Centrale Maths 1 MP 2008

Thème de l'épreuve Équations différentielles de Sturm-Liouville sur R
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires d'ordre 2, produit scalaire, suites de fonctions, séries de Fourier
Mots clefs famille orthonormale totale, éléments propres d'une application linéaire, théorème de Cauchy-Lipschitz

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- version du 20 fevrier 2008 16h14 MATHÉMATIQUES I a0 (f )2 X + an (f )2 + bn (f )2 2 n=1 On considere alors les applications lineaires de E2 dans E definies par : A : y 7 -y + ay B : y 7 -y + by Q : y 7 -y + qy a = inf{q(x) / x R}, b = sup {q(x) / x R} et ||q|| = sup {|q(x)| / x R}. Filière MP n k=1 n X xk,n = k=1 X xk ». y + ( - q)y = 0 I.A.1) Enoncer precisement le theoreme de Cauchy-Lipschitz adapte a l'equation (E ) et exploiter l'unicite pour prouver qu'une solution y de (E ) est impaire si et seulement si y(0) = 0. I.A.2) Prouver, par exemple a l'aide du wronskien, que (E ) ne peut admettre une base de solutions de meme parite. En deduire la dimension d'un sous-espace propre de Q. (E ) : I.A - Dans cette section I.A, designe un nombre reel fixe et on considere l'equation differentielle d'inconnue y : Partie I - Quelques resultats generaux Enfin on dit qu'une famille orthonormale (ek )k>1 de vecteurs de E est totale dans E si 0 est le seul vecteur de E orthogonal a tous les ek . L'objectif du probleme est l'etude, par diverses methodes, des valeurs propres de Q. On peut traiter une question du probleme sans avoir resolu les precedentes a condition d'en admettre clairement les resultats. Alors la serie de terme general xk converge absolument et : lim k > 1, n > k, |xk,n | 6 k . 2. il existe une suite (k )k>1 de nombres reels positifs telle que la serie de terme general k converge et : n lim xk,n = xk ; 1. pour tout entier k > 1, la suite (xk,n )n>k est convergente et on note : On pourra utiliser, sans demonstration, le resultat suivant : « Soit, pour chaque entier naturel non nul n, (xk,n )16k6n une suite de n nombres reels. On suppose : Page 1/4 On fixe une fonction q de classe C 1 , paire, 2-periodique et non constante de R dans R. On sait, dans ces conditions, que la fonction q est bornee et on pose : E est le sous-espace de C2 constitue des fonctions impaires et E2 le sous-espace de E des fonctions de classe C 2 . Une valeur propre d'une application lineaire T de E2 dans E (attention T n'est pas un endomorphisme) est, par definition, un reel tel qu'existe un element f de E2 - {0} verifiant T (f ) = f . On definit de meme la notion de vecteur propre et de sous-espace propre de T . ||f ||2 = 2 1 dont la norme associee est notee || ||2 . Le choix du facteur dans la definition du 1 produit scalaire (contrairement a habituellement) s'impose par la necessite de 2 rendre les fonctions ck : x 7 cos(kx) et sk : x 7 sin(kx) unitaires pour k N . Les coefficients de Fourier trigonometriques d'une fonction f de C2 sont, comme d'habitude, an (f ) = (f |cn ) et bn (f ) = (f |sn ) pour n N et a0 (f ) = (f |1) ou 1 est la fonction constante x 7 1. La formule de Parseval pour f C2 prend la forme : Dans tout ce probleme C2 designe l'espace vectoriel des fonctions continues, 2-periodiques de R dans R muni du produit scalaire defini par : Z 1 2 f (x)g(x) dx (f |g) = 0 Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2008 - version du 20 fevrier 2008 16h14 MATHÉMATIQUES I a0 (f )2 X + an (f )2 + bn (f )2 2 n=1 On considere alors les applications lineaires de E2 dans E definies par : A : y 7 -y + ay B : y 7 -y + by Q : y 7 -y + qy a = inf{q(x) / x R}, b = sup {q(x) / x R} et ||q|| = sup {|q(x)| / x R}. Filière MP n k=1 n X xk,n = k=1 X xk ». y + ( - q)y = 0 I.A.1) Enoncer precisement le theoreme de Cauchy-Lipschitz adapte a l'equation (E ) et exploiter l'unicite pour prouver qu'une solution y de (E ) est impaire si et seulement si y(0) = 0. I.A.2) Prouver, par exemple a l'aide du wronskien, que (E ) ne peut admettre une base de solutions de meme parite. En deduire la dimension d'un sous-espace propre de Q. (E ) : I.A - Dans cette section I.A, designe un nombre reel fixe et on considere l'equation differentielle d'inconnue y : Partie I - Quelques resultats generaux Enfin on dit qu'une famille orthonormale (ek )k>1 de vecteurs de E est totale dans E si 0 est le seul vecteur de E orthogonal a tous les ek . L'objectif du probleme est l'etude, par diverses methodes, des valeurs propres de Q. On peut traiter une question du probleme sans avoir resolu les precedentes a condition d'en admettre clairement les resultats. Alors la serie de terme general xk converge absolument et : lim k > 1, n > k, |xk,n | 6 k . 2. il existe une suite (k )k>1 de nombres reels positifs telle que la serie de terme general k converge et : n lim xk,n = xk ; 1. pour tout entier k > 1, la suite (xk,n )n>k est convergente et on note : On pourra utiliser, sans demonstration, le resultat suivant : « Soit, pour chaque entier naturel non nul n, (xk,n )16k6n une suite de n nombres reels. On suppose : Page 1/4 On fixe une fonction q de classe C 1 , paire, 2-periodique et non constante de R dans R. On sait, dans ces conditions, que la fonction q est bornee et on pose : E est le sous-espace de C2 constitue des fonctions impaires et E2 le sous-espace de E des fonctions de classe C 2 . Une valeur propre d'une application lineaire T de E2 dans E (attention T n'est pas un endomorphisme) est, par definition, un reel tel qu'existe un element f de E2 - {0} verifiant T (f ) = f . On definit de meme la notion de vecteur propre et de sous-espace propre de T . ||f ||2 = 2 1 dont la norme associee est notee || ||2 . Le choix du facteur dans la definition du 1 produit scalaire (contrairement a habituellement) s'impose par la necessite de 2 rendre les fonctions ck : x 7 cos(kx) et sk : x 7 sin(kx) unitaires pour k N . Les coefficients de Fourier trigonometriques d'une fonction f de C2 sont, comme d'habitude, an (f ) = (f |cn ) et bn (f ) = (f |sn ) pour n N et a0 (f ) = (f |1) ou 1 est la fonction constante x 7 1. La formule de Parseval pour f C2 prend la forme : Dans tout ce probleme C2 designe l'espace vectoriel des fonctions continues, 2-periodiques de R dans R muni du produit scalaire defini par : Z 1 2 f (x)g(x) dx (f |g) = 0 Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2008 - version du 20 fevrier 2008 16h14 MATHÉMATIQUES I a0 (f )2 X + an (f )2 + bn (f )2 2 n=1 On considere alors les applications lineaires de E2 dans E definies par : A : y 7 -y + ay B : y 7 -y + by Q : y 7 -y + qy a = inf{q(x) / x R}, b = sup {q(x) / x R} et ||q|| = sup {|q(x)| / x R}. Filière MP n k=1 n X xk,n = k=1 X xk ». y + ( - q)y = 0 I.A.1) Enoncer precisement le theoreme de Cauchy-Lipschitz adapte a l'equation (E ) et exploiter l'unicite pour prouver qu'une solution y de (E ) est impaire si et seulement si y(0) = 0. I.A.2) Prouver, par exemple a l'aide du wronskien, que (E ) ne peut admettre une base de solutions de meme parite. En deduire la dimension d'un sous-espace propre de Q. (E ) : I.A - Dans cette section I.A, designe un nombre reel fixe et on considere l'equation differentielle d'inconnue y : Partie I - Quelques resultats generaux Enfin on dit qu'une famille orthonormale (ek )k>1 de vecteurs de E est totale dans E si 0 est le seul vecteur de E orthogonal a tous les ek . L'objectif du probleme est l'etude, par diverses methodes, des valeurs propres de Q. On peut traiter une question du probleme sans avoir resolu les precedentes a condition d'en admettre clairement les resultats. Alors la serie de terme general xk converge absolument et : lim k > 1, n > k, |xk,n | 6 k . 2. il existe une suite (k )k>1 de nombres reels positifs telle que la serie de terme general k converge et : n lim xk,n = xk ; 1. pour tout entier k > 1, la suite (xk,n )n>k est convergente et on note : On pourra utiliser, sans demonstration, le resultat suivant : « Soit, pour chaque entier naturel non nul n, (xk,n )16k6n une suite de n nombres reels. On suppose : Page 1/4 On fixe une fonction q de classe C 1 , paire, 2-periodique et non constante de R dans R. On sait, dans ces conditions, que la fonction q est bornee et on pose : E est le sous-espace de C2 constitue des fonctions impaires et E2 le sous-espace de E des fonctions de classe C 2 . Une valeur propre d'une application lineaire T de E2 dans E (attention T n'est pas un endomorphisme) est, par definition, un reel tel qu'existe un element f de E2 - {0} verifiant T (f ) = f . On definit de meme la notion de vecteur propre et de sous-espace propre de T . ||f ||2 = 2 1 dont la norme associee est notee || ||2 . Le choix du facteur dans la definition du 1 produit scalaire (contrairement a habituellement) s'impose par la necessite de 2 rendre les fonctions ck : x 7 cos(kx) et sk : x 7 sin(kx) unitaires pour k N . Les coefficients de Fourier trigonometriques d'une fonction f de C2 sont, comme d'habitude, an (f ) = (f |cn ) et bn (f ) = (f |sn ) pour n N et a0 (f ) = (f |1) ou 1 est la fonction constante x 7 1. La formule de Parseval pour f C2 prend la forme : Dans tout ce probleme C2 designe l'espace vectoriel des fonctions continues, 2-periodiques de R dans R muni du produit scalaire defini par : Z 1 2 f (x)g(x) dx (f |g) = 0 Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2008 n (f |An (f )) 6 (f |Qn (f )) 6 (f |Bn (f )) . A l'aide de la question I.B.2), demontrer, pour tout f Vn , les inegalites : (, x) = (x). III.B - On admet que la fonction 7 (, 2) est continue sur ]0, +[. III.B.1) Prouver, pour tout t > 0, les inegalites : ||q|| t 2||q|| t (, t) - t 6 cos (2(, t)) - cos 2 t 6 puis III.B.2) Prouver l'existence d'une constante K telle que : Z 2 Z 2 1 1 K q(t) dt - q(t) cos 2 t dt 6 (, 2) - 2 + 2 0 2 0 III.B.3) Montrer que, quand est au voisinage de + : Z 2 1 1 q(t) dt + o (, 2) = 2 1 - 4 0 III.A.3) Determiner une equation differentielle lineaire du premier ordre, dont les coefficients dependent de la fonction , satisfaite par r . II.B.2) a) Deduire de la question I.B.1 les valeurs propres des endomorphismes An et Bn classees par ordre croissant. b) Soit k {1, 2, . . . , n} ; montrer qu'il existe un vecteur unitaire f appartenant a Vk Vect(ek,n , ek+1,n , . . . , en,n ) puis que k,n 6 (f |Q(f )) 6 (f |B(f )) 6 k 2 + b. Prouver de maniere analogue l'inegalite k 2 + a 6 k,n . c) Dans cette question, on suppose n > 2. Demontrer que, pour tout element f de Vn-1 , (f |Qn (f )) = (f |Qn-1 (f )) . En deduire, en utilisant une methode analogue a celle suggeree dans la question precedente, que si 1 6 k 6 n - 1 alors k,n-1 > k,n . Page 2/4 II.B.1) II.B - Dans la suite on notera 1,n 6 2,n 6 · · · 6 n,n le systeme des valeurs propres de Qn rangees par ordre croissant (chaque valeur propre apparait donc dans la liste autant de fois que sa multiplicite l'exige) et (e) = (e1,n , e2,n , . . . , en,n ) une base orthonormee de Vn telle que, pour chaque indice k {1, 2, . . . , n}, ek,n est un vecteur propre de Qn associe a la valeur propre k,n . II.A.2) Demontrer, pour tout couple (f, g) E 2 , la relation (f |n (g)) = (n (f ) |g) . II.A.3) Etablir, pour tout couple (f, g) E22 , que (f |Q(g)) = (Q(f ) |g) . En deduire que Qn est un endomorphisme symetrique de Vn . n II.A - Dans toute la suite du probleme on note Vn le sous-espace de E2 engendre par la famille orthonormale (sk )16k6n (on posera V0 = {0}) et n L(E) la projection orthogonale de E sur Vn . Si T est une application lineaire de E2 dans E et n N , on conviendra de noter Tn l'endomorphisme de Vn defini par f 7 n T (f ). II.A.1) Questions de cours dont les preuves ne sont pas demandees : justifier l'existence de n . Que represente n (f ) relativement a la serie de Fourier de f ? Que valent lim ||n (f )||2 et lim ||f - n (f )||2 ? Partie II - Probleme approche de dimension finie Partie III - Une suite de valeurs propres de Q (f |A(f )) 6 (f |Q(f )) 6 (f |B(f )) . Dans cette partie III seulement on suppose le reel strictement positif. On considere les problemes de Cauchy suivants : · (E ) : y + ( - q) y = 0 d'inconnue y avec les conditions initiales y(0) = 0 et y (0) = . q q · (T ) : = - sin2 = - (1 - cos(2)) 2 d'inconnue avec la condition initiale (0) = 0. III.A III.A.1) Soit y la solution maximale de (E ). Prouver qu'existent deux fonctions r et , de classe C 1 sur R telles que : y = r cos , r > 0, y = r sin , (0) = 0. III.A.2) Prouver que est l'unique solution maximale de (T ). Dans la suite de cette partie on posera pour tout couple (, x) ]0, +[ × R : II.C - On pose, dans la suite du probleme, Ik = k 2 + a, k 2 + b . Prouver que, si k N , la suite (k,n )n>k converge vers une limite k element de l'intervalle Ik et que la suite (k )k>1 est croissante. Filière MP I.B I.B.1) Determiner les valeurs propres de A et B et, pour chacune d'entre elles, un vecteur propre unitaire associe. I.B.2) Demontrer, pour tout f E2 , les inegalites suivantes : MATHÉMATIQUES I n (f |An (f )) 6 (f |Qn (f )) 6 (f |Bn (f )) . A l'aide de la question I.B.2), demontrer, pour tout f Vn , les inegalites : (, x) = (x). III.B - On admet que la fonction 7 (, 2) est continue sur ]0, +[. III.B.1) Prouver, pour tout t > 0, les inegalites : ||q|| t 2||q|| t (, t) - t 6 cos (2(, t)) - cos 2 t 6 puis III.B.2) Prouver l'existence d'une constante K telle que : Z 2 Z 2 1 1 K q(t) dt - q(t) cos 2 t dt 6 (, 2) - 2 + 2 0 2 0 III.B.3) Montrer que, quand est au voisinage de + : Z 2 1 1 q(t) dt + o (, 2) = 2 1 - 4 0 III.A.3) Determiner une equation differentielle lineaire du premier ordre, dont les coefficients dependent de la fonction , satisfaite par r . II.B.2) a) Deduire de la question I.B.1 les valeurs propres des endomorphismes An et Bn classees par ordre croissant. b) Soit k {1, 2, . . . , n} ; montrer qu'il existe un vecteur unitaire f appartenant a Vk Vect(ek,n , ek+1,n , . . . , en,n ) puis que k,n 6 (f |Q(f )) 6 (f |B(f )) 6 k 2 + b. Prouver de maniere analogue l'inegalite k 2 + a 6 k,n . c) Dans cette question, on suppose n > 2. Demontrer que, pour tout element f de Vn-1 , (f |Qn (f )) = (f |Qn-1 (f )) . En deduire, en utilisant une methode analogue a celle suggeree dans la question precedente, que si 1 6 k 6 n - 1 alors k,n-1 > k,n . Page 2/4 II.B.1) II.B - Dans la suite on notera 1,n 6 2,n 6 · · · 6 n,n le systeme des valeurs propres de Qn rangees par ordre croissant (chaque valeur propre apparait donc dans la liste autant de fois que sa multiplicite l'exige) et (e) = (e1,n , e2,n , . . . , en,n ) une base orthonormee de Vn telle que, pour chaque indice k {1, 2, . . . , n}, ek,n est un vecteur propre de Qn associe a la valeur propre k,n . II.A.2) Demontrer, pour tout couple (f, g) E 2 , la relation (f |n (g)) = (n (f ) |g) . II.A.3) Etablir, pour tout couple (f, g) E22 , que (f |Q(g)) = (Q(f ) |g) . En deduire que Qn est un endomorphisme symetrique de Vn . n II.A - Dans toute la suite du probleme on note Vn le sous-espace de E2 engendre par la famille orthonormale (sk )16k6n (on posera V0 = {0}) et n L(E) la projection orthogonale de E sur Vn . Si T est une application lineaire de E2 dans E et n N , on conviendra de noter Tn l'endomorphisme de Vn defini par f 7 n T (f ). II.A.1) Questions de cours dont les preuves ne sont pas demandees : justifier l'existence de n . Que represente n (f ) relativement a la serie de Fourier de f ? Que valent lim ||n (f )||2 et lim ||f - n (f )||2 ? Partie II - Probleme approche de dimension finie Partie III - Une suite de valeurs propres de Q (f |A(f )) 6 (f |Q(f )) 6 (f |B(f )) . Dans cette partie III seulement on suppose le reel strictement positif. On considere les problemes de Cauchy suivants : · (E ) : y + ( - q) y = 0 d'inconnue y avec les conditions initiales y(0) = 0 et y (0) = . q q · (T ) : = - sin2 = - (1 - cos(2)) 2 d'inconnue avec la condition initiale (0) = 0. III.A III.A.1) Soit y la solution maximale de (E ). Prouver qu'existent deux fonctions r et , de classe C 1 sur R telles que : y = r cos , r > 0, y = r sin , (0) = 0. III.A.2) Prouver que est l'unique solution maximale de (T ). Dans la suite de cette partie on posera pour tout couple (, x) ]0, +[ × R : II.C - On pose, dans la suite du probleme, Ik = k 2 + a, k 2 + b . Prouver que, si k N , la suite (k,n )n>k converge vers une limite k element de l'intervalle Ik et que la suite (k )k>1 est croissante. Filière MP I.B I.B.1) Determiner les valeurs propres de A et B et, pour chacune d'entre elles, un vecteur propre unitaire associe. I.B.2) Demontrer, pour tout f E2 , les inegalites suivantes : MATHÉMATIQUES I 0 x u(t) dt est 2-periodique. En deduire que r est 2- qyn - n (qyn ) = m=1 n X bm (yn ) [qsm - n (qsm )] . m=1 0 f) Etablir la convergence uniforme sur tout segment de R de la suite de fonctions (yn )n>1 vers une fonction de norme 1 que l'on determinera en fonction de v. En deduire que v E et que est une valeur propre de Q. suite n (yn (0))n>1 . Prouver que la suite de fonctions (fn )nN tend uniformement vers 0 sur tout segment de R. s Z 2 e) Prouver que lim (yn (x) - yn (0)v(x))2 dx = 0. En deduire la limite de la 0 d) Pour tout entier naturel n, on note fn la fonction de R dans R definie par : Z x K(x, t) zn (t) dt. x R, fn (x) = 0 b) Prouver que le wronskien de (u, v) vaut constamment 1. c) En resolvant une equation differentielle, determiner en fonction de u et v une fonction K : R2 R, continue et telle que, pour tout x R : Z x K(x, t) zn (t) dt yn (x) = yn (0) v(x) + n IV.A.2) On note (u, v) la base de solutions de l'equation y + ( - q)y = 0 telle que : u(0) = 1, u (0) = 0, v(0) = 0, v (0) = 1 et on pose zn = Q(yn ) - yn E. a) Prouver que lim ||zn ||2 = 0. n e) Prouver, pour 1 6 m 6 n, la relation : m2 bm (yn ) + bm (qyn ) - n bm (yn ) = 0. (1) f) Prouver, pour 1 6 m 6 n, les inegalites : |bm (yn )| 6 1 et m2 |bm (yn )| 6 [||q||2 + sup{|n | / n N }] qui sera note C. g) Deduire du resultat admis dans le preliminaire que lim ||Q(yn ) - n yn ||2 = 0. d) Pour 1 6 m 6 n, on pose rm,n = ||qsm - n (qsm )||2 . Etablir les inegalites : n X ||Q(yn ) - n yn ||2 6 |bm (yn )| rm,n et rm,n 6 ||qsm ||2 6 ||q||2 . Filière MP IV.B - On reprend maintenant les fonctions (ek,n )16k6n definies a la section II.B en imposant de surcroit ek,n (0) > 0. La section IV.A a etabli, pour tout k > 1, la convergence uniforme sur tout segment de R de la suite (ek,n )n>k vers un element de E unitaire note ek qui est un vecteur propre de Q pour la valeur propre k . Page 3/4 IV.A - Dans cette section IV.A on considere une suite reelle (n )n>1 telle que, pour tout n > 1, n soit une valeur propre de Qn . On suppose que la suite (n )n>1 est convergente et on note sa limite. Pour tout entier n > 1, on note yn Vn un vecteur propre de Qn associe a la valeur propre n On veut prouver que est une valeur propre de Q. IV.A.1) a) Montrer que, pour tout entier n > 1, on peut prendre yn unitaire et tel que yn (0) > 0. Cette condition sera supposee remplie dans la suite de cette partie. b) Demontrer que Qn (yn ) = -yn + n (qyn ). En deduire que : ||Q(yn ) - n yn ||2 = ||qyn - n (qyn )||2 dont on se propose de prouver la convergence vers 0 quand n . c) Etablir la relation : On se propose, dans cette partie, d'etablir que les k definis dans la partie II sont les valeurs propres de Q associees a un systeme orthonormal total de vecteurs propres. Partie IV - Valeurs propres de Q periodique. III.C.3) Prouver que y est 2-periodique et impaire et conclure. III.C.4) Que representent les reels µk definis dans la question III.B.4) pour l'application lineraire Q ? la fonction x 7 exp III.C - Dans cette section III.C on suppose que le reel > 0 verifie la relation (, 2) = 2k ou k N et on se propose de prouver que est valeur propre de Q. III.C.1) Demontrer que pour tout x R : (, -x) = -(, x) et (, 2 + x) - 2k = (, x). III.C.2) Prouver queZ si u est une fonction continue, impaire et 2-periodique alors III.B.4) a) Prouver l'existence d'un entier naturel k0 > 0 et d'une suite (µk )k>k0 , strictement croissante de reels strictement positifs telle que, pour tout entier naturel k > k0 , on ait (µk , 2) = 2k. Z 2 1 2 q(t) dt. b) Montrer que lim µk - k = k 2 0 MATHÉMATIQUES I 0 x u(t) dt est 2-periodique. En deduire que r est 2- qyn - n (qyn ) = m=1 n X bm (yn ) [qsm - n (qsm )] . m=1 0 f) Etablir la convergence uniforme sur tout segment de R de la suite de fonctions (yn )n>1 vers une fonction de norme 1 que l'on determinera en fonction de v. En deduire que v E et que est une valeur propre de Q. suite n (yn (0))n>1 . Prouver que la suite de fonctions (fn )nN tend uniformement vers 0 sur tout segment de R. s Z 2 e) Prouver que lim (yn (x) - yn (0)v(x))2 dx = 0. En deduire la limite de la 0 d) Pour tout entier naturel n, on note fn la fonction de R dans R definie par : Z x K(x, t) zn (t) dt. x R, fn (x) = 0 b) Prouver que le wronskien de (u, v) vaut constamment 1. c) En resolvant une equation differentielle, determiner en fonction de u et v une fonction K : R2 R, continue et telle que, pour tout x R : Z x K(x, t) zn (t) dt yn (x) = yn (0) v(x) + n IV.A.2) On note (u, v) la base de solutions de l'equation y + ( - q)y = 0 telle que : u(0) = 1, u (0) = 0, v(0) = 0, v (0) = 1 et on pose zn = Q(yn ) - yn E. a) Prouver que lim ||zn ||2 = 0. n e) Prouver, pour 1 6 m 6 n, la relation : m2 bm (yn ) + bm (qyn ) - n bm (yn ) = 0. (1) f) Prouver, pour 1 6 m 6 n, les inegalites : |bm (yn )| 6 1 et m2 |bm (yn )| 6 [||q||2 + sup{|n | / n N }] qui sera note C. g) Deduire du resultat admis dans le preliminaire que lim ||Q(yn ) - n yn ||2 = 0. d) Pour 1 6 m 6 n, on pose rm,n = ||qsm - n (qsm )||2 . Etablir les inegalites : n X ||Q(yn ) - n yn ||2 6 |bm (yn )| rm,n et rm,n 6 ||qsm ||2 6 ||q||2 . Filière MP IV.B - On reprend maintenant les fonctions (ek,n )16k6n definies a la section II.B en imposant de surcroit ek,n (0) > 0. La section IV.A a etabli, pour tout k > 1, la convergence uniforme sur tout segment de R de la suite (ek,n )n>k vers un element de E unitaire note ek qui est un vecteur propre de Q pour la valeur propre k . Page 3/4 IV.A - Dans cette section IV.A on considere une suite reelle (n )n>1 telle que, pour tout n > 1, n soit une valeur propre de Qn . On suppose que la suite (n )n>1 est convergente et on note sa limite. Pour tout entier n > 1, on note yn Vn un vecteur propre de Qn associe a la valeur propre n On veut prouver que est une valeur propre de Q. IV.A.1) a) Montrer que, pour tout entier n > 1, on peut prendre yn unitaire et tel que yn (0) > 0. Cette condition sera supposee remplie dans la suite de cette partie. b) Demontrer que Qn (yn ) = -yn + n (qyn ). En deduire que : ||Q(yn ) - n yn ||2 = ||qyn - n (qyn )||2 dont on se propose de prouver la convergence vers 0 quand n . c) Etablir la relation : On se propose, dans cette partie, d'etablir que les k definis dans la partie II sont les valeurs propres de Q associees a un systeme orthonormal total de vecteurs propres. Partie IV - Valeurs propres de Q periodique. III.C.3) Prouver que y est 2-periodique et impaire et conclure. III.C.4) Que representent les reels µk definis dans la question III.B.4) pour l'application lineraire Q ? la fonction x 7 exp III.C - Dans cette section III.C on suppose que le reel > 0 verifie la relation (, 2) = 2k ou k N et on se propose de prouver que est valeur propre de Q. III.C.1) Demontrer que pour tout x R : (, -x) = -(, x) et (, 2 + x) - 2k = (, x). III.C.2) Prouver queZ si u est une fonction continue, impaire et 2-periodique alors III.B.4) a) Prouver l'existence d'un entier naturel k0 > 0 et d'une suite (µk )k>k0 , strictement croissante de reels strictement positifs telle que, pour tout entier naturel k > k0 , on ait (µk , 2) = 2k. Z 2 1 2 q(t) dt. b) Montrer que lim µk - k = k 2 0 MATHÉMATIQUES I k2 ||q||2 . + a - m2 n k=1 · · · FIN · · · Page 4/4 V.A - On rappelle que q est non constante. Z 2 1 V.A.1) Prouver que a < q(t) dt < b. 2 0 V.A.2) On adopte ici les notations de la question III.B.4) dont on utilisera les resultats. a) Demontrer l'existence d'un entier k1 > k0 tel que, pour k > k1 on ait Ik Ik+1 = . b) Prouver que k = µk a partir d'un certain rang. En deduire que Z 2 1 q(t) dt+ o(1) k = k 2 + 2 0 lorsque k . Partie V - Comportement asymptotique IV.B.4) Montrer que les valeurs propres de Q sont exactement les elements de la suite (k )k>1 . (On pourra supposer l'existence d'une valeur propre differente des k et calculer (e|ek ) pour un vecteur propre e associe a la valeur propre ). IV.B.3) Montrer que la famille (ek )k>1 est totale dans E. (On pourra calculer (f |sm ) pour un vecteur f orthogonal a tout vecteur ek ). k=1 b) Prouver, grace au preliminaire, que : n X X 2 2 1 = ||sm ||2 = (ek |sm ) puis lim ksm - (ek |sm )ek k2 = 0 |(ek,n |sm ) | 6 IV.B.1) Prouver que la famille (ek )k>1 est orthonormale ; en deduire que la suite (k )k>1 est strictement croissante. IV.B.2) Soit m N et n > m a) Prouver, a l'aide de la relation (1) convenablement adaptee que, pour tout k N tel que k 6 n et k 2 + a > m2 on a : MATHÉMATIQUES I Filière MP

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 Centrale Maths 1 MP 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Serge Bouju (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Julien Reygner (École Polytechnique) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Ce problème ­ très long ­ est consacré à l'étude de l'existence de solutions définies sur R, 2-périodiques, impaires et non nulles, à l'équation différentielle d'inconnue y (E ) : y + ( - q) y = 0 où q est une fonction donnée de classe C 1 sur R, 2-périodique et impaire, et est un paramètre réel. On y démontre principalement que de telles solutions existent si, et seulement si, est l'un des termes d'une suite (k )k>1 de nombres réels, dont on établit quelques propriétés. Le sujet s'articule en cinq parties assez largement indépendantes. Il utilise principalement les résultats du cours sur les espaces préhilbertiens, les suites de fonctions, les séries de Fourier et les équations différentielles (linéaires ou non). · Dans la partie I, on interprète le problème en terme de recherche des éléments propres d'une application linéaire Q ­ en un sens précisé par l'énoncé, qui généralise la notion d'élément propre d'un endomorphisme. On traite ensuite le cas particulier où q est une fonction constante. · La partie II est consacrée à l'étude d'un problème approché, dans lequel on recherche les polynômes trigonométriques impairs y non nuls, de degré au plus n, qui sont solutions de l'équation n (y + ( - q) y) = 0 où n N et n (f ) désigne la somme partielle de Fourier d'indice n d'une fonction f . On montre que cela revient à étudier la réduction d'un endomorphisme symétrique Qn de l'espace vectoriel Vn des polynômes trigonométriques impairs de degré au plus n. L'étude des valeurs propres de Qn permet ensuite par passage à la limite sur n de définir une suite (k )k>1 de nombres réels. · La partie III est consacrée à l'obtention d'une suite (µk )k>k0 de valeurs propres de Q. Pour ce faire, on considère un problème de Cauchy associé à l'équation (E ) dans le cas où > 0. On se ramène, grâce à une utilisation justifiée de coordonnées elliptiques, à deux problèmes de Cauchy d'ordre 1. On étudie ensuite le comportement asymptotique de la suite (µk )k>k0 . · Dans la partie IV, on démontre que la suite (k )k>1 introduite en fin de partie II est exactement la suite des valeurs propres de Q. · Enfin, en partie V, on établit que les suites (k ) et (µk ) des parties II et III coïncident à partir d'un certain rang. On en déduit le comportement asymptotique de la suite (k ). Indications I. Quelques résultats généraux I.A.1 Considérer la fonction z : x 7 -y(-x). I.B.1 Rechercher les solutions 2-périodiques et impaires de y + µ y = 0, où µ est un paramètre réel. II. Problème approché de dimension finie II.A.3 Utiliser une intégration par parties, puis la question II.A.2. II.B.2.b Utiliser la formule de Grassmann donnant la dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels, puis les décompositions dans les bases orthonormales de vecteurs propres. II.B.2.c Considérer Vect (e1,n-1 , e2,n-1 , . . . , ek,n-1 ) et Vect (ek,n , ek+1,n , . . . , en,n ). III. Une suite de valeurs propres de Q III.A.1 Commencer par définir r . Puis, pour la fonction , utiliser le théorème du relèvement. III.A.2 Dériver les relations de la question précédente. III.B.1 Utiliser l'inégalité de la moyenne. III.B.2 Remarquer que est solution de (T ). Z 2 III.B.3 Utiliser une intégration par parties pour majorer q(t) cos(2 t) dt . 0 III.B.4.a À l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, construire la suite par récurrence. III.C.1 Procéder comme en I.A.1. III.C.2 Exprimer r à l'aide d'une intégrale. IV. Valeurs propres de Q IV.A.1.d Se servir des deux questions précédentes. IV.A.2.c Utiliser la méthode de variation des deux constantes pour l'équation différentielle y = (q - ) y - zn . IV.A.2.d Se ramener à un segment centré en 0 dont la longueur est multiple de 2. IV.A.2.e Utiliser la norme usuelle N2 des fonctions continues sur un segment et la double inégalité triangulaire associée. IV.B.1 Utiliser I.A.1. pour la stricte croissance. IV.B.2.a Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans E et la question II.B.2.b. IV.B.2.b Poser pour commencer xk,n = (ek,n | sm )2 . Trouver à l'aide de la question précédente un rang k0 et une suite (k )k>k0 tels que |xk,n | 6 k si k > k0 . IV.B.4 Suivre l'indication de l'énoncé et calculer de deux façons (e | Q(ek )). V. Comportement asymptotique V.A.1 Utiliser le fait qu'une fonction continue positive d'intégrale nulle sur un segment est identiquement nulle sur ce segment. V.A.2.b Démontrer qu'à partir d'un certain rang, k est la seule valeur propre de Q à être élément de Ik . I. Quelques résultats généraux I.A.1 L'équation (E ) est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre, dont les coefficients sont continus sur R et dont le coefficient devant y est une fonction ne s'annulant pas sur R. Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire affirme que tout problème de Cauchy formé de l'équation différentielle (E ) et des conditions initiales y(x0 ) = y0 et y (x0 ) = y0 , où x0 , y0 et y0 sont trois réels donnés, admet sur R une unique solution. Le rapport du jury indique que, « de façon générale, le théorème de CauchyLipschitz n'est pas maîtrisé ; il y a confusion entre les problèmes y = F(x, y), y = F(x, y) et le cas particulier des équations différentielles linéaires. » Au début d'une épreuve, n'hésitez pas à prendre le temps de rédiger très soigneusement les premières questions avec toutes les justifications nécessaires : ne pas réussir à y répondre correctement donne une mauvaise impression au correcteur dès le départ (d'autant plus s'il s'agit de questions de cours !) Considérons une solution y de (E ) sur R. Remarquons que la fonction y est par définition deux fois dérivable sur R, et même de classe C 2 puisque sa dérivée seconde, égale à (q - ) y , est continue. Supposons tout d'abord que y est impaire. Alors y(0) = y(-0) = -y(0), d'où y(0) = 0 Réciproquement, supposons que y(0) = 0. Notons z la fonction définie sur R par z : x 7 -y(-x). Par composition, la fonction z est de classe C 2 sur R, avec x R z (x) = y (-x) et x R z (x) = -y (-x) Soit x un nombre réel quelconque. On a z (x) + - q(x) z(x) = -y (-x) - - q(x) y(-x) La fonction q étant paire, on en déduit z (x) + - q(x) z(x) = - y (-x) + - q(-x) y(-x) Enfin, la fonction y étant solution de (E ), il vient z (x) + - q(x) z(x) = 0 ce qui prouve que z est solution de l'équation différentielle (E ). De plus, z(0) = -y(0) = 0 et z (0) = y (0) En conservant les notations du théorème de Cauchy-Lipschitz rappelé ci-dessus, et en posant x0 = 0, y0 = 0 et y0 = y (0), on constate ainsi que y et z sont deux solutions du problème de Cauchy correspondant. Par unicité de la solution d'un problème de Cauchy associé à (E ), on en déduit que y = z, c'est-à-dire que pour tout nombre réel x, y(x) = -y(-x). La solution y est donc une fonction impaire. Finalement, Une solution y de (E ) est impaire si, et seulement si, y(0) = 0. I.A.2 L'équation (E ) étant linéaire, du second ordre, à second membre nul, et à coefficient devant y ne s'annulant pas, l'ensemble de ses solutions est un plan vectoriel. Supposons qu'un couple (y, z) soit une base de solutions de (E ) de même parité. Il existe donc {-1; 1} tel que x R y(-x) = y(x) et x R z(-x) = z(x) et x R z (-x) = - z (x) En dérivant, on obtient x R y (-x) = - y (x) y z Le wronskien du couple (y, z) étant la fonction w = = y z - y z, il résulte y z des calculs précédents que, pour tout réel x, w(-x) = -2 y(x) z (x) - y (x) z(x) = -w(x) Par conséquent, la fonction w est impaire, donc s'annule en 0. Or comme (y, z) est une base de solutions de (E ), son wronskien en un point quelconque est non nul ; en particulier, w(0) 6= 0. On obtient une contradiction. Ainsi, on en déduit que (E ) ne peut admettre une base de solutions de même parité. Notons F (Q) un sous-espace propre de l'application linéaire Q, associé à une valeur propre . Il forme clairement un sous-espace vectoriel de l'espace E2 . L'espace F (Q) est l'ensemble des fonctions y éléments de E2 telles que Q(y) = y, ou encore -y + q y = y. L'ensemble F (Q) est donc l'ensemble des solutions impaires et 2périodiques de (E ). Par conséquent, c'est un sous-espace vectoriel du plan vectoriel des solutions de (E ). L'espace F (Q) est alors de dimension finie, avec dim F (Q) 6 2. Comme est valeur propre de Q, l'espace F (Q) n'est pas réduit à {0}, d'où dim F (Q) > 1. Supposons que dim F (Q) = 2. Alors une base (y, z) de F (Q) est une base de solutions impaires de F (Q), ce qui contredit le résultat obtenu précédemment. Ainsi, dim F (Q) = 1. En conclusion, Les sous-espaces propres de Q sont de dimension 1. I.B.1 Les valeurs propres de A (respectivement de B) sont les réels pour lesquels l'équation différentielle y +(-a) y = 0 (respectivement y +(-b) y = 0) admet une solution impaire 2-périodique non identiquement nulle. Nous allons en conséquence rechercher les valeurs du réel µ pour lesquelles l'équation différentielle y + µ y = 0 admet une solution impaire 2-périodique non identiquement nulle. Recherchons parmi les solutions non nulles de y +µ y = 0, celles qui sont impaires et 2-périodiques. Distinguons trois cas. · Cas où µ < 0. Soit y une solution impaire et 2-périodique de l'équation y + µ y = 0. Alors y est du type x 7- ch (x) + sh (x) où = -µ et (, ) R2 . Puisque y est impaire, y(0) = = 0. De plus, comme y est 2-périodique, y(2) = y(0), soit sh (2) = 0. Or 2 > 0, d'où sh (2) > 0 ; puis = 0, ce qui prouve que y = 0. Ainsi, dans le cas où µ < 0, la seule solution impaire et 2-périodique de l'équation y + µ y = 0 est la fonction nulle.