Centrale Maths 1 MP 2004

Thème de l'épreuve Étude d'une fonction de la variable complexe
Principaux outils utilisés séries de fonctions, séries entières, dérivation sous le signe somme, intégrales à paramètres, familles sommables

Corrigé

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 n__>_ 9@=E _ OEOEDUBOEE©£uOEÊ ä>:mñw ÊeN QOE>OEQ:OE - oeËÈoeQ mËoocoü Avertissement Les trois parties sont indépendantes. Le résultat final de la Partie I fournit une valeur particulière de la fonction F étudiée dans les parties II et III. Partie I - Calcul de la somme d'une série I.A- I.A.1) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourier de la fonction 2n: --périodique impaire f : IR --> IR , nulle en 0 et n , et égale à 1 sur ]O,n:[ . Pour tout entier n a 0 , expliciter la somme partielle de Fourier Sn f de f I.A.2) Que peut-on dire de la suite de fonctions (Sn f ) ? En déduire la valeur de _ °° <--l)" S-- 2 2n+1° n=O I.A.3) Calculer co 1 S = . l 2 (2n+1)2 n = 0 LB - I.B.1) Préciser le domaine d'existence dans IR de °° 2n x L(x) : 2 n + 1 ' n = 0 Exprimer L(x) à l'aide de fonctions usuelles. I.B.2) Calculer l'intégrale 1.8.3) En déduire la valeur de I.B.4) Exprimer Sa=î "1--1" n(n_ê)2 en fonction de S] et S2 . En déduire la valeur de S3 . *** Dans toute la suite, on utilise les notations qui suivent : 0 Pour tout réel t > 0 , Int désigne le logarithme népérien de t. 0 Si t est un réel strictement positif et si 2 = x + iy , où (x, y) E IR2 , est un com- plexe, on note tz : exp(z Int). 0 On définit la fonction p : JO,] [ --a IR par p(t) : Int--lnt(l--t)_ Pour tout z complexe tel que la fonction tr----> t"zp(t) est intégrable sur 10, Il , on pose F(z) : folt'zp(t)dt. On définit ainsi une fonction F de la variable complexe z ; on notera encore, par extension, F la fonction de deux variables réelles associée. Ainsi, pour (x, y) EUR ]R2, F(x, y) : F(x + iy). Le but du problème est d'étudier la fonction F. Partie II - Étude locale de F II.A - Montrer que le domaine de définition de F est 9 = {2/2 EUR @, Re(z) < 1 } . On pose] : QñIR : l--oo,l[. II.B - Déterminer la limite de F(z) quand la partie réelle de z tend vers --oo . II.C - II.C.1) Déterminer la limite de F(x) quand le réel x E I tend vers 1 . II.C.2) Pour tout x E 1, on pose G(x) : f(jt--xllntldt .Calculer G(x). II.C.3) Prouver que la limite de F(x) -- G(x) , quand x E I tend vers 1 , existe et est finie. II.C.4) En déduire la limite de % quand x E I tend vers 1 . II.D - Montrer que la restriction de F à I est C°°. Pour tout xEI , donner l'expression de la dérivée k--ième F(k)(x) sous forme intégrale. II.E - II.E.1) Établir que F est de classe C°° sur Q. Si k et 1 sont deux entiers z 0 et si 2 EUR 9 , exprimer la dérivée partielle k+lF â l(z) sous la forme d'une intégrale. ôxkôy II.E.2) Comparer QE et ô--E. ôx ây II.E.3) ÉvaluerLî+ "'--F âx ây2 II.F - II.F.1) Soient 2592 et (Zn) une suite de points de Q, distincts de 2, qui converge vers 2 . Prouver l'existence de . F(2n)--F(2) 11m --------. n---->oe Zn --2 On pourra utiliser la continuité de % et de %, ainsi que le résultat de II. E. 2. On observera que cette limite ne dépend que de z , et non de la suite (Zn) . Par la suite, on note DF(z) cette limite. On définit ainsi une application DF : Q --> C. II.F.2) Pour tout entier k 2 2, démontrer l'existence de l'application DkF : D(Dk_1F) :Q--> @. On convient que DIF : DF. II.G - II.G.1) Pour tout réel t> O, développer en série entière de u la fonction u EUR EUR --> t'" . Préciser le rayon de convergence. II.G.2) Établir qu'au voisinage de 0 , oo \ 1 1 F(z) = kzockzk ou ck : ËfO(--lnt)kp(t)dt. (1) II.G.3) Quel est le rayon de convergence R de la série entière (1) ? II.H - II.H.1) Déterminer un équivalent de ck quand k --> 00 . II.H.2) Quelle est la nature de la série (1) quand lzl : R ? Partie III - Développements en série HLA - III.A.1) Développer en série entière de te IR la fonction ln(l--t)' t III.A.2) Pour tout entier n 2 0 et tout 2 EUR Q , calculer t--> . Préciser le rayon de convergence. 1 _ un(z)=fotn zlnt dt. oo 1 n(n--z)2. III.A.3) Démontrer que F(z) : 2 III.B - " " III.B.1) Pour tout x E I , exprimer @(x) = f_1F(u)du sous forme d'une série ne faisant plus intervenir d'intégrale. Préciser q>(0) . III.B.2) Déterminer un équivalent de q>(x) quand x E I tend vers 1 . III.C - III.C.1) Si yEIR, on pose H(y) : F(iy). Les fonctions W] et |Hl2 sont-elles intégrables sur IR ? Préciser la valeur de f_î H(y)dy . III.C.2) Pour quelles valeurs des réels a et [5 , la somme S(a, c) = 2 (mn)*'(m +n)_B est-elle finie ? m,nzl III.C.3) Si K...,,, = f_î(y +im)_2(y--in)"2dy, où m et n sont des entiers z 1 , calculer Km,n . En déduire la valeur de l 00 41m _oo III.D - III.D. 1) I_)émontrer que la série de fonctions obtenue en III.A.3 converge sur un domaine 9 de C que l'on précisera. On_note encore F le prolongement de F 'a 9 . Prouver que F est de classe C°° sur Q. IH(y)lzdy sous la forme S(a, B) . III.D.2) Soient p un réel, no un entier > 0 , z et 2' deux complexes dont les arties réelles sont majorées par "0- Pour tout entier n > no , majorer Î(z'--n)_p--(z--n)_pl en fonction de n, no , p et |z' --zl . III.I?.3) Avec les notations de II.F.l et II.F.2, pour tout entier k >.1 et tout 2 EUR Q , établir l'existence de DkF(z) qu'on exprimera sous forme de somme d'une série. III.E - III.E.1) Pour tout entier k 20, évaluer ck , défini en II.G.2, sous forme de somme d'une série numérique. III.E.2) Retrouver, à l'aide du III.E.1, le résultat obtenu en II.H.1. ooo FIN ooo

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 Centrale Maths 1 MP 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et David Lecomte (Université de Stanford). Ce problème vise à étudier une fonction F, définie sur une partie de C, et à valeurs complexes, par Z 1 ln(t) · ln(1 - t) F(z) = t-z dt. t 0 L'un de ses intérêts est qu'il utilise toutes les parties du programme d'analyse de seconde année : majorations de toutes sortes, équivalents, séries numériques, séries de fonctions (à intégrer, dériver, etc.), séries entières, séries de Fourier, intégrabilité sur un intervalle non compact, intégrales à paramètres, etc. Il montre de plus, dans un cas particulier, quelques résultats généraux sur les fonctions de la variable complexe (qui sont au programme de première année de toutes les écoles d'ingénieur). Les démonstrations sont toujours élémentaires (ce qui ne veut pas dire qu'elles sont toujours simples !) et ne requièrent bien entendu que les connaissances du programme de deuxième année. · Une première partie, assez courte, vise à calculer la valeur d'une série numérique. · Dans une deuxième partie, on commence par montrer des propriétés de régularité de F : elle est de classe C sur un demi-plan ouvert de C assimilé à une partie de R2 , son laplacien est identiquement nul et F admet, au voisinage de 0, un développement en série entière de la forme Z P 1 1 k F(z) = ck z où ck = (- ln t)k p(t) dt (1) k! 0 k=0 · Dans la dernière partie, on établit un second développement en série de F, sous la forme P 1 F(z) = n(n - z)2 n=1 Plusieurs propriétés découlent de cette formule, qui sont proposées à la sagacité des candidats. De plus, on montre que cette formule permet de prolonger F en une fonction, toujours de classe C , à un domaine beaucoup plus vaste de C ; c'est ce que l'on appelle un prolongement analytique de F. Au total, ce problème est très long et très technique (les différents théorèmes d'interversion de limites, intégrales, sommes, etc., sont constamment employés, et souvent dans des cas délicats) ; certaines questions sont très difficiles, ou trop longues pour qu'on puisse en espérer une résolution complète en temps limité. Néanmoins, il peut fournir un très bon sujet d'étude, juste avant les écrits, pour des candidats ambitieux cherchant à revoir l'ensemble du programme d'analyse. Indications I.A.2 Utiliser le théorème de Dirichlet en t = /2. I.B.1 Développer en série entière l'intégrande de la question suivante ! I.B.2 Effectuer proprement (c'est-à-dire en coupant en 0) une intégration par parties. I.B.3 Appliquer le théorème d'intégration terme à terme. I.B.4 Faire apparaître des (n + 1) et (2n + 1) au dénominateur, puis effectuer une décomposition en éléments « presque simples » de la forme 1 a b = + (n + 1)(2n + 1)2 (n + 1)(2n + 1) (2n + 1)2 II.A Montrer que le module de l'intégrande est équivalent à |ln t| /tx . II.B. Utiliser le théorème de convergence dominée et la caractérisation séquentielle de la limite. II.C.1 Montrer que la limite est +. Pour cela, couper judicieusement l'intégrale au voisinage de 0. II.C.2 Reconnaître la dérivée « sous le signe somme » d'une intégrale simple. II.C.3 Remarquer que F - G peut s'écrire sous la forme d'une intégrale à paramètre, bien définie en x = 1. Utiliser le théorème de continuité pour les intégrales à paramètres. II.E.1 Montrer que l'on peut dériver sous le signe somme, par rapport à x ou par rapport à y, et ce autant de fois que l'on veut. II.F.1 Écrire la formule de Taylor-Young à l'ordre 1. kf II.F.2 Montrer par récurrence que Dk F = . xk II.H.1 Montrer que, si f est continue et intégrable sur [ 0 ; 1 [, alors Z 1 k |ln t| lim f (t) dt = f (0) n 0 k! ck En déduire que tend vers 1. k+1 III.A.2 Reconnaître la dérivée « sous le signe somme » d'une intégrale simple. III.B.2 Montrer que est équivalent au premier terme de la série. III.C.1 Utiliser le théorème d'intégration terme à terme. Puis montrer que H tend vers 0 et donc que |H|2 6 |H| au voisinage de + - . III.C.2 Séparer les cas selon les signes de et et utiliser l'inégalité m + n > 2 mn. III.C.3 Décomposer l'intégrande en éléments simples. III.D.2 Utiliser l'inégalité des accroissements finis. e contenant z, la série de fonctions III.D.3 Montrer que, sur tout ouvert borné de définissant F(w) - F(z) w 7- w-z converge normalement, grâce à la majoration de la question III.D.2. III.E.1 Montrer que ck = Dk F(0)/k! . P III.E.2 Montrer que S(k) = n-(k+3) tend vers 1 quand k . n=1 I. Calcul de la somme d'une série I.A.1 Comme à chaque fois que l'on doit calculer des coefficients de Fourier, commençons par représenter la fonction : - Notons an et bn les coefficients en cosinus et sinus. Puisque f est impaire : n N an = 0 Par ailleurs, Z Z 2 2 cos(nt) 2 1 f (t) sin(nt) dt = sin(nt) dt = - =- (-1)n - 1 bn = - 0 n n 0 c'est-à-dire que n N b2n = 0 et b2n+1 = 4 (2n + 1) Les sommes partielles de Fourier sont donc n N t R n sin (2k + 1)t 4P S2n f (t) = S2n+1 f (t) = k=0 2k + 1 I.A.2 La fonction f est de classe C 1 par morceaux et vérifie, pour tout réel x, la relation 1 f (x) = lim+ f (x + h) + lim+ f (x - h) 2 h0 h0 Le théorème de Dirichlet assure donc que La suite (Sn f )nN converge simplement vers f sur R. ce qui s'écrit t R sin (2n + 1)t 4 P f (t) = lim Sn (f ) = n n=0 2n + 1 (2) Bien sûr, la convergence simple n'est pas la seule que l'on peut montrer. Notamment, la continuité par morceaux de f implique que Z 2 lim |Sn f - f |2 = 0 n - c'est-à-dire que : La suite (Sn f )nN converge en moyenne quadratique vers f sur R. La fonction f n'étant pas continue, on n'a en revanche ni convergence normale ni convergence uniforme. En appliquant la formule (2) en t = , on obtient sin (2n + 1) = (-1)n 2 2 et donc (-1)n 4 P =1= f 2 n=0 2n + 1 (-1)n P = 4 n=0 2n + 1 d'où Un exercice classique consiste à retrouver ce résultat en utilisant le développement en série entière de la fonction Arctan : x ] -1 ; 1 [ Arctan x = (-1)n x2n+1 P 2n + 1 n=0 On montre ensuite que ce développement est continu en 1 (c'est-à-dire au bord de l'intervalle ouvert de convergence) : une majoration uniforme du reste de cette série, qui est le reste d'une série alternée, prouve la convergence uniforme sur [ 0 ; 1 ]. I.A.3 La fonction f étant continue par morceaux, la formule de Parseval s'applique : Z 1 1P 2 2 2 |bn | = kf k2 = f (t) dt = 1 2 n=0 2 - ce qui donne S1 = 1 2 = 2 8 n=0 (2n + 1) P |x2n | 6 |x2n | n+1 Le membre de droite est le terme général d'une série géométrique, convergente dès que |x2 | < 1. D'après le théorème de comparaison des séries positives, la série définissant L converge si x est dans ] -1 ; 1 [. Si |x| = 1, alors on reconnaît la série harmonique, notoirement divergente. Enfin, si |x| > 1, la série diverge grossièrement, car son terme général ne tend pas vers 0. I.B.1 On a x R La série entière L est de rayon 1 et converge sur ] -1 ; 1 [. La série définissant L fait penser au développement en série entière de la fonction x 7- - ln(1-x), à ceci près que l'on a x2n au lieu de xn et un n+1 au dénominateur au lieu du n attendu. Qu'à cela ne tienne, posons, pour tout x ] -1 ; 1 [ r {0} : xn P xn 1P 1 K(x) = = = - ln(1 - x) n + 1 x n x n=0 n=1 alors on a L(x) = K(x2 ), c'est-à-dire 2 - ln(1 - x ) x2 L(x) = 1 pour tout x ] -1 ; 1 [ r {0} pour x = 0 cette fonction étant bien sûr continue en 0.