Centrale Maths 1 MP 2014

Mathématiques 1 < d. Si i et j sont deux entiers entre 1 et d, on note A...- le coefficient placé ligne i et colonne j dans la matrice A. On rappelle que A0 = I d. On note Tr(A) la trace de la matrice A. Les parties I, II et III sont indépendantes des parties IV et V. I Une norme utile sur Md(lR) I.A -- Montrer que, pour tout polynôme P E C|X|, l'application fP : A l--> P(A) 
est une fonction continue
de Md(lR) dans MAC).

LB -- Montrer que l'application (A, B) l--> Tr('A x B) est un produit scalaire 
sur l'espace Md(lR).
Dans toute la suite du problème, on note || - || la norme associée à ce produit 
scalaire.
I.C -- Pour tous entiers i, j entre 1 et d et toute matrice A E Md(lR), 
comparer |A...-| et "A".

I.D -- Montrer que: V(A, B) E Md([R)2, ||A >< B|| < ||A|| - ||B||. LE -- Pour 71 E N* et A E Md([R), comparer "A"" et "A"". II Séries entières de matrices Dans cette partie, on se donne une série entière à coefficients complexes E ana" de rayon de convergence R n>O
strictement positif, éventuellement égal à +00.

+00
II.A -- Soit 3 = {A E Md([R), ||A|| < R}. Montrer que l'application cp : A |--> 
 0 telle que :
r--1
Vn & N. 2 lÀ;...l < CIIA"II k=0 II.B.4) En déduire que, pour tout entier 1»: entre 0 et (r -- 1), la série z anÀkln est absolument convergente n>O

dans C.
II.B.5) Conclure qu'il existe un unique polynôme P E [R|X| tel que ga(A) = P(A) 
et degP < 7'. 0 --1 --1 1 II.B.6) Déterminer ce polynôme P lorsque A = (--1 0 --1) et an = -- pour tout n E N. | 1 1 2 "' II. C -- Trouver une condition nécessaire et suffisante sur la série entière î: ana" pour qu'il existe P E [R|X| n>0
tel que

VA EUR Md([R), 

vaut An_1.

III.B.3) On considère le polynôme caractéristique

et
XA(X) = det(A -- X - rd) : Zaka
I--c=O

Montrer que pour R assez grand :

27r

xA = -- / 'xA = f<2æ> + f(2y) (Iv-1)

M
I V.A -- Soit 04 un nombre strictement inférieur a ? et F la primitive de f 
s'annulant en 04. Montrer que
M
pour tous 55 et y dans }--oo, ? {, avec y # oz, on a :

F(oe + y) -- F(a: + a) -- âF(2y) + âF(2a)

f(2oe)=2 y--a

I V.B -- En déduire que la fonction f est de classe C'" sur ]--oo, M [

IV. C -- Montrer que f " = 0, puis que l'ensemble des solutions continues de 
l'équation (IV.1) forme un [IQ--espace
vectoriel, dont on déterminera une base.

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V Étude d'une autre fonction matricielle

Dans cette partie, on se donne une fonction EUR : IR --> IR et on définit une 
fonction fEUR : Md(lR) --> Md(lR) telle que

VA & Md(lR), fg(A) = (EUR IR telles que

VA EUR Md(lR), A inversible à fEUR(A) inversible (V.1)

V.A -- Déterminer les fonctions continues EUR vérifiant la condition (V.l) 
lorsque d = 1.
On se place dorénavant dans le cas d > 2.

On se donne une fonction continue EUR de IR dans IR vérifiant (V.1).

V.B -- Montrer

..., b, c, d) 6 R4, ad # bc @ £EUR # EUREUR

& b 0 0
c d 0 0
On pourra considérer la matrice c d
Ï 5 Ici--2
c d
V. O' -- En déduire que la fonction EUR est injective, puis qu'elle est 
strictement monotone sur IR.
V.D -- Montrer que la fonction EUR ne s'annule pas sur IR*.

V.E -- Le but de cette question est de montrer {(D) = O.
V.E.1) Montrer que si £(O) # 0, alors il existe 04 > 0 tel que £(0)EUR(2) : 
EUR(1)EUR(d).
V.E.2) Oonclure.

V.F -- Soit 77 = EUR _1 : I --> IR la fonction réciproque de la bijection EUR : 
IR --> I . Montrer que la où cela est défini
2
(UMD) = 77(OE2)77(y2)
V. G -- On suppose dans cette question que la fonction 77 prend des valeurs 
strictement positives sur Ifi]0, +oo[.

V.G.1) Montrer que la fonction f : lno 77 o exp vérifie l'équation (IV.1) sur 
un intervalle ]--oo, M [, avec M
(éventuellement infini) a préciser en fonction de l'intervalle ] .

V.G.2) En déduire que sur l'intervalle ] 0 ]0, +oo[ la fonction 77 est de la 
forme
77 : 513 H K1oe0'1

avec deux constantes K1 > 0 et 041 > O.

V.G.3) Montrer que sur l'intervalle ] 0 ]--oo, 0[ la fonction 77 est de la forme
77 : :C H K2(--oe)0'2
avec deux constantes K2 < 0 et 042 > O.

V.G.4) Montrer que I : IR puis que la fonction 77 est une fonction impaire.

V.H -- En déduire dans le cas général que, si EUR : IR --> IR est une fonction 
continue vérifiant la condition (V.1),
alors elle est impaire et sa restriction à |Rï est de la forme 55 H Coe5, avec 
C # 0 et 3 > O.

V.I -- Pour À EUR IR, calculer le déterminant de la matrice A,\ E Md(lR) ne 
comportant que des 1 hors de la
diagonale et que des À sur la diagonale.

V.J -- En déduire toutes les fonctions continues EUR : IR + IR vérifiant (V.1).

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