SESSION 2019 MPMA206
GP
CONCOURS
COMMUN
INP
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
MATHÉMATIQUES 2
Jeudi2mai:8h-12h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être
une erreur dénoncé, il le
signalera sur Sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.
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EXERCICE I
Dans cet exercice "Algorithme de décomposition primaire d'un entier"
(/nformatique pour tous), on
se propose d'écrire un algorithme pour décomposer un entier en produit de
nombres premiers.
Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python. On sera très
attentif à la rédaction
et notamment à l'indentation du code.
On définit la valuation p-adique pour p nombre premier et n entier naturel non
nul.
Si p divise n, on note v,(n) le plus grand entier Æ tel que p\ divise n.
Si p ne divise pas #, on pose v,(n) = 0.
L'entier v,(n) s'appelle la valuation p-adique de n.
Q1.
Q2.
Q3.
Q4.
Q5.
Ecrire une fonction booléenne estPremier(n) qui prend en argument un entier
naturel
non nul n et qui renvoie le booléen True s1 n est premier et le booléen False
sinon. On
pourra utiliser le critère suivant : un entier n > 2 qui n'est divisible par
aucun entier d>2 tel
2 .
que d" < n, est premier. En déduire une fonction liste premiers (n)qui prend en argument un entier naturel non nul # et renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Pour calculer la valuation 2-adique de 40, on peut utiliser la méthode suivante : -- 40 est divisible par 2 et le quotient vaut 20 -- 20 est divisible par 2 et le quotient vaut 10 -- 10 est divisible par 2 et le quotient vaut 5 -- 5 n'est pas divisible par 2. La valuation 2-adique de 40 vaut donc 3. Écrire une fonction valuation p adique(n, p) non récursive qui implémente cet algorithme. Elle prend en arguments un entier naturel 7 non nul et un nombre premier p et renvoie la valuation p-adique de n. Par exemple, puisque 40-- 2°x5, valuation p adique(40, 2) renvoie 3,valuation p adique(40, 5) renvoie let valuation p adique(40, 7) renvoie 0. Ecrire une deuxième fonction cette fois-c1 récursive, val(n, p) qui renvoie la valuation p-adique de n. En déduire une fonction decomposition facteurs premiers(n) qui calcule la décomposition en facteurs premiers d'un entier n > 2.
Cette fonction doit renvoyer la liste des couples (p, v,(n)) pour tous les
nombres premiers p
qui divisent n.
Par exemple, decomposition facteurs premiers (40) renvoie la liste [[2, 3],
[S5, 1]].
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EXERCICE II
Soit E un espace euclidien muni d'un produit scalaire noté { , ).
On note Lcl° = (X, X).
Q6. Un endomorphisme " de Æ vérifiant, pour tout vecteur xeÆ, {u(x),x) =0,
est-il
nécessairement l'endomorphisme nul ?
Q7. Étant donné un endomorphisme de E, on admet qu'il existe un unique
endomorphisme v de
E vérifiant : V(x, y)e E?, {u(x), y) ={x, v(y)).
Démontrer l'équivalence des trois propriétés suivantes :
1. UOY = vou.
1. V(x y)e£E?, (u(x),u(y)}= (vx), v(y))
il. VXEeEËE, u(x)| = vo].
On pourra, par exemple, successivement prouver les implications :
1 Di, 1 il, 11 Di et 1 --1.
PROBLÈME
On s'intéresse dans ce problème, à travers divers exemples, à quelques méthodes
pour prouver que
deux matrices sont semblables.
Par la suite, n désigne un entier naturel, n 2 2.
Partie I -- Étude de quelques exemples
Q8. Justifier que deux matrices de H,(R) qui sont semblables ont la même trace,
le même rang, le
même déterminant et le même polynôme caractéristique.
Q9. On donne deux matrices :
1 1 1! 1 O0 0
A=|0 2 OjetB=|0 2 lI
0 0 2 0 0 2
Vérifier que ces deux matrices ont la même trace, le même déterminant, le même
rang et le
même polynôme caractéristique.
Ces deux matrices sont-elles semblables ? (on pourra vérifier que l'une de ces
matrices est
diagonalisable).
Ont-elles le même polynôme minimal ?
Q10. On donne deux matrices :
0 1 1! 0 1 O0
A=|1 0 OletB=|I1 0 1.
2 1 O0 1 2 0
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Q11.
Q12.
Q13.
Q14.
Q15.
Etablir que ces deux matrices sont semblables par les deux méthodes suivantes :
première méthode : en utilisant l'endomorphisme associé à À dans une base
(e,,e,,e,) d'un
espace vectoriel E et en cherchant, sans calculs, une nouvelle base de E ;
deuxième méthode : en prouvant que le polynôme X°---3X---1 admet trois racines
réelles
distinctes (que l'on ne cherchera pas à déterminer) notées &, B et 7.
Démontrer que toute matrice À EUR M,(R) de rang 1 est semblable à une matrice :
[O0 0 . O0 a)
d;
u=|. | . . . |e MR).
(0 0 . O0 a,)
On pourra utiliser l'endomorphisme # canoniquement associé à la matrice À.
Application : soit E un espace vectoriel de dimension #7 22 et un endomorphisme
de E de
rang 1 vérifiant vou # 0 , démontrer que est diagonalisable.
On pourra calculer U*.
Démontrer qu'une matrice symétrique à coefficients complexes n'est pas
nécessairement
diagonalisable.
On donne une matrice À =
8 & &
8 D 8 ©
OE
p
OE
où aet B sont deux nombres complexes non
8 & 8
bp
nuls, différents et non opposés.
Déterminer le rang de la matrice À et en déduire que 0 est valeur propre de À.
Justifier que 2(a + B) et 2(a -- B) sont aussi valeurs propres de À.
Préciser une base de vecteurs propres de À.
Dans cette question, 1l est déconseillé de calculer le polynôme caractéristique
de la matrice À.
bp
À a
Démontrer que quels que soient les réels non nuls a, b et le réel À, les
matrices À = ' |
À
À D
et B = sont semblables.
O0 À
Partie II -- Démonstration d'un résultat
On se propose de démontrer que deux matrices de Y,(R) qui sont semblables dans
%,(C) sont
semblables dans Y,(R).
Soient À et B deux matrices de H,(R) semblables dans #,(C), il existe une
matrice P inversible à
coefficients complexes telle que B = PAP. Écrivons P=R+iS où R et S sont deux
matrices à
coefficients réels.
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Q16. Démontrer que RB = AR et SB = AS.
Q17. Justifier que la fonction x+ det(R+xS) est une fonction polynomiale non
identiquement
nulle et en déduire qu'il existe un réel x tel que la matrice À + xS soit
inversible.
Q18. Conclure que les matrices À et B sont semblables dans Y,(R).
Q19. Application : démontrer que toute matrice À de YH,(R) de polynôme
caractéristique X °+X
0 O0 0
est semblable à la matrice B=|0 O ]IÏ|.
O0 --1 0
Partie III
On s'intéresse dans cette question à la proposition F,, :
« Deux matrices de H,(R) ayant à la fois le même polynôme caractéristique et le
même polynôme
minimal sont semblables dans 4, (R) ».
Q20. En étudiant les différentes valeurs possibles pour le polynôme
caractéristique et le même
polynôme minimal, démontrer que la proposition À, est vraie pour n = 2.
On admet qu'elle l'est également pour n =3.
Q21. Démontrer que la proposition P, est fausse pour n=4. On pourra fournir
deux matrices
composées uniquement de 0 et de I.
FIN
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