Centrale Maths 1 MP 2014

Thème de l'épreuve Exemples d'études de fonctions matricielles et applications
Principaux outils utilisés normes matricielles, séries entières, séries de fonctions vectorielles, intégration de fonctions vectorielles
Mots clefs normes, series entieres, series de matrices, theoreme de Cayley-Hamilton, equations fonctionnelles

Corrigé

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Mathématiques 1 < d. Si i et j sont deux entiers entre 1 et d, on note A...- le coefficient placé ligne i et colonne j dans la matrice A. On rappelle que A0 = I d. On note Tr(A) la trace de la matrice A. Les parties I, II et III sont indépendantes des parties IV et V. I Une norme utile sur Md(lR) I.A -- Montrer que, pour tout polynôme P E C|X|, l'application fP : A l--> P(A) est une fonction continue de Md(lR) dans MAC). LB -- Montrer que l'application (A, B) l--> Tr('A x B) est un produit scalaire sur l'espace Md(lR). Dans toute la suite du problème, on note || - || la norme associée à ce produit scalaire. I.C -- Pour tous entiers i, j entre 1 et d et toute matrice A E Md(lR), comparer |A...-| et "A". I.D -- Montrer que: V(A, B) E Md([R)2, ||A >< B|| < ||A|| - ||B||. LE -- Pour 71 E N* et A E Md([R), comparer "A"" et "A"". II Séries entières de matrices Dans cette partie, on se donne une série entière à coefficients complexes E ana" de rayon de convergence R n>O strictement positif, éventuellement égal à +00. +00 II.A -- Soit 3 = {A E Md([R), ||A|| < R}. Montrer que l'application cp : A |-->  0 telle que : r--1 Vn & N. 2 lÀ;...l < CIIA"II k=0 II.B.4) En déduire que, pour tout entier 1»: entre 0 et (r -- 1), la série z anÀkln est absolument convergente n>O dans C. II.B.5) Conclure qu'il existe un unique polynôme P E [R|X| tel que ga(A) = P(A) et degP < 7'. 0 --1 --1 1 II.B.6) Déterminer ce polynôme P lorsque A = (--1 0 --1) et an = -- pour tout n E N. | 1 1 2 "' II. C -- Trouver une condition nécessaire et suffisante sur la série entière î: ana" pour qu'il existe P E [R|X| n>0 tel que VA EUR Md([R),  vaut An_1. III.B.3) On considère le polynôme caractéristique et XA(X) = det(A -- X - rd) : Zaka I--c=O Montrer que pour R assez grand : 27r xA = -- / 'xA = f<2æ> + f(2y) (Iv-1) M I V.A -- Soit 04 un nombre strictement inférieur a ? et F la primitive de f s'annulant en 04. Montrer que M pour tous 55 et y dans }--oo, ? {, avec y # oz, on a : F(oe + y) -- F(a: + a) -- âF(2y) + âF(2a) f(2oe)=2 y--a I V.B -- En déduire que la fonction f est de classe C'" sur ]--oo, M [ IV. C -- Montrer que f " = 0, puis que l'ensemble des solutions continues de l'équation (IV.1) forme un [IQ--espace vectoriel, dont on déterminera une base. 2014--02-15 17:39:12 Page 2/3 OE=C BY-NC-SA V Étude d'une autre fonction matricielle Dans cette partie, on se donne une fonction EUR : IR --> IR et on définit une fonction fEUR : Md(lR) --> Md(lR) telle que VA & Md(lR), fg(A) = (EUR IR telles que VA EUR Md(lR), A inversible à fEUR(A) inversible (V.1) V.A -- Déterminer les fonctions continues EUR vérifiant la condition (V.l) lorsque d = 1. On se place dorénavant dans le cas d > 2. On se donne une fonction continue EUR de IR dans IR vérifiant (V.1). V.B -- Montrer ..., b, c, d) 6 R4, ad # bc @ £EUR # EUREUR & b 0 0 c d 0 0 On pourra considérer la matrice c d Ï 5 Ici--2 c d V. O' -- En déduire que la fonction EUR est injective, puis qu'elle est strictement monotone sur IR. V.D -- Montrer que la fonction EUR ne s'annule pas sur IR*. V.E -- Le but de cette question est de montrer {(D) = O. V.E.1) Montrer que si £(O) # 0, alors il existe 04 > 0 tel que £(0)EUR(2) : EUR(1)EUR(d). V.E.2) Oonclure. V.F -- Soit 77 = EUR _1 : I --> IR la fonction réciproque de la bijection EUR : IR --> I . Montrer que la où cela est défini 2 (UMD) = 77(OE2)77(y2) V. G -- On suppose dans cette question que la fonction 77 prend des valeurs strictement positives sur Ifi]0, +oo[. V.G.1) Montrer que la fonction f : lno 77 o exp vérifie l'équation (IV.1) sur un intervalle ]--oo, M [, avec M (éventuellement infini) a préciser en fonction de l'intervalle ] . V.G.2) En déduire que sur l'intervalle ] 0 ]0, +oo[ la fonction 77 est de la forme 77 : 513 H K1oe0'1 avec deux constantes K1 > 0 et 041 > O. V.G.3) Montrer que sur l'intervalle ] 0 ]--oo, 0[ la fonction 77 est de la forme 77 : :C H K2(--oe)0'2 avec deux constantes K2 < 0 et 042 > O. V.G.4) Montrer que I : IR puis que la fonction 77 est une fonction impaire. V.H -- En déduire dans le cas général que, si EUR : IR --> IR est une fonction continue vérifiant la condition (V.1), alors elle est impaire et sa restriction à |Rï est de la forme 55 H Coe5, avec C # 0 et 3 > O. V.I -- Pour À EUR IR, calculer le déterminant de la matrice A,\ E Md(lR) ne comportant que des 1 hors de la diagonale et que des À sur la diagonale. V.J -- En déduire toutes les fonctions continues EUR : IR + IR vérifiant (V.1). oooFlNooo 2014--02-15 17:39:12 Page 3/3 OE=C BY-NC-SA

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 Centrale Maths 1 MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sadik Boujaida (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Christophe Fiszka (ENS Cachan) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Cette épreuve possède un thème central, les fonctions matricielles, qui sont ici des applications à valeurs dans Md (R) et dont la variable est une matrice de Md (R). On y évoque, par exemple, les matrices cos(A) et sin(A). Les outils utilisés font appel au cours d'algèbre, bien sûr, mais aussi à celui d'analyse. Ses cinq parties ont les thèmes suivants, dans l'ordre : · On étudie certaines propriétés de la norme euclidienne canonique de Md (R), notamment son caractère sous-multiplicatif. P · Lorsque an z n est une P série entière à coefficients complexes, on démontre que la série de fonctions an An , où A Md (R), admet une somme bien définie et continue sur un domaine précisé. On prouve en outre que, lorsqu'elle existe, P la somme de la série an An est un polynôme en A. 2 · On justifie une relation « trigonométrique + cos2 A = Id sur les maP» sini A -n n trices et, en utilisant la série de fonction (Re ) A de la variable réelle , on démontre le théorème de Cayley-Hamilton. · On démontre que les fonctions continues sur un intervalle de la forme ] - ; M [ et qui vérifient l'équation fonctionnelle 2f (x + y) = f (2x) + f (2y), pour tout 2 (x, y) ] - ; M/2 [ , sont les fonctions affines. · On détermine les applications continues : R R telles que A = (ai,j ) Md (R) A est inversible = (ai,j ) i,j est inversible Globalement, le sujet n'exige pas une connaissance profonde du cours. Par contre, c'est un bon moyen pour affûter son sens de la logique et de la rigueur mathématique. En outre, fait assez rare dans les sujets de concours pour être souligné, ce problème comporte des questions qui traitent de séries de fonctions d'une variable vectorielle, ainsi que des intégrales de fonctions de la variable réelle mais à valeurs dans l'algèbre Md (C). La partie III propose, en utilisant ces outils, de démontrer le théorème de Cayley-Hamilton, rien de moins. Les deux dernières parties, indépendantes du reste du sujet, ne nécessitent que des connaissances normalement acquises en première année de prépa et peuvent de ce fait être utilisées très tôt dans l'année de spé. Il y est question des propriétés usuelles des fonctions continues, d'équations fonctionnelles, de calcul de déterminants et de manipulation de matrices inversibles. Indications Partie I I.A Examiner les applications composantes, dans la base canonique de Md (R), de l'application A 7 P(A). I.B Écrire les expressions de Tr (t AB) et de Tr (t AA) en fonctions des coefficients peut être d'une grande aide, dans cette question et dans les suivantes. I.D Appliquer d'abord l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour obtenir une majora2 tion de (AB)j,j et additionner ensuite pour former une majoration de kABk2 . Partie II II.A Utiliser le théorème de continuité de la somme d'une série de fonctions. Prêter attention au fait qu'il s'agit ici d'une série de fonctions dont la variable est vectorielle (ce n'est pas une « série entière »). II.B.1 Penser au polynôme minimal de A, ou bien considérer la partie de N : k N | (Id , A, . . . , Ak ) est liée II.B.2 Remarquer que Ar est une combinaison linéaire de Id , A, . . . , Ar-1 et raisonner ensuite par récurrence sur n > r. II.B.3 Constater que (Id , A, . . . , Ar-1 ) est une base de R[A] et utiliser l'équivalence des normes sur R[A]. II.B.5 Il y a une erreur Pdans l'énoncé. Il faut prendre P dans C[X] et non dans R[X]. Constater que an An est la somme d'un nombre fini de séries convergentes. II.B.6 Exprimer A2 en fonction de A permet de conclure rapidement. II.C Analyser, quand ils sont définis, les éléments (xId ) où x R. Partie III III.A.1 Citer le résultat sur la convergence absolue du produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. III.A.2 Penser à justifier la convergence absolue des séries qui représentent e iA et e iB pour pouvoir utiliser le résultat de cours rappelé en III.A.1. III.A.3 Exprimer de façon rigoureuse e iA et e -iA en fonction de cos A et sin A. Penser à justifier que cos(A) et sin(A) commutent. P III.B.1 Justifier que la série (Re i )-n An converge pour R assez grand et utiliser ses sommes partielles pour déterminer l'expression de (Re i Id - A)-1 comme somme d'une série. III.B.2 Appliquer un résultat sur l'intégration terme à terme d'une série de fonctions au développement de la question précédente. III.B.3 Constater, lorsque c'est possible, que A (z)(A - zId )-1 = t Com(A - zId ) et que les coefficients de Com(A - zId ) sont des fonctions polynomiales de z. Partie IV Z y IV.A Écrire F(x + y) - F(x + ) = f (x + t) dt. IV.B Justifier par récurrence que f est de classe C k pour tout k N. IV.C Dériver deux fois la relation 2f (x + y) = f (2x) + f (2y) en alternant les variables. Dériver une autre relation fonctionnelle de f peut aussi aboutir. Partie V V.B Calculer les déterminants de A et de f (A). Pour le deuxième, simplifier les lignes de la 3ème à la d ème en utilisant des opérations élémentaires avec la deuxième ligne. V.E.1 Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires sur [ 0 ; 2 ], sans omettre de discuter selon la monotonie de . V.F Utiliser l'implication : (a)(d) = (b)(c) = ad = bc et choisir convenablement a, b, c et d en fonction de x et y. V.G.1 Déterminer l'ensemble des éléments dont l'image par la fonction exponentielle est dans l'intervalle I ] 0 ; + [. V.G.2 Utiliser les résultats des questions IV.C et V.G.1. V.G.3 Penser à faire intervenir la fonction 1 : x 7 -(-x), et justifier que la fonction réciproque 1 de 1 vérifie les mêmes hypothèses que . V.G.4 Noter I = ] a ; b [ et justifier que tend vers + en b en utilisant l'expression de . Constater que (-x)2 = (x)2 et que est strictement négative sur ] - ; 0 [. V.H Utiliser les questions précédentes lorsque est positive sur ] 0 ; + [. Considérer la fonction 1 = - lorsque est négative sur ] 0 ; + [. V.I Ajouter toutes les lignes à la première et utiliser la nouvelle ligne pour simplifier la matrice. V.J Discuter selon que d = 2 ou d > 2. Dans le cas d > 2 utiliser la question V.H et l'implication f (A ) non inversible = A non inversible en choisissant judicieusement le paramètre . I. Une norme utile sur l'espace M d (R) I.A Soit un polynôme P C[X]. Pour toute matrice A de Md (R) les coefficients de P(A) s'expriment de manière polynomiale en fonction de A. Ce qui signifie que les applications composantes, dans la base canonique de Md (R), de l'application A 7 P(A) sont des fonctions polynomiales. Ainsi, Pour tout P C[X], l'application A 7 P(A) de Md (R) dans Md (C) est continue. I.B D'abord, on constate que pour tout entier j compris entre 1 et d (t AB)j,j = d P Ak,j Bk,j k=1 Tr (t AB) = ce qui mène à P Ak,j Bk,j (1) 16k,j6d Maintenant, on vérifie que · pour tout A Md (R), l'application B 7 Tr (t AB) est linéaire par linéarité de la trace et de la transposition ; 2 · pour tout (A, B) (Md (R)) , Tr (t AB) = Tr t (t AB) = Tr (t BA) ; P 2 · pour tout A Md (R), Tr (t AA) = Aj,k > 0; 16j,k6d t · enfin, si A 6= 0, Tr ( AA) > 0, car dans l'écriture précédente de Tr (t AA), l'un au moins des coefficients Aj,k est non nul. Ainsi, L'application (A, B) 7 Tr (t AB) est un produit scalaire de Md (R). Ce produit scalaire est appelé produit scalaire canonique de Md (R). Noter la similitude de l'écriture (1) avec l'expression du produit scalaire canonique de Rd . La norme associée est définie par P 2 A Md (R) kAk = Tr (t AA) = Ai,j 16i,j6d Cette norme est appelée norme de Schur (ou de Frobenius) de Md (R). Si on note également k.k la norme euclidienne canonique de Md,1 (R) et si (E1 , E2 , . . . , Ed ) désigne la base canonique de Md,1 (R) alors on constate que (AE1 , AE2 , . . . , AEd ) est la famille des vecteurs colonnes de A et que d P kAk = kAEj k2 (2) j=1 Si X = t x1 x2 · · · xd est un vecteur de Md,1 (R) alors d 2 d d P P P kAXk2 = (AX)2j = Aj,k xk j=1 j=1 k=1 et via l'inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout j compris entre 1 et d, d 2 d d d P P 2 P 2 P 2 Aj,k xk = kXk2 Aj,k Aj,k xk 6 k=1 k=1 k=1 k=1