Thème de l'épreuve | Algorithme de décomposition primaire d'un entier, adjoint d'un endomorphisme et matrices semblables |
Principaux outils utilisés | arithmétique, espaces euclidiens, réduction |
Mots clefs | nombres premiers, produit scalaire, matrices semblables |
SESSION 2019 MPMA206 GP CONCOURS COMMUN INP ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP MATHÉMATIQUES 2 Jeudi2mai:8h-12h N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur dénoncé, il le signalera sur Sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont interdites Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants. 1/5 EXERCICE I Dans cet exercice "Algorithme de décomposition primaire d'un entier" (/nformatique pour tous), on se propose d'écrire un algorithme pour décomposer un entier en produit de nombres premiers. Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python. On sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code. On définit la valuation p-adique pour p nombre premier et n entier naturel non nul. Si p divise n, on note v,(n) le plus grand entier Æ tel que p\ divise n. Si p ne divise pas #, on pose v,(n) = 0. L'entier v,(n) s'appelle la valuation p-adique de n. Q1. Q2. Q3. Q4. Q5. Ecrire une fonction booléenne estPremier(n) qui prend en argument un entier naturel non nul n et qui renvoie le booléen True s1 n est premier et le booléen False sinon. On pourra utiliser le critère suivant : un entier n > 2 qui n'est divisible par aucun entier d>2 tel 2 . que d" < n, est premier. En déduire une fonction liste premiers (n)qui prend en argument un entier naturel non nul # et renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Pour calculer la valuation 2-adique de 40, on peut utiliser la méthode suivante : -- 40 est divisible par 2 et le quotient vaut 20 -- 20 est divisible par 2 et le quotient vaut 10 -- 10 est divisible par 2 et le quotient vaut 5 -- 5 n'est pas divisible par 2. La valuation 2-adique de 40 vaut donc 3. Écrire une fonction valuation p adique(n, p) non récursive qui implémente cet algorithme. Elle prend en arguments un entier naturel 7 non nul et un nombre premier p et renvoie la valuation p-adique de n. Par exemple, puisque 40-- 2°x5, valuation p adique(40, 2) renvoie 3,valuation p adique(40, 5) renvoie let valuation p adique(40, 7) renvoie 0. Ecrire une deuxième fonction cette fois-c1 récursive, val(n, p) qui renvoie la valuation p-adique de n. En déduire une fonction decomposition facteurs premiers(n) qui calcule la décomposition en facteurs premiers d'un entier n > 2. Cette fonction doit renvoyer la liste des couples (p, v,(n)) pour tous les nombres premiers p qui divisent n. Par exemple, decomposition facteurs premiers (40) renvoie la liste [[2, 3], [S5, 1]]. 2/5 EXERCICE II Soit E un espace euclidien muni d'un produit scalaire noté { , ). On note Lcl° = (X, X). Q6. Un endomorphisme " de Æ vérifiant, pour tout vecteur xeÆ, {u(x),x) =0, est-il nécessairement l'endomorphisme nul ? Q7. Étant donné un endomorphisme de E, on admet qu'il existe un unique endomorphisme v de E vérifiant : V(x, y)e E?, {u(x), y) ={x, v(y)). Démontrer l'équivalence des trois propriétés suivantes : 1. UOY = vou. 1. V(x y)e£E?, (u(x),u(y)}= (vx), v(y)) il. VXEeEËE, u(x)| = vo]. On pourra, par exemple, successivement prouver les implications : 1 Di, 1 il, 11 Di et 1 --1. PROBLÈME On s'intéresse dans ce problème, à travers divers exemples, à quelques méthodes pour prouver que deux matrices sont semblables. Par la suite, n désigne un entier naturel, n 2 2. Partie I -- Étude de quelques exemples Q8. Justifier que deux matrices de H,(R) qui sont semblables ont la même trace, le même rang, le même déterminant et le même polynôme caractéristique. Q9. On donne deux matrices : 1 1 1! 1 O0 0 A=|0 2 OjetB=|0 2 lI 0 0 2 0 0 2 Vérifier que ces deux matrices ont la même trace, le même déterminant, le même rang et le même polynôme caractéristique. Ces deux matrices sont-elles semblables ? (on pourra vérifier que l'une de ces matrices est diagonalisable). Ont-elles le même polynôme minimal ? Q10. On donne deux matrices : 0 1 1! 0 1 O0 A=|1 0 OletB=|I1 0 1. 2 1 O0 1 2 0 3/5 Q11. Q12. Q13. Q14. Q15. Etablir que ces deux matrices sont semblables par les deux méthodes suivantes : première méthode : en utilisant l'endomorphisme associé à À dans une base (e,,e,,e,) d'un espace vectoriel E et en cherchant, sans calculs, une nouvelle base de E ; deuxième méthode : en prouvant que le polynôme X°---3X---1 admet trois racines réelles distinctes (que l'on ne cherchera pas à déterminer) notées &, B et 7. Démontrer que toute matrice À EUR M,(R) de rang 1 est semblable à une matrice : [O0 0 . O0 a) d; u=|. | . . . |e MR). (0 0 . O0 a,) On pourra utiliser l'endomorphisme # canoniquement associé à la matrice À. Application : soit E un espace vectoriel de dimension #7 22 et un endomorphisme de E de rang 1 vérifiant vou # 0 , démontrer que est diagonalisable. On pourra calculer U*. Démontrer qu'une matrice symétrique à coefficients complexes n'est pas nécessairement diagonalisable. On donne une matrice À = 8 & & 8 D 8 © OE p OE où aet B sont deux nombres complexes non 8 & 8 bp nuls, différents et non opposés. Déterminer le rang de la matrice À et en déduire que 0 est valeur propre de À. Justifier que 2(a + B) et 2(a -- B) sont aussi valeurs propres de À. Préciser une base de vecteurs propres de À. Dans cette question, 1l est déconseillé de calculer le polynôme caractéristique de la matrice À. bp À a Démontrer que quels que soient les réels non nuls a, b et le réel À, les matrices À = ' | À À D et B = sont semblables. O0 À Partie II -- Démonstration d'un résultat On se propose de démontrer que deux matrices de Y,(R) qui sont semblables dans %,(C) sont semblables dans Y,(R). Soient À et B deux matrices de H,(R) semblables dans #,(C), il existe une matrice P inversible à coefficients complexes telle que B = PAP. Écrivons P=R+iS où R et S sont deux matrices à coefficients réels. 4/5 Q16. Démontrer que RB = AR et SB = AS. Q17. Justifier que la fonction x+ det(R+xS) est une fonction polynomiale non identiquement nulle et en déduire qu'il existe un réel x tel que la matrice À + xS soit inversible. Q18. Conclure que les matrices À et B sont semblables dans Y,(R). Q19. Application : démontrer que toute matrice À de YH,(R) de polynôme caractéristique X °+X 0 O0 0 est semblable à la matrice B=|0 O ]IÏ|. O0 --1 0 Partie III On s'intéresse dans cette question à la proposition F,, : « Deux matrices de H,(R) ayant à la fois le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal sont semblables dans 4, (R) ». Q20. En étudiant les différentes valeurs possibles pour le polynôme caractéristique et le même polynôme minimal, démontrer que la proposition À, est vraie pour n = 2. On admet qu'elle l'est également pour n =3. Q21. Démontrer que la proposition P, est fausse pour n=4. On pourra fournir deux matrices composées uniquement de 0 et de I. FIN 5/5
© Éditions H&K CCINP Maths 2 MP 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Théo Lenoir (ENS Ulm) ; il a été relu par Bertrand Wiel (enseignant en CPGE) et Florian Metzger (docteur en mathématiques). L'épreuve se compose de deux exercices et d'un problème, tous indépendants. · Le premier exercice concerne l'informatique pour tous et consiste à coder un algorithme retournant la décomposition d'un entier en facteurs premiers. · Le second exercice porte sur les espaces euclidiens. On y étudie quelques propriétés des endormorphismes antisymétriques et des endomorphismes normaux, c'est-à-dire qui commutent avec leur adjoint : l'adjoint d'un endomorphisme u t est l'endomorphisme associé à Mat u. · Le problème a pour thème la réduction et plus particulièrement les matrices semblables. Tout d'abord, on regarde des propriétés invariantes par similitude et on étudie quelques cas particuliers. On démontre également un critère de diagonalisabilité pour les endomorphismes de rang 1. On prouve également des conditions suffisantes pour que deux matrices soient semblables dans Mn (R) dans des cas particuliers. Enfin, on étudie une propriété reliant polynômes minimaux, polynômes caractéristiques et similitude, qui se révèle vraie en dimensions 2 et 3, mais fausse en dimension 4. Le sujet est plutôt court, assez facile et comporte quelques questions proches du cours. Le premier exercice permet de revoir efficacement le programme d'informatique. Le problème constitue une bonne révision du cours sur la réduction même si on y déplore un certain manque d'unité et d'originalité. © Éditions H&K Indications Exercice I 2 Se servir de la fonction estPremier. 4 Exploiter le fait que si p divise n, vp (n) = vp (n/p) + 1. 5 Utiliser la fonction liste_premiers pour obtenir la liste des nombres premiers entre 1 et n puis utiliser la fonction valuation_p_adique pour chaque nombre de la liste. Exercice II 6 Si la dimension n de E est supérieure à 2, noter (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de E et considérer v l'endomorphisme qui à e1 associe e2 , à e2 associe -e1 , et à ei associe 0 pour i > 3. 7 Pour iii = ii, penser à la formule de polarisation. Pour ii = i, calculer, pour (x, y) dans E2 , hx | v u(y)i. Problème 10 Pour la première méthode, regarder la matrice de u dans la base (e2 , e1 , e3 ). Pour la seconde méthode, calculer les polynômes caractéristiques de A et B. 11 Montrer que le noyau de u est de dimension n - 1 et regarder la matrice de u dans une base adaptée. 12 Trouver un polynôme de degré 2 qui annule u. i 1 13 Considérer la matrice M = . 1 -i t t 14 Vérifier que 1 1 1 1 et 1 -1 1 -1 sont des vecteurs propres de A. 1 0 15 Calculer PAP-1 pour P = . 0 b/a 16 Montrer que PB = AP et regarder les parties réelles et imaginaires des coefficients. 17 Utiliser la formule explicite du déterminant. Que vaut det(R + iS) ? 18 Utiliser le résultat de la question 17. 19 Montrer que A est diagonalisable et que B a pour polynôme caractéristique X3 +X. 20 Regarder le cas où le polynôme caractéristique est scindé à racines simples dans lequel on pourra utiliser le résultat de la question 18, puis le cas où il est de la forme (X - )2 . Montrer que est réel et penser à trigonaliser A et B. Utiliser ensuite le résultat de la question 15 pour le cas où aucune des deux matrices n'est une homothétie. 21 Chercher deux matrices triangulaires supérieures M vérifiant M2 = 0, une de rang 1 et une de rang 2. © Éditions H&K Exercice I 1 On commence par traiter le cas n = 1 : 1 n'est pas premier. Ensuiteon vérifie comme indiqué par l'énoncé si n est divisible par un entier entre 2 et n. Si ce n'est pas le cas, n est premier donc on renvoie True. def estPremier(n): if n == 1: return False for i in range (2, int(sqrt(n))+1): if n % i == 0: return False return True 2 Utilisons le résultat de la question précédente : on crée une liste vide, puis on parcourt les entiers entre 1 et n en ajoutant à la liste tous ceux qui sont premiers. def liste_premiers(n): L = [] for i in range (1, n+1): if estPremier(i): L.append(i) return L 3 On utilise la méthode donnée par l'énoncé : tant que n est divisible par p on effectue la division et on compte le nombre de divisions effectuées. def valuation_p_adique (n, p): valuation = 0 while n%p == 0: valuation += 1 n = n//p return valuation 4 Implémentons l'algorithme suivant : si p ne divise pas n, on renvoie 0. Sinon la valuation p-adique de n vaut 1 plus celle de n/p. On renvoie donc 1 + val(n/p, p). def val(n, p): if n%p != 0: return 0 return 1 + val(n//p, p) 5 On utilise les fonctions précédentes. On crée la liste des nombres premiers entre 1 et n. Ensuite pour tout p dans cette liste on calcule la valuation p-adique de n, et, si elle est non nulle, on ajoute la liste [p, vp (n)] à la liste résultat. def decomposition_facteurs_premiers(n): L = liste_premiers(n) T = [] for p in L: a = valuation_p_adique(n, p) if a != 0: T.append([p, a]) return T © Éditions H&K Exercice II 6 Soit u un endomorphisme vérifiant hu(x), xi = 0 pour tout x dans E. Si la dimension de E est 0 ou 1 alors u est l'endomorphisme nul. En effet si E est de dimension 0, alors tout endomorphisme de u est nul. Si E est de dimension 1, il existe une base orthonormée de E qu'on note (e1 ). Il existe R tel que u(e1 ) = e1 . Ainsi, 0 = hu(e1 ), e1 i = he1 , e1 i = On obtient u(e1 ) = 0, donc u est nul. Par contre si la dimension de E est supérieure ou égale à 2, le résultat n'est plus vrai. Notons B = (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de E. Considérons l'endomorphisme v défini par v(e1 ) = e2 v(e2 ) = -e1 v(ei ) = 0 et pour tout i [[ 3 ; n ]] Soit x dans E, en décomposant x dans la base B sous la forme x1 e1 + · · · + xn en avec (x1 , . . . , xn ) Rn on obtient par bilinéarité du produit scalaire : * + n n P P hv(x), xi = v xi ei , xj ej i=1 = = = * n P xi v(ei ), i=1 n P j=1 n P j=1 j=1 n P xj ej j=1 + hx1 e2 - x2 e1 , xj ej i x1 xj he2 , ej i - = x1 x2 - x1 x2 hv(x), xi = 0 n P j=1 x2 xj he1 , ej i Comme la famille (ei ) est une base, v(e1 ) = e2 6= 0 est non nul donc l'endomorphisme v est non nul. L'endomorphisme u n'est pas nécessairement nul. Les endomorphismes u de E qui vérifient pour tout x dans E l'égalité hu(x), xi = 0 sont exactement les endomorphismes dont la matrice dans une base orthonormale est antisymétrique. En effet notons (e1 , . . . , en ) une base orthonormale de E. Soit u un endomorphisme de E vérifiant pour tout x dans E hu(x), xi = 0. On pose M la matrice de u dans la base (e1 , . . . , en ). Soit (x, y) E2 . Par bilinéarité du produit scalaire, 0 = hu(x + y), x + yi = hu(x), xi + hu(x), yi + hu(y), xi + hu(y), yi 0 = hu(y), xi + hu(x), yi En particulier pour tout (i, j) {1, . . . , n}2 : Mi,j = hu(ej ), ei i = -hu(ei ), ej i = -Mi,j La matrice M est bien antisymétrique.