Centrale Maths 1 MP 2007

Thème de l'épreuve Fonctions périodiques
Principaux outils utilisés séries de Fourier, suites de fonctions, équations différentielles, courbes paramétrées, analyse réelle
Mots clefs série de Fourier, courbe paramétrée

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Hervé Diet (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet comporte quatre parties ; les parties II, III et IV sont des 
applications
de la partie I totalement indépendantes entre elles.
· Dans la première partie, on considère deux fonctions périodiques f et g, et on
exprime la limite quand t tend vers l'infini de la quantité
Z
1 t
f (x)g(x) dx
t 0
à l'aide de leurs coefficients de Fourier complexes. Le résultat diffère selon 
que
le rapport des périodes des deux fonctions est rationnel ou non.
· La deuxième partie, assez courte, propose une première application de ce 
résultat à la résolution d'une équation différentielle linéaire. On montre que 
si y
est une solution T-périodique (avec T/2 irrationnel) d'une équation 
différentielle linéaire à coefficients 2-périodiques a et b, elle est également 
solution de
l'équation différentielle linéaire à coefficients constants obtenue en 
remplaçant
les fonctions a et b par leurs coefficients de Fourier c0 (a) et c0 (b).
· Dans la troisième partie, on s'intéresse à une courbe paramétrée appelée 
épicycloïde. C'est la courbe décrite par un point d'un cercle (C ) roulant sans 
glisser
sur un cercle de base (C0 ). L'étude distingue deux cas, selon que le rapport
des rayons de ces cercles est rationnel ou non. Lorsqu'il est rationnel, le 
sujet
propose une étude classique de courbe paramétrée (points singuliers, calculs
de longueurs...). Quand il est irrationnel, on montre un résultat de densité de
l'épicycloïde en utilisant la première partie.
· Enfin, la quatrième partie est consacrée à un « problème de visibilité ». On
considère une forêt constituée d'arbres à sections carrées disposés en tous
les points de coordonnées entières du plan euclidien autres que l'origine. On
montre, à l'aide de la partie I, l'existence d'une distance R > 0 telle que,
dans toute direction, un observateur placé à l'origine voie un arbre situé à une
distance inférieure ou égale à R. L'énoncé propose également de déterminer
un algorithme permettant d'encadrer la plus petite distance R vérifiant cette
condition.
Ce sujet est long et assez difficile, d'autant plus qu'il comporte des erreurs 
d'énoncé qui peuvent bloquer les candidats. La partie la plus simple est en 
fait celle que les
élèves risquent le plus de « bouder » : la géométrie de la partie III, qui 
propose une
étude de courbe paramétrée tout à fait classique.

Indications
I.

Questions préliminaires

I.B Quand kT  2Z, utiliser la périodicité pour « découper » l'intégrale. Quand
kT 6 2Z, supposer d'abord g en créneau puis g en escalier. Conclure à l'aide
de la question I.A.
I.C.1 Montrer le résultat pour la série de Fourier de f en se servant de I.B, 
puis
utiliser le théorème de convergence normale pour approcher f par sa série de
Fourier et la question I.A.
I.C.2 Même démarche que dans la question I.C.1.
II.

Équation différentielle

y0

II.B Montrer que
+ c0 (a)y0 + c0 (b)y0 est nulle en prouvant que tous ses coefficients de 
Fourier complexes sont nuls à l'aide de la question I.C.1. Afin
d'appliquer I.C.1, on pourra utiliser des fonctions auxiliaires pour modifier
les périodes des fonctions en présence.
III.

Épicycloïde

\
----- ------
-----
------
III.A.2 Noter que ((t)H(t), (t)M(t)) désigne l'angle ((t)H(t), (t)M(t)).
III.B.4 Remarquer que lorsque q est entier, q représente le nombre d'arches de 
la
courbe.
III.C.1 z n'étant pas périodique, écrire z n comme une combinaison linéaire de 
fonctions périodiques pour utiliser I.C.1. Noter que lorsque n = 0 la limite 
demandée n'est pas nulle.
III.C.2 Penser au théorème de Weierstrass pour approcher f par une suite de 
polynômes et g par une suite de polynômes trigonométriques.
III.C.3 f et g doivent exprimer l'appartenance à P : construire f et g de sorte 
que
f ((x))g((x)) > 0 implique (x)e i (x)  P, puis utiliser la question précéZ t
dente pour montrer qu'il existe t > 0 tel que
f ((x))g((x)) dx > 0.
0

IV.

Problème de visibilité

IV.A.2 Restreindre l'étude à  dans un intervalle aussi petit que possible par 
parité
et périodicité. Dans le cas où  annule la fonction cosinus ou sinus, appliquer
le résultat de la question I.B. Dans le cas contraire, appliquer les résultats
des questions I.C.1 et I.C.2. On pourra effectuer un changement de période
pour se retrouver dans le cadre de ces questions.
IV.A.4 Il y a dans cette question une erreur d'énoncé : il faut en fait montrer 
l'exisZ R
tence d'un réel R > 0 tel que
u(x cos )u(x sin ) dx > 1. À cette fin, re0

marquer que la fonction introduite à la question IV.A.3 admet un minimum
V(t) pour tout t, et établir que la fonction V est croissante, puis prouver par
l'absurde qu'elle ne peut pas être majorée par 1, en utilisant IV.A.2. Pour
conclure sur la forêt, appliquer ce qui précède avec un r égal au quart du côté
d'un arbre.
IV.B.2 Utiliser la fonction tri pour ordonner les secteurs angulaires dans 
lesquels on
voit un arbre.
IV.C On pourra inclure des arbres carrés dans les arbres ronds et 
réciproquement.

I. Questions préliminaires
I.A La suite de fonctions (un )nN étant uniformément convergente sur 
l'intervalle I,
elle satisfait le critère de Cauchy uniforme. Pour tout  > 0, il existe n0  N 
tel que :
(n, p)  N2

n > n0 = Sup |un (x) - un+p (x)| 6 

(1)

xI

Pour tout (n, p)  N2 tel que n > n0 , un passage à la limite quand x tend vers a
dans l'inégalité Sup |un (x) - un+p (x)| 6  donne :
xI

|n - n+p | 6 
La suite (n )nN est donc de Cauchy dans C, et par suite elle converge. Notons  
sa
limite. On a alors, pour tout n > n0 , |n - | 6 . De plus, la convergence 
uniforme
implique la convergence simple, et en faisant tendre p vers l'infini dans (1), 
il vient
n > n0

Sup |un (x) - U(x)| 6 
xI

On en déduit que pour tout x dans I et tout n > n0 ,
|U(x) - | 6 |U(x) - un (x)| + |un (x) - n | + |n - |
6 2 + |un (x) - n |
Fixons désormais n = n0 . Par hypothèse, lim un0 (x) = n0 , d'où l'existence de 
V
xa

appartenant à l'ensemble V (a) des voisinages de a dans I tel que :
x  V

|un0 (x) - n0 | 6 

Finalement, on a montré :
 > 0
d'où

V  V (a)

x  I

x  V = |U(x) - | 6 3

lim U(x) = 

xa

I.B Soient g : R  C, continue par morceaux et T-périodique, et k  Z. Définissons
la fonction  : ] 0 ; + [  C par :
Z
1 t i kx
t > 0 (t) =
e g(x) dx
t 0
· Dans un premier temps, on suppose que kT  2Z. Il existe alors n  Z tel que
kT = 2n, soit k = (2/T)n = n.
Z
1 t i 2n x
t > 0
(t) =
e T g(x) dx
t 0
2n

Comme la fonction h : x 7 e i T x g(x) est T-périodique, on peut écrire, en
notant E(x) la partie entière d'un réel x,
Z (j+1)T
Z
P
1 E(t/T)-1
1 t
(t) =
h(x) dx +
h(x) dx
t j=0
t E(t/T)T
jT
 Z T
Z
1
t
1 t-E(t/T)T
= E
h(x) dx +
h(x) dx
t
T
t 0
0

Or, pour tout t > 0, on a, par définition de la partie entière,
 
t
t
t
-1 0
Z
1 t i kx
e g(x) dx
(t) =
t 0
Z (j+1)T
Z
P
1 E(t/T)-1
1 t
i kx
=
e g(x) dx +
e i kx g(x) dx
t j=0
t E(t/T)T
jT
Z jT+b
Z
P
1 E(t/T)-1
1 t
(t) =
e i kx dx +
e i kx 1{x[ E(t/T)T+a ;E(t/T)T+b ]} dx
t j=0
t E(t/T)T
jT+a
Comme kT 6 2Z, on a nécessairement ik 6= 0, d'où, pour tout entier naturel j
inférieur ou égal à E(t/T) - 1,
Z jT+b
e i k(jT+b) - e i k(jT+b)
e i kx dx =
ik
jT+a

i kb
i ka
e
-e
=
e i jkT
ik