Centrale Maths 1 MP 2017

Thème de l'épreuve Sur la partie symétrique d'une matrice
Principaux outils utilisés théorème spectral, calcul matriciel par blocs, systèmes différentiels, exponentielle de matrice
Mots clefs partie symétrique, matrice définie positive, matrice positivement stable, matrice singulière

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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JS
9 ?2m`2b

*H+mHi`B+2b miQ`Bbû2b

kyRd

Ji?ûKiB[m2b R
am` H T`iB2 bvKûi`B[m2 /mM2 Ki`B+2

LQiiBQMb
aB  2i  bQMi /2b 2MiB2`b Mim`2Hb MQM MmHb- QM MQi2   H2bT+2 p2+iQ`B2H /2b 
Ki`B+2b `û2HH2b ¨  HB;M2b 2i
 +QHQMM2b 2i   H2bT+2 p2+iQ`B2H /2b Ki`B+2b +``û2b   X PM /û}MBi /2 7ÏQM MHQ;m2 
  2i
  X
G i`MbTQbû2 /mM2 Ki`B+2  /2   2bi MQiû2  X PM `TT2HH2 [mmM2 Ki`B+2  /2   2bi 
/Bi2
bvKûi`B[m2 bB    2i [m2HH2 2bi /Bi2 MiBbvKûi`B[m2 bB   X
G2 bQmb@2bT+2 p2+iQ`B2H /2   +QMbiBimû /2b Ki`B+2b bvKûi`B[m2b 2bi MQiû   X G2 
bQmb@2bT+2 p2+iQ`B2H
/2   +QMbiBimû /2b Ki`B+2b MiBbvKûi`B[m2b 2bi MQiû   X
G2 ;`QmT2 /2b Ki`B+2b Q`i?Q;QMH2b ¨  HB;M2b 2i  +QHQMM2b 2bi MQiû 0  X
PM MQi2  H Ki`B+2 B/2MiBiû /Mb   X
SQm` iQmi2 Ki`B+2 +``û2     - QM MQi2      2i       X BMbB-  2bi mM2 Ki`B+2
bvKûi`B[m2-  2bi mM2 Ki`B+2 MiBbvKûi`B[m2 2i     X PM /Bi [m2  2bi H T`iB2 
bvKûi`B[m2 /2  2i
[m2  2bi b T`iB2 MiBbvKûi`B[m2X
SQm`     - QM MQi2 TQ  H2 bT2+i`2 `û2H /2 - +2bi@¨@/B`2 H2Mb2K#H2 /2b pH2m`b 
T`QT`2b `û2HH2b /2 X
lM2 Ki`B+2 bvKûi`B[m2 `û2HH2 2bi /Bi2 TQbBiBp2 bB b2b pH2m`b T`QT`2b bQMi 
TQbBiBp2b 2i 2HH2 2bi /Bi2 /û}MB2 TQbBiBp2
bB b2b pH2m`b T`QT`2b bQMi bi`B+i2K2Mi TQbBiBp2bX
PM MQi2   H2Mb2K#H2 /2b Ki`B+2b bvKûi`B[m2b TQbBiBp2b /2   2i   H2Mb2K#H2 /2b 
Ki`B+2b
bvKûi`B[m2b /û}MB2b TQbBiBp2b /2   X
P#D2+iB7
GQ#D2+iB7 /m T`Q#HK2 2bi /ûim/B2` +2`iBM2b T`QT`Bûiûb /2b Ki`B+2b `û2HH2b 
+``û2b /QMi H T`iB2 bvKûi`B[m2
2bi /û}MB2 TQbBiBp2X
G T`2KB`2 T`iB2 TTQ`i2 [m2H[m2b `ûbmHiib T`ûHBKBMB`2bX
G /2mtBK2 T`iB2- Q QM ûim/B2 H2b Ki`B+2b @bBM;mHB`2b- 2i H i`QBbBK2 T`iB2- [mB 
i`Bi2 /2b Ki`B+2b
TQbBiBp2K2Mi bi#H2b- bQMi H`;2K2Mi BM/ûT2M/Mi2bX

A _ûbmHiib T`ûHBKBMB`2b
AX 
.BbiM+2 /2  ¨ 
PM KmMBi   /m T`Q/mBi b+HB`2 +MQMB[m2 /QMMû T`    US    Q US /ûbB;M2 H i`+2X PM 
MQi2
 H MQ`K2 2m+HB/B2MM2 bbQ+Bû2X
AXXRV JQMi`2` [m2   2i   bQMi /2mt bQmb@2bT+2b p2+iQ`B2Hb bmTTHûK2MiB`2b 
Q`i?Q;QMmt /Mb
  2i T`û+Bb2` H2m`b /BK2MbBQMbX
AXXkV aQBi     X JQMi`2` [m2 TQm` iQmi2 Ki`B+2     -         X S`û+Bb2` ¨ [m2HH2
+QM/BiBQM bm`     - +2ii2 BMû;HBiû 2bi mM2 û;HBiûX
AX" 
oH2m`b T`QT`2b /2 
PM +QMbB/`2     X
AX"XRV aB     2i      - H Ki`B+2     TT`iB2Mi ¨   2i QM +QMpB2Mi /2 HB/2MiB}2`
m MQK#`2 `û2H û;H ¨ bQM mMB[m2 +Q2{+B2MiX
p2+ +2ii2 +QMp2MiBQM- KQMi`2` [m2     bB 2i b2mH2K2Mi bB     -       2i [m2
    bB 2i b2mH2K2Mi bB      \^-      X
AX"XkV SQm` iQmi2 pH2m` T`QT`2 `û2HH2  /2 - KQMi`2` [m2 NJO TQ     NBY TQ  X
1M /û/mB`2 [m2 bB     HQ`b  2bi BMp2`bB#H2X
AX"XjV

PM bmTTQb2 [m2   

X

V JQMi`2` [mBH 2tBbi2 mM2 mMB[m2 Ki`B+2  /2 

 i2HH2 [m2    X

#V JQMi`2` [mBH 2tBbi2 mM2 Ki`B+2  /2   i2HH2 [m2 EFU   EFU  EFU 
+V 1M /û/mB`2 [m2 EFU   EFU  X

kyRd@yj@jy R9,kR,Rk

S;2 Rf9

X

AX"X9V

PM bmTTQb2  BMp2`bB#H2 2i- +QM7Q`KûK2Mi mt MQiiBQMb /m T`Q#HK2- 

i`B[m2 /2 HBMp2`b2 /2 X JQMi`2` [m2 EFU   EFU 
PM TQm`` +QMbB/û`2`     X

AX* 
AX*XRV

 EFU  X

/ûbB;M2 H T`iB2 bvKû@

S`iB2 bvKûi`B[m2 /2b Ki`B+2b Q`i?Q;QMH2b

aQBi   0  X JQMi`2` [m2 H2b pH2m`b T`QT`2b /2  bQMi /Mb < >X

AX*XkV .QMM2` mM 2t2KTH2 /2 Ki`B+2 bvKûi`B[m2  /Mb   i2HH2 [m2 TQ   < > 2i TQm` 
H[m2HH2 BH
M2tBbi2 Tb /2 Ki`B+2   0  pû`B}Mi   X
AX*XjV aQBi     X

V PM bmTTQb2 [m2 TQ   < > 2i [m2 TQm` iQmi2 pH2m` T`QT`2  /2  /Mb > <- H2bT+2 
T`QT`2 /2 
bbQ+Bû ¨  2bi /2 /BK2MbBQM TB`2X JQMi`2` [mBH 2tBbi2   0  i2HH2 [m2   X
#V _û+BT`Q[m2K2Mi- KQMi`2` [m2 bBH 2tBbi2   0  i2HH2 [m2   - HQ`b TQ   < > 2i 
TQm` iQmi2
pH2m` T`QT`2  /2  /Mb > <- H2bT+2 T`QT`2 /2  bbQ+Bû ¨  2bi /2 /BK2MbBQM TB`2X

AA Ji`B+2b @bBM;mHB`2b

.Mb H bmBi2 /2 +2ii2 T`iB2- QM MQi2     [mQM KmMBi /m T`Q/mBi b+HB`2  ]  /û}MB 
T`

 ]    

Q- +QKK2 m AX"XR- QM B/2MiB}2 H Ki`B+2    ¨ bQM mMB[m2 +Q2{+B2MiX
aB     - QM MQi2   H2Mb2K#H2 /2b Ki`B+2b /2   /2 `M; û;H ¨ X
lM2 Ki`B+2 /2   2bi /Bi2 bBM;mHB`2 bB 2HH2 M2bi Tb BMp2`bB#H2X
aB  2bi mM bQmb@2bT+2 p2+iQ`B2H MQM `û/mBi ¨ \^ /2  2i bB     - QM /Bi [m2  2bi 
@bBM;mHB`2 bBH
2tBbi2    MQM MmH i2H [m2   -     X .Mb H2 +b +QMi`B`2- QM /Bi [m2  2bi 
@`û;mHB`2X
AAX 

*b Q  2bi mM ?vT2`THM

AAXXRV JQMi`2` [mmM2 Ki`B+2 /2   2bi bBM;mHB`2 bB 2i b2mH2K2Mi bB 2HH2 2bi  
@bBM;mHB`2X
.Mb +2ii2 bQmb@T`iB2 AAX- QM bmTTQb2 /ûbQ`KBb   X aQBi    mM ?vT2`THM /2  2i 
bQBi    mM
p2+i2m` mMBiB`2 MQ`KH ¨ X
AAXXkV JQMi`2` [m2  2bi @bBM;mHB`2 bB 2i b2mH2K2Mi bBH 2tBbi2 mM p2+i2m` MQM 
MmH  /2  2i mM `û2H  i2Hb
[m2   X
 
AAXXjV 1M /û/mB`2 [m2  2bi @bBM;mHB`2 bB 2i b2mH2K2Mi bB H Ki`B+2    
     2bi

bBM;mHB`2X
.Mb H2b [m2biBQMb bmBpMi2b-  2bi mM2 Ki`B+2 BMp2`bB#H2 /2   X
 
 p2+     -     -     AAXX9V JQMi`2` [mBH 2tBbi2 mM2 Ki`B+2    

    i2HH2 [m2 ,       
X

AAXX8V 1M /û/mB`2 [m2 EFU       EFU  X

AAXXeV JQMi`2` [m2 bB EFU     - HQ`b BH 2tBbi2 mM ?vT2`THM  /2  i2H [m2  2bi 
@bBM;mHB`2X
AAXXdV 1M /û/mB`2 [m2 bB EFU   - HQ`b BH 2tBbi2 mM ?vT2`THM  /2  i2H [m2  2bi 
@bBM;mHB`2X
AAXX3V PM bmTTQb2 [m2   

 X JQMi`2` [m2  2bi @`û;mHB`2 TQm` iQmi ?vT2`THM  /2  X

AAX"  1t2KTH2
PM i`Bi2` H2t2KTH2

AAX"XRV JQMi`2` [m2   2bi BMp2`bB#H2 TQm` iQmi `û2H X

AAX"XkV *H+mH2`  

2i KQMi`2` [m2  

2bi bBM;mHB`2 TQm`   -  

AAX"XjV .ûi2`KBM2` mM ?vT2`THM  i2H [m2   bQBi @bBM;mHB`2X

kyRd@yj@jy R9,kR,Rk

S;2 kf9

- 

X

AAX*  *b Q  2bi /2 /BK2MbBQM   
PM bmTTQb2 B+B   X aQBi  mM bQmb@2bT+2 p2+iQ`B2H /2  /2 /BK2MbBQM   X PM 
+QMbB/`2   mM2
#b2 /2   2i QM TQb2

AAX*XRV JQMi`2` [m2  2bi @bBM;mHB`2 bB 2i b2mH2K2Mi bBH 2tBbi2 mM ûHûK2Mi MQM 
MmH  /2  2i /2mt `û2Hb   i2Hb [m2       X
AAX*XkV 1M /û/mB`2 [m2  2bi @bBM;mHB`2 bB 2i b2mH2K2Mi bB H Ki`B+2

2bi bBM;mHB`2X
.Mb H2b [m2biBQMb bmBpMi2b-  2bi mM2 Ki`B+2 BMp2`bB#H2 /2   X
 
AAX*XjV JQMi`2` [mBH 2tBbi2 mM2 Ki`B+2    
 p2+     -     -    
 
2i     i2HH2 [m2

AAX*X9V 1M /û/mB`2 [m2 EFU   EFU     EFU  X

AAX*X8V JQMi`2` [mBH 2tBbi2     i2HH2 [m2 EFU       bB 2i b2mH2K2Mi bBH 2tBbi2  
   
i2HH2 [m2 EFU       X
AAX*XeV JQMi`2` [m2 bB        HQ`b
EFU                   

AAX*XdV 1M /û/mB`2 [m2 bB   

AAX*X3V 1M +QM+Hm`2 [m2 bB   
   /2  X

 - HQ`b EFU      X

 - HQ`b  2bi @`û;mHB`2 TQm` iQmi bQmb@2bT+2 p2+iQ`B2H  /2 /BK2MbBQM

AAX.  1t2KTH2
PM `2T`2M/ H2t2KTH2 /2 H bQmb@T`iB2 AAX" p2+   X
AAX.XRV *QKK2Mi +?QBbB`        /2 7ÏQM [m2 EFU        \

AAX.XkV .ûi2`KBM2` mM bQmb@2bT+2 p2+iQ`B2H  /2  i2H [m2 EJN    2i i2H [m2   
bQBi @bBM;mHB`2X
AAX1  *b ;ûMû`H
aQBi  mM bQmb@2bT+2 p2+iQ`B2H /2  /2 /BK2MbBQM   - Q       X
AAX1XRV JQMi`2` [m2  2bi @bBM;mHB`2 bB EFU        TQm` mM2 Ki`B+2      [m2 HQM 
/û}MB`X
PM bmTTQb2 /ûbQ`KBb [m2     X
AAX1XkV JQMi`2` [m2 bB     2bi MQM MmH HQ`b          X

AAX1XjV 1M /û/mB`2 [m2 H2b pH2m`b T`QT`2b `û2HH2b /2      bQMi bi`B+i2K2Mi 
TQbBiBp2bX
AAX1X9V 1M /û/mB`2 [m2 EFU       X

AAX1X8V 1M /û/mB`2 [m2  2bi @`û;mHB`2 TQm` iQmi bQmb@2bT+2 p2+iQ`B2H   \^ /2  X

AAA Ji`B+2b TQbBiBp2K2Mi bi#H2b

PM /Bi [mmM2 Ki`B+2  /2   2bi TQbBiBp2K2Mi bi#H2 bB iQmi2b b2b pH2m`b T`QT`2b 
+QKTH2t2b QMi mM2 T`iB2
`û2HH2 bi`B+i2K2Mi TQbBiBp2X
AAAX  1t2KTH2b

AAAXXRV aQBi     X JQMi`2` [m2  2bi TQbBiBp2K2Mi bi#H2 bB 2i b2mH2K2Mi bB US    
2i EFU   X

AAAXXkV

V G bQKK2 /2 /2mt Ki`B+2b TQbBiBp2K2Mi bi#H2b /2   2bi@2HH2 Mû+2bbB`2K2Mi 
TQbBiBp2K2Mi bi#H2 \
#V aQBi -  /Mb   /2mt Ki`B+2b TQbBiBp2K2Mi bi#H2b [mB +QKKmi2MiX JQMi`2` [m2   
2bi TQbBiBp2K2Mi
bi#H2X
kyRd@yj@jy R9,kR,Rk

S;2 jf9

AAAXXjV aQBi     i2HH2 [m2  bQBi /û}MB2 TQbBiBp2X

V aQBi   

J mM2 Ki`B+2 +QHQMM2 /2   - Q  2i  TT`iB2MM2Mi ¨   X PM TQb2     J

2i QM B/2MiB}2 H Ki`B+2      m MQK#`2 +QKTH2t2 û;H ¨ bQM mMB[m2 +Q2{+B2MiX

JQMi`2` [m2- bB   - HQ`b 3F    - Q 3F  /ûbB;M2 H T`iB2 `û2HH2 /2   X
#V JQMi`2` [m2  2bi TQbBiBp2K2Mi bi#H2X

AAAXX9V .QMM2` mM 2t2KTH2 /2 Ki`B+2  TQbBiBp2K2Mi bi#H2 i2HH2 [m2  M2bi Tb 
/û}MB2 TQbBiBp2X

AAAX"  .Mb +2ii2 bQmb@T`iB2 AAAX"- QM ûi#HBi mM `ûbmHii bm` H2tTQM2MiB2HH2 /2 
Ki`B+2 [mB b2` miBH2 T` H
bmBi2X
PM `TT2HH2 [m2- TQm` iQmi2 Ki`B+2     - H2tTQM2MiB2HH2 /2  2bi /û}MB2 T`
FYQ    

G 7QM+iBQM   FYQ  2bi /û}MB2 2i /2 +Hbb2  bm`  2i b 7QM+iBQM /û`Bpû2 2bi /QMMû2 
T`
   FYQ   FYQ  

/2 THmb- FYQ  FYQ    TQm` iQmi `û2H X
AAAX"XRV aQBi    i2H [m2 3F   X aQBi  mM2 7QM+iBQM ¨ pH2m`b +QKTH2t2b /2 +Hbb2  
bm`  X
PM bmTTQb2 [m2 H 7QM+iBQM     2bi #Q`Mû2 bm`  X JQMi`2` [m2  2bi #Q`Mû2 bm`  X
PM TQm`` +QMbB/û`2` Hû[miBQM /Bzû`2MiB2HH2    X
AAAX"XkV aQBi     mM2 Ki`B+2 i`BM;mHB`2 bmTû`B2m`2 ¨ +Q2{+B2Mib +QKTH2t2bX PM 
bmTTQb2 [m2 H2b
+Q2{+B2Mib /B;QMmt /2  bQMi /2b MQK#`2b +QKTH2t2b /2 T`iB2 `û2HH2 bi`B+i2K2Mi 
TQbBiBp2X aQBi  w  /2b
7QM+iBQMb ¨ pH2m`b +QKTH2t2b- /û}MB2b 2i /2 +Hbb2  bm`  2i bQBi- TQm` iQmi     

PM bmTTQb2 [m2- TQm` iQmi    -   
    X
JQMi`2` [m2 H2b 7QM+iBQMb  - Q     - bQMi #Q`Mû2b bm`  X

AAAX"XjV aQBi     mM2 Ki`B+2 TQbBiBp2K2Mi bi#H2 /2 pH2m`b T`QT`2b +QKTH2t2b  w  
2i bQBi  mM
`û2H i2H [m2     NJO 3F  X
JQMi`2` [m2 H 7QM+iBQM   F FYQ  2bi #Q`Mû2 bm`  X
PM TQm`` TTHB[m2` H [m2biBQM AAAX"Xk ¨ mM2 Ki`B+2 i`BM;mHB`2  b2K#H#H2 ¨    X
AAAX*  lM2 +`+iû`BbiBQM /2b Ki`B+2b TQbBiBp2K2Mi bi#H2b
aQBi     mM2 Ki`B+2 TQbBiBp2K2Mi bi#H2X PM +QMbB/`2 H2M/QKQ`T?BbK2  /2   i2H [m2

AAAX*XRV JQMi`2` [m2  2bi TQbBiBp2K2Mi bi#H2- +2bi@¨@/B`2 [m2 b Ki`B+2 /Mb mM2 
#b2 [m2H+QM[m2 /2  
2bi TQbBiBp2K2Mi bi#H2X
AAAX*XkV

V JQMi`2` [mBH 2tBbi2 mM2 mMB[m2 Ki`B+2     i2HH2 [m2  
#V JQMi`2` [m2  2bi bvKûi`B[m2 2i [m2 EFU   X
AAAX*XjV SQm` iQmi `û2H - QM TQb2    FYQ 
V JQMi`2` [m2- TQm` iQmi `û2H -    

#V JQMi`2` [m2- TQm` iQmi `û2H -   
+V ZmQ#iB2Mi@QM 2M 7BbMi i2M/`2  p2`b
[m2biBQM AAAX*Xk 2bi /û}MB2 TQbBiBp2X

FYQ  2i       EX

 2i [m2- bB   -    

X

        X
 /Mb Hû;HBiû T`û+û/2Mi2 \ 1M /û/mB`2 [m2 H Ki`B+2  /2 H
r r r 6AL r r r

kyRd@yj@jy R9,kR,Rk

   X

S;2 9f9

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Yvon Vignaud (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Sélim Cornet (ENS Paris-Saclay) et Vincent Puyhaubert (professeur en CPGE).

Ce problème porte sur les matrices définies positives et sur les propriétés des
matrices dont la partie symétrique est définie positive. Les parties II et III 
sont
indépendantes mais elles exploitent intensivement les résultats de la partie I 
sur les
matrices symétriques positives.
La résolution de ce problème utilise de nombreuses parties du programme de
deuxième année : calcul matriciel par blocs, réduction des matrices, 
automorphismes
orthogonaux des espaces euclidiens, exponentielles de matrices, systèmes 
différentiels
linéaires, intégration de fonctions à valeurs vectorielles (matricielles en 
l'occurrence).
· Dans la première partie, après quelques résultats classiques sur les matrices
symétriques et antisymétriques, on démontre dans la sous-partie I.B l'existence
et l'unicité de la racine carrée d'une matrice définie positive. À partir d'un
encadrement des valeurs propres réelles par les valeurs propres extrêmes de la
partie symétrique, on obtient ensuite une minoration du déterminant par le
déterminant de la partie symétrique lorsque celle-ci est définie positive. On y
établit enfin une caractérisation, parmi les matrices symétriques, de celles qui
sont les parties symétriques de matrices orthogonales.
· La deuxième partie introduit la notion de matrice F-singulière avec F un 
sousespace vectoriel de Mn,1 (R) ; ce concept généralise la notion de matrice 
non
inversible, qui correspond au cas particulier F = Mn,1 (R). Le résultat 
principal est une caractérisation de la F-singularité reposant sur la non 
inversibilité
d'une certaine matrice, construite par blocs à partir d'une base de F . Les 
sousparties II.A et II.C se restreignent aux cas où la dimension de F vaut 
respectivement n - 1 et n - 2, ces résultats étant ensuite étendus à toute 
dimension
dans la sous-partie II.E ; les parties II.B et II.D traitent un exemple concret
pour illustrer les résultats respectifs de II.A. et II.C.
· La troisième partie étudie les matrices dites positivement stables, 
c'est-à-dire
celles dont les valeurs propres ont des parties réelles strictement positives. 
Dans
la sous-partie III.A, on montre que si deux matrices positivement stables 
commutent alors leur somme reste positivement stable ; un contre-exemple dans
le cas non commutatif est explicitement demandé. Le résultat principal de la
sous-partie III.B est le fait que pour A positivement stable et t  +, la norme
de exp(-tA) tend exponentiellement vite vers 0. Enfin, à l'aide de ce résultat,
on parvient dans la sous-partie III.C à montrer que si A est positivement stable
alors il existe une unique matrice B telle que AT B + BA = In et que cette 
matrice B est nécessairement définie positive.
En conclusion, il s'agit d'un sujet long et plutôt difficile, compte tenu de la 
maîtrise nécessaire d'une grande partie du programme. Les exemples et 
contre-exemples
explicites étudiés permettent de mieux s'approprier les concepts algébriques 
introduits par ce sujet ; en outre, sa résolution complète met bien en valeur 
l'importance
des propriétés de symétrie et de positivité en mathématiques, et plus 
particulièrement
ici dans un cadre matriciel.

Indications
Partie I
I.A.2 Penser aux propriétés du projeté orthogonal sur un sous-espace vectoriel.
I.B.1 Appliquer le théorème spectral à la matrice As et procéder par double
implication.
I.B.2 Montrer que pour tout vecteur colonne X on a XT As X = XT AX et appliquer
ensuite cette identité à un vecteur propre X de A.
I.B.3.a Pour l'existence, considérer la matrice diagonale dont les coefficients 
diagonaux sont les racines carrées des valeurs propres de As ; pour l'unicité,
montrer que toute matrice qui convient commute avec As et raisonner sur
les endomorphismes induits sur les sous-espaces propres de As .
I.B.3.b Considérer la matrice Q = B-1 Aa B-1 avec la matrice B fournie par la
question I.B.3.a.
I.B.3.c Montrer que -QT Q  Sn+ (R) et en déduire que les valeurs propres de Q
sont imaginaires pures. Trigonaliser alors Q pour exprimer det(In + Q) sous
la forme d'un produit.

I.B.4 Vérifier que A A-1 s AT = As .
I.C.1 Appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à X et AX où X est un vecteur
propre de A et exploiter à nouveau l'égalité XT As X = XT AX vue à la
question I.B.2.

I.C.2 Rappeler les différentes formes des éléments de O2 (R) et calculer leurs 
parties symétriques.
I.C.3.a Diagonaliser S et regrouper deux par deux ses valeurs propres distinctes
de 1 et -1 pour obtenir une écriture diagonale par blocs.
I.C.3.b Réduire la matrice orthogonale A dans une base orthonormée afin 
d'obtenir
une matrice diagonale par blocs semblable à S.
Partie II

X
II.A.3 Appliquer la question II.A.2 et considérer le vecteur colonne Y =
.
-
Porter un soin particulier à justifier que les vecteurs utilisés dans la preuve
sont non nuls.
II.A.6 Appliquer une nouvelle fois l'identité vue à la question I.B.2 à un 
élément
non nul du noyau de A-1 s .

II.A.7 Exploiter le résultat de la question I.B.4.

II.B.3 Calculer A-1 puis sa partie symétrique afin de trouver un vecteur du 
noyau
de cette dernière.
II.C.4 Remarquer que NT A-1 N est une matrice de taille 2.
II.C.5 Pour le sens direct, considérer P = (A-1 )T P.
II.C.6 Exprimer YT AZ et ZT AY en fonction de YT As Z et YT Aa Z pour tous 
vecteurs Y et Z.
II.C.7 Prendre la matrice B donnée par la question I.B.3 telle que B2 = As et
minorer l'expression de la question II.C.6 grâce à l'inégalité de CauchySchwarz.

II.E.1 Il s'agit de définir une matrice N telle que la nullité du déterminant de
(N )T AN implique la F-singularité de A. Généraliser les idées des parties
II.A et II.C en utilisant une base de l'orthogonal de F.
II.E.4 Exprimer le déterminant en regroupant les valeurs propres complexes non
réelles par paires conjuguées.
II.E.5 Justifier qu'avec la matrice N définie à la question II.E.1, le résultat 
de cette
question est en réalité une équivalence, puis utiliser tout ce qui précède.
Partie III
III.A.1 Distinguer deux cas suivant la nature des valeurs propres de A (réelles 
ou
complexes non réelles conjuguées).
III.A.2.a Proposer un contre-exemple à l'aide de matrices triangulaires.
III.A.2.b Considérer l'endomorphisme induit par A sur E (A + B).
III.A.3.a Penser encore une fois à l'identité vue à la question I.B.2 afin 
d'exploiter
la positivité de As .
III.B.1 Suivre l'indication afin d'exprimer u sous forme intégrale
Z t
u(t) = u(0)e -t +
e -(t-s) v(s) ds
0

III.B.2 À l'aide de la question III.B.1, montrer par récurrence forte 
(descendante)
que les fonctions un , puis un-1 , . . . , u2 et u1 sont bornées.
III.C.1 Montrer que les endomorphismes M 7- MA et M 7- AT M sont positivement 
stables.
III.C.2.b Calculer (BA)s pour minorer det(BA) à l'aide du résultat de la 
question I.B.3. Regrouper les valeurs propres complexes conjuguées de A pour
montrer que det(A) > 0.
III.C.3.a Montrer que
 M  Mn (C)

T

(exp M) = exp(MT )

III.C.3.b Dériver C : t 7 AT W(t) + W(t)A + V(t).
III.C.3.c Choisir  comme à la question III.B.3 et montrer que les coefficients 
de la
matrice V(t) sont dominés par e -t lorsque t  +. Pour montrer que
B  Sn++ (R), montrer par exemple que XT BX > XT W(1)X.

I. Résultats préliminaires
I.A.1 Le préambule du sujet rappelle que toute matrice A  Mn (R) peut s'écrire
comme ceci : A = As + Aa où As est symétrique et Aa antisymétrique. On en déduit
que Mn (R)  Sn (R) + An (R) et, l'inclusion réciproque étant immédiate,
Mn (R) = Sn (R) + An (R)
Pour montrer que ces sous-espaces sont supplémentaires orthogonaux, il suffit 
désormais de montrer qu'ils sont orthogonaux. Soient S = (sij )16i,j6n  Sn (R) 
et
A = (aij )16i,j6n  An (R). Calculons leur produit scalaire
n P
n
 P
hS, Ai = Tr ST A =
sij aij
i=1j=1

Grâce aux relations sij = sji et aij = -aji valides pour tous 1 6 i, j 6 n, 
l'interversion de la double somme donne
n
n P
n
n P
P
P
hS, Ai =
sij aij = -
sji aji = -hS, Ai
j=1i=1

j=1i=1

d'où hS, Ai = 0. Ainsi, les sous-espaces vectoriels Sn (R) et An (R) sont 
orthogonaux et

Mn (R) = Sn (R)  An (R)
Considérons maintenant la base canonique (Eij )16i,j6n de Mn (R) et remarquons
que la famille S = (Eij + Eji )16i6j6n est une base de Sn (R) de sorte que
dim Sn (R) = Card S =

n
P

j=1

j=

n(n + 1)
2

Comme An (R) est un supplémentaire de Sn (R) dans Mn (R),
dim An (R) = dim Mn (R) - dim Sn (R) = n2 -
dim Sn (R) = n(n + 1)/2 et

n(n + 1)
n(n - 1)
=
2
2

dim An (R) = n(n - 1)/2

La base canonique est une base orthonormée de Mn (R) pour le produit
scalaire h·, ·i. Par bilinéarité du produit scalaire, il en découle que la 
famille
(Eij +Eji )16i6j6n est constituée de matrices non nulles deux à deux 
orthogonales ; ceci prouve d'une autre façon la liberté de cette famille, qui 
se trouve
donc être une base orthogonale (non orthonormée) de Sn (R).
La diagonalisation de l'endomorphisme de transposition T : A 7 AT
fournit un autre point de vue sur les résultats de la question I.A.1.
L'application T est une symétrie vectorielle de Mn (R) puisque c'est une
application linéaire de Mn (R) dans lui-même qui vérifie T  T = id . En effet,
 A  Mn (R)

(T  T ) (A) = (AT )T = A

En tant que symétrie vectorielle, T est diagonalisable et ses espaces propres
Sn (R) = Ker (T - id ) = E1 (T )

et An (R) = Ker (T + id ) = E-1 (T )

sont supplémentaires dans Mn (R). De plus, en notant A = (aij )16i,j6n et
B = (bij )16i,j6n deux matrices arbitraires,
P
P
hT (A), Bi =
aij bij =
bij aij = hA, T (B)i
16i,j6n

16i,j6n