MATHÉMATIQUES / Filière MP MATHÉMATIQUES | Définitions Si f est une fonction de classe C°° définie sur un ouvert 9 c IR et à valeurs réel-- les, on notera, pour p 21, fp : f 0 f.. of p fois, fonction définie sur le sous-- domaine de Q défini par {x & Q| f(x) & Q., f2(x) & Q, ...,fp"l(x) & 9}. On appelle p -cycle de f un ensemble de p éléments {x0,...xp_l} c 9 tel que f(x0) : x1 f(xp_2) : xp_1, f(xp_1) : x0. On appelle multiplicateur du cycle la quantité (fp)'(x0) = f'(xo)f'. Un point x e 9 est dit p -périodique s'il est élément d'un p -cycle; un point 1 - périodique est encore appelé point fixe. Le multiplicateur d'un point périodi- que x0 est alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n'est autre que le multiplicateur de x0 comme point fixe de f p . Le cycle (ou le point p --périodique) sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la valeur absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à 1 , égale à 0 , égale à 1 ou strictement supérieure à 1 . A I \ . ' I \ l | . . 2 On pourra etre amene a ut111ser un theoreme de fonct10ns 1mphoetes dans IR . On pourra alors admettre le résultat suivant : Théorème : Soit Q un ouvert de IR2, F :9 --> IR une fonction de classe C1 , et (xD, yo) un point de Q, tels que BF F(x01y0) : 0? $(x01y0) # 0 ' Alors il existe 8 , n > 0 tels que si on pose I = ]x0-- 8, x0 + e[, J : ]yO--n, y0 + n[ , l'ouvert V = I >< J est inclus dans 9 et il existe une fonction g : ]x0 -- 8, x0 + e[ --a ]yO--n, y() + n[ de classe C1 telle que: V(x.y)EUR V,F(x,y) = 0@y = g(x)- Le thème général du problème est l'étude globale de la méthode de Newton appliquée aux polynômes. Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES / Filière MP Fil'ère MP Partie I - La méthode de Newton pour les polynômes réels Soit P : IR--> IR une fonction polynomiale non constante et Q : {xe IR | P'(x)#0}. Si xe 9, on définit Np(x) comme étant l'abscisse de l'intersection de la tangente en (x, P(x)) au graphe de P avec l'axe des x . I.A - Montrer que : P(x) Vxe Q,Np(x) : x_P'(x)° I.B - I.B.1) Si x e 9 , calculer N'P(x) . I.B.2) Soit a un nombre réel. Montrer que si P(a) : 0 , P'(a) := 0 alors a est un point fixe super attractif de N P . Si a est un zéro d'ordre p 2 2 de P montrer que Np peut se prolonger par con- tinuité en a qui devient un point fixe attractif de N P de multiplicateur 1 -- 1/ p . Si x & Q , on dira que la suite de Newton de x par P est bien définie si l'on peut définir une suite (xn) telle que x0 = x et: Vne IN,an Q etxn+1 : NP(xn). Dans ce cas, cette suite (xn) sera la suite de Newton de x par P. I.C - Montrer que si la suite de Newton de x par P est bien définie et converge vers a & IR alors P(a) : O. I.D - Soit réciproquement a & IR un zéro de P. I.B.1) Montrer l'existence de EUR > 0 tel que si ly -- al < 8 alors la suite de Newton de y par P est bien définie et converge vers a . On appelle I (a) le plus grand intervalle contenant a et formé de points dont la suite de Newton par P converge vers a . I.D.2) Montrer que c'est un intervalle ouvert ; on l'appelle le bassin immédiat de a . Concours Centrale-Supélec 2000 2/5 MATHÉMATIQUES / Filière MP LE - I.E.l) On suppose que P a au moins deux racines réelles. Soit a-- le plus petit zéro de P ; on suppose que & , le plus petit zéro de P' vérifie %> a-- et que P" ne s'annule pas sur ]--oo, & [. Montrer que le bassin immédiat de a" est égal à ]--°°aë [° I.E.2) On suppose que le bassin immédiat du zéro a de P est de la forme ]oc,B[, oc,Be IR. Montrer successivement que N P(]oc, B[) c ]oc, B[, que P(OE)P'(OE)P(B)P'(B) # O, et enfin que N P(oc) : B , N P(B) : oc. Ce 2 - cycle peut--il être attractif ? I.F - Les hypothèses de la question I.E.2 étant toujours vérifiées, montrer que le bassin immédiat de a contient un zéro de P" . I.G - On suppose P de degré d 2 2 possédant d zéros distincts. Montrer que N P attire tout zéro de P" vers un zéro de P. Partie II - Étude algébrique Soit P un polynôme de C[X ] de degré d (on note d°(P) = d) . Dans cette partie la dérivation est à prendre au sens de la dérivation formelle des polynômes ou plus généralement des fractions rationnelles et N P est la fraction rationnelle NP(X) = X--%. II.A - Montrer que si P a d zéros distincts alors R = N P vérifie R = %, Q,Se C[X],PGCD(Q,S)= 1,d°(Q)= d,d°(S)= d--1 (*) et R possède d points fixes super attractifs (Un point fixe super attractif de R est un point ze C tel que R(z) : z, R'(z) = o). II.B - Soit réciproquement R une fraction rationnelle vérifiant ( *). Montrer qu'il existe P E C[X ] , de degré d , possédant d zéros distincts, tel que R = N P. II.C - Deux fractions rationnelles f , g sont dites semblables s'il existe une simi- litude T(z) : az + b (a, b e C, a :: O) telle que si @, .@' désignent les domaines de définition de f, g (c'est-à-dire le complémentaire dans C de l'ensemble des pôles) alors T(Q) : 9' et V2 eg' , f(z)= T_1o g 0 T(z) . Concours Centrale-Supélec 2000 3/5 MATHÉMATIQUES / Filière MP Si a, b e C, a # 0 et si T(z) : az + !) montrer que NPO T est semblable à NP. II.D - Déterminer N P pour P(X) : X 2, P(X) : X 2 -- 1 : montrer que si P est un polynôme de degré 2 alors N P est semblable à z |--> Ï ou bien à z |--> E + --1- 2 2 22 ° II.E - Pour m e C on définit Pm(z)= z3 + (m -- 1)z --m= (z --1)(z2 +z + m), Nm(z) = Npm(z) Montrer que si P est un polynôme de degré 3 alors soit N P est semblable à z r--> 2% soit il existe m e C tel que N P est semblable à N m . II.F - Quel est l'intérêt des résultats des deux questions précédentes pour l'étude des suites de Newton par les polynômes de degré 5 3 ? Partie III - Étude analytique du cas cubique réel Dans cette partie on suppose m e IR, on garde les notations du ILE et on s'inté- resse au comportement des suites de Newton des nombres réels par Pm . III.A - III.A.1) Montrer que Pm a trois zéros (complexes) distincts si et seulement si m := --2 , m # 1/4 . III.A.2) On suppose m > 1 : montrer que la suite de Newton de tout réel x par Pm est définie et converge vers un réel à préciser. III.B - III.B.1) Montrer que si m' < 1/ 4 , m' := --2 alors Pm, possède trois zéros réels dis- tincts, soient : la _--1+J1--4m' b _--1--J1--4m' , m'----2'7 ___--° m' 2 Si de plus m' < 0, montrer qu'il existe m e ]0, 1/4[ tel que N m, soit semblable à N III.B.2) On supposera désormais dans cette partie que m e [O, 1/4[ . Pm pos- sède alors trois zéros réels distincts, soient : la _--1+A/1--4m b _--1--A/1--4m , ___--'-- _. m 2 'm_ 2 m . III.B.8) On pose xâ : i 1--m et on désigne par ]oc(m), B(m)[ le bassin immé- diat de am . Montrer que la onction x |--> |N'm(x)| est strictement décroissante sur ]xb, am[ et strictement croissante sur ]0, x3[ . Concours Centrale-Supélec 2000 4/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP III.B.4) Montrer que la fonction M m = N m 0 N m est définie sur un intervalle ]xi,xî[c]xb,xä[ Où Nm(xi) : xâ, Nm(xî) : xô. On désigne par E , @+ le plus petit et le plus grand zéro de M 'm . Montrer que la fonction M 'm est strictement décroissante sur ]xi, {[ et strictement croissante sur ]ë+, x'{[. III.B.5) Montrer que l'intervalle [E, @+] est inclus dans le bassin immédiat de am III.B.6) Déduire de III.B.4 et III.B.5 que {a(m),B(m)} est le seul 2 - cycle de N m. III.B.7) Montrer que oc(O) : --B(O) et en déduire que oc(O) : --L JË . III.B.8) On pose F(m, x) = M m(x) -- x . Si u est un réel, un développement limité à l'ordre 1 de la fonction m 1-> F(m,-- 3-- + um) ./3 peut être obtenu grâce à un logiciel de calcul formel. On trouve : En déduire, avec toutes les justifications nécessaires, un développement limité à l'ordre 1 de oc en O. III.C- III. C. 1) Montrer qu 'il existe une et une seule valeur mo de m & IR telle que 0 soit 2 -périodique pour Nm .Donner une valeur approchée a 103 près par défaut de mo en indiquant l'algorithme utilisé. III.C.2) Montrer qu'il existe 7] >O tel que si |m--m0|