CCINP Maths 2 MP 2019

SESSION 2019 MPMA206

GP

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Jeudi2mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur dénoncé, il le

signalera sur Sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

1/5
EXERCICE I

Dans cet exercice "Algorithme de décomposition primaire d'un entier" 
(/nformatique pour tous), on
se propose d'écrire un algorithme pour décomposer un entier en produit de 
nombres premiers.

Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python. On sera très 
attentif à la rédaction
et notamment à l'indentation du code.

On définit la valuation p-adique pour p nombre premier et n entier naturel non 
nul.
Si p divise n, on note v,(n) le plus grand entier Æ tel que p\ divise n.

Si p ne divise pas #, on pose v,(n) = 0.

L'entier v,(n) s'appelle la valuation p-adique de n.

Q1.

Q2.

Q3.

Q4.

Q5.

Ecrire une fonction booléenne estPremier(n) qui prend en argument un entier 
naturel
non nul n et qui renvoie le booléen True s1 n est premier et le booléen False 
sinon. On
pourra utiliser le critère suivant : un entier n > 2 qui n'est divisible par 
aucun entier d>2 tel

2 .
que d" < n, est premier. En déduire une fonction liste premiers (n)qui prend en argument un entier naturel non nul # et renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Pour calculer la valuation 2-adique de 40, on peut utiliser la méthode suivante : -- 40 est divisible par 2 et le quotient vaut 20 -- 20 est divisible par 2 et le quotient vaut 10 -- 10 est divisible par 2 et le quotient vaut 5 -- 5 n'est pas divisible par 2. La valuation 2-adique de 40 vaut donc 3. Écrire une fonction valuation p adique(n, p) non récursive qui implémente cet algorithme. Elle prend en arguments un entier naturel 7 non nul et un nombre premier p et renvoie la valuation p-adique de n. Par exemple, puisque  40-- 2°x5, valuation p adique(40, 2) renvoie 3,valuation p adique(40, 5) renvoie let valuation p adique(40, 7) renvoie 0. Ecrire une deuxième fonction cette fois-c1 récursive, val(n, p) qui renvoie la valuation p-adique de n. En déduire une fonction decomposition facteurs premiers(n) qui calcule la décomposition en facteurs premiers d'un entier n > 2.

Cette fonction doit renvoyer la liste des couples (p, v,(n)) pour tous les 
nombres premiers p
qui divisent n.

Par exemple, decomposition facteurs premiers (40) renvoie la liste [[2, 3],
[S5, 1]].

2/5
EXERCICE II

Soit E un espace euclidien muni d'un produit scalaire noté { , ).

On note Lcl° = (X, X).

Q6. Un endomorphisme " de Æ vérifiant, pour tout vecteur xeÆ, {u(x),x) =0, 
est-il
nécessairement l'endomorphisme nul ?

Q7. Étant donné un endomorphisme de E, on admet qu'il existe un unique 
endomorphisme v de
E vérifiant : V(x, y)e E?, {u(x), y) ={x, v(y)).

Démontrer l'équivalence des trois propriétés suivantes :
1.  UOY = vou.

1. V(x y)e£E?, (u(x),u(y)}= (vx), v(y))
il. VXEeEËE, u(x)| = vo].

On pourra, par exemple, successivement prouver les implications :
1 Di, 1 il, 11 Di et 1 --1.

PROBLÈME
On s'intéresse dans ce problème, à travers divers exemples, à quelques méthodes 
pour prouver que
deux matrices sont semblables.
Par la suite, n désigne un entier naturel, n 2 2.

Partie I -- Étude de quelques exemples

Q8. Justifier que deux matrices de H,(R) qui sont semblables ont la même trace, 
le même rang, le
même déterminant et le même polynôme caractéristique.

Q9. On donne deux matrices :

1 1 1! 1 O0 0
A=|0 2 OjetB=|0 2 lI
0 0 2 0 0 2

Vérifier que ces deux matrices ont la même trace, le même déterminant, le même 
rang et le
même polynôme caractéristique.

Ces deux matrices sont-elles semblables ? (on pourra vérifier que l'une de ces 
matrices est
diagonalisable).

Ont-elles le même polynôme minimal ?

Q10. On donne deux matrices :

0 1 1! 0 1 O0
A=|1 0 OletB=|I1 0 1.
2 1 O0 1 2 0

3/5
Q11.

Q12.

Q13.

Q14.

Q15.

Etablir que ces deux matrices sont semblables par les deux méthodes suivantes :
première méthode : en utilisant  l'endomorphisme associé à À dans une base 
(e,,e,,e,) d'un

espace vectoriel E et en cherchant, sans calculs, une nouvelle base de E ;

deuxième méthode : en prouvant que le polynôme X°---3X---1 admet trois racines 
réelles
distinctes (que l'on ne cherchera pas à déterminer) notées &, B et 7.

Démontrer que toute matrice À EUR M,(R) de rang 1 est semblable à une matrice :
[O0 0 . O0 a)
d;

u=|. | . . . |e MR).

(0 0 . O0 a,)
On pourra utiliser l'endomorphisme # canoniquement associé à la matrice À.

Application : soit E un espace vectoriel de dimension #7 22 et un endomorphisme 
de E de
rang 1 vérifiant vou # 0 , démontrer que est diagonalisable.
On pourra calculer U*.

Démontrer qu'une matrice symétrique à coefficients complexes n'est pas 
nécessairement
diagonalisable.

On donne une matrice À =

8 & &
8 D 8 ©

OE
p
OE

où aet B sont deux nombres complexes non

8 & 8

bp

nuls, différents et non opposés.

Déterminer le rang de la matrice À et en déduire que 0 est valeur propre de À.

Justifier que 2(a + B) et 2(a -- B) sont aussi valeurs propres de À.

Préciser une base de vecteurs propres de À.

Dans cette question, 1l est déconseillé de calculer le polynôme caractéristique 
de la matrice À.

bp

À a
Démontrer que quels que soient les réels non nuls a, b et le réel À, les 
matrices À = ' |

À

À D
et B = sont semblables.
O0 À

Partie II -- Démonstration d'un résultat

On se propose de démontrer que deux matrices de Y,(R) qui sont semblables dans 
%,(C) sont
semblables dans Y,(R).

Soient À et B deux matrices de H,(R) semblables dans #,(C), il existe une 
matrice P inversible à

coefficients complexes telle que B = PAP. Écrivons P=R+iS où R et S sont deux 
matrices à
coefficients réels.

4/5
Q16. Démontrer que RB = AR et SB = AS.

Q17. Justifier que la fonction x+ det(R+xS) est une fonction polynomiale non 
identiquement
nulle et en déduire qu'il existe un réel x tel que la matrice À + xS soit 
inversible.

Q18. Conclure que les matrices À et B sont semblables dans Y,(R).

Q19. Application : démontrer que toute matrice À de YH,(R) de polynôme 
caractéristique X °+X

0 O0 0
est semblable à la matrice B=|0 O ]IÏ|.
O0 --1 0

Partie III

On s'intéresse dans cette question à la proposition F,, :
« Deux matrices de H,(R) ayant à la fois le même polynôme caractéristique et le 
même polynôme

minimal sont semblables dans 4, (R) ».

Q20. En étudiant les différentes valeurs possibles pour le polynôme 
caractéristique et le même
polynôme minimal, démontrer que la proposition À, est vraie pour n = 2.

On admet qu'elle l'est également pour n =3.

Q21. Démontrer que la proposition P, est fausse pour n=4. On pourra fournir 
deux matrices
composées uniquement de 0 et de I.

FIN

5/5

© Éditions H&K

CCINP Maths 2 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Théo Lenoir (ENS Ulm) ; il a été relu par Bertrand
Wiel (enseignant en CPGE) et Florian Metzger (docteur en mathématiques).

L'épreuve se compose de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.
· Le premier exercice concerne l'informatique pour tous et consiste à coder un
algorithme retournant la décomposition d'un entier en facteurs premiers.
· Le second exercice porte sur les espaces euclidiens. On y étudie quelques 
propriétés des endormorphismes antisymétriques et des endomorphismes normaux,
c'est-à-dire qui commutent avec leur adjoint : l'adjoint d'un endomorphisme u
t
est l'endomorphisme associé à Mat u.
· Le problème a pour thème la réduction et plus particulièrement les matrices
semblables. Tout d'abord, on regarde des propriétés invariantes par similitude
et on étudie quelques cas particuliers. On démontre également un critère de
diagonalisabilité pour les endomorphismes de rang 1. On prouve également des
conditions suffisantes pour que deux matrices soient semblables dans Mn (R)
dans des cas particuliers. Enfin, on étudie une propriété reliant polynômes 
minimaux, polynômes caractéristiques et similitude, qui se révèle vraie en 
dimensions 2 et 3, mais fausse en dimension 4.
Le sujet est plutôt court, assez facile et comporte quelques questions proches 
du
cours. Le premier exercice permet de revoir efficacement le programme 
d'informatique. Le problème constitue une bonne révision du cours sur la 
réduction même si
on y déplore un certain manque d'unité et d'originalité.

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Indications
Exercice I
2 Se servir de la fonction estPremier.
4 Exploiter le fait que si p divise n, vp (n) = vp (n/p) + 1.
5 Utiliser la fonction liste_premiers pour obtenir la liste des nombres premiers
entre 1 et n puis utiliser la fonction valuation_p_adique pour chaque nombre
de la liste.
Exercice II
6 Si la dimension n de E est supérieure à 2, noter (e1 , . . . , en ) une base 
orthonormée
de E et considérer v l'endomorphisme qui à e1 associe e2 , à e2 associe -e1 , 
et à ei
associe 0 pour i > 3.
7 Pour iii = ii, penser à la formule de polarisation. Pour ii = i, calculer,
pour (x, y) dans E2 , hx | v  u(y)i.
Problème
10 Pour la première méthode, regarder la matrice de u dans la base (e2 , e1 , 
e3 ). Pour
la seconde méthode, calculer les polynômes caractéristiques de A et B.
11 Montrer que le noyau de u est de dimension n - 1 et regarder la matrice de u
dans une base adaptée.
12 Trouver un polynôme de degré 2 qui annule u.

i 1
13 Considérer la matrice M =
.
1 -i

t
t
14 Vérifier que 1 1 1 1 et 1 -1 1 -1 sont des vecteurs propres de A.

1 0
15 Calculer PAP-1 pour P =
.
0 b/a
16 Montrer que PB = AP et regarder les parties réelles et imaginaires des 
coefficients.
17 Utiliser la formule explicite du déterminant. Que vaut det(R + iS) ?
18 Utiliser le résultat de la question 17.
19 Montrer que A est diagonalisable et que B a pour polynôme caractéristique X3 
+X.
20 Regarder le cas où le polynôme caractéristique est scindé à racines simples 
dans
lequel on pourra utiliser le résultat de la question 18, puis le cas où il est 
de la
forme (X - )2 . Montrer que  est réel et penser à trigonaliser A et B. Utiliser
ensuite le résultat de la question 15 pour le cas où aucune des deux matrices 
n'est
une homothétie.
21 Chercher deux matrices triangulaires supérieures M vérifiant M2 = 0, une de
rang 1 et une de rang 2.

© Éditions H&K

Exercice I
1 On commence par traiter le cas n = 1 : 1 n'est pas premier. Ensuiteon vérifie
comme indiqué par l'énoncé si n est divisible par un entier entre 2 et  n. Si ce
n'est pas le cas, n est premier donc on renvoie True.
def estPremier(n):
if n == 1:
return False
for i in range (2, int(sqrt(n))+1):
if n % i == 0:
return False
return True
2 Utilisons le résultat de la question précédente : on crée une liste vide, 
puis on
parcourt les entiers entre 1 et n en ajoutant à la liste tous ceux qui sont 
premiers.
def liste_premiers(n):
L = []
for i in range (1, n+1):
if estPremier(i):
L.append(i)
return L
3 On utilise la méthode donnée par l'énoncé : tant que n est divisible par p on
effectue la division et on compte le nombre de divisions effectuées.
def valuation_p_adique (n, p):
valuation = 0
while n%p == 0:
valuation += 1
n = n//p
return valuation
4 Implémentons l'algorithme suivant : si p ne divise pas n, on renvoie 0. Sinon 
la
valuation p-adique de n vaut 1 plus celle de n/p. On renvoie donc 1 + val(n/p, 
p).
def val(n, p):
if n%p != 0:
return 0
return 1 + val(n//p, p)
5 On utilise les fonctions précédentes. On crée la liste des nombres premiers 
entre 1
et n. Ensuite pour tout p dans cette liste on calcule la valuation p-adique de 
n, et, si
elle est non nulle, on ajoute la liste [p, vp (n)] à la liste résultat.
def decomposition_facteurs_premiers(n):
L = liste_premiers(n)
T = []
for p in L:
a = valuation_p_adique(n, p)
if a != 0:
T.append([p, a])
return T

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Exercice II
6 Soit u un endomorphisme vérifiant hu(x), xi = 0 pour tout x dans E. Si la
dimension de E est 0 ou 1 alors u est l'endomorphisme nul. En effet si E est de
dimension 0, alors tout endomorphisme de u est nul. Si E est de dimension 1, il 
existe
une base orthonormée de E qu'on note (e1 ). Il existe   R tel que u(e1 ) = e1 . 
Ainsi,
0 = hu(e1 ), e1 i = he1 , e1 i = 
On obtient u(e1 ) = 0, donc u est nul.
Par contre si la dimension de E est supérieure ou égale à 2, le résultat n'est 
plus
vrai. Notons B = (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de E. Considérons 
l'endomorphisme v défini par
v(e1 ) = e2
v(e2 ) = -e1
v(ei ) = 0

et pour tout i  [[ 3 ; n ]]

Soit x dans E, en décomposant x dans la base B sous la forme x1 e1 + · · · + xn 
en
avec (x1 , . . . , xn )  Rn on obtient par bilinéarité du produit scalaire :
* 
+
 n
n
P
P
hv(x), xi = v
xi ei ,
xj ej
i=1

=
=
=

*

n
P

xi v(ei ),

i=1
n
P

j=1
n
P
j=1

j=1

n
P

xj ej

j=1

+

hx1 e2 - x2 e1 , xj ej i

x1 xj he2 , ej i -

= x1 x2 - x1 x2
hv(x), xi = 0

n
P

j=1

x2 xj he1 , ej i

Comme la famille (ei ) est une base, v(e1 ) = e2 6= 0 est non nul donc 
l'endomorphisme v est non nul.
L'endomorphisme u n'est pas nécessairement nul.
Les endomorphismes u de E qui vérifient pour tout x dans E l'égalité hu(x), xi 
= 0 sont exactement les endomorphismes dont la matrice dans
une base orthonormale est antisymétrique.
En effet notons (e1 , . . . , en ) une base orthonormale de E. Soit u un 
endomorphisme de E vérifiant pour tout x dans E hu(x), xi = 0. On pose M
la matrice de u dans la base (e1 , . . . , en ). Soit (x, y)  E2 . Par 
bilinéarité du
produit scalaire,
0 = hu(x + y), x + yi
= hu(x), xi + hu(x), yi + hu(y), xi + hu(y), yi
0 = hu(y), xi + hu(x), yi
En particulier pour tout (i, j)  {1, . . . , n}2 :
Mi,j = hu(ej ), ei i = -hu(ei ), ej i = -Mi,j
La matrice M est bien antisymétrique.