CCINP Maths 2 MP-MPI 2025

SESSION 2025

MP3M2

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
____________________

MATHÉMATIQUES 2
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé d'un exercice d'informatique du tronc commun, d'un 
exercice et d'un
problème de mathématiques.

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NOTE DE L'ÉDITEUR
Le sujet était commun
aux filières

MP et MPI

EXERCICE 1
 est un entier naturel supérieur ou égal à 1.

On se donne des réels strictement positifs notés 1 , . . . ,  et on pose :

1
 =   .

=1

On désigne par ++ () l'ensemble des matrices réelles symétriques définies 
positives d'ordre .
Q1. Démontrer l'inégalité suivante :

=1

=1

 ln      - 1.

Q2. En déduire l'inégalité :

1

=1

Q3.
Q4.

1
   .

=1

Établir que l'inégalité précédente est une égalité si, et seulement si, 1 = 2 = 
 =  .

Dans cette question  désigne une matrice de ++ (). Démontrer l'inégalité :
1

(det())  

1
Tr(),

et établir que c'est une égalité si, et seulement si,   Vect( ).
Désormais  = ,  désigne une matrice de ++ ().
Q5.

Démontrer que pour tout   1,  on a : , > 0.

Q6.

On pose  = Diag 

déduire que :

1

1

, 

1,1  2,2

1

,  ,   et  = . Démontrer que   ++
 () et en
 ,

det()  1,1 × 2,2 ×  × , ,

avec égalité si, et seulement si,  est diagonale.

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filière MPI

EXERCICE 1
Hormis Q3 et Q4, les questions de cet exercice sont indépendantes.
Dans cet exercice (informatique du tronc commun), les graphes ont leurs sommets 
numérotés à
partir de 0 et ils sont orientés. On les représente par un dictionnaire 
d'adjacence.
Par exemple, le graphe :

est représenté par le dictionnaire :
d = { 0 : [1,3] , 1 :[2] , 2 :[4,5] , 3 : [4] , 4 : [1] , 5 : [], 6 : [2] }
Q1.

Écrire en langage Python une fonction degreMax( d : dict ) -> int qui reçoit en
entrée un dictionnaire d'adjacence représentant un graphe orienté et renvoie le 
degré
sortant maximal parmi tous les degrés sortants des sommets du graphe.

Si G est un graphe orienté, on appelle graphe inverse de G le graphe possédant 
les mêmes
sommets ainsi que les mêmes arêtes mais en sens inverse par rapport à celles de 
G.
Q2.

Représenter le graphe inverse du graphe orienté donné en introduction.
Écrire en langage Python une fonction grapheInv( d : dict ) -> dict qui renvoie 
un
dictionnaire d'adjacence du graphe inverse du graphe représenté par d.

On souhaite colorier notre graphe orienté. Les couleurs sont représentées par 
des entiers naturels.
La coloration du graphe est modélisée par une liste L telle que L[s] est égale 
à la couleur
attribuée au sommet s.
Deux sommets du graphe reliés par une arête ne doivent pas être de la même 
couleur (coloration
du graphe valide).
Q3.

Écrire en langage Python une fonction
colorationValide( d : dict, L : list ) -> bool qui renvoie True si la 
coloration L
du graphe représenté par d est valide et False dans le cas contraire.

Q4.

Donner la complexité dans le pire des cas de la fonction précédente en fonction 
du nombre
N de sommets et du nombre M d'arêtes. Justifier votre réponse.

On considère deux tables : FILMS et LOCATIONS. La première contient des 
informations sur des
films et la seconde des informations sur des locations de films par les clients.

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filière MP

La table FILMS contient les attributs suivants :
- codefilm : code d'un film (entier), clé primaire ;
- nomfilm (chaîne de caractères).
La table LOCATIONS contient les attributs suivants :
- codecli : code du client (entier), clé primaire avec l'attribut codefilm ;
- codefilm : code du film (entier), clé primaire avec l'attribut codecli ;
- datedebut : date de début de la location (chaîne de caractères) ;
- duree : durée de la location (flottant).
Q5.

Écrire une requête SQL permettant de connaître la plus grande durée de location 
parmi
tous les films.

Q6.

Écrire une requête SQL permettant d'extraire le code du film, le nom du film et 
la durée
moyenne de location des films qui ont été en moyenne loués moins de 2 jours. Le 
résultat
doit être classé dans l'ordre décroissant des durées moyennes de location.

EXERCICE 2
On définit une suite ( ) de [] en posant 0 = 1, 1 =  et pour tout entier 
naturel  :

+2 = 2+1 -  .

Dans les questions suivantes,  et  sont des entiers naturels.
Q7.
Q8.

Donner le degré et le terme dominant de  en fonction de .
Justifier que pour tout réel  :

Pour  et  dans [], on pose :

 () = cos().

,  = 

1

()()

-1 1 - 

2

 .

Q9.

Justifier la convergence de cette intégrale.

Q10.

Démontrer que ,
est un produit scalaire sur  [] (ensemble des polynômes de []
de degré inférieur ou égal à k).

Q11.
Q12.

Calculer pour  et  entiers naturels, 0 cos() cos() .

Donner une base orthonormale de  [] pour ce produit scalaire.
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PROBLÈME - Matrices de rang 1
 est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On note  () l'ensemble des matrices réelles d'ordre , ,1 () l'ensemble des 
matrices
colonnes réelles d'ordre  et 1, () l'ensemble des matrices lignes réelles 
d'ordre .

Partie I - Exemples
On suppose que X1 , X 2 ,... , X n sont des variables aléatoires définies sur 
le même espace

probabilisé, indépendantes et toutes de loi de Bernoulli de paramètre p  ]0,1[ 
. On définit les
matrices aléatoires :

 X 12
 X1 

 X 2 X1
 X2 
X X
U =    et M =U × U T = 3 1

X 

 n
X X
 n 1

X1 X 2
X 22
X3X2

X1 X 3
X2 X3
X 32

Xn X2

Xn X3

  X1 X n 

  X2Xn 
  X3Xn 
.

  X n 2 

Q13.

On pose  = rg().

Q14.

Reconnaître la loi de la variable aléatoire Tr().

Q15.

n

Montrer que la variable aléatoire Y suit une loi de Bernoulli de paramètre 1 - 
(1 - p ) .

Vérifier que 2 = Tr() et en déduire la probabilité de l'événement « M est une 
matrice
de projection ».

Q16. Dans cette question, on suppose que X1 , X 2 ,... , X n sont des variables 
aléatoires définies

sur le même espace probabilisé, indépendantes et toutes de loi de Poisson de 
paramètre
 > 0 . On définit la matrice aléatoire M comme ci-dessus. Avec ces nouvelles
hypothèses, calculer à nouveau la probabilité de l'événement « M est une 
matrice de
projection ».

Q17.

On note J la matrice de  () dont tous les coefficients sont égaux à 1. Donner 
son rang
et sa trace, puis la diagonaliser (on précisera une matrice de passage).

Q18.

Donner (en le justifiant) une matrice d'ordre 3 de rang 1 non diagonalisable. 
Préciser sa
trace.
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Partie II - Résultats généraux
Dans cette partie,  désigne une matrice de  () de rang égal à 1.
Q19.

Q20.
Q21.
Q22.

On note   ,1 () la première colonne non nulle de . Démontrer qu'il existe une
matrice ligne   1, () non nulle telle que  =  × .
Calculer le réel  ×  et en déduire que 2 = Tr().

Déterminer le polynôme caractéristique de  ainsi que son polynôme minimal.
Établir que :

 est diagonalisable  Tr()  0.

On note désormais  l'endomorphisme de  canoniquement associé à .
Q23.

Q24.

On suppose que Im()  Ker()  {0 }.
Justifier que Im()  Ker(), puis qu'il existe une base de  dans laquelle  est
représenté par la matrice :

0 0 0
1 0 0

 0 0 0

(0)

.

0 

On suppose que Im()  Ker() = {0 }.
Démontrer qu'il existe une base de  dans laquelle  est représenté par la 
matrice :

0

 0

Q25.

(0)

où  est un réel non nul.

0
0
0

(0)

0
0
0

(0)

0 

Conclure que dans  () deux matrices de rang 1 sont semblables si et seulement si
elles ont la même trace.

FIN
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