dans K.

Dans tout le problème, E désigne un espace vectoriel sur le corps K de 
dimension finie n supérieure ou égale à 2,
et Z(E) est l'algèbre des endomorphismes de E. On note f un endomorphisme de E.

On note f =Idy et VKkEN, fit = fo f.

Si Q EUR K[X] avec Q(X) = ay + a X ++ a, X", Q(f) désigne l'endomorphisme a,Idg 
+ a, f +-+a,f". On
note K[f] la sous-algèbre commutative de £(E) constituée des endomorphismes 
Q(f) quand Q décrit K[X].

De même, on utilise les notations suivantes, similaires à celles des matrices, 
pour un endomorphisme f de E:

re(f), tr(f), Xp pet sp(f).

Enfin, on dit que f est cyclique si et seulement s'il existe un vecteur x, dans 
E tel que (x9, f(&0),...., f"(xo))
soit une base de E.

I Matrices compagnons et endomorphismes cycliques
LA- SoitMeM,(K).

Q 1. Montrer que M et MT ont même spectre.

Q 2. Montrer que M! est diagonalisable si et seulement si M est diagonalisable.
I.B ---  Matrices compagnons

Q 3. Soit (ap, a1, ...,an_1) EUR K" et Q(X) = X"+a,_, X"71 +. + a. On considère 
la matrice

O ...... 0 --«
1 0 0 --a
0 1 --a
Ca -- . ! ë ?
1 0 --a,
0 0 1 --a

Déterminer en fonction de Q le polynôme caractéristique de Co.

Q 4. Soit À une valeur propre de Ca: Déterminer la dimension et une base du 
sous-espace propre associé.
IC -  Endomorphismes cycliques
Q 5. Montrer que f est cyclique si et seulement s'il existe une base 8 de E 
dans laquelle la matrice de f

est de la forme C,, où Q est un polynôme unitaire de degré n.

2019-03-22 08:39:04 Page 1/4 CHELLES
Q 6. Soit f un endomorphisme cyclique. Montrer que f est diagonalisable si et 
seulement si x, est scindé
sur K et a toutes ses racines simples.

Q 7. Montrer que si f est cyclique, alors (Id, f, f*,...., f"1) est libre dans 
£(E) et le polynôme minimal de
jf est de degré n.

I.D --- Application à une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton

Q 8. Soit x un vecteur non nul de Æ. Montrer qu'il existe un entier p 
strictement positif tel que la famille
(x, f(x), f(x), ..., f(x) soit libre et qu'il existe (ap, a1,.....,@,_ 1) EUR 
KP tel que:

apr + f(x) ++, f(x) + f(x) = 0.
Q 9. Justifier que Vect(x, f(x), f*(x),..., fP-l(x)) est stable par f.
Q 10. Montrer que : À? + Qi XP +. + a divise le polynôme \;.

Q 11.  Démontrer que x,(f) est l'endomorphisme nul.

II Étude des endomorphismes cycliques

IT. À --- Endomorphismes cycliques nilpotents

Dans cette sous-partie, on suppose que f est un endomorphisme nilpotent de Æ. 
On note r le plus petit entier
naturel tel que f" = 0.

Q 12. Montrer que f est cyclique si et seulement si r = n. Préciser alors la 
matrice compagnon.

II. B --- Dans cette sous-partie IL.B, on suppose que K = C.
On suppose que (Id, f, f*,....., f"" 1) est libre et on se propose de montrer 
que f est cyclique.

On factorise le polynôme caractéristique de f sous la forme

P

xF(X) = [TX -- 2)"
k=I

où les À, sont les p valeurs propres deux à deux distinctes de f et les m, de 
N° leurs ordres de multiplicité
respectifs.

Pour k EUR [1,p], on pose F, = ker((f -- A,ldp)"#).
Q 13. Montrer que les sous-espaces vectoriels F; sont stables par f et que EF 
@..@ Fr,
Pour k EUR ]1,p], on note &, l'endomorphisme induit par f -- À,Id sur le 
sous-espace vectoriel F7,

. Ex -- À},
PK: x f(x) -- Art.

Q 14.  Justifier que w, est un endomorphisme nilpotent de F7.
On note v, le plus petit entier naturel tel que pi = (.
Q 15. Pourquoi a-t-on r, < dim(F,) ? Q 16. Montrer, avec l'hypothèse proposée, que pour tout k EUR ]1,p], on a v, = my. 2019-03-22 08:39:04 Page 2/4 (Cc)EATET: Q 17.  Expliciter la dimension de F, pour k EUR [1,p], puis en déduire l'existence d'une base B = (u,,.....,u,) de Æ dans laquelle f a une matrice diagonale par blocs, ces blocs appartenant à M m,(C) et étant de la forme Ag OÙ + 0 1 À4 .. : O 1 À, X 0 0 0 1 À, On pose 26 = u + Us + + Um tm, 41e Q 18. Déterminer les polynômes Q EUR C[X\ tels que Q(f)(xo) = 0. Q 19.  Justifier que j est cyclique. III Endomorphismes commutants, décomposition de Frobenius On appelle commutant de f l'ensemble C(f) = {g EUR £L(E) | feog=gef}. Q 20. Montrer que C{(f) est une sous-algèbre de Z(E). TIIT.ÀA --- Commutant d'un endomorphisme cyclique On suppose que f est cyclique et on choisit un vecteur x, dans Æ tel que (x, f(xo), .... f(x) est une base de EE, Soit g EUR C(f), un endomorphisme qui commute avec f! Q 21. Justifer l'existence de À,, À,, ...., À,_, de K tels que n--1 g(o) -- > XF" (to).
k=0

Q 22. Montrer alors que g E K[f|.
Q 23. Établir que g EUR C(f) si et seulement s'il existe un polynôme R EUR 
K,,_,[X] tel que g = R(f).
ITI.B --- Décomposition de Frobenius

On se propose de démontrer le théorème de décomposition de Frobenius : toute 
matrice est semblable à une
matrice diagonale par blocs, ces blocs étant des matrices compagnons.

Q 24. Montrer que si la réunion d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels 
F,...,F,. de Æ est un sous-espace
vectoriel, alors l'un des sous-espaces vectoriels F; contient tous les autres.

On note d le degré de 7}.
Q 25.  Justifier l'existence d'un vecteur x, de E tel que (x,, f(x,),....., 
fl{(x,)) est libre.

Pour tout x non nul de Æ, on pourra remarquer que 1, = {P EUR K|X) | P(f)(x) = 
0} est un idéal de K|X]
engendré par un polynôme unitaire T;, diviseur de 7 ; et considérer les 
sous-espaces vectoriels ker(r;,(f)).

On pose e, = 21, e9 = f(x), ..., ey = f(x) et E, = Vect(e,,e,,.....,ey).
Q 26. Montrer que E, est stable par f et que E, = {P(f)(x,) | PE KIXÏ}.

On note w, l'endomorphisme induit par f sur le sous-espace vectoriel E,

E, -- E,,
Mile fr).

2019-03-22 08:39:04 Page 3/4 (Cc)EATE:
Q 27. Justifier que Y., est cyclique.

On complète, si nécessaire, (e,,e,,....,e,) en une base (e,,e,,...,e,) de E. 
Soit ® la d-ième forme coordonnée qui
à tout vecteur x de Æ associe sa coordonnée suivant e,. On note F={xeE | VMeN, 
®(f'(x)) = 0}.

Q 28. Montrer que F'est stable par f et que Æ, et F sont en somme directe.
Soit Y l'application linéaire de E dans K® définie, pour tout x EUR E, par
Ve) = (OP) = Ur) DFE) EF).
Q 29. Montrer que Y induit un isomorphisme entre E et Kd.
Q 30. Montrer que E=EÉ @F
Q 31. En déduire qu'il existe r sous-espaces vectoriels de FE, notés 
Æ,,...,ÆE,, tous stables par f tels que :
_ EE @..@E,:
-- pour tout 1 <2 

Centrale Maths 1 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Corentin Fierobe (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Vincent
Puyhaubert (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à
l'université).

Ce sujet d'algèbre linéaire propose d'étudier une certaine classe 
d'endomorphismes, les endomorphismes cycliques, ainsi que leurs équivalents 
matriciels, les très
classiques matrices compagnons. Les questions autour de ces objets visent 
notamment
à redémontrer certains résultats puissants, comme le théorème de Cayley-Hamilton
ou la décomposition de Frobenius d'un espace vectoriel associée à un 
endomorphisme.
Elles nécessitent des connaissances solides en algèbre linéaire, notamment sur 
la réduction et sur les polynômes d'endomorphismes.
· La partie I analyse les liens entre endomorphismes cycliques et matrices 
compagnons, présentant au passage des propriétés sur leurs polynômes minimaux
et caractéristiques. Elle fait redémontrer le théorème de Cayley-Hamilton en
utilisant ces objets.
· La partie II complète les résultats de la partie I afin d'obtenir une 
condition
nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme quelconque soit cyclique :
lorsque E est un C-espace vectoriel, f  L (E) est cyclique si et seulement si la
famille (Id , f, . . . , f n-1 ) est libre, où n est la dimension de l'espace E.
· La partie III propose une démonstration du théorème de décomposition de
Frobenius d'un espace associée à un endomorphisme : pour un endomorphisme
noté f , il existe des sous-espaces vectoriels E1 , . . . , Er de E stables par 
f ,
tels que
­ E = E1  · · ·  Er ;
­ f induit sur chaque Ei un endomorphisme cyclique ;
­ le polynôme minimal de f sur Ei+1 divise celui de f sur Ei .
On s'en sert pour montrer des propriétés sur le commutant d'un endomorphisme
en lien avec le caractère cyclique de celui-ci.
· La partie IV étudie les endomorphismes orthocycliques, un cas particulier 
d'endomorphisme cyclique sur un espace euclidien.
La principale difficulté de ce sujet réside dans sa longueur. De nombreuses 
questions sont très classiques et devaient être résolues rapidement afin de se 
concentrer
sur les quelques questions plus délicates.

Indications
Partie I
1 Comparer M et  t M .
3 On pourra faire une opération élémentaire judicieuse sur la première ligne, ou
développer par rapport à la dernière colonne.
t

t

4 Pour un vecteur X, calculer CQ X. Si, de plus, X est un vecteur propre de CQ
pour la valeur propre , montrer qu'il est lié au vecteur (i )06i6n-1 .
5 Pour le sens direct, décomposer f (en ) dans la base B.
6 Si f est diagonalisable, considérer la décomposition en sous-espaces propres 
de la
matrice t CQ , où CQ est une matrice compagnon représentant f .
7 Remarquer que si Q est un polynôme de degré d tel que Q(f ) = 0, alors la
famille (Id , f, . . . , f d-1 ) est liée.
8 Considérer le plus grand entier p tel que la famille (x, f (x), . . . , f p-1 
(x)) est libre,
en justifiant son existence.
10 Utiliser les résultats des questions 8, 9 et 3.
11 Montrer que f (f )(x) = 0 pour tout vecteur x non nul de E.
Partie II
12 Montrer que si x0 est tel que f n-1 (x0 ) 6= 0, alors la famille (x0 , . . . 
, f n-1 (x0 ))
est libre.
13 Utiliser le lemme des noyaux.
16 On pourra utiliser la question 12 pour montrer que k 6 mk pour tout k. 
Raisonner ensuite par l'absurde en supposant qu'il existe un k tel que k < mk pour trouver un polynôme non nul de degré < n qui annule f . 17 Prouver que k = dim Fk pour tout k. 18 Utiliser le fait que u1  F1 , . . . , um1 +···+mp-1 +1  Fp , que F1 , . . . , Fp sont stables par f , et la décomposition E = F1  · · ·  Fp . Partie III 22 On pourra montrer que g = n-1 P k f k . k=0 24 Vérifier que, sans perte de généralité, on peut supposer qu'il existe un vecteur x1  F1 r j6=1 Fj , et un vecteur x2  F2 r j6=2 Fj , puis considérer les vecteurs x1 + tx2 pour t  R. 25 Vérifier que xEr{0} Ker f,x = E et que cette réunion est en fait finie. 29 Pour x  E1 , relier (x) aux coordonnées de x dans une base de E1 à déterminer. 30 Montrer que F = Ker  et appliquer le théorème du rang. 31 Envisager une récurrence sur la dimension de E. 32 Utiliser le résultat de la question 31 pour exhiber une famille libre de cardinal n d'endomorphismes qui commutent avec f . 33 Étudier la dimension de ces deux espaces. Partie IV 34 Utiliser le théorème de réduction des isométries. 35 Si CQ est une matrice compagnon représentant f dans une base orthonormale, ses colonnes sont orthonormées pour le produit scalaire canonique. 36 Pour cette question classique, on pourra d'abord montrer que f se triangularise dans une certaine base, puis utiliser Gram-Schmidt. 37 Pour le sens indirect, on pourra essayer d'adapter la base trouvée à la question 36, afin de transformer la matrice triangulaire correspondante en une matrice de la forme 0 ··· ··· ··· 0 .. 1 . . . . .. . . .. 0 . . . . . . . . . . . . . ... .. 0 ··· 0 1 0 I. Matrices compagnons et endomorphismes cycliques 1 On constate que par symétrie de XIn et linéarité de la transposée t t t t XIn - M = ( XIn ) - M = ( XIn - M) t Ainsi, t M = det ( XIn - M) Comme le déterminant d'une matrice est le même que celui de sa transposée t M = det t ( XIn - M) = det(XIn - M) = M En particulier les polynômes  t M et M ont les mêmes racines. Or les valeurs propres d'une matrice sont les racines de son polynôme caractéristique. Ainsi, Les matrices M et t M ont le même spectre. t 2 Prouvons d'abord que pour toute matrice A  Mn (K) diagonalisable, A est t aussi diagonalisable. Il suffira alors d'appliquer le résultat à A = M, puis à A = M t t en utilisant le fait que ( M) = M, pour obtenir l'équivalence voulue. Soit A  Mn (K) diagonalisable. Il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = P-1 DP. En transposant cette égalité, on obtient t t t t t A = ( P-1 DP) = P D ( P-1 ) t t Or la matrice Q = ( P-1 ) est inversible, d'inverse Q-1 = P. Puisque D est diagot nale, D = D et ainsi t t A = Q-1 D Q = Q-1 DQ t Ceci permet de conclure que A est diagonalisable. Compte tenu de la remarque initiale, t La matrice M est diagonalisable si et seulement si M est diagonalisable. 3 On peut écrire X -1 det(XIn - CQ ) = 0 .. . .. . 0 0 X ··· 0 .. . -1 .. .. . . ··· ··· .. . 0 0 .. . .. . a0 a1 a2 .. . .. ··· . -1 X an-2 · · · 0 -1 X + an-1 On effectue alors l'opération suivante sur la première ligne L1  L1 + XL2 + X2 L3 + . . . + Xn-1 Ln de sorte que le déterminant devient 0 -1 det(XIn - CQ ) = 0 .. . .. . 0 0 X ··· ··· . -1 . . .. .. . . ··· ··· .. . 0 0 .. . .. . Q(X) a1 .. ··· a2 .. . . -1 X an-2 · · · 0 -1 X + an-1