Centrale Maths 1 MP 2000

Thème de l'épreuve Approximation des racines d'un polynôme par la méthode de Newton
Principaux outils utilisés polynômes, convexité, suites, analyse générale

Corrigé

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MATHÉMATIQUES / Filière MP MATHÉMATIQUES | Définitions Si f est une fonction de classe C°° définie sur un ouvert 9 c IR et à valeurs réel-- les, on notera, pour p 21, fp : f 0 f.. of p fois, fonction définie sur le sous-- domaine de Q défini par {x & Q| f(x) & Q., f2(x) & Q, ...,fp"l(x) & 9}. On appelle p -cycle de f un ensemble de p éléments {x0,...xp_l} c 9 tel que f(x0) : x1 f(xp_2) : xp_1, f(xp_1) : x0. On appelle multiplicateur du cycle la quantité (fp)'(x0) = f'(xo)f'. Un point x e 9 est dit p -périodique s'il est élément d'un p -cycle; un point 1 - périodique est encore appelé point fixe. Le multiplicateur d'un point périodi- que x0 est alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n'est autre que le multiplicateur de x0 comme point fixe de f p . Le cycle (ou le point p --périodique) sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la valeur absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à 1 , égale à 0 , égale à 1 ou strictement supérieure à 1 . A I \ . ' I \ l | . . 2 On pourra etre amene a ut111ser un theoreme de fonct10ns 1mphoetes dans IR . On pourra alors admettre le résultat suivant : Théorème : Soit Q un ouvert de IR2, F :9 --> IR une fonction de classe C1 , et (xD, yo) un point de Q, tels que BF F(x01y0) : 0? $(x01y0) # 0 ' Alors il existe 8 , n > 0 tels que si on pose I = ]x0-- 8, x0 + e[, J : ]yO--n, y0 + n[ , l'ouvert V = I >< J est inclus dans 9 et il existe une fonction g : ]x0 -- 8, x0 + e[ --a ]yO--n, y() + n[ de classe C1 telle que: V(x.y)EUR V,F(x,y) = 0@y = g(x)- Le thème général du problème est l'étude globale de la méthode de Newton appliquée aux polynômes. Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES / Filière MP Fil'ère MP Partie I - La méthode de Newton pour les polynômes réels Soit P : IR--> IR une fonction polynomiale non constante et Q : {xe IR | P'(x)#0}. Si xe 9, on définit Np(x) comme étant l'abscisse de l'intersection de la tangente en (x, P(x)) au graphe de P avec l'axe des x . I.A - Montrer que : P(x) Vxe Q,Np(x) : x_P'(x)° I.B - I.B.1) Si x e 9 , calculer N'P(x) . I.B.2) Soit a un nombre réel. Montrer que si P(a) : 0 , P'(a) := 0 alors a est un point fixe super attractif de N P . Si a est un zéro d'ordre p 2 2 de P montrer que Np peut se prolonger par con- tinuité en a qui devient un point fixe attractif de N P de multiplicateur 1 -- 1/ p . Si x & Q , on dira que la suite de Newton de x par P est bien définie si l'on peut définir une suite (xn) telle que x0 = x et: Vne IN,an Q etxn+1 : NP(xn). Dans ce cas, cette suite (xn) sera la suite de Newton de x par P. I.C - Montrer que si la suite de Newton de x par P est bien définie et converge vers a & IR alors P(a) : O. I.D - Soit réciproquement a & IR un zéro de P. I.B.1) Montrer l'existence de EUR > 0 tel que si ly -- al < 8 alors la suite de Newton de y par P est bien définie et converge vers a . On appelle I (a) le plus grand intervalle contenant a et formé de points dont la suite de Newton par P converge vers a . I.D.2) Montrer que c'est un intervalle ouvert ; on l'appelle le bassin immédiat de a . Concours Centrale-Supélec 2000 2/5 MATHÉMATIQUES / Filière MP LE - I.E.l) On suppose que P a au moins deux racines réelles. Soit a-- le plus petit zéro de P ; on suppose que & , le plus petit zéro de P' vérifie %> a-- et que P" ne s'annule pas sur ]--oo, & [. Montrer que le bassin immédiat de a" est égal à ]--°°aë [° I.E.2) On suppose que le bassin immédiat du zéro a de P est de la forme ]oc,B[, oc,Be IR. Montrer successivement que N P(]oc, B[) c ]oc, B[, que P(OE)P'(OE)P(B)P'(B) # O, et enfin que N P(oc) : B , N P(B) : oc. Ce 2 - cycle peut--il être attractif ? I.F - Les hypothèses de la question I.E.2 étant toujours vérifiées, montrer que le bassin immédiat de a contient un zéro de P" . I.G - On suppose P de degré d 2 2 possédant d zéros distincts. Montrer que N P attire tout zéro de P" vers un zéro de P. Partie II - Étude algébrique Soit P un polynôme de C[X ] de degré d (on note d°(P) = d) . Dans cette partie la dérivation est à prendre au sens de la dérivation formelle des polynômes ou plus généralement des fractions rationnelles et N P est la fraction rationnelle NP(X) = X--%. II.A - Montrer que si P a d zéros distincts alors R = N P vérifie R = %, Q,Se C[X],PGCD(Q,S)= 1,d°(Q)= d,d°(S)= d--1 (*) et R possède d points fixes super attractifs (Un point fixe super attractif de R est un point ze C tel que R(z) : z, R'(z) = o). II.B - Soit réciproquement R une fraction rationnelle vérifiant ( *). Montrer qu'il existe P E C[X ] , de degré d , possédant d zéros distincts, tel que R = N P. II.C - Deux fractions rationnelles f , g sont dites semblables s'il existe une simi- litude T(z) : az + b (a, b e C, a :: O) telle que si @, .@' désignent les domaines de définition de f, g (c'est-à-dire le complémentaire dans C de l'ensemble des pôles) alors T(Q) : 9' et V2 eg' , f(z)= T_1o g 0 T(z) . Concours Centrale-Supélec 2000 3/5 MATHÉMATIQUES / Filière MP Si a, b e C, a # 0 et si T(z) : az + !) montrer que NPO T est semblable à NP. II.D - Déterminer N P pour P(X) : X 2, P(X) : X 2 -- 1 : montrer que si P est un polynôme de degré 2 alors N P est semblable à z |--> Ï ou bien à z |--> E + --1- 2 2 22 ° II.E - Pour m e C on définit Pm(z)= z3 + (m -- 1)z --m= (z --1)(z2 +z + m), Nm(z) = Npm(z) Montrer que si P est un polynôme de degré 3 alors soit N P est semblable à z r--> 2% soit il existe m e C tel que N P est semblable à N m . II.F - Quel est l'intérêt des résultats des deux questions précédentes pour l'étude des suites de Newton par les polynômes de degré 5 3 ? Partie III - Étude analytique du cas cubique réel Dans cette partie on suppose m e IR, on garde les notations du ILE et on s'inté- resse au comportement des suites de Newton des nombres réels par Pm . III.A - III.A.1) Montrer que Pm a trois zéros (complexes) distincts si et seulement si m := --2 , m # 1/4 . III.A.2) On suppose m > 1 : montrer que la suite de Newton de tout réel x par Pm est définie et converge vers un réel à préciser. III.B - III.B.1) Montrer que si m' < 1/ 4 , m' := --2 alors Pm, possède trois zéros réels dis- tincts, soient : la _--1+J1--4m' b _--1--J1--4m' , m'----2'7 ___--° m' 2 Si de plus m' < 0, montrer qu'il existe m e ]0, 1/4[ tel que N m, soit semblable à N III.B.2) On supposera désormais dans cette partie que m e [O, 1/4[ . Pm pos- sède alors trois zéros réels distincts, soient : la _--1+A/1--4m b _--1--A/1--4m , ___--'-- _. m 2 'm_ 2 m . III.B.8) On pose xâ : i 1--m et on désigne par ]oc(m), B(m)[ le bassin immé- diat de am . Montrer que la onction x |--> |N'm(x)| est strictement décroissante sur ]xb, am[ et strictement croissante sur ]0, x3[ . Concours Centrale-Supélec 2000 4/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP III.B.4) Montrer que la fonction M m = N m 0 N m est définie sur un intervalle ]xi,xî[c]xb,xä[ Où Nm(xi) : xâ, Nm(xî) : xô. On désigne par E , @+ le plus petit et le plus grand zéro de M 'm . Montrer que la fonction M 'm est strictement décroissante sur ]xi, {[ et strictement croissante sur ]ë+, x'{[. III.B.5) Montrer que l'intervalle [E, @+] est inclus dans le bassin immédiat de am III.B.6) Déduire de III.B.4 et III.B.5 que {a(m),B(m)} est le seul 2 - cycle de N m. III.B.7) Montrer que oc(O) : --B(O) et en déduire que oc(O) : --L JË . III.B.8) On pose F(m, x) = M m(x) -- x . Si u est un réel, un développement limité à l'ordre 1 de la fonction m 1-> F(m,-- 3-- + um) ./3 peut être obtenu grâce à un logiciel de calcul formel. On trouve : En déduire, avec toutes les justifications nécessaires, un développement limité à l'ordre 1 de oc en O. III.C- III. C. 1) Montrer qu 'il existe une et une seule valeur mo de m & IR telle que 0 soit 2 -périodique pour Nm .Donner une valeur approchée a 103 près par défaut de mo en indiquant l'algorithme utilisé. III.C.2) Montrer qu'il existe 7] >O tel que si |m--m0|  

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 Centrale Maths 1 MP 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Clotilde Breuillin (Mines de Paris) ; il a été relu par Guilhem Bichot (Mines de Paris) et Tri Nguyen-Huu (ENS Lyon). Ce problème traite du calcul numérique des racines d'un polynôme à l'aide d'une méthode d'approximation, la méthode de Newton. Dans la première partie, on démontre les propriétes générales de cette méthode, et on définit les notions de bassin immédiat et de suite de Newton. Dans la seconde partie, on montre que l'on peut restreindre le problème à l'étude des suites de Newton de certains polynômes grâce à des relations de similitude. Enfin, dans la dernière partie, on étudie plus en détail les suites de Newton des polynômes particuliers définis dans la deuxième partie. Indications I.B.2 Cette question ne pose pas de difficulté particulière si l'on se remémore les propriétés des racines d'un polynôme. I.D.1 Cette question se résout facilement en utilisant les résultats de la question I.B.2. I.D.2 Pour répondre à cette question, il faut d'abord poser le problème correctement, et se souvenir des propriétés des fonctions continues. I.F Dans cette question, il faut penser à introduire les fonctions convexes et à expliquer leur utilité. II.B Il est facile de résoudre cette question, si l'on garde en tête que deux polynômes de degré n sont identiquement égaux si leur différence possède n + 1 racines. II.E Dans cette question, il ne faut pas hésiter à faire des calculs. III.A.2 Il s'agit dans cette question d'une simple étude de suite récurrente. La première étape consiste à réduire l'intervalle d'étude, la seconde à étudier le comportement de la suite sur cet intervalle réduit. III.B.8 Penser à utiliser le théorème d'inversion locale qui est expliqué dans l'introduction au problème. I. La méthode de Newton pour les polynômes réels I.A Si x appartient à , l'équation de la tangente en (x0 , P(x0 )) au polynôme P s'écrit comme suit : y = P (x0 )(x - NP (x0 )) Il suffit en effet d'écrire l'équation d'une droite passant par (NP (x0 ), 0) et de coefficient directeur égal à P (x0 ). Par suite P(x0 ) = P (x0 )(x0 - NP (x0 )) P(x0 ) = (x0 - NP (x0 )) P (x0 ) P(x0 ) NP (x0 ) = x0 - P (x0 ) Finalement NP (x0 ) = x0 - P(x0 ) P (x0 ) Nous remarquons tout de suite que est un ouvert de R. En effet, P étant un polynôme, c'est une fonction C sur R, donc P est une fonction continue sur R. De plus R est un ouvert ; or, l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue est un ouvert. Finalement est un ouvert de R. I.B.1 NP est continue et dérivable sur . En effet, P et 1/P sont définies et C sur . Par conséquent, NP est une fonction continue et dérivable sur . On a (NP ) (x) = 1 - (P )2 - PP (x) (P )2 (NP ) (x) = PP (x) (P )2 (NP ) (x) = PP (x) (P )2 I.B.2 Si P (a) est différent de zéro, a appartient à . De plus, a étant une racine de P, il est évident que c'est un point fixe de NP , et que (NP ) (a) est nul (il suffit d'utiliser les résultats de la question précédente). Donc a est un point fixe super attractif de NP . Dans le cas où a est une racine multiple, on démontre que NP et (NP ) sont définis au voisinage de a et qu'ils tendent vers des quantités finies quand x tend vers a. Pour cela, on effectue un développement limité de NP au voisinage de a. Si a est une racine d'ordre p, avec p supérieur ou égal à 2, alors on peut écrire : P(x) = (x - a)p Q(x) et P (x) = p(x - a)p-1 Q(x) + (x - a)p Q (x) Q(x) n'admettant pas a pour racine. On sait que P(a) et P (a) sont nuls. Montrons la propriété suivante 0 < |x - a| < = P (x) 6= 0 > 0, x R, Il est équivalent de montrer que la négation de cette proposition est fausse. > 0, x R, 0 < |x - a| < et P (x) = 0 Si cette proposition était vraie, on pourrait construire une infinité de racines de P . Donc P serait identiquement nul, et P serait un polynôme constant, ce qui contredit l'hypothèse de départ. Ainsi > 0, ] a - ; a + [ r {a} Écrivons NP (x) au voisinage de a, x étant un réel différent de a : NP (x) = x - = x- NP (x) = x + Par suite P(x) P (x) (x - a)p Q(x) p(x - a)p-1 Q(x) + (x - a)p Q (x) (x - a)Q(x) pQ(x) + (x - a)Q (x) NP (x) --- a xa Intéressons-nous maintenant à la dérivabilité de NP en a, x étant un réel différent de a: NP (x) - a NP (x) - NP (a) = x-a x-a 1 (x - a)Q(x) = x- - a x-a pQ(x) + (x - a)Q (x) NP (x) - NP (a) Q(x) = 1- x-a pQ(x) + (x - a)Q (x) Par conséquent : NP (x) - NP (a) 1 --- 1 - xa (x - a) p Finalement, on a montré que a est un point fixe attractif de NP de multiplicateur égal à 1 - 1/p. I.C On suppose que la suite de Newton de x par P converge vers a. Montrons que P(a) est nul : xn+1 = Np (xn ) P(xn ) P (xn ) = P (xn )xn - P(xn ) xn+1 = xn - P (xn )xn+1 Par passage à la limite, on obtient : P (a)a = P (a)a - P(a) Finalement P(a) = 0 I.D.1 On suppose que a est un zéro de P. On va distinguer deux cas, a est une racine simple ou a est une racine multiple. ­ Si a est une racine simple, on sait alors que c'est un point super attractif de NP . On a démontré dans la question I.B.2 que (NP ) (a) vaut zéro, ainsi : NP (x) - a < > 0, > 0, |x - a| < = x-a En choisissant égal à 1/2, on construit un intervalle I, centré sur a, sur lequel : x I, |NP (x) - a| < 1 |x - a| 2 Si on note cet intervalle I = ] a - ; a + [, On a alors les propriétés suivantes par récurrence : NP (I) I , x I, n 1 |(NP ) (x) - a| < |x - a| 2 n On a ainsi démontré que si a est une racine simple, il existe un intervalle ouvert centré autour de a, tel que la suite de Newton soit définie sur cet intervalle et converge toujours vers a. ­ Si a est une racine multiple d'ordre p, on utilise encore les résultats de la question I.B.2 : NP (x) - a 1 < > 0, > 0, |x - a| < = - 1 - x-a p En choisissant égal à 1/2p, on construit un intervalle I, centré sur a sur lequel 1 x I, |NP (x) - a| < 1 - |x - a| 2p On utilise la même récurrence que précédemment et cela démontre que, si a est une racine multiple d'ordre p, il existe un intervalle ouvert centré autour de a, tel que la suite de Newton soit définie sur cet intervalle et converge toujours vers a.