Centrale Maths 1 MP 2012

Thème de l'épreuve Produit de convolution, transformée de Fourier et codimension finie
Principaux outils utilisés intégrale dépendant d'un paramètre, séries de Fourier
Mots clefs convolution, transformation de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MP 4 heures Calculatrices autorisées 2012 Mathématiques 1 Notations On note : C(R) le C-espace vectoriel des fonctions continues de R dans C. Cb (R) le sous-espace vectoriel de C(R) constitué des fonctions bornées appartenant à C(R). L1 (R) le sous-espace vectoriel de C(R) constitué des fonctions intégrables sur R et appartenant à C(R). L2 (R) le sous-espace vectoriel de C(R) constitué des fonctions de carré intégrable sur R et appartenant à C(R). Pour toute fonction f de Cb (R), on pose ëf ë = sup |f (t)|. ÚtR Pour toute fonction f de L1 (R), on pose ëf ë1 = |f (t)| dt. óRÚ Pour toute fonction f de L2 (R), on pose ëf ë2 = |f (t)|2 dt. R On admet que ces expressions définissent des normes sur les espaces en question. Soit f une fonction complexe d'une variable réelle. Par définition, le support de f est l'adhérence de l'ensemble Af = {x R | f (x) Ó= 0}. On dit que f est à support compact si son support est un compact de R ; en d'autres termes, f est à support compact si et seulement s'il existe un réel A > 0 tel que f soit nulle en dehors de [-A, A]. Par définition, une approximation de l'unité est une suite de fonctions (fn )nN , continues par morceaux et intégrables sur R, vérifiant les conditions suivantes : n N, fn est positive sur R ; Ú fn = 1 ; n N, R Ú - Ú + > 0, lim fn = 0 et lim fn = 0. n+ n+ - I Produit de convolution Soit f , g C(R). Lorsque la fonction t Ô f (t)g(x - t) est intégrable sur R, on pose Ú (f g)(x) = f (t)g(x - t) dt. R La fonction f g est appelée produit de convolution de f par g. I.A ­ Généralités I.A.1) Dans chacun des deux cas suivants, montrer que f g est définie et bornée sur R et donner une majoration de ëf gë pouvant faire intervenir ë · ë1 , ë · ë2 ou ë · ë . a) f L1 (R), g Cb (R) ; b) f , g L2 (R). I.A.2) Soient f , g C(R) telles que f g(x) soit défini pour tout réel x. Montrer que f g = g f . I.A.3) Montrer que si f et g sont à support compact, alors f g est à support compact. I.B ­ Produit de convolution de deux éléments de L2 (R) Pour toute fonction h de C(R) et tout réel , on définit la fonction T (h) en posant T (h)(x) = h(x - ) pour tout x R. Dans cette sous-partie I.B, on suppose que f et g appartiennent à L2 (R). I.B.1) Montrer qu'une fonction h est uniformément continue sur R si et seulement si lim ëT (h) - hë = 0. 0 I.B.2) Pour tout réel , montrer que T (f g) = (T (f )) g. I.B.3) Pour tout réel , montrer que ëT (f g) - f gë 6 ëT (f ) - f ë2 × ëgë2 . 30 avril 2012 08:20 Page 1/4 I.B.4) En déduire que f g est uniformément continue sur R dans le cas où f est à support compact. I.B.5) Montrer que f g est uniformément continue sur R dans le cas général. I.C ­ Continuité, dérivabilité, séries de Fourier I.C.1) On suppose que f L1 (R) et g Cb (R). a) Montrer que f g est continue. b) Montrer que si g est uniformément continue sur R, alors f g est uniformément continue sur R. I.C.2) Soit k un entier naturel non nul. On suppose que g est de classe C k sur R et que toutes ses fonctions dérivées, jusqu'à l'ordre k, sont bornées sur R. Montrer que f g est de classe C k sur R et préciser sa fonction dérivée d'ordre k. I.C.3) Dans cette question I.C.3, on suppose que g est continue, 2-périodique et de classe C 1 par morceaux. a) Énoncer sans démonstration le théorème sur les séries de Fourier applicable aux fonctions continues, 2périodiques et de classe C 1 par morceaux. b) Montrer que f g est 2-périodique et est somme de sa série de Fourier. Expliciter les coefficients de Fourier de f g à l'aide des coefficients de Fourier de g et d'intégrales faisant intervenir f . I.D ­ Approximation de l'unité Soit f Cb (R) et soit (n ) une suite de fonctions approximation de l'unité. I.D.1) Montrer que la suite (f n )nN converge simplement vers f sur R. I.D.2) Montrer que si f est à support compact, alors la suite (f n )nN converge uniformément vers f sur R. I.D.3) Pour tout entier naturel n, on note hn la fonction définie sur [-1, 1] par ! "n 1 - t2 hn (t) = n et nulle en dehors de [-1, 1], le réel n étant donné par la formule Ú 1 ! "n n = 1 - t2 dt. -1 a) Montrer que la suite de fonctions (hn )nN est une approximation de l'unité. 6 5 1 1 b) Montrer que si f est une fonction continue à support inclus dans - , , alors f hn est une fonction 2 2 6 5 6 5 3 3 1 1 polynomiale sur - , et nulle en dehors de l'intervalle - , . 2 2 2 2 c) En déduire une démonstration du théorème de Weierstrass : toute fonction complexe continue sur un segment de R est limite uniforme sur ce segment d'une suite de fonctions polynomiales. I.D.4) Existe-t-il une fonction g Cb (R) telle que pour toute fonction f de L1 (R), on ait f g = f ? II Transformée de Fourier Pour toute fonction f L1 (R), on appelle transformée de Fourier de f la fonction, notée f^, définie par Ú f (t)e-ixt dt. x R f^(x) = R II.A ­ Pour toute fonction f L1 (R), montrer que f^ appartient à Cb (R). II.B ­ Transformée de Fourier d'un produit de convolution Soit f , g L1 (R). II.B.1) On suppose que g est bornée. a) Montrer que f g est intégrable sur R et déterminer Ú f g en fonction de R Ú R f et Ú R b) Montrer que f[ g = f^ × g. II.B.2) Un contre-exemple Montrer qu'il existe deux fonctions f et g dans L1 (R) telle que f g(0) ne soit pas défini. 30 avril 2012 08:20 Page 2/4 g. II.C ­ Sinus cardinal On définit, pour tout entier naturel non nul n, la fonction kn par I |x| kn (x) = 1 - si |x| 6 n ; n kn (x) = 0 sinon. II.C.1) Exprimer la transformée de Fourier kn (x) à l'aide de la fonction définie par 3 42 sin x si x Ó= 0 ; (x) = x 1 si x = 0. II.C.2) Justifier que L1 (R). Ú 1 = . On pose Kn = On admet que kn . 2 R II.C.3) Montrer que la suite de fonctions (Kn )n>1 est une approximation de l'unité. II.D ­ Inversion de Fourier Soit f L1 (R) telle que f^ L1 (R). Pour tout réel t et tout entier naturel non nul n, on pose Ú 1 In (t) = kn (x)f^(-x)e-itx dx. 2 R II.D.1) Pour tout réel t et tout entier naturel non nul n, montrer que In (t) = (f Kn )(t). II.D.2) En déduire, pour tout réel t : 1 f (t) = 2 Ú f^(x)eitx dx. R III Convolution et codimension finie Dans cette partie, on suppose que g Cb (R). On s'intéresse à la codimension dans L1 (R) du sous-espace vectoriel Ng = {f L1 (R) | f g = 0}. On note Vg l'espace vectoriel engendré par les fonctions T (g) : Vg = Vect (T (g))R où, comme au I.B, on note T (g) la fonction x Ô g(x - ). III.A ­ À toute fonction g de C(R), on associe la forme linéaire g sur L1 (R) définie par Ú f (t)g(-t)dt. g (f ) = R Soit (g1 , . . . , gp ) une famille d'éléments de Cb (R). III.A.1) Montrer que la famille (g1 , . . . , gp ) est libre si et seulement si la famille (g1 , . . . , gp ) est libre. III.A.2) Soit E un espace vectoriel de dimension infinie et (fn )nN une famille de formes linéaires sur E. On note Ü K= Ker(fn ). nN Montrer que la codimension de K dans E est égale au rang de la famille (fn )nN dans l'espace dual E (on commencera par le cas où ce rang est fini). III.A.3) Montrer que la codimension de Ng dans L1 (R) est égale à la dimension de Vg . III.A.4) a) Soit R et soit g la fonction définie par g(t) = eit pour tout t R. Déterminer la codimension de Ng dans L1 (R). b) Soit n un entier naturel. Montrer qu'il existe une fonction g de Cb (R) telle que Ng soit de codimension n dans L1 (R). 30 avril 2012 08:20 Page 3/4 III.B ­ Hypothèse A Soit g Cb (R). On dit que g vérifie l'hypothèse A si g est une fonction de classe C sur R, bornée et dont les fonctions dérivées à tout ordre sont bornées sur R. III.B.1) Montrer que, si Ng est de codimension finie dans L1 (R) et si g vérifie l'hypothèse A, alors g est solution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants. III.B.2) En déduire l'ensemble des fonctions g vérifiant l'hypothèse A et telles que Ng soit de codimension finie dans L1 (R). III.C ­ Cas général Soit g Cb (R). On suppose que Ng est de codimension finie n dans L1 (R). III.C.1) Montrer qu'il existe des réels 1 , 2 , . . . , n et des fonctions m1 , . . . , mn d'une variable réelle telles que, pour tout réel , T (g) = n Ø mi ()Ti (g). i=1 III.C.2) Soit F un sous-espace de dimension finie, notée p, de C(R). Pour toute fonction f C(R) et pour tout réel x, on note ex (f ) = f (x). a) Montrer qu'il existe des réels a1 , . . . , ap tels que (ea1 , . . . , eap ) soit une base de l'espace dual F . b) Si (f1 , . . . , fp ) est une famille d'éléments de F , montrer que Det(fi (aj ))16i,j6p est non nul si et seulement si (f1 , . . . , fp ) est une base de F . III.C.3) En appliquant la question III.C.2) à Vg , montrer que si g est de classe C k alors les fonctions m1 , . . . , mn sont de classe C k . III.C.4) Montrer que, pour tout entier naturel r non nul, Vhr g est de dimension finie (les fonctions hr sont celles de la question I.D.3). III.C.5) Montrer que pour r assez grand la dimension de Vhr g est égale à celle de Vg . III.C.6) En déduire que les fonctions m1 , . . . , mn sont de classe C . III.C.7) Déterminer l'ensemble des fonctions g Cb (R) telles que Ng soit de codimension finie dans L1 (R). · · · FIN · · · 30 avril 2012 08:20 Page 4/4

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 Centrale Maths 1 MP 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean Louet (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur agrégé). L'épreuve est consacrée à l'étude d'une opération entre fonctions appelée convolution. Si sa définition générale n'est pas vraiment intuitive, elle se simplifie considérablement dans le cas de fonctions de N dans Z à support fini, qui est le contexte dans lequel cette opération est utilisée en ingénierie, plus spécifiquement en traitement d'images où, par exemple, on peut lisser des défauts en remplaçant la valeur d'un pixel par la moyenne des valeurs de 4 ou 8 pixels voisins. Dans ce problème, cette opération n'est abordée que pour les fonctions continues de la variable réelle. · La première partie est consacrée à l'étude du produit de convolution de deux fonctions d'une variable réelle. On y étudie d'abord pour quels types de fonction ce produit est bien défini et son comportement par rapport aux fonctions de départ (continuité, uniforme continuité, dérivabilité), puis on établit le lien avec les séries de Fourier dans le cas où l'une des fonctions est périodique. Enfin, on utilise les résultats du début du problème et la notion d'approximation de l'unité pour démontrer le théorème de Weierstrass : toute fonction continue sur un segment y est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales. · La deuxième partie, dans le prolongement de la première, établit des propriétés plus fines de la convolution et le lien avec la transformation de Fourier. Deux questions délicates, étudiant l'intégrabilité de f g et l'effet de la transformation de Fourier sur un produit de convolution, nécessitent d'appliquer soigneusement le théorème de Fubini ; enfin, on termine en exploitant les résultats précédents et en utilisant là encore la notion d'approximation de l'unité, afin de montrer la formule d'inversion de Fourier dans le cas d'une fonction intégrable de transformée de Fourier intégrable. · Dans la troisième partie, on aborde le thème de la codimension dans L1 (R) de l'ensemble {f L1 (R) : f g = 0} où g est une fonction continue et bornée sur R. Il est donc question d'algèbre linéaire en dimension finie et infinie. On fait le lien entre cet ensemble et la dimension de l'espace vectoriel Vg engendré par les translatées de g. On envisage dans un premier temps le cas d'une fonction g régulière ; puis, à l'aide d'un joli raisonnement par l'absurde, on s'y ramène dans le cas général en étudiant le comportement de Vgn , où (gn )nN est une approximation régulière de g. Le sujet aborde donc des outils variés, essentiellement liés à l'analyse à une variable (intégrales à paramètres, séries de Fourier), mais aussi à l'algèbre linéaire. On y aborde des résultats classiques comme la formule d'inversion de Fourier, et d'autres plus originaux traitant d'algèbre linéaire dans l'espace vectoriel L1 (R). C'est un très beau problème, mais il est particulièrement long et certaines questions sont assez techniques. Indications Partie I I.A.1.b Se souvenir que si deux fonctions sont de carré intégrable, leur produit est intégrable et l'on a l'inégalité de Cauchy-Schwarz. I.A.3 Remarquer que si |x| est assez grand, f (t)g(x - t) est nul pour tout t. I.B.1 Écrire la définition de l'uniforme continuité et celle de la limite. I.B.4 Commencer par montrer qu'une fonction continue à support compact est uniformément continue sur R. Majorer alors kT (f ) - f k2 en fonction de kT (f ) - f k et du support (compact) de f , puis utiliser la question I.B.1. I.B.5 Cette question est difficile. > 0 étant fixé, il faut introduire manuellement une fonction fe à support compact qui coïncide avec f sur un intervalle [ -A ; A ] assez grand pour que l'intégrale de |f 2 | en dehors de cet intervalle soit plus petite que , puis appliquer la question précédente à fe. I.C.1.a Appliquer directement le théorème de continuité sous le signe intégrale. I.C.1.b Utiliser la question I.B.1. I.C.2 Appliquer k fois le théorème de dérivabilité sous le signe intégrale. I.C.3.b Développer g en série de Fourier dans l'intégrale définissant f g(x), permuter l'intégration et la sommation et calculer le coefficient de Fourier de la fonction obtenue. Z I.D.1 L'intégrale de n valant 1, on peut écrire f (x) = f (x)n (t) dt. Majorer R ensuite |f n (x)- f (x)| en coupant l'intégrale obtenue selon que |t| 6 ou |t| > ( étant fixée de sorte que |f (x - t) - f (x)| soit « petit » si |t| 6 ). I.D.2 Même démarche à la question précédente, mais vient ici de l'uniforme continuité de f . I.D.3.b Si x et t sont dans [ -1/2 ; 1/2 ] alors hn (x - t) est un polynôme en x et t. I.D.3.c Commencer par prolonger f en une fonction continue sur R à support compact, puis se ramener à l'intervalle [ -1/2 ; 1/2 ]. Partie II II.B.1.a Appliquer le théorème de Fubini à la fonction (t, x) 7 f (t)g(x-t) sur R×R. Pour montrer que f g est intégrable sur R, on majore toutes ses intégrales sur les segments [ -B ; B ] en faisant tendre A vers + dans l'expression ! Z Z B A -B -A |f (t)g(x - t)| dt dx II.B.1.b Appliquer la question I.B.1.a aux fonctions u 7 f (u) e -ixu et u 7 g(u) e -ixu 4 3 II.B.2 Considérer la fonction valant, pour chaque - (n - 1/n )) sur n N, n 3(x 3 4 3 n - 1/n ; n , -n (x - (n + 1/n )) sur n ; n + 1/n et nulle en dehors de ces intervalles. II.D.1 Il faut là encore appliquer le théorème de Fubini, la fonction de deux variables étant, à t fixé, (u, x) 7 f (u)kn (x)e -ix(u+t) . II.D.2 Montrer que les deux membres de la question précédente convergent simplement vers ceux de l'égalité cherchée. Attention, f n'étant pas supposée bornée, on ne peut pas lui appliquer directement la question I.D.1. Partie III III.A.1 Commencer par montrer l'équivalence g = 0 g = 0. III.A.2 Si F est un supplémentaire de K dans E et (f1 , . . . , fp ) une base extraite de (fn )nN , considérer l'application x 7 (f1 (x), . . . , fp (x)) III.A.3 III.A.4.b III.B.1.a III.B.1.b III.C.2.a définie sur F, et montrer qu'elle est injective. Puis montrer que la famille (f1 |F , . . . , fp |f ) est libre dans F . L'énoncé est ici mal fait : il faut utiliser la question précédente avec la famille (T (g) )R , mais celle-ci est indexée sur R et non sur N. Le mieux est de signaler que le résultat de III.A.2 reste valable dans ce cas. Poser gj (t) = e ij t , 1 6 i 6 n, où les e ij sont deux à deux distincts ; il faut d'abord montrer que (g1 , . . . , gn ) est libre, puis l'exploiter pour prouver que si g = g1 + · · · + gn , Vg est de dimension n. On utilise ici plusieurs fois les déterminants de Vandermonde. Utiliser la définition de la dérivée pour montrer que la dérivée de g est limite uniforme de fonctions qui sont dans Vg , qui est un espace de dimension finie. Redémontrer que les solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants sont sommes de fonctions produits d'un polynôme et d'une exponentielle. Si (1 , . . . , p ) est une base de F, la famille (ea1 , . . . , eap ) a pour matrice M = (i (aj ))16i,j6p dans la base duale (1 , . . . , p ). On est donc amené à trouver (a1 , . . . , ap ) tel que det M soit non nul. Il faut les construire par récurrence. III.C.2.b La matrice (fj (ai ))16i,j6p est celle de (f1 , . . . , fp ) dans la base antéduale associée à (ea1 , . . . , eap ). III.C.3 Montrer que (m1 (), . . . , mp ()) est image d'un vecteur de classe C k par rapport à par l'inverse de la matrice dont on vient de calculer le déterminant, qui ne dépend pas de . Pour résoudre les questions suivantes, il faudra de plus montrer (ce qui n'est pas demandé dans l'énoncé) que les k dérivées des fonctions m1 , . . . , mn sont bornées. III.C.5 Cette question est particulièrement difficile. En raisonnant par l'absurde, on trouve une suite de vecteurs (1 (k), . . . , n (k))kN de norme 1 et une suite (rk )kN d'entiers, strictement croissante, telle que, pour tout k N 1 (k)hrk T1 (g) + · · · + n (k)hrk Tn (g) = 0 puis en passant à la limite par compacité, on trouve une combinaison linéaire non triviale nulle de T1 (g), . . . , Tn (g). III.C.6 Pour r N , hr est de classe C r-1 . En déduire que hr g l'est également, puis montrer que les fonctions mi pour 1 6 i 6 n sont chacune une combinaison linéaire des fonctions 7- (hr g)(ai - ) pour un certain n-uplet de réels (a1 , . . . , an ). En déduire non seulement que les fonctions m1 , . . . , mn sont de classe C , mais qu'elles vérifient l'hypothèse A. III.C.7 Montrer à l'aide de la question précédente que g vérifie l'hypothèse A. I. Produit de convolution I.A Généralités I.A.1.a Soit x R. On a pour tout réel t l'inégalité : |f (t)g(x - t)| 6 |f (t)| kgk qui, comme f L1 (R), est intégrable par rapport à la variable t. Ainsi, la fonction t 7 f (t)g(x - t) est intégrable sur R et Z Z f (t)g(x - t) dt 6 |f (t)g(x - t)| dt R R 6 Z R pour tout x R. Finalement, |f (t)| dt kgk La fonction f g est bien définie et bornée sur R, et l'on a la majoration kf gk 6 kf k1 kgk . En toute rigueur, pour pouvoir parler de la norme infinie de f g, il faudrait montrer que cette fonction est continue sur R (ou étendre la définition de la norme infinie aux fonctions seulement bornées), mais ce résultat étant demandé ultérieurement (question I.C.1), il ne semble pas attendu ici. ZI.A.1.b Soit x R. La fonction g est de carré intégrable sur R ; dans l'intégrale g 2 (u) du, on effectue le changement de variable affine u = x - t qui montre que R t 7 g(x - t)2 est intégrable sur R et que l'on a l'égalité : Z Z g(x - t)2 dt = g(u)2 du R R soit kg(x - ·)k2 = kgk2 . Alors le produit de f et g(x - ·) est intégrable (car les deux fonctions sont de carré intégrable) sur R et l'on a par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : rZ rZ Z f (t)g(x - t) dt 6 |f (t)|2 dt |g(x - t)|2 dt R R R La fonction f g est bien définie et bornée sur R, et on l'a la majoration kf gk 6 kf k2 kgk2 . I.A.2 Pour tout x R, le changement de variable affine x - t = u donne : Z Z f (t)g(x - t) dt = f (x - u)g(u) du R soit R f g =gf