Centrale Maths 1 MP 2007

Thme de l'preuve Fonctions priodiques
Principaux outils utiliss sries de Fourier, suites de fonctions, quations diffrentielles, courbes paramtres, analyse relle
Mots clefs srie de Fourier, courbe paramtre

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Maths 1 MP 2007 -- Corrig Ce corrig est propos par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a t relu par Herv Diet (ENS Cachan) et Benot Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet comporte quatre parties ; les parties II, III et IV sont des applications de la partie I totalement indpendantes entre elles.  Dans la premire partie, on considre deux fonctions priodiques f et g, et on exprime la limite quand t tend vers l'infini de la quantit Z 1 t f (x)g(x) dx t 0  l'aide de leurs coefficients de Fourier complexes. Le rsultat diffre selon que le rapport des priodes des deux fonctions est rationnel ou non.  La deuxime partie, assez courte, propose une premire application de ce rsultat  la rsolution d'une quation diffrentielle linaire. On montre que si y est une solution T-priodique (avec T/2 irrationnel) d'une quation diffrentielle linaire  coefficients 2-priodiques a et b, elle est galement solution de l'quation diffrentielle linaire  coefficients constants obtenue en remplaant les fonctions a et b par leurs coefficients de Fourier c0 (a) et c0 (b).  Dans la troisime partie, on s'intresse  une courbe paramtre appele picyclode. C'est la courbe dcrite par un point d'un cercle (C ) roulant sans glisser sur un cercle de base (C0 ). L'tude distingue deux cas, selon que le rapport des rayons de ces cercles est rationnel ou non. Lorsqu'il est rationnel, le sujet propose une tude classique de courbe paramtre (points singuliers, calculs de longueurs...). Quand il est irrationnel, on montre un rsultat de densit de l'picyclode en utilisant la premire partie.  Enfin, la quatrime partie est consacre  un  problme de visibilit . On considre une fort constitue d'arbres  sections carres disposs en tous les points de coordonnes entires du plan euclidien autres que l'origine. On montre,  l'aide de la partie I, l'existence d'une distance R > 0 telle que, dans toute direction, un observateur plac  l'origine voie un arbre situ  une distance infrieure ou gale  R. L'nonc propose galement de dterminer un algorithme permettant d'encadrer la plus petite distance R vrifiant cette condition. Ce sujet est long et assez difficile, d'autant plus qu'il comporte des erreurs d'nonc qui peuvent bloquer les candidats. La partie la plus simple est en fait celle que les lves risquent le plus de  bouder  : la gomtrie de la partie III, qui propose une tude de courbe paramtre tout  fait classique. Indications I. Questions prliminaires I.B Quand kT 2Z, utiliser la priodicit pour  dcouper  l'intgrale. Quand kT 6 2Z, supposer d'abord g en crneau puis g en escalier. Conclure  l'aide de la question I.A. I.C.1 Montrer le rsultat pour la srie de Fourier de f en se servant de I.B, puis utiliser le thorme de convergence normale pour approcher f par sa srie de Fourier et la question I.A. I.C.2 Mme dmarche que dans la question I.C.1. II. quation diffrentielle y0 II.B Montrer que + c0 (a)y0 + c0 (b)y0 est nulle en prouvant que tous ses coefficients de Fourier complexes sont nuls  l'aide de la question I.C.1. Afin d'appliquer I.C.1, on pourra utiliser des fonctions auxiliaires pour modifier les priodes des fonctions en prsence. III. picyclode \ ----- ------ ----- ------ III.A.2 Noter que ((t)H(t), (t)M(t)) dsigne l'angle ((t)H(t), (t)M(t)). III.B.4 Remarquer que lorsque q est entier, q reprsente le nombre d'arches de la courbe. III.C.1 z n'tant pas priodique, crire z n comme une combinaison linaire de fonctions priodiques pour utiliser I.C.1. Noter que lorsque n = 0 la limite demande n'est pas nulle. III.C.2 Penser au thorme de Weierstrass pour approcher f par une suite de polynmes et g par une suite de polynmes trigonomtriques. III.C.3 f et g doivent exprimer l'appartenance  P : construire f et g de sorte que f ((x))g((x)) > 0 implique (x)e i (x) P, puis utiliser la question prcZ t dente pour montrer qu'il existe t > 0 tel que f ((x))g((x)) dx > 0. 0 IV. Problme de visibilit IV.A.2 Restreindre l'tude  dans un intervalle aussi petit que possible par parit et priodicit. Dans le cas o annule la fonction cosinus ou sinus, appliquer le rsultat de la question I.B. Dans le cas contraire, appliquer les rsultats des questions I.C.1 et I.C.2. On pourra effectuer un changement de priode pour se retrouver dans le cadre de ces questions. IV.A.4 Il y a dans cette question une erreur d'nonc : il faut en fait montrer l'exisZ R tence d'un rel R > 0 tel que u(x cos )u(x sin ) dx > 1.  cette fin, re0 marquer que la fonction introduite  la question IV.A.3 admet un minimum V(t) pour tout t, et tablir que la fonction V est croissante, puis prouver par l'absurde qu'elle ne peut pas tre majore par 1, en utilisant IV.A.2. Pour conclure sur la fort, appliquer ce qui prcde avec un r gal au quart du ct d'un arbre. IV.B.2 Utiliser la fonction tri pour ordonner les secteurs angulaires dans lesquels on voit un arbre. IV.C On pourra inclure des arbres carrs dans les arbres ronds et rciproquement. I. Questions prliminaires I.A La suite de fonctions (un )nN tant uniformment convergente sur l'intervalle I, elle satisfait le critre de Cauchy uniforme. Pour tout > 0, il existe n0 N tel que : (n, p) N2 n > n0 = Sup |un (x) - un+p (x)| 6 (1) xI Pour tout (n, p) N2 tel que n > n0 , un passage  la limite quand x tend vers a dans l'ingalit Sup |un (x) - un+p (x)| 6 donne : xI |n - n+p | 6 La suite (n )nN est donc de Cauchy dans C, et par suite elle converge. Notons sa limite. On a alors, pour tout n > n0 , |n - | 6 . De plus, la convergence uniforme implique la convergence simple, et en faisant tendre p vers l'infini dans (1), il vient n > n0 Sup |un (x) - U(x)| 6 xI On en dduit que pour tout x dans I et tout n > n0 , |U(x) - | 6 |U(x) - un (x)| + |un (x) - n | + |n - | 6 2 + |un (x) - n | Fixons dsormais n = n0 . Par hypothse, lim un0 (x) = n0 , d'o l'existence de V xa appartenant  l'ensemble V (a) des voisinages de a dans I tel que : x V |un0 (x) - n0 | 6 Finalement, on a montr : > 0 d'o V V (a) x I x V = |U(x) - | 6 3 lim U(x) = xa I.B Soient g : R C, continue par morceaux et T-priodique, et k Z. Dfinissons la fonction : ] 0 ; + [ C par : Z 1 t i kx t > 0 (t) = e g(x) dx t 0  Dans un premier temps, on suppose que kT 2Z. Il existe alors n Z tel que kT = 2n, soit k = (2/T)n = n. Z 1 t i 2n x t > 0 (t) = e T g(x) dx t 0 2n Comme la fonction h : x 7 e i T x g(x) est T-priodique, on peut crire, en notant E(x) la partie entire d'un rel x, Z (j+1)T Z P 1 E(t/T)-1 1 t (t) = h(x) dx + h(x) dx t j=0 t E(t/T)T jT Z T Z 1 t 1 t-E(t/T)T = E h(x) dx + h(x) dx t T t 0 0 Or, pour tout t > 0, on a, par dfinition de la partie entire, t t t -1 0 Z 1 t i kx e g(x) dx (t) = t 0 Z (j+1)T Z P 1 E(t/T)-1 1 t i kx = e g(x) dx + e i kx g(x) dx t j=0 t E(t/T)T jT Z jT+b Z P 1 E(t/T)-1 1 t (t) = e i kx dx + e i kx 1{x[ E(t/T)T+a ;E(t/T)T+b ]} dx t j=0 t E(t/T)T jT+a Comme kT 6 2Z, on a ncessairement ik 6= 0, d'o, pour tout entier naturel j infrieur ou gal  E(t/T) - 1, Z jT+b e i k(jT+b) - e i k(jT+b) e i kx dx = ik jT+a i kb i ka e -e = e i jkT ik