SESSION 2020 MP3M2
(INP
CONCOURS
COMMUN
INP
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
MATHÉMATIQUES 2
Mardi S mai:8h-12h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les
schémas et la mise en évidence
des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.
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EXERCICE I
Dans cet exercice, 1l est inutile de reproduire tous les calculs sur la copie.
|
On considère la matrice A=|1 2 1|.
1 1 2
Q1. Justifier, sans calcul, que la matrice À est diagonalisable puis déterminer
une matrice D
diagonale réelle et une matrice P eGL; (R) telles que À = PDP!
Q2. Déterminer une matrice B de #3(R), que l'on explicitera, vérifiant B° = A.
Q3. Déterminer, pour tout entier naturel non nul », les 9 coefficients de la
matrice 4" en utilisant
la matrice de passage P.
Q4. Donner le polynôme minimal de la matrice À et en déduire, à l'aide d'une
division
euclidienne de polynômes, la matrice 47 comme une combinaison linéaire des
matrices À
et / 2:
EXERCICE II
On considère l'espace vectoriel normé #, (R).
On note GL,,(R) l'ensemble des matrices inversibles de #,, (R).
On pourra utiliser librement dans cet exercice que l'application déterminant
est continue sur
HW, (R).
Q5. L'ensemble GL, (R) est-il fermé dans #,,(R)?
Q6. Démontrer que l'ensemble GL, (R) est ouvert dans #, (R).
Q7. Soit M un élément de #, (R), justifier que :
1p>0, VAel0,p|, M-21,Ee GL, (R).
Démontrer que l'ensemble GL,, (R) est dense dans #,(R).
Q8. Application
Si À et B sont deux matrices de #, (IR), démontrer que les matrices 4.B et B.A
ont le même
polynôme caractéristique.
0
\ 1
À l'aide des matrices À = 6 ,
0 0
| et B= : Al prouver que le résultat n'est pas vrai pour
les polynômes minimaux.
2/4
Q9. Démontrer que GL,,(R) n'est pas connexe par arcs.
On rappelle que l'image d'une partie connexe par arcs par une application
continue est une
partie connexe par arcs.
PROBLÈME
Dans ce problème, E est un espace vectoriel euclidien muni d'un produit
scalaire que l'on notera
( | } de norme associée | ||.
Un endomorphisme de E est une similitude de E lorsqu'il existe un réel k > 0
tel que pour tout
vecteur x de E, [u(x)]|= k]x]. On dira que u est la similitude de rapport k.
On notera Sim(E), l'ensemble des similitudes de £.
O(E) désigne l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E.
L'objectif de ce problème est de définir et de caractériser les similitudes
d'un espace euclidien.
Partie I - Exemples, propriétés
Q10. Démontrer que la matrice À | | est, dans la base canonique de R° , la
matrice d'une
similitude dont on précisera le rapport.
Q11. Interprétation géométrique avec la similitude z de la question précédente.
Le plan R° est rapporté à un repère orthonormé (©, &, e>).
On considère les trois points M(2, 1), N(4, 1), P(4, 2) et on définit les
points M', N', P' par
les relations 2(OM)=OM', u(ON)=ON', u(OP) = OP".
Représenter les triangles MNP et MN'P' et comparer leurs aires.
Q12. Démontrer que tout élément de Sim(Æ£) est buectif et établir que Sim(Æ),
muni de la loi de
composition, est un groupe.
Q13. Soient z un endomorphisme de E, & une base orthonormée de E et À la
matrice de w dans la
base &.
Démontrer que z est un automorphisme orthogonal de E, si et seulement si, lAA=I
n°
Caractériser par une relation matricielle une similitude de rapport k.
Q14. Exemple
2 2 I
Démontrer que la matrice A=|-2 1 2| est la matrice dans la base canonique de R°
1 --2 2
d'une similitude z dont on donnera le rapport. Donner la matrice de la
similitude u |.
Vérifier que, pour tout élément f de O(E), u lo fou eO(E).
3/4
Q15.
On appelle sphère de centre 0 et de rayon r >0, l'ensemble des vecteurs x de £
tels que
x] = 7. Démontrer que si z est un endomorphisme de £ tel que l'image par z de
toute sphère
de E de centre 0 est une sphère de £ de centre 0, alors y est une similitude de
£.
2 121.
On pourra remarquer que pour y vecteur non nul, |
v|
Partie II - Assertions équivalentes
Q16.
Q17.
Q18.
Q19.
Q20.
On rappelle qu'une homothétie vectorielle de £ est une application de la forme
&idg.
Démontrer que u e Sim(E), si et seulement si1, y est la composée d'une
homothétie vectorielle
non nulle de E et d'un élément de O(E).
Exemple
, 2
Ecrire la matrice À | | comme produit de la matrice d'une homothétie
vectorielle et
de la matrice d'un automorphisme orthogonal de R° dont on précisera la nature.
LL
4
En déduire que z est une similitude de rapport K, si et seulement si,
2 2
Vy)e ET, (uGlu())=# (x|>).
Démontrer que : V{a,»)EUR E?, (x|»)=2{lx+ vf x?)
Démontrer que, si z est une similitude de rapport #, alors, pour tout couple
(x, y) de vecteurs
de E, (x| y) = 0 > (u(x)[u(y)) = (.
On dit que l'endomorphisme z conserve l'orthogonalité.
Réciproquement, on suppose que z est un endomorphisme de Æ conservant
l'orthogonalité.
Soit (2,8 ,...,e,) une base orthonormée de £. Démontrer que :
. 2
V(i,j)e [Ln| , (e; +e;
On note # la valeur commune prise par tous les lu(e;)
é; -e;) = 0, puis que : V(i, j)e 111 , [u(e;)| = lu(e;)].
u(e;)] = k le;| démontrer que z est une similitude
Après avoir justifié que, pour tout EUR [Ln] ,
de rapport k.
Soit u une application de E dans E (non supposée linéaire) telle qu'il existe
un réel 4 > 0 pour
2 2
lequel : V(x,y)e ET, (u(x)[u(y)) = k (x| y).
Démontrer que u est un endomorphisme de E, puis que y est une similitude de £.
FIN
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