Centrale Maths 1 MP 2007

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 Centrale Maths 1 MP 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Hervé Diet (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet comporte quatre parties ; les parties II, III et IV sont des applications de la partie I totalement indépendantes entre elles. · Dans la première partie, on considère deux fonctions périodiques f et g, et on exprime la limite quand t tend vers l'infini de la quantité Z 1 t f (x)g(x) dx t 0 à l'aide de leurs coefficients de Fourier complexes. Le résultat diffère selon que le rapport des périodes des deux fonctions est rationnel ou non. · La deuxième partie, assez courte, propose une première application de ce résultat à la résolution d'une équation différentielle linéaire. On montre que si y est une solution T-périodique (avec T/2 irrationnel) d'une équation différentielle linéaire à coefficients 2-périodiques a et b, elle est également solution de l'équation différentielle linéaire à coefficients constants obtenue en remplaçant les fonctions a et b par leurs coefficients de Fourier c0 (a) et c0 (b). · Dans la troisième partie, on s'intéresse à une courbe paramétrée appelée épicycloïde. C'est la courbe décrite par un point d'un cercle (C ) roulant sans glisser sur un cercle de base (C0 ). L'étude distingue deux cas, selon que le rapport des rayons de ces cercles est rationnel ou non. Lorsqu'il est rationnel, le sujet propose une étude classique de courbe paramétrée (points singuliers, calculs de longueurs...). Quand il est irrationnel, on montre un résultat de densité de l'épicycloïde en utilisant la première partie. · Enfin, la quatrième partie est consacrée à un « problème de visibilité ». On considère une forêt constituée d'arbres à sections carrées disposés en tous les points de coordonnées entières du plan euclidien autres que l'origine. On montre, à l'aide de la partie I, l'existence d'une distance R > 0 telle que, dans toute direction, un observateur placé à l'origine voie un arbre situé à une distance inférieure ou égale à R. L'énoncé propose également de déterminer un algorithme permettant d'encadrer la plus petite distance R vérifiant cette condition. Ce sujet est long et assez difficile, d'autant plus qu'il comporte des erreurs d'énoncé qui peuvent bloquer les candidats. La partie la plus simple est en fait celle que les élèves risquent le plus de « bouder » : la géométrie de la partie III, qui propose une étude de courbe paramétrée tout à fait classique. Indications I. Questions préliminaires I.B Quand kT 2Z, utiliser la périodicité pour « découper » l'intégrale. Quand kT 6 2Z, supposer d'abord g en créneau puis g en escalier. Conclure à l'aide de la question I.A. I.C.1 Montrer le résultat pour la série de Fourier de f en se servant de I.B, puis utiliser le théorème de convergence normale pour approcher f par sa série de Fourier et la question I.A. I.C.2 Même démarche que dans la question I.C.1. II. Équation différentielle y0 II.B Montrer que + c0 (a)y0 + c0 (b)y0 est nulle en prouvant que tous ses coefficients de Fourier complexes sont nuls à l'aide de la question I.C.1. Afin d'appliquer I.C.1, on pourra utiliser des fonctions auxiliaires pour modifier les périodes des fonctions en présence. III. Épicycloïde \ ----- ------ ----- ------ III.A.2 Noter que ((t)H(t), (t)M(t)) désigne l'angle ((t)H(t), (t)M(t)). III.B.4 Remarquer que lorsque q est entier, q représente le nombre d'arches de la courbe. III.C.1 z n'étant pas périodique, écrire z n comme une combinaison linéaire de fonctions périodiques pour utiliser I.C.1. Noter que lorsque n = 0 la limite demandée n'est pas nulle. III.C.2 Penser au théorème de Weierstrass pour approcher f par une suite de polynômes et g par une suite de polynômes trigonométriques. III.C.3 f et g doivent exprimer l'appartenance à P : construire f et g de sorte que f ((x))g((x)) > 0 implique (x)e i (x) P, puis utiliser la question précéZ t dente pour montrer qu'il existe t > 0 tel que f ((x))g((x)) dx > 0. 0 IV. Problème de visibilité IV.A.2 Restreindre l'étude à dans un intervalle aussi petit que possible par parité et périodicité. Dans le cas où annule la fonction cosinus ou sinus, appliquer le résultat de la question I.B. Dans le cas contraire, appliquer les résultats des questions I.C.1 et I.C.2. On pourra effectuer un changement de période pour se retrouver dans le cadre de ces questions. IV.A.4 Il y a dans cette question une erreur d'énoncé : il faut en fait montrer l'exisZ R tence d'un réel R > 0 tel que u(x cos )u(x sin ) dx > 1. À cette fin, re0 marquer que la fonction introduite à la question IV.A.3 admet un minimum V(t) pour tout t, et établir que la fonction V est croissante, puis prouver par l'absurde qu'elle ne peut pas être majorée par 1, en utilisant IV.A.2. Pour conclure sur la forêt, appliquer ce qui précède avec un r égal au quart du côté d'un arbre. IV.B.2 Utiliser la fonction tri pour ordonner les secteurs angulaires dans lesquels on voit un arbre. IV.C On pourra inclure des arbres carrés dans les arbres ronds et réciproquement. I. Questions préliminaires I.A La suite de fonctions (un )nN étant uniformément convergente sur l'intervalle I, elle satisfait le critère de Cauchy uniforme. Pour tout > 0, il existe n0 N tel que : (n, p) N2 n > n0 = Sup |un (x) - un+p (x)| 6 (1) xI Pour tout (n, p) N2 tel que n > n0 , un passage à la limite quand x tend vers a dans l'inégalité Sup |un (x) - un+p (x)| 6 donne : xI |n - n+p | 6 La suite (n )nN est donc de Cauchy dans C, et par suite elle converge. Notons sa limite. On a alors, pour tout n > n0 , |n - | 6 . De plus, la convergence uniforme implique la convergence simple, et en faisant tendre p vers l'infini dans (1), il vient n > n0 Sup |un (x) - U(x)| 6 xI On en déduit que pour tout x dans I et tout n > n0 , |U(x) - | 6 |U(x) - un (x)| + |un (x) - n | + |n - | 6 2 + |un (x) - n | Fixons désormais n = n0 . Par hypothèse, lim un0 (x) = n0 , d'où l'existence de V xa appartenant à l'ensemble V (a) des voisinages de a dans I tel que : x V |un0 (x) - n0 | 6 Finalement, on a montré : > 0 d'où V V (a) x I x V = |U(x) - | 6 3 lim U(x) = xa I.B Soient g : R C, continue par morceaux et T-périodique, et k Z. Définissons la fonction : ] 0 ; + [ C par : Z 1 t i kx t > 0 (t) = e g(x) dx t 0 · Dans un premier temps, on suppose que kT 2Z. Il existe alors n Z tel que kT = 2n, soit k = (2/T)n = n. Z 1 t i 2n x t > 0 (t) = e T g(x) dx t 0 2n Comme la fonction h : x 7 e i T x g(x) est T-périodique, on peut écrire, en notant E(x) la partie entière d'un réel x, Z (j+1)T Z P 1 E(t/T)-1 1 t (t) = h(x) dx + h(x) dx t j=0 t E(t/T)T jT Z T Z 1 t 1 t-E(t/T)T = E h(x) dx + h(x) dx t T t 0 0 Or, pour tout t > 0, on a, par définition de la partie entière, t t t -1 0 Z 1 t i kx e g(x) dx (t) = t 0 Z (j+1)T Z P 1 E(t/T)-1 1 t i kx = e g(x) dx + e i kx g(x) dx t j=0 t E(t/T)T jT Z jT+b Z P 1 E(t/T)-1 1 t (t) = e i kx dx + e i kx 1{x[ E(t/T)T+a ;E(t/T)T+b ]} dx t j=0 t E(t/T)T jT+a Comme kT 6 2Z, on a nécessairement ik 6= 0, d'où, pour tout entier naturel j inférieur ou égal à E(t/T) - 1, Z jT+b e i k(jT+b) - e i k(jT+b) e i kx dx = ik jT+a i kb i ka e -e = e i jkT ik