CCP Maths 2 MP 2020

Thème de l'épreuve Etude des similitudes d'un espace vectoriel euclidien
Principaux outils utilisés diagonalisation, topologie, espace euclidien, réduction
Mots clefs similitudes, groupe orthogonal, homothétie, densité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2020 MP3M2

(INP

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Mardi S mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

1/4
EXERCICE I

Dans cet exercice, 1l est inutile de reproduire tous les calculs sur la copie.

|
On considère la matrice A=|1 2 1|.
1 1 2

Q1. Justifier, sans calcul, que la matrice À est diagonalisable puis déterminer 
une matrice D

diagonale réelle et une matrice P eGL; (R) telles que À = PDP!
Q2. Déterminer une matrice B de #3(R), que l'on explicitera, vérifiant B° = A.

Q3. Déterminer, pour tout entier naturel non nul », les 9 coefficients de la 
matrice 4" en utilisant
la matrice de passage P.

Q4. Donner le polynôme minimal de la matrice À et en déduire, à l'aide d'une 
division

euclidienne de polynômes, la matrice 47 comme une combinaison linéaire des 
matrices À
et / 2:

EXERCICE II

On considère l'espace vectoriel normé #, (R).

On note GL,,(R) l'ensemble des matrices inversibles de #,, (R).

On pourra utiliser librement dans cet exercice que l'application déterminant 
est continue sur

HW, (R).
Q5. L'ensemble GL, (R) est-il fermé dans #,,(R)?
Q6. Démontrer que l'ensemble GL, (R) est ouvert dans #, (R).

Q7. Soit M un élément de #, (R), justifier que :
1p>0, VAel0,p|, M-21,Ee GL, (R).
Démontrer que l'ensemble GL,, (R) est dense dans #,(R).

Q8. Application
Si À et B sont deux matrices de #, (IR), démontrer que les matrices 4.B et B.A 
ont le même

polynôme caractéristique.
0

\ 1
À l'aide des matrices À = 6 ,

0 0
| et B= : Al prouver que le résultat n'est pas vrai pour

les polynômes minimaux.

2/4
Q9. Démontrer que GL,,(R) n'est pas connexe par arcs.

On rappelle que l'image d'une partie connexe par arcs par une application 
continue est une
partie connexe par arcs.

PROBLÈME

Dans ce problème, E est un espace vectoriel euclidien muni d'un produit 
scalaire que l'on notera
( | } de norme associée | ||.

Un endomorphisme de E est une similitude de E lorsqu'il existe un réel k > 0 
tel que pour tout
vecteur x de E, [u(x)]|= k]x]. On dira que u est la similitude de rapport k.

On notera Sim(E), l'ensemble des similitudes de £.
O(E) désigne l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E.

L'objectif de ce problème est de définir et de caractériser les similitudes 
d'un espace euclidien.

Partie I - Exemples, propriétés

Q10. Démontrer que la matrice À | | est, dans la base canonique de R° , la 
matrice d'une

similitude dont on précisera le rapport.

Q11. Interprétation géométrique avec la similitude z de la question précédente.
Le plan R° est rapporté à un repère orthonormé (©, &, e>).
On considère les trois points M(2, 1), N(4, 1), P(4, 2) et on définit les 
points M', N', P' par
les relations 2(OM)=OM', u(ON)=ON', u(OP) = OP".
Représenter les triangles MNP et MN'P' et comparer leurs aires.

Q12. Démontrer que tout élément de Sim(Æ£) est buectif et établir que Sim(Æ), 
muni de la loi de
composition, est un groupe.

Q13. Soient z un endomorphisme de E, & une base orthonormée de E et À la 
matrice de w dans la
base &.

Démontrer que z est un automorphisme orthogonal de E, si et seulement si, lAA=I 
n°
Caractériser par une relation matricielle une similitude de rapport k.

Q14. Exemple

2 2 I
Démontrer que la matrice A=|-2 1 2| est la matrice dans la base canonique de R°
1 --2 2

d'une similitude z dont on donnera le rapport. Donner la matrice de la 
similitude u |.

Vérifier que, pour tout élément f de O(E), u lo fou eO(E).
3/4
Q15.

On appelle sphère de centre 0 et de rayon r >0, l'ensemble des vecteurs x de £ 
tels que
x] = 7. Démontrer que si z est un endomorphisme de £ tel que l'image par z de 
toute sphère
de E de centre 0 est une sphère de £ de centre 0, alors y est une similitude de 
£.

2 121.

On pourra remarquer que pour y vecteur non nul, |
v|

Partie II - Assertions équivalentes

Q16.

Q17.

Q18.

Q19.

Q20.

On rappelle qu'une homothétie vectorielle de £ est une application de la forme 
&idg.
Démontrer que u e Sim(E), si et seulement si1, y est la composée d'une 
homothétie vectorielle
non nulle de E et d'un élément de O(E).

Exemple

, 2
Ecrire la matrice À | | comme produit de la matrice d'une homothétie 
vectorielle et

de la matrice d'un automorphisme orthogonal de R° dont on précisera la nature.
LL
4
En déduire que z est une similitude de rapport K, si et seulement si,
2 2
Vy)e ET, (uGlu())=# (x|>).

Démontrer que : V{a,»)EUR E?, (x|»)=2{lx+ vf x?)

Démontrer que, si z est une similitude de rapport #, alors, pour tout couple 
(x, y) de vecteurs
de E, (x| y) = 0 > (u(x)[u(y)) = (.
On dit que l'endomorphisme z conserve l'orthogonalité.

Réciproquement, on suppose que z est un endomorphisme de Æ conservant 
l'orthogonalité.

Soit (2,8 ,...,e,) une base orthonormée de £. Démontrer que :
. 2
V(i,j)e [Ln| , (e; +e;

On note # la valeur commune prise par tous les lu(e;)

é; -e;) = 0, puis que : V(i, j)e 111 , [u(e;)| = lu(e;)].

u(e;)] = k le;| démontrer que z est une similitude

Après avoir justifié que, pour tout EUR [Ln] ,

de rapport k.

Soit u une application de E dans E (non supposée linéaire) telle qu'il existe 
un réel 4 > 0 pour

2 2
lequel : V(x,y)e ET, (u(x)[u(y)) = k (x| y).
Démontrer que u est un endomorphisme de E, puis que y est une similitude de £.

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE - 20 1150 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Maths 2 MP 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Angèle Niclas (ENS Lyon) ; il a été relu par David
Michel (ENS Rennes) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université).

Ce sujet est composé de deux exercices et d'un grand problème. Chacun porte
sur un thème différent du programme.
· L'exercice 1, très calculatoire, est assez proche du cours d'algèbre 
linéaire. Le sujet demande de diagonaliser une matrice de taille 3, puis de 
calculer son polynôme minimal et ses puissances.
· L'exercice 2 est une application du cours de topologie. On prouve que GLn (R)
est un ouvert dense de Mn (R) et on propose une application de ce résultat.
· Le problème porte sur l'étude des similitudes d'un espace vectoriel euclidien.
Il propose de démontrer plusieurs de leurs caractérisations en lien, entre 
autre,
avec les automorphismes orthogonaux. Il est plus long que les exercices et exige
de bien maîtriser le cours sur les espaces euclidiens. On commence par étudier
des exemples concrets avant de prouver des résultats de plus en plus théoriques.
Les questions sont de difficulté croissante et s'enchaînent naturellement.
Cet énoncé est classique et proche du cours. Le premier exercice constitue une
bonne révision des techniques de diagonalisation. Le deuxième permet de 
vérifier que
les notions de topologie sont comprises et maîtrisées. Enfin, le problème 
regroupe
plusieurs questions classiques sur les espaces euclidiens qu'il est bon de 
savoir traiter.

Indications
Exercice 1
1 Utiliser le théorème spectral sur A.
2 Remarquer que D s'écrit facilement comme le carré d'une matrice.
3 Prouver que An = PDn P-1 pour tout n  N en utilisant la question 1.
4 Utiliser la question 1 et le fait que A est diagonalisable pour trouver le 
polynôme
minimal de A, puis effectuer la division euclidienne de Xn par ce polynôme et
évaluer cette formule en 1 et 4.
Exercice 2
5 Étudier la suite de matrices Mk = (1/k)In .
6 Utiliser le fait que l'image réciproque d'un ouvert par une application 
continue
est un ouvert.
7 Remarquer que det(XIn - M) a au plus n racines réelles positives, puis 
considérer
une suite de matrices de terme général Mk = M - (1/k)In pour k bien choisi.
8 Commencer par traiter le cas où B est inversible, puis utiliser la question 7.
9 Utiliser le fait que les connexes par arcs de R sont les intervalles.
Problème
12 Prouver que tout élément de Sim(E) est injectif et utiliser le fait que E 
est de
dimension finie.
13 Utiliser l'identité de polarisation pour prouver que tout automorphisme 
orthogonal préserve le produit scalaire. Pour trouver la relation 
caractéristique d'une
similitude u de rapport k, remarquer que u/k est un automorphisme orthogonal.
14 Utiliser les caractérisations de la question 13.
15 Poser k le rayon de l'image de la sphère de rayon 1 par u et pour tout x  E
non nul, remarquer que x/kxk est dans la sphère de rayon 1.
16 Remarquer que u = k × u/k si k est le rapport de similitude de u.
17 Utiliser les questions 10 et 16.
19 Pour prouver que u est une similitude, développer ku(x)k2 sur la base (e1 , 
. . . , en )
et remarquer que hu(ei ) | u(ej )i = 0 si i 6= j.
20 Montrer que ku(x + y) - u(x) - u(y)k2 = 0 pour tous x, y  E et   R en
développant et en utilisant l'égalité vérifiée par u.

Publié dans les Annales des Concours

Exercice I
1 La matrice A est une matrice réelle, et symétrique car t A = A. Le théorème
spectral permet donc d'affirmer qu'elle est diagonalisable dans une base 
orthonormale
et que ses valeurs propres sont toutes réelles.
La matrice A est diagonalisable.
Calculons ensuite le polynôme caractéristique de A, noté A , en développant le
déterminant par rapport à la première colonne.
A =

X-2
-1
-1
-1
X-2
-1
-1
-1
X-2

-1
-1
-1
-1
X-2
-1
-
+
X - 2 -1
-1 X - 2
-1
X-2
= (X - 2)((X - 2)2 - 1) + (2 - X - 1) - (1 + X - 2)
A = X3 - 6X2 + 9X - 4
= (X - 2)

En remarquant que 1 est une racine de A puis en factorisant par X - 1 on 
obtient que A = (X - 1)(X2 - 5X + 4). À nouveau, 1 est racine de X2 - 5X + 4
d'où A = (X - 1)2 (X - 4). Ainsi, les racines de A sont 1 et 4. Notons ensuite 
que

1 1 1
-2 1
1
A - I3 = 1 1 1
A - 4I3 =  1 -2 1 
1 1 1
1
1 -2
Soit (x, y, z)  Ker (A - 4I3 ). On a alors

-2x + y + z = 0
x + y - 2z = 0
x - 2y + z = 0 
-3y + 3z = 0

x + y - 2z = 0
3y - 3z = 0

y=z
x=z

donc v1 = (1, 1, 1) est un vecteur propre de A associé à la valeur propre 4. 
Soit maintenant (x, y, z)  Ker (A - I3 ), alors

x + y + z = 0
x + y + z = 0  x + y + z = 0

x+y+z = 0
Ainsi v2 = (1, -1, 0) et v3 = (0, 1, -1) sont deux vecteurs propres non 
colinéaires
associés à la valeur propre 1. La famille (v1 , v2 , v3 ) est une base de R3 et 
si on
note P la matrice de passage de la base canonique à cette nouvelle base, la 
formule
de changement de base donne

A = PDP-1

4
avec D = 0
0

0
1
0

0
1
0 et P = 1
1
1

1
-1
0

0
1   GL3 (R)
-1

Il est possible de choisir d'autres vecteurs (v1 , v2 , v3 ) ce qui change 
alors la
matrice de passage P.

2 En utilisant la question 1, écrivons A = PDP-1 . Définissons ensuite la 
matrice

2 0 0
 = 0 1 0
0 0 1
Remarquons que 2 = D, et posons B = PP-1 . On a alors
B2 = (PP-1 )2 = PP-1 PP-1 = P2 P-1 = PDP-1 = A
Pour expliciter B, calculons P-1 . Soient (x, y, z) et (a, b, c) dans R3 . Il 
vient

x
a
x+y = a

 x+y = a
P y  =  b   x - y + z = b  -2y + z = b - a

z
c
x-z = c
-y - z = c - a

1
2
1

z = a+ b- c

3
3
3

x + y = a
2
1
1
 y + z = a - c
 y = a - b - c

3
3
3

3z = b + a - 2c

1
1
1
x = a + b + c
3
3
3

1 1
1
1
Ainsi,
P-1 = 2 -1 -1
3
1 1 -2
explicite de B = PP-1 :

0 0
1 1
1
4
1
1 0 2 -1 -1 = 1
3
0 1
1 1 -2
1

4 1 1
1
La matrice B = 1 4 1 vérifie B2 = A.
3
1 1 4

Finalement, calculons l'expression

2
1 1
0
1
B = 1 -1 1  0
3
0
1 0 -1
En conclusion,

1
4
1

1
1
4

3 Montrons que la propriété
P(n) :

An = PDn P-1

est vraie pour tout n > 1.
· P(1) est vraie en utilisant le résultat de la question 1.
· P(n) = P(n + 1) : soit n > 1 tel que P(n) est vraie. D'après P(n), il vient
que An = PDn P-1 . Comme on a également A = PDP-1 , alors
An+1 = An × A = PDn P-1 PDP-1 = PDn DP-1 = PDn+1 P-1
· Conclusion :

n > 1

An = PDn P-1

En utilisant l'expression de P-1 de la question 2, on calcule An qui vaut

 n

 n

1 1
0
4
0 0
1 1
1
4 + 2 4 n - 1 4n - 1
1
1
1 -1 1   0 1 0 2 -1 -1 = 4n - 1 4n + 2 4n - 1
3
3
1 0 -1
0 0 1
1 1 -2
4n - 1 4n - 1 4n + 2
 n

4 + 2 4n - 1 4n - 1
1
En conclusion,
n  N An = 4n - 1 4n + 2 4n - 1
3
4n - 1 4n - 1 4n + 2