CCP Maths 2 MP 2019

Thème de l'épreuve Algorithme de décomposition primaire d'un entier, adjoint d'un endomorphisme et matrices semblables
Principaux outils utilisés arithmétique, espaces euclidiens, réduction
Mots clefs nombres premiers, produit scalaire, matrices semblables

Corrigé

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 CCINP Maths 2 MP 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Théo Lenoir (ENS Ulm) ; il a été relu par Bertrand Wiel (enseignant en CPGE) et Florian Metzger (docteur en mathématiques). L'épreuve se compose de deux exercices et d'un problème, tous indépendants. · Le premier exercice concerne l'informatique pour tous et consiste à coder un algorithme retournant la décomposition d'un entier en facteurs premiers. · Le second exercice porte sur les espaces euclidiens. On y étudie quelques propriétés des endormorphismes antisymétriques et des endomorphismes normaux, c'est-à-dire qui commutent avec leur adjoint : l'adjoint d'un endomorphisme u t est l'endomorphisme associé à Mat u. · Le problème a pour thème la réduction et plus particulièrement les matrices semblables. Tout d'abord, on regarde des propriétés invariantes par similitude et on étudie quelques cas particuliers. On démontre également un critère de diagonalisabilité pour les endomorphismes de rang 1. On prouve également des conditions suffisantes pour que deux matrices soient semblables dans Mn (R) dans des cas particuliers. Enfin, on étudie une propriété reliant polynômes minimaux, polynômes caractéristiques et similitude, qui se révèle vraie en dimensions 2 et 3, mais fausse en dimension 4. Le sujet est plutôt court, assez facile et comporte quelques questions proches du cours. Le premier exercice permet de revoir efficacement le programme d'informatique. Le problème constitue une bonne révision du cours sur la réduction même si on y déplore un certain manque d'unité et d'originalité. Indications Exercice I 2 Se servir de la fonction estPremier. 4 Exploiter le fait que si p divise n, vp (n) = vp (n/p) + 1. 5 Utiliser la fonction liste_premiers pour obtenir la liste des nombres premiers entre 1 et n puis utiliser la fonction valuation_p_adique pour chaque nombre de la liste. Exercice II 6 Si la dimension n de E est supérieure à 2, noter (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de E et considérer v l'endomorphisme qui à e1 associe e2 , à e2 associe -e1 , et à ei associe 0 pour i > 3. 7 Pour iii = ii, penser à la formule de polarisation. Pour ii = i, calculer, pour (x, y) dans E2 , hx | v u(y)i. Problème 10 Pour la première méthode, regarder la matrice de u dans la base (e2 , e1 , e3 ). Pour la seconde méthode, calculer les polynômes caractéristiques de A et B. 11 Montrer que le noyau de u est de dimension n - 1 et regarder la matrice de u dans une base adaptée. 12 Trouver un polynôme de degré 2 qui annule u. i 1 13 Considérer la matrice M = . 1 -i t t 14 Vérifier que 1 1 1 1 et 1 -1 1 -1 sont des vecteurs propres de A. 1 0 15 Calculer PAP-1 pour P = . 0 b/a 16 Montrer que PB = AP et regarder les parties réelles et imaginaires des coefficients. 17 Utiliser la formule explicite du déterminant. Que vaut det(R + iS) ? 18 Utiliser le résultat de la question 17. 19 Montrer que A est diagonalisable et que B a pour polynôme caractéristique X3 +X. 20 Regarder le cas où le polynôme caractéristique est scindé à racines simples dans lequel on pourra utiliser le résultat de la question 18, puis le cas où il est de la forme (X - )2 . Montrer que est réel et penser à trigonaliser A et B. Utiliser ensuite le résultat de la question 15 pour le cas où aucune des deux matrices n'est une homothétie. 21 Chercher deux matrices triangulaires supérieures M vérifiant M2 = 0, une de rang 1 et une de rang 2. Exercice I 1 On commence par traiter le cas n = 1 : 1 n'est pas premier. Ensuiteon vérifie comme indiqué par l'énoncé si n est divisible par un entier entre 2 et n. Si ce n'est pas le cas, n est premier donc on renvoie True. def estPremier(n): if n == 1: return False for i in range (2, int(sqrt(n))+1): if n % i == 0: return False return True 2 Utilisons le résultat de la question précédente : on crée une liste vide, puis on parcourt les entiers entre 1 et n en ajoutant à la liste tous ceux qui sont premiers. def liste_premiers(n): L = [] for i in range (1, n+1): if estPremier(i): L.append(i) return L 3 On utilise la méthode donnée par l'énoncé : tant que n est divisible par p on effectue la division et on compte le nombre de divisions effectuées. def valuation_p_adique (n, p): valuation = 0 while n%p == 0: valuation += 1 n = n//p return valuation 4 Implémentons l'algorithme suivant : si p ne divise pas n, on renvoie 0. Sinon la valuation p-adique de n vaut 1 plus celle de n/p. On renvoie donc 1 + val(n/p, p). def val(n, p): if n%p != 0: return 0 return 1 + val(n//p, p) 5 On utilise les fonctions précédentes. On crée la liste des nombres premiers entre 1 et n. Ensuite pour tout p dans cette liste on calcule la valuation p-adique de n, et, si elle est non nulle, on ajoute la liste [p, vp (n)] à la liste résultat. def decomposition_facteurs_premiers(n): L = liste_premiers(n) T = [] for p in L: a = valuation_p_adique(n, p) if a != 0: T.append([p, a]) return T Exercice II 6 Soit u un endomorphisme vérifiant hu(x), xi = 0 pour tout x dans E. Si la dimension de E est 0 ou 1 alors u est l'endomorphisme nul. En effet si E est de dimension 0, alors tout endomorphisme de u est nul. Si E est de dimension 1, il existe une base orthonormée de E qu'on note (e1 ). Il existe R tel que u(e1 ) = e1 . Ainsi, 0 = hu(e1 ), e1 i = he1 , e1 i = On obtient u(e1 ) = 0, donc u est nul. Par contre si la dimension de E est supérieure ou égale à 2, le résultat n'est plus vrai. Notons B = (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de E. Considérons l'endomorphisme v défini par v(e1 ) = e2 v(e2 ) = -e1 v(ei ) = 0 et pour tout i [[ 3 ; n ]] Soit x dans E, en décomposant x dans la base B sous la forme x1 e1 + · · · + xn en avec (x1 , . . . , xn ) Rn on obtient par bilinéarité du produit scalaire : * + n n P P hv(x), xi = v xi ei , xj ej i=1 = = = * n P xi v(ei ), i=1 n P j=1 n P j=1 j=1 n P xj ej j=1 + hx1 e2 - x2 e1 , xj ej i x1 xj he2 , ej i - = x1 x2 - x1 x2 hv(x), xi = 0 n P j=1 x2 xj he1 , ej i Comme la famille (ei ) est une base, v(e1 ) = e2 6= 0 est non nul donc l'endomorphisme v est non nul. L'endomorphisme u n'est pas nécessairement nul. Les endomorphismes u de E qui vérifient pour tout x dans E l'égalité hu(x), xi = 0 sont exactement les endomorphismes dont la matrice dans une base orthonormale est antisymétrique. En effet notons (e1 , . . . , en ) une base orthonormale de E. Soit u un endomorphisme de E vérifiant pour tout x dans E hu(x), xi = 0. On pose M la matrice de u dans la base (e1 , . . . , en ). Soit (x, y) E2 . Par bilinéarité du produit scalaire, 0 = hu(x + y), x + yi = hu(x), xi + hu(x), yi + hu(y), xi + hu(y), yi 0 = hu(y), xi + hu(x), yi En particulier pour tout (i, j) {1, . . . , n}2 : Mi,j = hu(ej ), ei i = -hu(ei ), ej i = -Mi,j La matrice M est bien antisymétrique.