Centrale Maths 1 MP 2014

Thème de l'épreuve Exemples d'études de fonctions matricielles et applications
Principaux outils utilisés normes matricielles, séries entières, séries de fonctions vectorielles, intégration de fonctions vectorielles
Mots clefs normes, series entieres, series de matrices, theoreme de Cayley-Hamilton, equations fonctionnelles

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Mathématiques 1 < d. Si i et j sont deux entiers entre 1 et d, on note A...- le coefficient placé ligne i et colonne j dans la matrice A. On rappelle que A0 = I d. On note Tr(A) la trace de la matrice A. Les parties I, II et III sont indépendantes des parties IV et V. I Une norme utile sur Md(lR) I.A -- Montrer que, pour tout polynôme P E C|X|, l'application fP : A l--> P(A) 
est une fonction continue
de Md(lR) dans MAC).

LB -- Montrer que l'application (A, B) l--> Tr('A x B) est un produit scalaire 
sur l'espace Md(lR).
Dans toute la suite du problème, on note || - || la norme associée à ce produit 
scalaire.
I.C -- Pour tous entiers i, j entre 1 et d et toute matrice A E Md(lR), 
comparer |A...-| et "A".

I.D -- Montrer que: V(A, B) E Md([R)2, ||A >< B|| < ||A|| - ||B||. LE -- Pour 71 E N* et A E Md([R), comparer "A"" et "A"". II Séries entières de matrices Dans cette partie, on se donne une série entière à coefficients complexes E ana" de rayon de convergence R n>O
strictement positif, éventuellement égal à +00.

+00
II.A -- Soit 3 = {A E Md([R), ||A|| < R}. Montrer que l'application cp : A |--> 
 0 telle que :
r--1
Vn & N. 2 lÀ;...l < CIIA"II k=0 II.B.4) En déduire que, pour tout entier 1»: entre 0 et (r -- 1), la série z anÀkln est absolument convergente n>O

dans C.
II.B.5) Conclure qu'il existe un unique polynôme P E [R|X| tel que ga(A) = P(A) 
et degP < 7'. 0 --1 --1 1 II.B.6) Déterminer ce polynôme P lorsque A = (--1 0 --1) et an = -- pour tout n E N. | 1 1 2 "' II. C -- Trouver une condition nécessaire et suffisante sur la série entière î: ana" pour qu'il existe P E [R|X| n>0
tel que

VA EUR Md([R), 

vaut An_1.

III.B.3) On considère le polynôme caractéristique

et
XA(X) = det(A -- X - rd) : Zaka
I--c=O

Montrer que pour R assez grand :

27r

xA = -- / 'xA = f<2æ> + f(2y) (Iv-1)

M
I V.A -- Soit 04 un nombre strictement inférieur a ? et F la primitive de f 
s'annulant en 04. Montrer que
M
pour tous 55 et y dans }--oo, ? {, avec y # oz, on a :

F(oe + y) -- F(a: + a) -- âF(2y) + âF(2a)

f(2oe)=2 y--a

I V.B -- En déduire que la fonction f est de classe C'" sur ]--oo, M [

IV. C -- Montrer que f " = 0, puis que l'ensemble des solutions continues de 
l'équation (IV.1) forme un [IQ--espace
vectoriel, dont on déterminera une base.

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V Étude d'une autre fonction matricielle

Dans cette partie, on se donne une fonction EUR : IR --> IR et on définit une 
fonction fEUR : Md(lR) --> Md(lR) telle que

VA & Md(lR), fg(A) = (EUR IR telles que

VA EUR Md(lR), A inversible à fEUR(A) inversible (V.1)

V.A -- Déterminer les fonctions continues EUR vérifiant la condition (V.l) 
lorsque d = 1.
On se place dorénavant dans le cas d > 2.

On se donne une fonction continue EUR de IR dans IR vérifiant (V.1).

V.B -- Montrer

..., b, c, d) 6 R4, ad # bc @ £EUR # EUREUR

& b 0 0
c d 0 0
On pourra considérer la matrice c d
Ï 5 Ici--2
c d
V. O' -- En déduire que la fonction EUR est injective, puis qu'elle est 
strictement monotone sur IR.
V.D -- Montrer que la fonction EUR ne s'annule pas sur IR*.

V.E -- Le but de cette question est de montrer {(D) = O.
V.E.1) Montrer que si £(O) # 0, alors il existe 04 > 0 tel que £(0)EUR(2) : 
EUR(1)EUR(d).
V.E.2) Oonclure.

V.F -- Soit 77 = EUR _1 : I --> IR la fonction réciproque de la bijection EUR : 
IR --> I . Montrer que la où cela est défini
2
(UMD) = 77(OE2)77(y2)
V. G -- On suppose dans cette question que la fonction 77 prend des valeurs 
strictement positives sur Ifi]0, +oo[.

V.G.1) Montrer que la fonction f : lno 77 o exp vérifie l'équation (IV.1) sur 
un intervalle ]--oo, M [, avec M
(éventuellement infini) a préciser en fonction de l'intervalle ] .

V.G.2) En déduire que sur l'intervalle ] 0 ]0, +oo[ la fonction 77 est de la 
forme
77 : 513 H K1oe0'1

avec deux constantes K1 > 0 et 041 > O.

V.G.3) Montrer que sur l'intervalle ] 0 ]--oo, 0[ la fonction 77 est de la forme
77 : :C H K2(--oe)0'2
avec deux constantes K2 < 0 et 042 > O.

V.G.4) Montrer que I : IR puis que la fonction 77 est une fonction impaire.

V.H -- En déduire dans le cas général que, si EUR : IR --> IR est une fonction 
continue vérifiant la condition (V.1),
alors elle est impaire et sa restriction à |Rï est de la forme 55 H Coe5, avec 
C # 0 et 3 > O.

V.I -- Pour À EUR IR, calculer le déterminant de la matrice A,\ E Md(lR) ne 
comportant que des 1 hors de la
diagonale et que des À sur la diagonale.

V.J -- En déduire toutes les fonctions continues EUR : IR + IR vérifiant (V.1).

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