Centrale Maths 1 MP 2006

Thème de l'épreuve Problèmes asymptotiques relatifs à la longueur d'une ellipse
Principaux outils utilisés séries de Fourier, séries entières, équivalents, calcul matriciel

Corrigé

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 n__>_ e......___... _ 8:95Ë5Ë ...ëä... oeëw omäQ:OE - ÆOEÈoeQ oeÈoocoü Notations et objectifs du problème 0 On rappelle qu'une ellipse d'un plan affine euclidien, de demi-axes a et b (a>b>O), notée (anb) admet, dans un certain repère orthonormé, une représentation paramétrique de la forme : {x = a cost @) y = b sint (t décrit un segment de longueur 215 ). ? , . . . . , . ° 'ÎÉzn des1gne le C- espace vectoriel des fonctions continues sur IR, 2n- perm-- diques, à valeurs complexes. On munit cet espace du produit scalaire défini par : (fig) = à flÎ(zfiÎg(t)dt. ' Pour le E 2 , n EUR IN et f E %)2n on rappelle les expressions des coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques de f , utiles dans le problème : 1 ft _ 1 - 1 ft Ck(f) : fi [_ f(t)e k tdt, an(f) : & f_fif(t)cos(nt)dt. ' Dans tout le problème r désignera un nombre réel appartenant à l'intervalle ouvert 10, 1[ et f ,. l'élément de %}n défini par: tl----> ll --re"l On désignera aussi par % l'ensemble des suites réelles (an) tout entier naturel non nul n , la relation : n > 0 vérifiant, pour r(2n+3)a --(l+r2)2nan+r(2n--3)a n+l n--l" et % r le sous--ensemble de % constitué des suites (an) telles que le rayon de convergence de la série entière de terme général anzn soit au moins égal à 1 . 0 Dans tout le problème (on) _ (271) on : -----L-- pourtout nEIN. 4"(2n _ 1) (Les candidats qui le préfèrent pourront aussi noter C'Ën le coefficient binomial). n 2 0 sera la suite réelle définie par : ° La partie entière du réel x est notée [x] . ° L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation JE ne sera prise en considération que lorsque 2 est un nombre réel positif. ' L'objectif du problème est l'étude de quelques problèmes asymptotiques rela-- tifs à la longueur, notée L(a. b) , de l'ellipse (Ea_ b) . Partie I - Préliminaires I.A - Préciser sur un dessin la signification géométrique du paramètre t inter-- venant dans le paramétrage (1). I. B- Prouver rapidement que /, et / ciser la dimension de J. ,_ sont des R- espaces vectoriels et pré- I.C - Donner sans démonstration l'énoncé précis du théorème de Parseval relatif à un élément f E Y;,, (les coefficients de Fourier intervenant dans la for-- mule seront les coefficients exponentiels). _ " ; « --' Si f et g sont deux éléments de _,, , prouver, en justifiant d'abord la conver- gence absolue de la série, la formule: (fig)_ " £O(f) + É b > 0 . On pose r : Zlî . Exprimer, en fonction de a , b et de constantes, le réel î(Î}.b)' . 0 r Partie II - Comportement asymptotique de la suite (a,,(f,)) II.A - Déterminer le rayon de convergence R de la série entière de terme géné-- ral ocnz" . On notera f(z) sa somme dans le disque ouvert complexe de centre 0 et de rayon R . II.B - Soit x un réel appartenant à l'intervalle ouvert ]--R, RI, . Donner une rela-- tion entre (1 -- x) f '(x) et f (x) . En déduire une expression simple de la restriction de f a l'intervalle ouvert ]--R, R[ . II.C -- On choisit maintenant un complexe 2 tel que lzl  00 : 2 n A/1--r r [ 3/2 ' TEÏL En quoi-ce résultat corrobore-t--il votre cours sur les séries de Fourier ? an(fr)-- Partie III - Approximation de L(a, b) HLA - Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre satis- faite par f ,.. En déduire que la suite (an( f r)) appartient à $,... III.B - Pour tout réel rE ]0,1[, on définit deux suites (An(r))nzû et (Bn(r)) par : ' nzO A0(r) ='1,B0(r) : O,Ai(r) = --%(1+r2),Bl(r) : 1 et les relations de récurrence, valables pour n a 2 : , _ 2n(l+rfl) 2n-+1 An") - mAn--l(r>--(zn_5)An--ZW _ 2n(l+rg) 2n-+1 En... - mBn--llr)"(zn_5)Bn--2W on définit également, pour n 2 1 , la matrice M n(r) par : 2n+3 A (T') -- A _ (T') " 2n--3 "' Aln(r) : Bn(r) _2n+3Bn_l(r) 2n--3 Pour alléger la rédaction, les candidats pourront remplacer, chaque fois que cela leur paraîtra utile, les expressions An(r), Bn(r), Mn(r),par An, Bn, Mn . Pour n a 1 , déterminer une matrice Tn , dont les coefficients dépendent de n et r , telle que pour toute suite (an) appartenant à % on ait : an--l an Écrire, dans le langage de calcul formel de votre choix, des fonctions prenant en argument l'entier n et retournant an, An, Bn ; ao, al et r seront considérés comme des variables globales. Montrer que, pour tout entier ne l, on a: Mn : M n--1T nzO n . an En déduire le produit matriciel M n( ) indépendamment de n an+l III.C - Soit (un)n EIN une suite réelle telle qu'existént une suite (en) tendant vers 0 , un réel 1 , un réel le E JO, 1[ et un entier N vérifiant : Vn >ÎV, --l un--ll sklu n--l +8n Montrer que lim un : [. n-->oc III.D - Prouver que : a0(fr) l--r2 n-->oe lim Anan(fr) : Que dire de la suite de terme général Bnan( f ,.) lorsque n tend vers l'infini '? a--b \ a + b ' A l'aide des questions ILE et III.D, démontrer que la suite (ln) définie par : III.E - Soient a et 1) deux réels tels que a > b > 0 . On pose r : "> 3/2 l() : (a+b)n(l --r') ,) ll : l0(1+"--) converge vers L(a, b). r2(2n+ 1)(2n--3) ln : (1+r2)ln--'_---ÂÎ(n_--l)_--_Z"_Ï Partie IV - Étude de % et de %r IV.A - Soit (an)n 2 0 un élément de % . Prouver l'égalité : a1An--aan : a det Mn ' n+l IV.B - Calculer det Tn puis det Mn . Donner un équivalent de det M n . IV.C - Préciser la dimension et une base de %r. Soit (an) un élément de % qui n'appartient pas à $,... Déterminer un équivalent simple de an lorsque n ._ä oe . ooo FIN ooo

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 Centrale Maths 1 MP 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Ismaël Soudères (ENS Cachan) ; il a été relu par Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Ce problème est centré sur l'étude de la longueur d'une ellipse. En cherchant à approcher cette longueur à l'aide d'une suite, on étudie la suite des coefficients de Fourier d'une fonction fr 2-périodique ainsi que les propriétés d'un sous-espace vectoriel de l'ensemble des suites réelles. Le problème est découpé en quatre parties. · La première partie a pour objectif d'obtenir divers résultats utiles pour la suite du problème. D'une part, il s'agit de vérifier que les espaces qui interviennent dans le problème sont des espaces vectoriels. On y démontre une expression du produit scalaire dans C2 en fonction des coefficients de Fourier. D'autre part, un lien est établi entre la longueur d'une ellipse et le premier coefficient de Fourier de la fonction t 7- |1 - reit | où r est défini à partir des longueurs des axes de l'ellipse. · Le but de la deuxième partie est d'étudier le comportement asymptotique de la suite des coefficients de la fonction fr . Pour cela, une fonction auxiliaire f définie par une série entière est utilisée. Après avoir fait le lien entre f et fr , les coefficients de Fourier de cette dernière sont exprimés à l'aide des coefficients intervenant dans le développement en série entière de f . · L'objectif de la troisième partie est d'approcher la longueur d'une ellipse par une suite récurrente. On commence par déterminer comment se traduit matriciellement la relation de récurrence vérifiée par les coefficients de Fourier de fr . Ensuite, à l'aide d'une suite auxiliaire, une suite récurrente calculable (en ce sens que les premiers termes sont « simples ») convergeant vers la longueur de l'ellipse est exhibée. · Enfin, la dernière partie revient sur l'espace des suites réelles satisfaisant la même relation de récurrence que celle vérifiée par la suite des coefficients de Fourier de fr . C'est un espace vectoriel de dimension 2. La suite tend vers 0 très rapidement en vertu des questions de la deuxième partie. Ce comportement est, en fait, exceptionnel : parmi les suites de cet ensemble, les coefficients de Fourier de fr sont les seuls (à multiplication de la suite par un scalaire près) dont la valeur absolue ne tend pas vers +. Ce problème comporte quelques passages assez délicats dans les preuves de convergence. Il impose de bien maîtriser tous les aspects de la théorie des séries de Fourier d'un point de vue tant analytique que préhilbertien. Quelques équations différentielles et du calcul matriciel jalonnent aussi le problème. Notons que les questions II.E, III.D et III.E sont particulièrement difficiles. Indications I.A Une ellipse est l'image d'un cercle par une affinité. I.B Montrer que Sr et Br sont des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel des suites réelles. 1 I.C Utiliser le fait que |cn (f )cn (g)| 6 (|cn (f )|2 + |cn (g)|2 ) ainsi que l'identité de 2 polarisation |z1 z2 | = |z1 + z2 |2 - |z1 + z2 |2 + i|z1 + iz2 |2 - i|z1 - iz2 |2 et son équivalent hermitien. I.D Utiliser la parité et le caractère réel de fr . I.E Calculer | ((t)|, puis montrer que a2 sin2 (t) + b2 cos2 (t) = (a + b)2 1 + r2 - 2r cos(2t) 4 II.A Utiliser la règle de d'Alembert. II.B Commencer par calculer n+1 /n . II.C Utiliser la question précédente, ainsi que le développement de Taylor d'une série entière. II.D Utiliser la question précédente. II.E Pour la première partie utiliser z z = |z|2 . Ensuite il faut interpréter le produit sous l'intégrale comme un produit scalaire et utiliser la question I.C. Puis, calculer les coefficients de Fourier d'une série entière. Enfin, utiliser le théorème de convergence dominée et obtenir la convergence des intégrales. II.F Utiliser les questions I.D et II.E puis la formule de Stirling. III.A Utiliser z z = |z|2 . Calculer la dérivée de fr et enlever les racines carrées au dénominateur. Multiplier l'équation par sin(nt) et intégrer. III.B Utiliser la relation vérifiée par un élément de Sr . III.C Il faut itérer la relation et faire apparaître une série convergente. Ensuite, en deux étapes, il s'agit de trouver un rang assez grand à partir duquel on a |un - l| < Cte III.D Utiliser dans un premier temps la question III.B, puis se servir de la question II.F pour obtenir an+1 = an (r + o(1)). Enfin calculer la différence |(1 - r2 )An+1 an+1 - a0 | et se ramener à la question précédente. III.E Montrer que (a + b)(1 - r2 ) An n rn = ln . Déterminer la limite de An n rn à l'aide de la question précédente. Enfin, conclure à l'aide de la question I.E. 1 an An a0 IV.A Vérifier et utiliser l'égalité Mn = . 0 an+1 B n a1 IV.B Utiliser la question précédente. IV.C Utiliser la question IV.A avec a0 = 0 et a1 = 1. Il faut ensuite déterminer un équivalent de An à l'aide des questions III.D et II.F. Trouver alors une suite particulière de Sr qui n'est pas dans Br . Pour la seconde partie, décomposer un élément de Sr sous la forme (un ) + (vn ) avec (un ) et (vn ) bien choisis. I. Préliminaires I.A Le point M(t) de coordonnées (x(t), y(t)) = (a cos t, b sin t) est le point courant de l'ellipse dans sa représentation paramétrique donnée par (1). C'est également la transformée du point M0 (t) = (a cos t, a sin t) du cercle de centre 0 et de rayon a (formant un angle orienté t avec l'axe des abscisses) par l'affinité orthogonale d'axe Ox (l'axe des abscisses) et de rapport b/a. M0 (t) b M(t) t a I.B Montrons que Sr est un espace vectoriel. Il est pour cela judicieux de montrer qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de l'espace des suites réelles. Soient (an )nN et (bn )nN dans Sr et R. Posons pour tout n N, cn = an + bn . Il s'agit de montrer que la suite (cn )nN est dans Sr . Soit n N . On a alors : r(2n + 3)an+1 - (1 + r2 )2nan + r(2n - 3)an-1 = 0 et r(2n + 3)bn+1 - (1 + r2 )2nbn + r(2n - 3)bn-1 = 0 En ajoutant la première égalité à la seconde multipliée par , on obtient r(2n + 3) cn+1 - (1 + r2 ) 2n cn + r(2n - 3) cn-1 = 0 Ceci étant vrai pour n N arbitraire, (cn )nN = (an + bn )nN est dans Sr . Sr est donc un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles, et en particulier : Sr est un espace vectoriel. Montrons que Br est un sous-espace vectoriel de Sr , ce qui montre en particulier qu'il s'agit d'un espace vectoriel. Soient (an )nN un élément de Br et R. Soit + f (z) = P an z n n=0 la série entière de rayon de convergence R > 1 définie par la suite (an )nN . Alors la série entière z 7- f (z) a un rayon de convergence égal à R. La suite (an )nN est donc dans Br . De même, si (bn )nN est un autre élément de Br définissant une série entière g(z) de rayon de convergence R > 1, la série entière z 7- f (z) + g(z) a un rayon de convergence R0 > Min (R, R ) > 1 et donc la suite (an + bn )nN est dans Br . Br est donc un sous-espace vectoriel de Sr , en particulier : Br est un espace vectoriel. On a utilisé ici le fait que l'ensemble des séries entières est un espace vectoriel. Montrons que Sr est de dimension 2. L'application qui envoie une suite (an )nN de Sr sur le couple (a0 ; a1 ) dans R2 est linéaire. Elle est surjective car la relation de récurrence définit bien une suite pour toutes les valeurs de a0 et a1 possibles. Soit (an )nN Sr tel que a0 = 0 et a1 = 0. Montrons que la propriété P(n) : an = 0 est vraie pour tout n > 2. · P(2) : calculons a2 : a2 = 1 (1 + r2 )a1 + ra0 = 0 5r · P(n - 1) et P(n) = P(n + 1) : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour k = n - 1 et k = n. On a alors : an+1 = 1 n(1 + r2 ) an + r(2n - 3) an-1 = 0 r(2n + 3) c'est-à-dire que P(n + 1) est vraie. · Conclusion : P(n) est vraie pour tout n > 2. Comme a0 = a1 = 0, (an )nN est la suite nulle. Nous en déduisons que est injective. Comme est surjective, on en conclut que : dim(Sr ) = 2 La surjectivité et l'injectivité sont nécessaires pour obtenir la bijectivité et donc l'égalité des dimensions. On ne peut pas utiliser un argument utilisant l'égalité des dimensions tant qu'on n'a pas montré cette égalité. I.C Théorème de Parseval : Pour toute fonction f de C2 , la série de terme général |cn (f )|2 converge et Z + P 1 2 2 2 |f (t)|2 dt = c0 (f ) + cn (f ) + c-n (f ) 2 - n=1 ce que l'on écrit parfois, de manière un peu abusive, sous la forme Z + P 1 2 2 |f (t)| dt = |cn (f )| 2 - n=- Soient f et g deux fonctions de C2 . Montrons que la série de terme général cn (f )cn (g) + c-n (f )c-n (g) converge absolument. Pour tout n Z, on a l'inégalité 1 |cn (f )cn (g)| 6 |cn (f )|2 + |cn (g)|2 2