Centrale Maths 1 MP 2019

Thème de l'épreuve Matrices compagnons, endomorphismes cycliques et décomposition de Frobenius
Principaux outils utilisés matrices, algèbre linéaire, réduction, polynômes, espaces euclidiens
Mots clefs endomorphismes cycliques, matrices compagnons, théorème de Cayley-Hamilton, décomposition de Frobenius, endomorphisme orthocyclique

Corrigé

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Centrale Maths 1 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Corentin Fierobe (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Vincent
Puyhaubert (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à
l'université).

Ce sujet d'algèbre linéaire propose d'étudier une certaine classe 
d'endomorphismes, les endomorphismes cycliques, ainsi que leurs équivalents 
matriciels, les très
classiques matrices compagnons. Les questions autour de ces objets visent 
notamment
à redémontrer certains résultats puissants, comme le théorème de Cayley-Hamilton
ou la décomposition de Frobenius d'un espace vectoriel associée à un 
endomorphisme.
Elles nécessitent des connaissances solides en algèbre linéaire, notamment sur 
la réduction et sur les polynômes d'endomorphismes.
· La partie I analyse les liens entre endomorphismes cycliques et matrices 
compagnons, présentant au passage des propriétés sur leurs polynômes minimaux
et caractéristiques. Elle fait redémontrer le théorème de Cayley-Hamilton en
utilisant ces objets.
· La partie II complète les résultats de la partie I afin d'obtenir une 
condition
nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme quelconque soit cyclique :
lorsque E est un C-espace vectoriel, f  L (E) est cyclique si et seulement si la
famille (Id , f, . . . , f n-1 ) est libre, où n est la dimension de l'espace E.
· La partie III propose une démonstration du théorème de décomposition de
Frobenius d'un espace associée à un endomorphisme : pour un endomorphisme
noté f , il existe des sous-espaces vectoriels E1 , . . . , Er de E stables par 
f ,
tels que
­ E = E1  · · ·  Er ;
­ f induit sur chaque Ei un endomorphisme cyclique ;
­ le polynôme minimal de f sur Ei+1 divise celui de f sur Ei .
On s'en sert pour montrer des propriétés sur le commutant d'un endomorphisme
en lien avec le caractère cyclique de celui-ci.
· La partie IV étudie les endomorphismes orthocycliques, un cas particulier 
d'endomorphisme cyclique sur un espace euclidien.
La principale difficulté de ce sujet réside dans sa longueur. De nombreuses 
questions sont très classiques et devaient être résolues rapidement afin de se 
concentrer
sur les quelques questions plus délicates.

Indications
Partie I
1 Comparer M et  t M .
3 On pourra faire une opération élémentaire judicieuse sur la première ligne, ou
développer par rapport à la dernière colonne.
t

t

4 Pour un vecteur X, calculer CQ X. Si, de plus, X est un vecteur propre de CQ
pour la valeur propre , montrer qu'il est lié au vecteur (i )06i6n-1 .
5 Pour le sens direct, décomposer f (en ) dans la base B.
6 Si f est diagonalisable, considérer la décomposition en sous-espaces propres 
de la
matrice t CQ , où CQ est une matrice compagnon représentant f .
7 Remarquer que si Q est un polynôme de degré d tel que Q(f ) = 0, alors la
famille (Id , f, . . . , f d-1 ) est liée.
8 Considérer le plus grand entier p tel que la famille (x, f (x), . . . , f p-1 
(x)) est libre,
en justifiant son existence.
10 Utiliser les résultats des questions 8, 9 et 3.
11 Montrer que f (f )(x) = 0 pour tout vecteur x non nul de E.
Partie II
12 Montrer que si x0 est tel que f n-1 (x0 ) 6= 0, alors la famille (x0 , . . . 
, f n-1 (x0 ))
est libre.
13 Utiliser le lemme des noyaux.
16 On pourra utiliser la question 12 pour montrer que k 6 mk pour tout k. 
Raisonner ensuite par l'absurde en supposant qu'il existe un k tel que k < mk 
pour
trouver un polynôme non nul de degré < n qui annule f .
17 Prouver que k = dim Fk pour tout k.
18 Utiliser le fait que u1  F1 , . . . , um1 +···+mp-1 +1  Fp , que F1 , . . . 
, Fp sont stables
par f , et la décomposition E = F1  · · ·  Fp .
Partie III
22 On pourra montrer que g =

n-1
P

k f k .

k=0

24 Vérifier que, sans perte de généralité, on peut supposer qu'il existe un 
vecteur x1  F1 r j6=1 Fj , et un vecteur x2  F2 r j6=2 Fj , puis considérer les
vecteurs x1 + tx2 pour t  R.
25 Vérifier que xEr{0} Ker f,x = E et que cette réunion est en fait finie.
29 Pour x  E1 , relier (x) aux coordonnées de x dans une base de E1 à 
déterminer.
30 Montrer que F = Ker  et appliquer le théorème du rang.
31 Envisager une récurrence sur la dimension de E.
32 Utiliser le résultat de la question 31 pour exhiber une famille libre de 
cardinal n
d'endomorphismes qui commutent avec f .
33 Étudier la dimension de ces deux espaces.

Partie IV
34 Utiliser le théorème de réduction des isométries.
35 Si CQ est une matrice compagnon représentant f dans une base orthonormale,
ses colonnes sont orthonormées pour le produit scalaire canonique.
36 Pour cette question classique, on pourra d'abord montrer que f se 
triangularise
dans une certaine base, puis utiliser Gram-Schmidt.
37 Pour le sens indirect, on pourra essayer d'adapter la base trouvée à la 
question 36,
afin de transformer la matrice triangulaire correspondante en une matrice de
la forme

0 ··· ··· ··· 0

.. 
1 . . .
.

.. 
.
.
..
0 . .
.

. .

. . . . . . . . ... 
 ..
0 ··· 0
1 0

I. Matrices compagnons et endomorphismes cycliques
1 On constate que par symétrie de XIn et linéarité de la transposée
t

t

t

t

XIn - M = ( XIn ) - M = ( XIn - M)
t

Ainsi,

 t M = det ( XIn - M)

Comme le déterminant d'une matrice est le même que celui de sa transposée
 t M = det t ( XIn - M) = det(XIn - M) = M
En particulier les polynômes  t M et M ont les mêmes racines. Or les valeurs 
propres
d'une matrice sont les racines de son polynôme caractéristique. Ainsi,
Les matrices M et t M ont le même spectre.
t

2 Prouvons d'abord que pour toute matrice A  Mn (K) diagonalisable, A est
t
aussi diagonalisable. Il suffira alors d'appliquer le résultat à A = M, puis à 
A = M
t t
en utilisant le fait que ( M) = M, pour obtenir l'équivalence voulue.
Soit A  Mn (K) diagonalisable. Il existe une matrice inversible P et une matrice
diagonale D telles que A = P-1 DP. En transposant cette égalité, on obtient
t

t

t

t

t

A = ( P-1 DP) = P D ( P-1 )

t

t

Or la matrice Q = ( P-1 ) est inversible, d'inverse Q-1 = P. Puisque D est 
diagot
nale, D = D et ainsi
t

t

A = Q-1 D Q = Q-1 DQ
t

Ceci permet de conclure que A est diagonalisable. Compte tenu de la remarque
initiale,
t

La matrice M est diagonalisable si et seulement si M est diagonalisable.
3 On peut écrire
X
-1
det(XIn - CQ ) =

0
..
.
..
.
0

0
X

···
0
..
.
-1
..
..
.
.

···
···
..

.

0
0
..
.
..
.

a0
a1
a2
..
.

..

···

. -1 X
an-2
· · · 0 -1 X + an-1

On effectue alors l'opération suivante sur la première ligne
L1  L1 + XL2 + X2 L3 + . . . + Xn-1 Ln
de sorte que le déterminant devient
0
-1
det(XIn - CQ ) =

0
..
.
..
.
0

0
X

···
···
.
-1 . .
..
..
.
.

···
···
..

.

0
0
..
.
..
.

Q(X)
a1

..

···

a2
..
.

. -1 X
an-2
· · · 0 -1 X + an-1