SESSION 2021 MP3M2
GP
CONCOURS
COMMUN
INP
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
MATHÉMATIQUES 2
Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu'il a êté amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les
schémas et la mise en évidence
des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants.
1/4
Notations pour l'ensemble du sujet :
K désigne R ou C.
On note, pour n entier naturel, n > 2 :
-- M, (K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille # à coefficients
dans K..
-- D, (R) le sous-espace vectoriel des matrices diagonales de M, (R).
EXERCICE
QI. On munit M, (R) du produit scalaire canonique ((A|B) =trace ("AB)),
déterminer
(D, (R)} , l'orthogonal de D, (R) pour ce produit scalaire.
PROBLÈME - Théorème de décomposition de Dunford
On admet le théorème suivant que l'on pourra utiliser librement :
Si À est une matrice de M, (K) telle que son polynôme caractéristique 7, soit
scindé sur K, alors
il existe un unique couple (D,N ) de matrices de M, (K) vérifiant les quatre
propriétés :
(1) A=D+N ;
(2) D est diagonalisable dans M, (K) (pas nécessairement diagonale) ;
(3) N'est nilpotente ;
(4) DN= ND.
De plus, D et N sont des polynômes en À et 7, =%».
Le couple (D,N ) s'appelle la décomposition de Dunford de À.
Partie I - Quelques exemples
Q2. Donner le couple de la décomposition de Dunford d'une matrice 4 de M, (K)
lorsque À est
diagonalisable, puis lorsque la matrice 4 de M, (K) est nilpotente.
Justifier qu'une matrice trigonalisable vérifie l'hypothèse du théorème,
admettant ainsi une
décomposition de Dunford.
1 O\f0 1
Le couple de matrices ( À ) est-1l la décomposition de Dunford de la matrice
2 J (0
1 1
?
Q3. Donner un exemple d'une matrice de M, (R) n'admettant pas de décomposition
de Dunford
dans M, (R).
3 O0 8
Q4. Soit la matrice A=| 3 --I 6
--2 0 --S5
2/4
Calculer son polynôme caractéristique Y,, puis donner le couple (D,N ) de la
décomposition
de Dunford de À (on utilisera le fait que 7, = Xp).
Q5. Application
+00
Pour 4 e M,(K), exp(4) = > Ai est l'exponentielle de la matrice À.
k=0 *:
Déduire de la question précédente l'exponentielle de la matrice À définie en Q4.
On pourra utiliser sans démonstration que si M et N sont deux matrices de M,
(K) qui
commutent, exp (M + N)= (exp M ) (exp N )
Q6. Soit 4e M, (K) telle que 4A*(4-1,)=0.
Justifier que le polynôme X(X -- 1) est annulateur de la matrice 4°.
Démontrer que le couple (D,N) de la décomposition de Dunford de la matrice À
est donné
par: D= A4 et N=A- A7.
Partie II - Un exemple par deux méthodes
3 --] 1]
Soit la matrice A=|2 O0 I
1 --1 2
On note u l'endomorphisme de IR° canoniquement associé à la matrice À.
On notera id l'application identité de R°.
Q7. La matrice 4 est-elle diagonalisable dans M,(R) ?
Démontrer qu'on a la somme directe : IR? = ker(w -- id) ® ker(u --2id)°.
Q8. Déterminer une base (e,, e,,e;) de R° telle que :
ker(u --1d) = vect Le | , ker(u --21d)=vect le, | et ker(u --2id)? =vect {e,
EUR }.
Écrire la matrice B de u dans la base (e,, e,,e;) de R°.
Q9. Déterminer le couple de la décomposition de Dunford de la matrice B et en
déduire le couple
(on calculera ces matrices) de la décomposition de Dunford de la matrice À.
I
(XD (x -2)
Q10. Décomposer en éléments simples la fraction et en déduire deux polynômes
U et V tels que :
(X-DU(X)+(X-2) V(X)=1 avec degU <2 et degV <1. Q11. On pose les endomorphismes : p=V(u)o(u--2id)" et 9 =U(u)o(u id). Calculer p(x)+q(x) pour tout x vecteur de R*. Démontrer que p est le projecteur sur ker(w--id) parallèlement à ker("--2id)* et g est le projecteur sur ker( --2id)" parallèlement à ker(u --id). 3/4 Q12. On pose d=p+2q. Écrire la matrice de d dans la base (e,,e,.e;) de R° (de la question Q8). Déterminer le couple de la décomposition de Dunford de la matrice À en exprimant D et N comme polynômes de la matrice À (sous forme développée). Partie III - Une preuve de l'unicité de la décomposition Q13. Q14. Q15. Q16. Q17. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soient w et v deux endomorphismes diagonalisables de Æ£ qui commutent. On note Ass, les valeurs propres de u et pour tout 1£i< p, E3(u) le sous-espace propre de associé à la valeur propre 4.. Démontrer que tout sous-espace propre de u est stable par v. En déduire qu'il existe une base commune de diagonalisation pour et v. Pour tout 1
