Centrale Maths 1 MP 2008

Thème de l'épreuve Équations différentielles de Sturm-Liouville sur ℝ
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires d'ordre 2, produit scalaire, suites de fonctions, séries de Fourier
Mots clefs famille orthonormale totale, éléments propres d'une application linéaire, théorème de Cauchy-Lipschitz

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- version du 20 fevrier 2008 16h14

MATHÉMATIQUES I

a0 (f )2 X
+
an (f )2 + bn (f )2
2
n=1

On considere alors les applications lineaires de E2 dans E definies par :
A : y 7 -y  + ay
B : y 7 -y  + by
Q : y 7 -y  + qy

a = inf{q(x) / x  R}, b = sup {q(x) / x  R} et ||q|| = sup {|q(x)| / x  R}.

Filière

MP

n

k=1

n
X

xk,n =

k=1

X

xk ».

y  + ( - q)y = 0
I.A.1) Enoncer precisement le theoreme de Cauchy-Lipschitz adapte a l'equation
(E ) et exploiter l'unicite pour prouver qu'une solution y de (E ) est impaire 
si et
seulement si y(0) = 0.
I.A.2) Prouver, par exemple a l'aide du wronskien, que (E ) ne peut admettre une
base de solutions de meme parite. En deduire la dimension d'un sous-espace 
propre
de Q.

(E ) :

I.A - Dans cette section I.A,  designe un nombre reel fixe et on considere 
l'equation
differentielle d'inconnue y :

Partie I - Quelques resultats generaux

Enfin on dit qu'une famille orthonormale (ek )k>1 de vecteurs de E est totale 
dans
E si 0 est le seul vecteur de E orthogonal a tous les ek .
L'objectif du probleme est l'etude, par diverses methodes, des valeurs propres 
de
Q. On peut traiter une question du probleme sans avoir resolu les precedentes a
condition d'en admettre clairement les resultats.

Alors la serie de terme general xk converge absolument et : lim

k > 1, n > k, |xk,n | 6 k .

2. il existe une suite (k )k>1 de nombres reels positifs telle que la serie de 
terme
general k converge et :

n

lim xk,n = xk ;

1. pour tout entier k > 1, la suite (xk,n )n>k est convergente et on note :

On pourra utiliser, sans demonstration, le resultat suivant :
« Soit, pour chaque entier naturel non nul n, (xk,n )16k6n une suite de n 
nombres
reels. On suppose :

Page 1/4

On fixe une fonction q de classe C 1 , paire, 2-periodique et non constante de 
R dans
R. On sait, dans ces conditions, que la fonction q est bornee et on pose :

E est le sous-espace de C2 constitue des fonctions impaires et E2 le 
sous-espace de
E des fonctions de classe C 2 .
Une valeur propre d'une application lineaire T de E2 dans E (attention T n'est
pas un endomorphisme) est, par definition, un reel  tel qu'existe un element f 
de
E2 - {0} verifiant T (f ) =  f .
On definit de meme la notion de vecteur propre et de sous-espace propre de T .

||f ||2 =

2

1
dont la norme associee est notee || ||2 . Le choix du facteur dans la 
definition du

1
produit scalaire (contrairement a
habituellement) s'impose par la necessite de
2
rendre les fonctions ck : x 7 cos(kx) et sk : x 7 sin(kx) unitaires pour k  N .
Les coefficients de Fourier trigonometriques d'une fonction f de C2 sont, comme
d'habitude, an (f ) = (f |cn ) et bn (f ) = (f |sn ) pour n  N et a0 (f ) = (f 
|1) ou 1
est la fonction constante x 7 1.
La formule de Parseval pour f  C2 prend la forme :

Dans tout ce probleme C2 designe l'espace vectoriel des fonctions continues,
2-periodiques de R dans R muni du produit scalaire defini par :
Z
1 2
f (x)g(x) dx
(f |g) =
 0

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

- version du 20 fevrier 2008 16h14

MATHÉMATIQUES I

a0 (f )2 X
+
an (f )2 + bn (f )2
2
n=1

On considere alors les applications lineaires de E2 dans E definies par :
A : y 7 -y  + ay
B : y 7 -y  + by
Q : y 7 -y  + qy

a = inf{q(x) / x  R}, b = sup {q(x) / x  R} et ||q|| = sup {|q(x)| / x  R}.

Filière

MP

n

k=1

n
X

xk,n =

k=1

X

xk ».

y  + ( - q)y = 0
I.A.1) Enoncer precisement le theoreme de Cauchy-Lipschitz adapte a l'equation
(E ) et exploiter l'unicite pour prouver qu'une solution y de (E ) est impaire 
si et
seulement si y(0) = 0.
I.A.2) Prouver, par exemple a l'aide du wronskien, que (E ) ne peut admettre une
base de solutions de meme parite. En deduire la dimension d'un sous-espace 
propre
de Q.

(E ) :

I.A - Dans cette section I.A,  designe un nombre reel fixe et on considere 
l'equation
differentielle d'inconnue y :

Partie I - Quelques resultats generaux

Enfin on dit qu'une famille orthonormale (ek )k>1 de vecteurs de E est totale 
dans
E si 0 est le seul vecteur de E orthogonal a tous les ek .
L'objectif du probleme est l'etude, par diverses methodes, des valeurs propres 
de
Q. On peut traiter une question du probleme sans avoir resolu les precedentes a
condition d'en admettre clairement les resultats.

Alors la serie de terme general xk converge absolument et : lim

k > 1, n > k, |xk,n | 6 k .

2. il existe une suite (k )k>1 de nombres reels positifs telle que la serie de 
terme
general k converge et :

n

lim xk,n = xk ;

1. pour tout entier k > 1, la suite (xk,n )n>k est convergente et on note :

On pourra utiliser, sans demonstration, le resultat suivant :
« Soit, pour chaque entier naturel non nul n, (xk,n )16k6n une suite de n 
nombres
reels. On suppose :

Page 1/4

On fixe une fonction q de classe C 1 , paire, 2-periodique et non constante de 
R dans
R. On sait, dans ces conditions, que la fonction q est bornee et on pose :

E est le sous-espace de C2 constitue des fonctions impaires et E2 le 
sous-espace de
E des fonctions de classe C 2 .
Une valeur propre d'une application lineaire T de E2 dans E (attention T n'est
pas un endomorphisme) est, par definition, un reel  tel qu'existe un element f 
de
E2 - {0} verifiant T (f ) =  f .
On definit de meme la notion de vecteur propre et de sous-espace propre de T .

||f ||2 =

2

1
dont la norme associee est notee || ||2 . Le choix du facteur dans la 
definition du

1
produit scalaire (contrairement a
habituellement) s'impose par la necessite de
2
rendre les fonctions ck : x 7 cos(kx) et sk : x 7 sin(kx) unitaires pour k  N .
Les coefficients de Fourier trigonometriques d'une fonction f de C2 sont, comme
d'habitude, an (f ) = (f |cn ) et bn (f ) = (f |sn ) pour n  N et a0 (f ) = (f 
|1) ou 1
est la fonction constante x 7 1.
La formule de Parseval pour f  C2 prend la forme :

Dans tout ce probleme C2 designe l'espace vectoriel des fonctions continues,
2-periodiques de R dans R muni du produit scalaire defini par :
Z
1 2
f (x)g(x) dx
(f |g) =
 0

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

- version du 20 fevrier 2008 16h14

MATHÉMATIQUES I

a0 (f )2 X
+
an (f )2 + bn (f )2
2
n=1

On considere alors les applications lineaires de E2 dans E definies par :
A : y 7 -y  + ay
B : y 7 -y  + by
Q : y 7 -y  + qy

a = inf{q(x) / x  R}, b = sup {q(x) / x  R} et ||q|| = sup {|q(x)| / x  R}.

Filière

MP

n

k=1

n
X

xk,n =

k=1

X

xk ».

y  + ( - q)y = 0
I.A.1) Enoncer precisement le theoreme de Cauchy-Lipschitz adapte a l'equation
(E ) et exploiter l'unicite pour prouver qu'une solution y de (E ) est impaire 
si et
seulement si y(0) = 0.
I.A.2) Prouver, par exemple a l'aide du wronskien, que (E ) ne peut admettre une
base de solutions de meme parite. En deduire la dimension d'un sous-espace 
propre
de Q.

(E ) :

I.A - Dans cette section I.A,  designe un nombre reel fixe et on considere 
l'equation
differentielle d'inconnue y :

Partie I - Quelques resultats generaux

Enfin on dit qu'une famille orthonormale (ek )k>1 de vecteurs de E est totale 
dans
E si 0 est le seul vecteur de E orthogonal a tous les ek .
L'objectif du probleme est l'etude, par diverses methodes, des valeurs propres 
de
Q. On peut traiter une question du probleme sans avoir resolu les precedentes a
condition d'en admettre clairement les resultats.

Alors la serie de terme general xk converge absolument et : lim

k > 1, n > k, |xk,n | 6 k .

2. il existe une suite (k )k>1 de nombres reels positifs telle que la serie de 
terme
general k converge et :

n

lim xk,n = xk ;

1. pour tout entier k > 1, la suite (xk,n )n>k est convergente et on note :

On pourra utiliser, sans demonstration, le resultat suivant :
« Soit, pour chaque entier naturel non nul n, (xk,n )16k6n une suite de n 
nombres
reels. On suppose :

Page 1/4

On fixe une fonction q de classe C 1 , paire, 2-periodique et non constante de 
R dans
R. On sait, dans ces conditions, que la fonction q est bornee et on pose :

E est le sous-espace de C2 constitue des fonctions impaires et E2 le 
sous-espace de
E des fonctions de classe C 2 .
Une valeur propre d'une application lineaire T de E2 dans E (attention T n'est
pas un endomorphisme) est, par definition, un reel  tel qu'existe un element f 
de
E2 - {0} verifiant T (f ) =  f .
On definit de meme la notion de vecteur propre et de sous-espace propre de T .

||f ||2 =

2

1
dont la norme associee est notee || ||2 . Le choix du facteur dans la 
definition du

1
produit scalaire (contrairement a
habituellement) s'impose par la necessite de
2
rendre les fonctions ck : x 7 cos(kx) et sk : x 7 sin(kx) unitaires pour k  N .
Les coefficients de Fourier trigonometriques d'une fonction f de C2 sont, comme
d'habitude, an (f ) = (f |cn ) et bn (f ) = (f |sn ) pour n  N et a0 (f ) = (f 
|1) ou 1
est la fonction constante x 7 1.
La formule de Parseval pour f  C2 prend la forme :

Dans tout ce probleme C2 designe l'espace vectoriel des fonctions continues,
2-periodiques de R dans R muni du produit scalaire defini par :
Z
1 2
f (x)g(x) dx
(f |g) =
 0

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

n

(f |An (f )) 6 (f |Qn (f )) 6 (f |Bn (f )) .

A l'aide de la question I.B.2), demontrer, pour tout f  Vn , les inegalites :

(, x) =  (x).

III.B - On admet que la fonction  7 (, 2) est continue sur ]0, +[.
III.B.1) Prouver, pour tout t > 0, les inegalites :

||q|| t
2||q|| t
(, t) - t 6 
cos (2(, t)) - cos 2 t 6 
puis

III.B.2) Prouver l'existence d'une constante K telle que :
Z 2
Z 2

1
1
K
q(t) dt - 
q(t) cos 2 t dt 6
(, 2) - 2  + 

2  0
2  0
III.B.3) Montrer que, quand  est au voisinage de + :

Z 2

1
1
q(t) dt + o
(, 2) = 2  1 -
4 0

III.A.3) Determiner une equation differentielle lineaire du premier ordre, dont 
les
coefficients dependent de la fonction , satisfaite par r .

II.B.2)
a) Deduire de la question I.B.1 les valeurs propres des endomorphismes An et Bn
classees par ordre croissant.
b) Soit k  {1, 2, . . . , n} ; montrer qu'il existe un vecteur unitaire f 
appartenant a
Vk  Vect(ek,n , ek+1,n , . . . , en,n ) puis que k,n 6 (f |Q(f )) 6 (f |B(f )) 
6 k 2 + b.
Prouver de maniere analogue l'inegalite k 2 + a 6 k,n .
c) Dans cette question, on suppose n > 2. Demontrer que, pour tout element f de
Vn-1 , (f |Qn (f )) = (f |Qn-1 (f )) . En deduire, en utilisant une methode 
analogue a
celle suggeree dans la question precedente, que si 1 6 k 6 n - 1 alors k,n-1 > 
k,n .
Page 2/4

II.B.1)

II.B - Dans la suite on notera 1,n 6 2,n 6 · · · 6 n,n le systeme des valeurs
propres de Qn rangees par ordre croissant (chaque valeur propre apparait donc 
dans
la liste autant de fois que sa multiplicite l'exige) et (e) = (e1,n , e2,n , . 
. . , en,n ) une
base orthonormee de Vn telle que, pour chaque indice k  {1, 2, . . . , n}, ek,n 
est un
vecteur propre de Qn associe a la valeur propre k,n .

II.A.2) Demontrer, pour tout couple (f, g)  E 2 , la relation (f |n (g)) = (n 
(f ) |g) .
II.A.3) Etablir, pour tout couple (f, g)  E22 , que (f |Q(g)) = (Q(f ) |g) . En
deduire que Qn est un endomorphisme symetrique de Vn .

n

II.A - Dans toute la suite du probleme on note Vn le sous-espace de E2 engendre 
par
la famille orthonormale (sk )16k6n (on posera V0 = {0}) et n  L(E) la projection
orthogonale de E sur Vn . Si T est une application lineaire de E2 dans E et n  
N ,
on conviendra de noter Tn l'endomorphisme de Vn defini par f 7 n  T (f ).
II.A.1) Questions de cours dont les preuves ne sont pas demandees :
justifier l'existence de n . Que represente n (f ) relativement a la serie de 
Fourier
de f ? Que valent lim ||n (f )||2 et lim ||f - n (f )||2 ?

Partie II - Probleme approche de dimension finie

Partie III - Une suite de valeurs propres de Q

(f |A(f )) 6 (f |Q(f )) 6 (f |B(f )) .

Dans cette partie III seulement on suppose le reel  strictement positif.
On considere les problemes de Cauchy suivants :
·
(E ) : y  + ( - q) y = 0

d'inconnue y avec les conditions initiales y(0) = 0 et y  (0) = .

q
q
·
(T ) :  =  -  sin2  =  -  (1 - cos(2))

2 
d'inconnue  avec la condition initiale (0) = 0.
III.A III.A.1) Soit y la solution maximale de (E ).
Prouver qu'existent deux fonctions r et  , de classe C 1 sur R telles que :
y
 = r cos  ,
r > 0,
y = r sin  ,
 (0) = 0.

III.A.2) Prouver que  est l'unique solution maximale de (T ).
Dans la suite de cette partie on posera pour tout couple (, x)  ]0, +[ × R :

II.C - On pose, dans la suite du probleme, Ik = k 2 + a, k 2 + b . Prouver que, 
si
k  N , la suite (k,n )n>k converge vers une limite k element de l'intervalle Ik 
et
que la suite (k )k>1 est croissante.

Filière MP

I.B I.B.1) Determiner les valeurs propres de A et B et, pour chacune d'entre 
elles, un
vecteur propre unitaire associe.
I.B.2) Demontrer, pour tout f  E2 , les inegalites suivantes :

MATHÉMATIQUES I

n

(f |An (f )) 6 (f |Qn (f )) 6 (f |Bn (f )) .

A l'aide de la question I.B.2), demontrer, pour tout f  Vn , les inegalites :

(, x) =  (x).

III.B - On admet que la fonction  7 (, 2) est continue sur ]0, +[.
III.B.1) Prouver, pour tout t > 0, les inegalites :

||q|| t
2||q|| t
(, t) - t 6 
cos (2(, t)) - cos 2 t 6 
puis

III.B.2) Prouver l'existence d'une constante K telle que :
Z 2
Z 2

1
1
K
q(t) dt - 
q(t) cos 2 t dt 6
(, 2) - 2  + 

2  0
2  0
III.B.3) Montrer que, quand  est au voisinage de + :

Z 2

1
1
q(t) dt + o
(, 2) = 2  1 -
4 0

III.A.3) Determiner une equation differentielle lineaire du premier ordre, dont 
les
coefficients dependent de la fonction , satisfaite par r .

II.B.2)
a) Deduire de la question I.B.1 les valeurs propres des endomorphismes An et Bn
classees par ordre croissant.
b) Soit k  {1, 2, . . . , n} ; montrer qu'il existe un vecteur unitaire f 
appartenant a
Vk  Vect(ek,n , ek+1,n , . . . , en,n ) puis que k,n 6 (f |Q(f )) 6 (f |B(f )) 
6 k 2 + b.
Prouver de maniere analogue l'inegalite k 2 + a 6 k,n .
c) Dans cette question, on suppose n > 2. Demontrer que, pour tout element f de
Vn-1 , (f |Qn (f )) = (f |Qn-1 (f )) . En deduire, en utilisant une methode 
analogue a
celle suggeree dans la question precedente, que si 1 6 k 6 n - 1 alors k,n-1 > 
k,n .
Page 2/4

II.B.1)

II.B - Dans la suite on notera 1,n 6 2,n 6 · · · 6 n,n le systeme des valeurs
propres de Qn rangees par ordre croissant (chaque valeur propre apparait donc 
dans
la liste autant de fois que sa multiplicite l'exige) et (e) = (e1,n , e2,n , . 
. . , en,n ) une
base orthonormee de Vn telle que, pour chaque indice k  {1, 2, . . . , n}, ek,n 
est un
vecteur propre de Qn associe a la valeur propre k,n .

II.A.2) Demontrer, pour tout couple (f, g)  E 2 , la relation (f |n (g)) = (n 
(f ) |g) .
II.A.3) Etablir, pour tout couple (f, g)  E22 , que (f |Q(g)) = (Q(f ) |g) . En
deduire que Qn est un endomorphisme symetrique de Vn .

n

II.A - Dans toute la suite du probleme on note Vn le sous-espace de E2 engendre 
par
la famille orthonormale (sk )16k6n (on posera V0 = {0}) et n  L(E) la projection
orthogonale de E sur Vn . Si T est une application lineaire de E2 dans E et n  
N ,
on conviendra de noter Tn l'endomorphisme de Vn defini par f 7 n  T (f ).
II.A.1) Questions de cours dont les preuves ne sont pas demandees :
justifier l'existence de n . Que represente n (f ) relativement a la serie de 
Fourier
de f ? Que valent lim ||n (f )||2 et lim ||f - n (f )||2 ?

Partie II - Probleme approche de dimension finie

Partie III - Une suite de valeurs propres de Q

(f |A(f )) 6 (f |Q(f )) 6 (f |B(f )) .

Dans cette partie III seulement on suppose le reel  strictement positif.
On considere les problemes de Cauchy suivants :
·
(E ) : y  + ( - q) y = 0

d'inconnue y avec les conditions initiales y(0) = 0 et y  (0) = .

q
q
·
(T ) :  =  -  sin2  =  -  (1 - cos(2))

2 
d'inconnue  avec la condition initiale (0) = 0.
III.A III.A.1) Soit y la solution maximale de (E ).
Prouver qu'existent deux fonctions r et  , de classe C 1 sur R telles que :
y
 = r cos  ,
r > 0,
y = r sin  ,
 (0) = 0.

III.A.2) Prouver que  est l'unique solution maximale de (T ).
Dans la suite de cette partie on posera pour tout couple (, x)  ]0, +[ × R :

II.C - On pose, dans la suite du probleme, Ik = k 2 + a, k 2 + b . Prouver que, 
si
k  N , la suite (k,n )n>k converge vers une limite k element de l'intervalle Ik 
et
que la suite (k )k>1 est croissante.

Filière MP

I.B I.B.1) Determiner les valeurs propres de A et B et, pour chacune d'entre 
elles, un
vecteur propre unitaire associe.
I.B.2) Demontrer, pour tout f  E2 , les inegalites suivantes :

MATHÉMATIQUES I

0

x

u(t) dt

est 2-periodique. En deduire que r est 2-

qyn - n (qyn ) =

m=1

n
X

bm (yn ) [qsm - n (qsm )] .

m=1

0

f) Etablir la convergence uniforme sur tout segment de R de la suite de 
fonctions
(yn )n>1 vers une fonction de norme 1 que l'on determinera en fonction de v. En
deduire que v  E et que  est une valeur propre de Q.

suite

n

(yn (0))n>1 .

Prouver que la suite de fonctions (fn )nN tend uniformement vers 0 sur tout 
segment
de R.
s
Z 2
e) Prouver que lim
(yn (x) - yn (0)v(x))2 dx = 0. En deduire la limite de la

0

d) Pour tout entier naturel n, on note fn la fonction de R dans R definie par :
Z x
K(x, t) zn (t) dt.
x  R, fn (x) =

0

b) Prouver que le wronskien de (u, v) vaut constamment 1.
c) En resolvant une equation differentielle, determiner en fonction de u et v 
une
fonction K : R2  R, continue et telle que, pour tout x  R :
Z x

K(x, t) zn (t) dt
yn (x) = yn (0) v(x) +

n

IV.A.2) On note (u, v) la base de solutions de l'equation y  + ( - q)y = 0 telle
que :
u(0) = 1, u (0) = 0, v(0) = 0, v  (0) = 1
et on pose zn = Q(yn ) -  yn  E.
a) Prouver que lim ||zn ||2 = 0.

n

e) Prouver, pour 1 6 m 6 n, la relation :
m2 bm (yn ) + bm (qyn ) - n bm (yn ) = 0.
(1)
f) Prouver, pour 1 6 m 6 n, les inegalites :
|bm (yn )| 6 1 et m2 |bm (yn )| 6 [||q||2 + sup{|n | / n  N }] qui sera note C.
g) Deduire du resultat admis dans le preliminaire que lim ||Q(yn ) - n yn ||2 = 
0.

d) Pour 1 6 m 6 n, on pose rm,n = ||qsm - n (qsm )||2 . Etablir les inegalites :
n
X
||Q(yn ) - n yn ||2 6
|bm (yn )| rm,n et rm,n 6 ||qsm ||2 6 ||q||2 .

Filière MP

IV.B - On reprend maintenant les fonctions (ek,n )16k6n definies a la section 
II.B
en imposant de surcroit ek,n (0) > 0. La section IV.A a etabli, pour tout k > 
1, la
convergence uniforme sur tout segment de R de la suite (ek,n )n>k vers un 
element
de E unitaire note ek qui est un vecteur propre de Q pour la valeur propre k .
Page 3/4

IV.A - Dans cette section IV.A on considere une suite reelle (n )n>1 telle que, 
pour
tout n > 1, n soit une valeur propre de Qn . On suppose que la suite (n )n>1 est
convergente et on note  sa limite. Pour tout entier n > 1, on note yn  Vn un
vecteur propre de Qn associe a la valeur propre n On veut prouver que  est une
valeur propre de Q.
IV.A.1)
a) Montrer que, pour tout entier n > 1, on peut prendre yn unitaire et tel que
yn (0) > 0. Cette condition sera supposee remplie dans la suite de cette partie.
b) Demontrer que Qn (yn ) = -yn + n (qyn ). En deduire que :
||Q(yn ) - n yn ||2 = ||qyn - n (qyn )||2 dont on se propose de prouver la
convergence vers 0 quand n  .
c) Etablir la relation :

On se propose, dans cette partie, d'etablir que les k definis dans la partie II 
sont les
valeurs propres de Q associees a un systeme orthonormal total de vecteurs 
propres.

Partie IV - Valeurs propres de Q

periodique.
III.C.3) Prouver que y est 2-periodique et impaire et conclure.
III.C.4) Que representent les reels µk definis dans la question III.B.4) pour 
l'application lineraire Q ?

la fonction x 7 exp

III.C - Dans cette section III.C on suppose que le reel  > 0 verifie la relation
(, 2) = 2k ou k  N et on se propose de prouver que  est valeur propre de Q.
III.C.1) Demontrer que pour tout x  R :
(, -x) = -(, x) et (, 2 + x) - 2k = (, x).
III.C.2) Prouver queZ
si u est une fonction continue, impaire et 2-periodique alors

III.B.4)
a) Prouver l'existence d'un entier naturel k0 > 0 et d'une suite (µk )k>k0 , 
strictement
croissante de reels strictement positifs telle que, pour tout entier naturel k 
> k0 , on
ait (µk , 2) = 2k.
Z 2

1
2
q(t) dt.
b) Montrer que lim µk - k =
k
2 0

MATHÉMATIQUES I

0

x

u(t) dt

est 2-periodique. En deduire que r est 2-

qyn - n (qyn ) =

m=1

n
X

bm (yn ) [qsm - n (qsm )] .

m=1

0

f) Etablir la convergence uniforme sur tout segment de R de la suite de 
fonctions
(yn )n>1 vers une fonction de norme 1 que l'on determinera en fonction de v. En
deduire que v  E et que  est une valeur propre de Q.

suite

n

(yn (0))n>1 .

Prouver que la suite de fonctions (fn )nN tend uniformement vers 0 sur tout 
segment
de R.
s
Z 2
e) Prouver que lim
(yn (x) - yn (0)v(x))2 dx = 0. En deduire la limite de la

0

d) Pour tout entier naturel n, on note fn la fonction de R dans R definie par :
Z x
K(x, t) zn (t) dt.
x  R, fn (x) =

0

b) Prouver que le wronskien de (u, v) vaut constamment 1.
c) En resolvant une equation differentielle, determiner en fonction de u et v 
une
fonction K : R2  R, continue et telle que, pour tout x  R :
Z x

K(x, t) zn (t) dt
yn (x) = yn (0) v(x) +

n

IV.A.2) On note (u, v) la base de solutions de l'equation y  + ( - q)y = 0 telle
que :
u(0) = 1, u (0) = 0, v(0) = 0, v  (0) = 1
et on pose zn = Q(yn ) -  yn  E.
a) Prouver que lim ||zn ||2 = 0.

n

e) Prouver, pour 1 6 m 6 n, la relation :
m2 bm (yn ) + bm (qyn ) - n bm (yn ) = 0.
(1)
f) Prouver, pour 1 6 m 6 n, les inegalites :
|bm (yn )| 6 1 et m2 |bm (yn )| 6 [||q||2 + sup{|n | / n  N }] qui sera note C.
g) Deduire du resultat admis dans le preliminaire que lim ||Q(yn ) - n yn ||2 = 
0.

d) Pour 1 6 m 6 n, on pose rm,n = ||qsm - n (qsm )||2 . Etablir les inegalites :
n
X
||Q(yn ) - n yn ||2 6
|bm (yn )| rm,n et rm,n 6 ||qsm ||2 6 ||q||2 .

Filière MP

IV.B - On reprend maintenant les fonctions (ek,n )16k6n definies a la section 
II.B
en imposant de surcroit ek,n (0) > 0. La section IV.A a etabli, pour tout k > 
1, la
convergence uniforme sur tout segment de R de la suite (ek,n )n>k vers un 
element
de E unitaire note ek qui est un vecteur propre de Q pour la valeur propre k .
Page 3/4

IV.A - Dans cette section IV.A on considere une suite reelle (n )n>1 telle que, 
pour
tout n > 1, n soit une valeur propre de Qn . On suppose que la suite (n )n>1 est
convergente et on note  sa limite. Pour tout entier n > 1, on note yn  Vn un
vecteur propre de Qn associe a la valeur propre n On veut prouver que  est une
valeur propre de Q.
IV.A.1)
a) Montrer que, pour tout entier n > 1, on peut prendre yn unitaire et tel que
yn (0) > 0. Cette condition sera supposee remplie dans la suite de cette partie.
b) Demontrer que Qn (yn ) = -yn + n (qyn ). En deduire que :
||Q(yn ) - n yn ||2 = ||qyn - n (qyn )||2 dont on se propose de prouver la
convergence vers 0 quand n  .
c) Etablir la relation :

On se propose, dans cette partie, d'etablir que les k definis dans la partie II 
sont les
valeurs propres de Q associees a un systeme orthonormal total de vecteurs 
propres.

Partie IV - Valeurs propres de Q

periodique.
III.C.3) Prouver que y est 2-periodique et impaire et conclure.
III.C.4) Que representent les reels µk definis dans la question III.B.4) pour 
l'application lineraire Q ?

la fonction x 7 exp

III.C - Dans cette section III.C on suppose que le reel  > 0 verifie la relation
(, 2) = 2k ou k  N et on se propose de prouver que  est valeur propre de Q.
III.C.1) Demontrer que pour tout x  R :
(, -x) = -(, x) et (, 2 + x) - 2k = (, x).
III.C.2) Prouver queZ
si u est une fonction continue, impaire et 2-periodique alors

III.B.4)
a) Prouver l'existence d'un entier naturel k0 > 0 et d'une suite (µk )k>k0 , 
strictement
croissante de reels strictement positifs telle que, pour tout entier naturel k 
> k0 , on
ait (µk , 2) = 2k.
Z 2

1
2
q(t) dt.
b) Montrer que lim µk - k =
k
2 0

MATHÉMATIQUES I

k2

||q||2
.
+ a - m2

n

k=1

· · · FIN · · ·

Page 4/4

V.A - On rappelle que q est non constante.
Z 2
1
V.A.1) Prouver que a < q(t) dt < b. 2 0 V.A.2) On adopte ici les notations de la question III.B.4) dont on utilisera les resultats. a) Demontrer l'existence d'un entier k1 > k0 tel que, pour k > k1 on ait Ik 
Ik+1 = .
b) Prouver que k = µk a partir d'un certain rang. En deduire que
Z 2
1
q(t) dt+ o(1)
k = k 2 +
2 0
lorsque k  .

Partie V - Comportement asymptotique

IV.B.4) Montrer que les valeurs propres de Q sont exactement les elements de la
suite (k )k>1 .
(On pourra supposer l'existence d'une valeur propre  differente des k et 
calculer
(e|ek ) pour un vecteur propre e associe a la valeur propre ).

IV.B.3) Montrer que la famille (ek )k>1 est totale dans E.
(On pourra calculer (f |sm ) pour un vecteur f orthogonal a tout vecteur ek ).

k=1

b) Prouver, grace au preliminaire, que :

n
X
X
2
2
1 = ||sm ||2 =
(ek |sm ) puis lim ksm -
(ek |sm )ek k2 = 0

|(ek,n |sm ) | 6

IV.B.1) Prouver que la famille (ek )k>1 est orthonormale ; en deduire que la 
suite
(k )k>1 est strictement croissante.
IV.B.2) Soit m  N et n > m
a) Prouver, a l'aide de la relation (1) convenablement adaptee que, pour tout k 
 N
tel que k 6 n et k 2 + a > m2 on a :

MATHÉMATIQUES I

Filière MP