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Avertissement
Les trois parties sont indépendantes. Le résultat final de la Partie I fournit
une
valeur particulière de la fonction F étudiée dans les parties II et III.
Partie I - Calcul de la somme d'une série
I.A-
I.A.1) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourier
de la fonction 2n: --périodique impaire f : IR --> IR , nulle en 0 et n , et
égale à 1
sur ]O,n:[ . Pour tout entier n a 0 , expliciter la somme partielle de Fourier
Sn f de
f
I.A.2) Que peut-on dire de la suite de fonctions (Sn f ) ? En déduire la valeur
de
_ °° <--l)" S-- 2 2n+1° n=O I.A.3) Calculer co 1 S = . l 2 (2n+1)2 n = 0 LB - I.B.1) Préciser le domaine d'existence dans IR de °° 2n x L(x) : 2 n + 1 ' n = 0 Exprimer L(x) à l'aide de fonctions usuelles. I.B.2) Calculer l'intégrale 1.8.3) En déduire la valeur de I.B.4) Exprimer Sa=î "1--1" n(n_ê)2 en fonction de S] et S2 . En déduire la valeur de S3 . *** Dans toute la suite, on utilise les notations qui suivent : 0 Pour tout réel t > 0 , Int désigne le logarithme népérien de t.
0 Si t est un réel strictement positif et si 2 = x + iy , où (x, y) E IR2 , est
un com-
plexe, on note tz : exp(z Int).
0 On définit la fonction p : JO,] [ --a IR par
p(t) : Int--lnt(l--t)_
Pour tout z complexe tel que la fonction tr----> t"zp(t) est intégrable sur 10,
Il , on
pose
F(z) : folt'zp(t)dt.
On définit ainsi une fonction F de la variable complexe z ; on notera encore,
par
extension, F la fonction de deux variables réelles associée.
Ainsi, pour (x, y) EUR ]R2, F(x, y) : F(x + iy).
Le but du problème est d'étudier la fonction F.
Partie II - Étude locale de F
II.A - Montrer que le domaine de définition de F est 9 = {2/2 EUR @, Re(z) < 1 } . On pose] : QñIR : l--oo,l[. II.B - Déterminer la limite de F(z) quand la partie réelle de z tend vers --oo . II.C - II.C.1) Déterminer la limite de F(x) quand le réel x E I tend vers 1 . II.C.2) Pour tout x E 1, on pose G(x) : f(jt--xllntldt .Calculer G(x). II.C.3) Prouver que la limite de F(x) -- G(x) , quand x E I tend vers 1 , existe et est finie. II.C.4) En déduire la limite de % quand x E I tend vers 1 . II.D - Montrer que la restriction de F à I est C°°. Pour tout xEI , donner l'expression de la dérivée k--ième F(k)(x) sous forme intégrale. II.E - II.E.1) Établir que F est de classe C°° sur Q. Si k et 1 sont deux entiers z 0 et si 2 EUR 9 , exprimer la dérivée partielle k+lF â l(z) sous la forme d'une intégrale. ôxkôy II.E.2) Comparer QE et ô--E. ôx ây II.E.3) ÉvaluerLî+ "'--F âx ây2 II.F - II.F.1) Soient 2592 et (Zn) une suite de points de Q, distincts de 2, qui converge vers 2 . Prouver l'existence de . F(2n)--F(2) 11m --------. n---->oe Zn --2
On pourra utiliser la continuité de % et de %, ainsi que le résultat de II. E.
2.
On observera que cette limite ne dépend que de z , et non de la suite (Zn) .
Par la suite, on note DF(z) cette limite.
On définit ainsi une application DF : Q --> C.
II.F.2) Pour tout entier k 2 2, démontrer l'existence de l'application
DkF : D(Dk_1F) :Q--> @. On convient que DIF : DF.
II.G -
II.G.1) Pour tout réel t> O, développer en série entière de u la fonction
u EUR EUR --> t'" . Préciser le rayon de convergence.
II.G.2) Établir qu'au voisinage de 0 ,
oo \ 1 1
F(z) = kzockzk ou ck : ËfO(--lnt)kp(t)dt. (1)
II.G.3) Quel est le rayon de convergence R de la série entière (1) ?
II.H -
II.H.1) Déterminer un équivalent de ck quand k --> 00 .
II.H.2) Quelle est la nature de la série (1) quand lzl : R ?
Partie III - Développements en série
HLA -
III.A.1) Développer en série entière de te IR la fonction
ln(l--t)'
t
III.A.2) Pour tout entier n 2 0 et tout 2 EUR Q , calculer
t-->
. Préciser le rayon de convergence.
1 _
un(z)=fotn zlnt dt.
oo
1
n(n--z)2.
III.A.3) Démontrer que F(z) : 2
III.B - " "
III.B.1) Pour tout x E I , exprimer
@(x) = f_1F(u)du
sous forme d'une série ne faisant plus intervenir d'intégrale. Préciser q>(0) .
III.B.2) Déterminer un équivalent de q>(x) quand x E I tend vers 1 .
III.C -
III.C.1) Si yEIR, on pose H(y) : F(iy). Les fonctions W] et |Hl2 sont-elles
intégrables sur IR ? Préciser la valeur de
f_î H(y)dy .
III.C.2) Pour quelles valeurs des réels a et [5 , la somme
S(a, c) = 2 (mn)*'(m +n)_B est-elle finie ?
m,nzl
III.C.3) Si
K...,,, = f_î(y +im)_2(y--in)"2dy,
où m et n sont des entiers z 1 , calculer Km,n . En déduire la valeur de
l 00
41m _oo
III.D -
III.D. 1) I_)émontrer que la série de fonctions obtenue en III.A.3 converge sur
un
domaine 9 de C que l'on précisera. On_note encore F le prolongement de F 'a
9 . Prouver que F est de classe C°° sur Q.
IH(y)lzdy sous la forme S(a, B) .
III.D.2) Soient p un réel, no un entier > 0 , z et 2' deux complexes dont les
arties réelles sont majorées par "0- Pour tout entier n > no , majorer
Î(z'--n)_p--(z--n)_pl en fonction de n, no , p et |z' --zl .
III.I?.3) Avec les notations de II.F.l et II.F.2, pour tout entier k >.1 et tout
2 EUR Q , établir l'existence de DkF(z) qu'on exprimera sous forme de somme
d'une
série.
III.E -
III.E.1) Pour tout entier k 20, évaluer ck , défini en II.G.2, sous forme de
somme d'une série numérique.
III.E.2) Retrouver, à l'aide du III.E.1, le résultat obtenu en II.H.1.
ooo FIN ooo
