Centrale Maths 1 MP 2011

Thème de l'épreuve Développement asymptotique du reste des séries de Riemann convergentes
Principaux outils utilisés séries numériques, séries de fonctions, séries entières, séries de Fourier, polynômes
Mots clefs séries de Riemann, nombres de Bernoulli, polynômes de Bernoulli, formule d'Euler-Maclaurin, formule de Taylor

Corrigé

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Y, '» Mathématiques %, --/ MP EDNEHIIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées 2011 Développement asymptotique du reste des séries de Riemann convergentes L7objet de ce problème est de donner une approximation de la somme des séries de Riemann +convergentes +00 1 S(a)= Eno, -- où oz est un réel strictement supérieur a 1. Pour cela, on étudie le reste Rn( =î-- k°" n= 1 Dans la première partie, on donne une première approximation du reste. Cette méthode se généralisant mal, on utilise dans la deuxième partie une formule de Taylor pour obtenir simplement un développement asymptotique du reste. Lïnconvénient de cette méthode est qu7elle ne donne aucun contrôle de Ferreur. Dans la troisième partie, on retrouve a partir de la formule sommatoire dÈuler--Maclaurin le même dévelop-- pement asymptotique avec une expression de Ferreur assez satisfaisante. On a besoin dans cette partie d7une étude succincte des polynômes de Bernoulli. Dans la dernière partie, on étudie de manière assez précise le contrôle de cette erreur, pour conclure que les formules sommatoires étudiées ne sont pas nécessairement convergentes. Rappels et notations On note {x} la partie entière d7un réel æ. Soit (un)nEURN et (Un)nEURN deux suites réelles. On note Un = O(un) si ÈM6R, ÈnOEN, VnEN, n> n0=lvnl< Mlunl I Etude préliminaire I.A + Convergence des séries de Riemann I.A.l) Soit f une fonction réelle, définie continue et décroissante sur {a, +ool, où a E R. Montrer, que pour k+1 k tout entier [EUR EUR {a+1,+oo{, on a / f(æ) dx £ f(k) £ f(æ) dæ k k_1 1 I.A.2) En déduire la nature de la série de Riemann z -- selon la valeur de oz E R. 77/06 n>1 En cas de convergence on pose S(a =Ëî" -- 1 I.A.3) Pour tout réel Oz > 1, montrer que 1 £ S(a) $ 1 + 1. a * LE + Première étude asymptotique du reste Dans la suite du problème, pour tout réel oz strictement supérieur a 1 et pour tout entier naturel non nul n, on +00 1 pose Rn (oz) = k--a. k=n 1 1 I.B.l) En utilisant lbncadrement de la question I.A.1, montrer que R" (Oz) = fi + O<--Q). a + n n 1 I.B.2) Soit f la fonction définie sur Rï par f(æ) = W. En appliquant a f la formule de Taylor 1 1 avec reste intégral à l7ordre 2, montrer que, pour tout [EUR E N*, f(k + 1) + f(k)= k_°' + %ka+l + Ak 1 où Ak est un réel vérifiant 0 £ Ak £ %. I.B.3) En déduire que 1 1 1 R. = -- -- o< > (a) (& _1)na + 2n + n°'+1 On pourrait répéter le procédé pour obtenir un développement asymptotique plus précis de Rn(a), mais la partie suivante va donner une méthode plus rapide. 24 mars 2011 19:12 Page 1/4 ch_ II Formule de Taylor et nombres de Bernoulli II.A + Nombres de Bernoulli II.A.1) Montrer qu7il existe une suite réelle (an)nEURN ayant la propriété suivante : pour tout entier p E N*, pour tout intervalle non réduit à un point I et pour toute fonction complexe f de classe 000 sur I, la fonction g définie sur I par g = a0f + au" + ' ' ' + apn1f(pÿl) vérifie 1 9+2!9 +3! g(3) +. .+_ p!g g(P)_ _f + î b...Ûf(P+Ù où les bl7p sont des coefficients indépendants de f que Fon ne cherchera pas à calculer. p+1 II.A.2) Montrer que @@ = l et que pour tout p 2 l, ap = + z i=2 ap+l+i i! . En déduire que M" $ 1 pour tout entier naturel p. Déterminer al et (12. II.A.3) a) Pour tout Z E (C tel que M < 1, justifier que la série z apzp est convergente. pEURN On note = ;%=  2, montrer que An (0 ) = An(1) et que A2n:1(0) = 0. d) On pose provisoirement cn = An(0 ) pour tout entier naturel 71. Montrer que, pour tout 71 E N, X" X2 An(X) =COÎ--1--H '--1--Cn 2Î--1--Cn: 1X--1--Cn puis que, si n 21, 00 cn:2 cn:1 (n+1)!+ + 3! + 2! +c" @) En déduire que, pour tout 71 E N, on a en fait cn = an. III.A.2) Fonction génératrice a) Montrer que la série En A ,,t( )2"+ converge pour tout réel t E 1--1, 11 et tout complexe 2 vérifiant 121 < 1. Sous ces conditions, on pose f( t(, 2) =îî) An( b) Soit 2 E (C tel que 121 < 1. Montrer que la fonction t 1--> f(t, 2) est dérivable sur 10, 11 et exprimer sa dérivée en fonction de f(t, 2). En déduire que, si 121 < 1 et 2 # 0, +00 26 z A,,(t)2" = 2 . ":O 6 : 1 262/2 2 2/2 + _ --. ez:1 ez:1 ez/2=1 0) Montrer que, si 2 E (C et 121 < 27T, on a 2 2"*1 III.A.3) Variations des polynômes de Bernoulli 1 1 En déduire, pour tout entier naturel 71, An <--) = < : 1) an. On établit ici une majoration des polynômes de Bernoulli sur 10, 11. a) Montrer que pour tout entier naturel 71 2 2, les variations des polynômes A,, sur 10,11 correspondent schématiquement aux quatre cas yci-- dessous : E 0(mod4) : 1(mod4) : 2(m)od4 : (m)od4 En d7autres termes, pour n> 2, on a: 1. Sin:2mod4, alorsAn ( ) An(1 10 --1 et strictement croissante sur 1 A,,( O>A( N|H ) ) ; de plus, la fonction An est strictement décroissante sur 1 5 1) 72 2. Sin:0mod4, alorsAn ( ) A5V 0< An (%); de plus, la fonction An est strictement croissante sur 10, 51 et strictement décroissante sur 1%, 11. 3. Si 71 : 1mod4, alors An(0 ) = An (%) = An(1) = 0; de plus, An < 0 sur 1r0, %1 et An > 0 sur 1%,11. 4. Si 71 : 3mod4, alors An(0) = An (%) = A,,(1)-- _ 0; de plus, An > 0 sur 10, %1 et An < 0 sur 1%,11. b) Pour tout 71 E N* et tout x E 10, 11, montrer que 1A2n(æ)1 £ 1a2n1 et 1A2n+1(æ)1 £ 1612711. 2 III.B : Formule sommatoz're d'Euler-Maclaurän III.B.1) Soit f une fonction complexe de classe 000 sur 10, 11. a) Montrer que pour tout entier q 2 1 f(1)ff(0)=Z(fl)j+l1Aj1'()f(j)()1)/ A< t) (...... J'=1 b) En tenant compte des relations trouvées dans la partie précédente, montrer que pour tout entier naturel impair q = 219 --1-- 1 f(1)--f(0)=â(f(0)+f'(l))=za2j (f(2j)( f(2j)(0) )/ A2p+1()(t)tffif(2p+2)() III.B.2) Soit 71 E N et soit f une fonction réelle de classe 000 sur 171, +oo1. On suppose que f et toutes ses dérivées sont de signe constant sur 171, --1--oo1 et tendent vers 0 en +00. 24 mars 2011 19:12 Page 3/4 @C) BY--NC-SA En appliquant, pour k 2 n, le résultat précédent à fk (t) = f(k + t), montrer +oo +00 P 2 f'(k) = +f(H) + %f'(fl) * za2jf(2j)(n) + Aä...fl?fiWt> dt k=n j=1 TL où on a posé A; (t) = Aj (t -- ...) pour tout t E R. Montrer que +oo Aäp+1f<2p+2>dtl < l"--ÿl lf<2p+1>l 1 III.B.3) Montrer que, dans l%xpression de RTL (oz) du II.B.2, le terme O 1 et on considère la fonction f définie sur Rï par f(æ) = W. + oz æ IV.A + Encadrement de l'erreur IV.A.1) Soit g une fonction continue par morceaux croissante sur {O, ll. 1/2 En remarquant f01 = 0 + f11/2, montrer que 1 -- si n E 1mod4, alors / An(t)g(t)dt } O; 0 1 -- si n E 3mod4, alors / An(t)g(t)dt $ 0. 0 IV.A.2) En reprenant les notations de II.B.2, montrer que pour tout entier naturel p 2 1 Sn.4p(a) < S(OE) < Sn.4p+2(a) et que Sn.4p(a) < S(OE) < Sn.4p=2(a) En déduire que Ferreur S(a) -- Sn72p(oz) est majorée par a2p+2f(2pl2) (n) . 1 IV.A.3) Dans cette question, on reprend le cas de II.B.3. Sachant que 61% = E' retrouver que Ferreur lS(3) -- Ë10074 (3)l est majorée par une expression de Fordre de 10Î17. IV.B + Séries de Fourier . , ... x $ Pour tout entier naturel p 2 1 et tout reel m, on pose Ap(æ) = AP <2-- -- b--l ). 7T 7T IV.B.1) Montrer que Âp est 27T--périodique et continue par morceaux. IV.B.2) À l7aide de la question III.B.1, déterminer les coefficients de Fourier de Âp : A 1 2" ... . Ap(n) / Ap(t)eÿmoedæ 0 =fi IV.B.3) Étudier la convergence de la série de Fourier de Âp. p+1 S(2p) IV.B.4) Pour p E N*, en déduire que agp = A2P(O) = (+1) @. IV.C + Comportement de l'erreur IV.C.1) Montrer que, pour tous entiers n, p 2 1 a2p+2f(2p+2)(n) (@ + 2p)(Oé + 219 + 1)S(2p + 2) a2pf(2p) (n) 4n27r25(2p) IV.C.2) Que dire de Papproximation de S(a) par Ën72p(oz) lorsque, n étant fixé, p tend vers +oo ? Pour le calcul numérique de S (oz), comment doit--on choisir n et p? oooFlNooo 24 mars 2011 19:12 Page 4/4 @'à BY--NC-SA

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 Centrale Maths 1 MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Marianne Chapouly (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et Yvon Vignaud (Professeur en CPGE). Ce problème est consacré à l'approximation de la somme des séries de Riemann convergentes. Il s'articule en quatre parties largement indépendantes. · Dans laPpremière partie, on commence par étudier la nature des séries de Riemann n- en fonction du réel , puis on propose une première approximan>1 tion du reste par deux encadrements successifs. · Le procédé précédent devenant assez laborieux après plusieurs itérations, on propose dans la deuxième partie une méthode plus rapide pour obtenir un développement asymptotique du reste. On définit dans cette optique les nombres de Bernoulli, puis on utilise une formule de Taylor. · Comme la méthode précédente ne permet aucun contrôle de l'erreur, on utilise dans la troisième partie les polynômes de Bernoulli et la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin pour retrouver le même développement asymptotique, avec cette fois-ci une expression de l'erreur. · Enfin, dans la dernière partie on donne une majoration de cette erreur, puis on étudie son comportement grâce aux séries de Fourier. Le problème ne comporte pas de difficulté majeure, mais il est particulièrement long et comporte des estimations fines. Il couvre, au gré de ses étapes, une très grande partie du programme d'analyse et offre ainsi un entraînement intéressant aux épreuves de Centrale. Indications Partie I I.B.1 Donner un encadrement de Rn () - 1 ( - 1)n-1 en utilisant un encadrement des sommes partielles de Riemann établi au cours de la question I.A.2. Partie II II.A.3.b Écrire le développement en série entièreP de ez -1 puis déterminer le produit de Cauchy de cette série et de la série ap z p . II.A.3.c Montrer que la restriction à ] -1 ; 1 [ \{0} de la fonction z 7 (z) - a1 z est paire. II.B.2 Erreur d'énoncé : il faut supposer p > 2. Sommer l'égalité R(k) = g(k + 1) - g(k) - f (k) de k = n à k = N, avec N > n, puis passer à la limite lorsque N +. II.A.2.b Appliquer le théorème de dérivation terme à terme puis utiliser le résultat de la question II.A.3.a. Partie III III.A.3.a Raisonner par récurrence en traitant les quatre cas en parallèle. III.A.3.b Utiliser le fait que 2n est congru à 0 ou 2 mod 4. III.B.3 Appliquer le résultat de la question III.B.2 à la fonction f définie dans la question II.B. Partie IV IV.A.1 Utiliser les variations des polynômes An étudiées à la question III.A.3.a. IV.A.2 Exprimer tout d'abord, pour tous n et q > 1, e Sn,2q () en fonction de S() et du reste intégral défini à la question III.B.2. Introduire ensuite pour k > n la fonction ( [ 0 ; 1 ] - R gk : t 7- f (2q+2) (t + k) et séparer l'étude en deux cas, q pair, puis q impair, pour appliquer le résultat de la question IV.A.1. IV.B.2 Erreur d'énoncé : remplacer la variable t par la variable x dans l'intégrande. Utiliser le résultat de la question III.B.1.a. I. Étude préliminaire I.A Convergence des séries de Riemann I.A.1 Soit k [ a + 1 ; + [. Pour tout x appartenant à [ k - 1 ; k ], inclus dans [ a ; + [ car k > a + 1, la décroissance de f assure que f (x + 1) 6 f (k) 6 f (x), ce qui implique, par intégration sur l'intervalle [ k - 1 ; k ], Z k Z k Z k f (x + 1) dx 6 f (k) dx 6 f (x) dx k-1 ou encore k-1 Z k f (x + 1) dx 6 f (k) 6 k-1 k-1 Z k f (x) dx k-1 En effectuant le changement de variable affine t = x + 1 dans la première intégrale, on obtient finalement Z k+1 Z k k [ a + 1 ; + [ f (x) dx 6 f (k) 6 f (x) dx k k-1 I.A.2 Soit R. · Si > 1, la fonction x 7 x- est définie, continue et décroissante sur [ 1 ; + [. D'après la question précédente, on a, pour tout k [ 2 ; + [, Z k 1 1 6 dx (1) k x k-1 soit, en sommant cette dernière inégalité de k = 2 à k = N (N > 2), Z N N 1 P 1 6 dx k=2 k 1 x d'où N 1 P 61+ k=1 k Z 1 N 1 1 1 dx = 1 + - x (1 - )N-1 (1 - ) (2) Ainsi, puisque (1 - )N-1 < 0, N 1 P 1 61- k 1 - k=1 N P 1 La suite des sommes partielles est croissante majorée, par consé k=1 k N>1 quent elle converge. · Si 6 1, on applique tout d'abord le résultat de la question précédente à la fonction x 7 1/x qui est continue et décroissante sur [ 1 ; + [ : Z k+1 1 1 + k [1; [ > dt = ln(k + 1) - ln(k) k t k En sommant l'inégalité précédente de k = 1 à k = N, avec N > 1, il vient N 1 P > ln(N + 1) ---- + N k=1 k Ensuite, puisque 6 1, N P 1/k > k=1 N P 1/k k=1 On montre ainsi que la suite desPsommes partielles majorée et la série de Riemann 1/k diverge. k>1 Finalement, La série P N P 1/k k=1 n'est pas N>1 k - converge si et seulement si > 1. k>1 I.A.3 Soit > 1. En passant à la limite quand N + dans l'inégalité (2) de la question I.A.2, on obtient + P 1 6 k -1 k=1 En outre, puisque S() est une somme de termes positifs dont le premier vaut 1, > 1 I.B 1 6 S() 6 1 + 1 -1 Première étude asymptotique du reste I.B.1 Soit n > 2. En sommant l'inégalité (1) de la question I.A.2 de k = n à k = N, avec N > n, il vient N 1 P 1 1 1 1 - 6 6 - -1 -1 -1 (1 - )(N + 1) (1 - )n (1 - )N (1 - )(n - 1)-1 k=n k Dès lors, en passant à la limite lorsque N + dans cette dernière inégalité (on rappelle que > 1), on obtient finalement + P 1 1 1 6 6 -1 ( - 1)n k ( - 1)(n - 1)-1 k=n 1 1 1 6 - -1 -1 ( - 1)n ( - 1)(n - 1) ( - 1)n-1 Cherchons une domination de la quantité de droite dans cette inégalité. ! 1- 1 1 1 1 - =- - 1- +1 ( - 1)(n - 1)-1 ( - 1)n-1 ( - 1)n-1 n 1 1- 1 =- +o ( - 1)n-1 n n 1 =- (1 - + o(1)) ( - 1)n 1 1 1 - =O -1 -1 ( - 1)(n - 1) ( - 1)n n 1 1 Par comparaison, Rn () - =O -1 ( - 1)n n 1 1 En conclusion, > 1 Rn () = +O ( - 1)n-1 n Ainsi, 0 6 Rn () -