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4 heures
Calculatrices autorisées
2012
Mathématiques 1
Notations
On note :
C(R) le C-espace vectoriel des fonctions continues de R dans C.
Cb (R) le sous-espace vectoriel de C(R) constitué des fonctions bornées
appartenant à C(R).
L1 (R) le sous-espace vectoriel de C(R) constitué des fonctions intégrables sur
R et appartenant à C(R).
L2 (R) le sous-espace vectoriel de C(R) constitué des fonctions de carré
intégrable sur R et appartenant à C(R).
Pour toute fonction f de Cb (R), on pose ëf ë = sup |f (t)|.
ÚtR
Pour toute fonction f de L1 (R), on pose ëf ë1 =
|f (t)| dt.
óRÚ
Pour toute fonction f de L2 (R), on pose ëf ë2 =
|f (t)|2 dt.
R
On admet que ces expressions définissent des normes sur les espaces en question.
Soit f une fonction complexe d'une variable réelle. Par définition, le support
de f est l'adhérence de l'ensemble
Af = {x R | f (x) Ó= 0}. On dit que f est à support compact si son support est
un compact de R ; en d'autres
termes, f est à support compact si et seulement s'il existe un réel A > 0 tel
que f soit nulle en dehors de
[-A, A].
Par définition, une approximation de l'unité est une suite de fonctions (fn )nN
, continues par morceaux et
intégrables sur R, vérifiant les conditions suivantes :
n N, fn est positive sur R ;
Ú
fn = 1 ;
n N,
R
Ú -
Ú +
> 0,
lim
fn = 0 et lim
fn = 0.
n+
n+
-
I Produit de convolution
Soit f , g C(R). Lorsque la fonction t Ô f (t)g(x - t) est intégrable sur R,
on pose
Ú
(f g)(x) =
f (t)g(x - t) dt.
R
La fonction f g est appelée produit de convolution de f par g.
I.A
Généralités
I.A.1) Dans chacun des deux cas suivants, montrer que f g est définie et
bornée sur R et donner une
majoration de ëf gë pouvant faire intervenir ë · ë1 , ë · ë2 ou ë · ë .
a) f L1 (R), g Cb (R) ;
b) f , g L2 (R).
I.A.2)
Soient f , g C(R) telles que f g(x) soit défini pour tout réel x. Montrer que
f g = g f .
I.A.3)
Montrer que si f et g sont à support compact, alors f g est à support compact.
I.B
Produit de convolution de deux éléments de L2 (R)
Pour toute fonction h de C(R) et tout réel , on définit la fonction T (h) en
posant T (h)(x) = h(x - ) pour
tout x R.
Dans cette sous-partie I.B, on suppose que f et g appartiennent à L2 (R).
I.B.1) Montrer qu'une fonction h est uniformément continue sur R si et
seulement si lim ëT (h) - hë = 0.
0
I.B.2)
Pour tout réel , montrer que T (f g) = (T (f )) g.
I.B.3)
Pour tout réel , montrer que ëT (f g) - f gë 6 ëT (f ) - f ë2 × ëgë2 .
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I.B.4)
En déduire que f g est uniformément continue sur R dans le cas où f est à
support compact.
I.B.5)
Montrer que f g est uniformément continue sur R dans le cas général.
I.C
Continuité, dérivabilité, séries de Fourier
I.C.1)
On suppose que f L1 (R) et g Cb (R).
a) Montrer que f g est continue.
b) Montrer que si g est uniformément continue sur R, alors f g est
uniformément continue sur R.
I.C.2) Soit k un entier naturel non nul. On suppose que g est de classe C k sur
R et que toutes ses fonctions
dérivées, jusqu'à l'ordre k, sont bornées sur R.
Montrer que f g est de classe C k sur R et préciser sa fonction dérivée
d'ordre k.
I.C.3) Dans cette question I.C.3, on suppose que g est continue, 2-périodique
et de classe C 1 par morceaux.
a) Énoncer sans démonstration le théorème sur les séries de Fourier applicable
aux fonctions continues, 2périodiques et de classe C 1 par morceaux.
b) Montrer que f g est 2-périodique et est somme de sa série de Fourier.
Expliciter les coefficients de Fourier
de f g à l'aide des coefficients de Fourier de g et d'intégrales faisant
intervenir f .
I.D
Approximation de l'unité
Soit f Cb (R) et soit (n ) une suite de fonctions approximation de l'unité.
I.D.1) Montrer que la suite (f n )nN converge simplement vers f sur R.
I.D.2)
Montrer que si f est à support compact, alors la suite (f n )nN converge
uniformément vers f sur R.
I.D.3)
Pour tout entier naturel n, on note hn la fonction définie sur [-1, 1] par
!
"n
1 - t2
hn (t) =
n
et nulle en dehors de [-1, 1], le réel n étant donné par la formule
Ú 1
!
"n
n =
1 - t2 dt.
-1
a) Montrer que la suite de fonctions (hn )nN est une approximation de l'unité.
6
5
1 1
b) Montrer que si f est une fonction continue à support inclus dans - , , alors
f hn est une fonction
2 2
6
5
6
5
3 3
1 1
polynomiale sur - ,
et nulle en dehors de l'intervalle - , .
2 2
2 2
c) En déduire une démonstration du théorème de Weierstrass : toute fonction
complexe continue sur un segment
de R est limite uniforme sur ce segment d'une suite de fonctions polynomiales.
I.D.4) Existe-t-il une fonction g Cb (R) telle que pour toute fonction f de L1
(R), on ait f g = f ?
II Transformée de Fourier
Pour toute fonction f L1 (R), on appelle transformée de Fourier de f la
fonction, notée f^, définie par
Ú
f (t)e-ixt dt.
x R f^(x) =
R
II.A
Pour toute fonction f L1 (R), montrer que f^ appartient à Cb (R).
II.B
Transformée de Fourier d'un produit de convolution
Soit f , g L1 (R).
II.B.1) On suppose que g est bornée.
a) Montrer que f g est intégrable sur R et déterminer
Ú
f g en fonction de
R
Ú
R
f et
Ú
R
b) Montrer que f[
g = f^ × g.
II.B.2) Un contre-exemple
Montrer qu'il existe deux fonctions f et g dans L1 (R) telle que f g(0) ne
soit pas défini.
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g.
II.C Sinus cardinal
On définit, pour tout entier naturel non nul n, la fonction kn par
I
|x|
kn (x) = 1 -
si |x| 6 n ;
n
kn (x) = 0
sinon.
II.C.1) Exprimer la transformée de Fourier kn (x) à l'aide de la fonction
définie par
3
42
sin x
si x Ó= 0 ;
(x) =
x
1
si x = 0.
II.C.2) Justifier que L1 (R).
Ú
1
= . On pose Kn =
On admet que
kn .
2
R
II.C.3) Montrer que la suite de fonctions (Kn )n>1 est une approximation de
l'unité.
II.D
Inversion de Fourier
Soit f L1 (R) telle que f^ L1 (R). Pour tout réel t et tout entier naturel
non nul n, on pose
Ú
1
In (t) =
kn (x)f^(-x)e-itx dx.
2 R
II.D.1) Pour tout réel t et tout entier naturel non nul n, montrer que In (t) =
(f Kn )(t).
II.D.2) En déduire, pour tout réel t :
1
f (t) =
2
Ú
f^(x)eitx dx.
R
III Convolution et codimension finie
Dans cette partie, on suppose que g Cb (R). On s'intéresse à la codimension
dans L1 (R) du sous-espace
vectoriel
Ng = {f L1 (R) | f g = 0}.
On note Vg l'espace vectoriel engendré par les fonctions T (g) :
Vg = Vect (T (g))R
où, comme au I.B, on note T (g) la fonction x Ô g(x - ).
III.A À toute fonction g de C(R), on associe la forme linéaire g sur L1 (R)
définie par
Ú
f (t)g(-t)dt.
g (f ) =
R
Soit (g1 , . . . , gp ) une famille d'éléments de Cb (R).
III.A.1) Montrer que la famille (g1 , . . . , gp ) est libre si et seulement si
la famille (g1 , . . . , gp ) est libre.
III.A.2) Soit E un espace vectoriel de dimension infinie et (fn )nN une famille
de formes linéaires sur E. On
note
Ü
K=
Ker(fn ).
nN
Montrer que la codimension de K dans E est égale au rang de la famille (fn )nN
dans l'espace dual E (on
commencera par le cas où ce rang est fini).
III.A.3) Montrer que la codimension de Ng dans L1 (R) est égale à la dimension
de Vg .
III.A.4)
a) Soit R et soit g la fonction définie par g(t) = eit pour tout t R.
Déterminer la codimension de Ng
dans L1 (R).
b) Soit n un entier naturel. Montrer qu'il existe une fonction g de Cb (R)
telle que Ng soit de codimension n
dans L1 (R).
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III.B Hypothèse A
Soit g Cb (R). On dit que g vérifie l'hypothèse A si g est une fonction de
classe C sur R, bornée et dont les
fonctions dérivées à tout ordre sont bornées sur R.
III.B.1) Montrer que, si Ng est de codimension finie dans L1 (R) et si g
vérifie l'hypothèse A, alors g est solution
d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
III.B.2) En déduire l'ensemble des fonctions g vérifiant l'hypothèse A et
telles que Ng soit de codimension finie
dans L1 (R).
III.C Cas général
Soit g Cb (R). On suppose que Ng est de codimension finie n dans L1 (R).
III.C.1) Montrer qu'il existe des réels 1 , 2 , . . . , n et des fonctions m1 ,
. . . , mn d'une variable réelle telles
que, pour tout réel ,
T (g) =
n
Ø
mi ()Ti (g).
i=1
III.C.2) Soit F un sous-espace de dimension finie, notée p, de C(R). Pour toute
fonction f C(R) et pour
tout réel x, on note ex (f ) = f (x).
a) Montrer qu'il existe des réels a1 , . . . , ap tels que (ea1 , . . . , eap )
soit une base de l'espace dual F .
b) Si (f1 , . . . , fp ) est une famille d'éléments de F , montrer que Det(fi
(aj ))16i,j6p est non nul si et seulement si
(f1 , . . . , fp ) est une base de F .
III.C.3) En appliquant la question III.C.2) à Vg , montrer que si g est de
classe C k alors les fonctions
m1 , . . . , mn sont de classe C k .
III.C.4) Montrer que, pour tout entier naturel r non nul, Vhr g est de
dimension finie (les fonctions hr sont
celles de la question I.D.3).
III.C.5) Montrer que pour r assez grand la dimension de Vhr g est égale à celle
de Vg .
III.C.6) En déduire que les fonctions m1 , . . . , mn sont de classe C .
III.C.7) Déterminer l'ensemble des fonctions g Cb (R) telles que Ng soit de
codimension finie dans L1 (R).
· · · FIN · · ·
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