CCP Maths 2 MP 2018

Thème de l'épreuve Réduction de produits tensoriels de matrices
Principaux outils utilisés espaces euclidiens, probabilités, réduction
Mots clefs produit tensoriel, loi de Poisson, paradoxe des anniversaires, matrices par blocs

Corrigé

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SESSION 2018 ! ! ! MPMA206 ! ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" MATHÉMATIQUES 2 Jeudi 3 mai : 8 h - 12 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la !"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+ /'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+ a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" " ! ! ! ! ! ! Les calculatrices sont interdites ! ! ! ! Le sujet est composé de deux exercices et dun problème, tous indépendants. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/6 ! EXERCICE I On note E lespace vectoriel des applications continues sur le segment ! #1,1" et à valeurs réelles. Q1. Démontrer que lon définit un produit scalaire sur E en posant pour f et g éléments de E : $ f g % & '#1 f $ t % g $ t % dt. 1 Q2. On note u : t ! 1, v : t ! t et F & vect (u , v) , déterminer une base orthonormée de F. Q3. Déterminer le projeté orthogonal de la fonction w : t ! et sur le sous-espace F et en déduire $ % 2 , + 1 inf 2 . ' et # $ a - bt % dt / . $ a ,b %*" 0 #1 1 On pourra simplifier les calculs en utilisant le théorème de Pythagore. la valeur du réel EXERCICE II Dans cet exercice, n est un entier tel que n 2 2. Q4. Question préliminaire Soient un réel 0 4 3 4 1 et $ X n %n21 une suite de variables aléatoires qui suivent chacune une loi binomiale de paramètres n et p & 3 n . n # k - 1, + n n #1 lim . .... & 1 et déterminer n5 -6 0 n n n /1 lim P $ X n & k % . On convient alors dapproximer pour n 2 50, p 7 0, 01 et np 4 10 la loi Justifier que, pour tout entier k 2 1, n5-6 binomiale de paramètres n et p par la loi de Poisson de paramètre 3 & np. Q5. Un examinateur interroge à loral du concours CCP n candidats tous nés en 1998. On suppose que les dates de naissances des n candidats sont uniformément réparties sur les 365 jours de lannée 1998. On note X n la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui sont convoqués le jour de leur anniversaire. Déterminer la loi de la variable X n et donner son espérance. Q6. Dans le cas où lexaminateur interroge 219 candidats, donner une estimation de la probabilité que deux étudiants soient convoqués le jour de leur anniversaire. Prendre 0,55 comme valeur approchée de e # 0,6 . 2/6 PROBLÈME On note, pour n entier tel que n 2 2, Mn $ " % lespace vectoriel des matrices carrées dordre n à coefficients réels. On sintéresse dans ce problème, à travers divers exemples, à la réduction de 8 aA bA 9 matrices par blocs du type : ; * M2n $ " % où A* Mn $ " % et a, b, c, d sont quatre réels non < cA dA = tous nuls. On rappelle quun produit de matrices par blocs se fait de manière similaire à un produit classique : 8 A B 98 A> B> 9 8 AA> - BC > AB> - BD> 9 : ;: ;&: ; (chaque matrice bloc étant une matrice de Mn $ " % ). < C D =< C > D> = < CA> - DC > CB> - DD> = On pourra utiliser sans démonstration que si P * GLn $ " % , A et B sont deux matrices de Mn $ " % et si T est un polynôme, A & P #1BP ? T $ A % & P #1T $ B % P. 8 A B9 On rappelle que si A, B, C sont des matrices de Mn $ " % , det : ; & det A.det C. <0 C= Questions préliminaires Lobjectif est de démontrer le résultat suivant : "une matrice M * Mn $ " % est diagonalisable sur " si et seulement sil existe un polynôme P scindé sur " , à racines simples, vérifiant P $ M % & 0 ". Pour cela on considère une matrice M * Mn $ " % et on note u lendomorphisme de " n canoniquement associé à M. Q7. On suppose que u est diagonalisable et on note 31 , 32 ,..., 3 p $ p 2 1% les valeurs propres $ % distinctes de u. Démontrer que le polynôme P & $ X # 31 %$ X # 32 % .... X # 3 p est annulateur de u. Q8. Réciproquement, on suppose que @1 , @2 ,..., @r sont r nombres réels distincts $ r 2 1% tels que Q & $ X # @1 %$ X # @2 % .... $ X # @r % est un polynôme annulateur de u. En utilisant le lemme des noyaux, démontrer que u est diagonalisable sur " et que le spectre de u est inclus dans lensemble (@1 , @2 ,..., @r ) . 3/6 !a b " Un exemple où la matrice # $ est diagonalisable sur ! %c d & 2" ! 4 Q9. On suppose que V ' # $ . Démontrer que V est diagonalisable sur ! et donner une % ( 3 ( 1& !) * " matrice inversible que lon notera P ' # $ et une matrice diagonale D vérifiant : %+ , & V ' PDP (1 (on précisera P (1 ). !) I Q10. Soit A/ Mn - ! . . On pose alors la matrice par blocs Q ' # n % + In * In " . Justifier que la , I n $& matrice Q est inversible, donner la matrice Q (1 et démontrer que la matrice ! 4A 2A" !A 0 " # $ / M2 n - ! . est semblable à la matrice B ' # $ / M2 n - ! . . % (3 A ( A & % 0 2A& Q11. On suppose que la matrice A est diagonalisable sur !, ce qui signifie quil existe une matrice R inversible et une matrice 0 diagonale telles que A ' R0R (1. Calculer le produit de ! R (1 0 " ! R 0 " matrices par blocs : # . $B # 0 R (1 $ #% 0 R $& % & ! 4A 2A" Que peut-on en déduire pour la matrice # $? % (3 A ( A & Q12. On se propose de démontrer la réciproque du résultat précédent. On suppose que la matrice ! 4A 2A" # $ est diagonalisable. Soit T un polynôme scindé à racines simples annulateur de % (3 A ( A & cette matrice, calculer T - A . . Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matrice A ! 4A 2A" pour que la matrice # $ soit diagonalisable. % (3 A ( A & !a b " Un exemple où la matrice # $ est trigonalisable sur ! %c d & ! 3 (2 " Q13. Démontrer que la matrice E ' # $ est trigonalisable sur ! et donner une matrice % 2 (1 & ! 1 (2 " (1 inversible P telle que E ' P # $P . %0 1 & ! 3 A (2 A " Q14. A/ Mn - ! . , démontrer que la matrice # $ % 2A (A & ! A (2 A " F '# $. A & %0 4/6 est semblable à la matrice Q15. On suppose que la matrice F est diagonalisable sur !. Soit U / ! 1 X 2 un polynôme annulateur de F, scindé sur ! et à racines simples. On note U 3 le polynôme dérivé de U. ! U - A . (2 AU 3 - A . " Démontrer que # $ / M2 n - ! . est la matrice nulle. 0 U A . % & Q16. Vérifier que le polynôme minimal de la matrice A est X. En déduire la valeur de la matrice A. Q17. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matrice A pour que la matrice ! 3 A (2 A " # $ soit diagonalisable. % 2A (A & Q18. On suppose que la matrice F est trigonalisable sur !. Exprimer le polynôme caractéristique de F en fonction de celui de A. En déduire que F est trigonalisable sur ! si et seulement si A est trigonalisable sur !. ! 3 A (2 A " Q19. Donner un exemple de matrice A/ M2 - ! . telle que la matrice # $ / M4 - ! . ne % 2A (A & soit pas trigonalisable sur !. Applications Q20. Soit u un endomorphisme de ! 4 dont la matrice dans la base canonique - e1 , e2 , e3 , e4 . de !1 3 2 6" # $ 2 2 4 4$ . ! 4 est M ' # # 2 6 1 3$ # $ % 4 4 2 2& Déterminer deux sous-espaces vectoriels de dimension 2 stables par u. On pourra sinspirer de la question Q10. Q21. En adaptant la démarche présentée dans le premier exemple de ce problème (page 4), !4 0 2 0" # $ 0 4 0 2$ # démontrer que la matrice M ' est diagonalisable sur !. Déterminer une #2 0 4 0$ # $ %0 2 0 4& matrice D diagonale et une matrice P inversible telles que M ' PDP (1 . Q22. Utiliser la question Q21 pour donner les solutions du système différentiel de fonctions inconnues x1 , x2 , x3 , x4 de la variable réelle t : 5 x13 ' 4 x1 4 2 x3 6 6 x23 ' 4 x2 4 2 x4 7 6 x33 ' 2 x1 4 4 x3 86 x43 ' 2 x2 4 4 x4 (on ne demande pas de détails). 5/6 &a ' ( ) b Q23. Sachant que la solution ! sur ! du système différentiel X " # MX vérifiant ! $ 0 % # ( ) est (c ) ( ) *d + &a ' ( ) b la fonction t " etM ( ) où etM désigne lexponentielle de la matrice tM , déterminer la (c ) ( ) *d + matrice e M . FIN 6/6

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 CCP Maths 2 MP 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Théo Lenoir (ENS Ulm) ; il a été relu par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l'université) et Benjamin Monmege (enseignantchercheur à l'université). L'épreuve se compose de deux exercices et d'un problème, tous indépendants. · Le premier exercice demande de mener des calculs : dans l'espace des fonctions continues sur [ -1 ; 1 ] muni de son produit scalaire usuel, on cherche le projeté orthogonal de l'exponentielle sur le sous-espace des fonctions polynomiales de degré 1. · Le second exercice porte sur les probabilités. Il consiste à vérifier que l'on peut approximer des variables binomiales de paramètres n et p par des variables de Poisson de paramètre np sous certaines hypothèses. · Le problème a pour thème la réduction. Il est assez calculatoire et traite des produits tensoriels de matrices (ce qui revient à multiplier chaque coefficient d'une matrice par une même matrice). Tout d'abord, on montre l'équivalence entre la diagonalisabilité sur R d'une matrice et le fait qu'elle annule un polynôme scindé à racines simples. On étudie ensuite la diagonalisabilité en fonction de la matrice A de la matrice définie par blocs 4A 2A -3 A A puis la diagonalisabilité et la trigonalisabilité en fonction de la matrice A de 3 A -2 A 2 A -A Enfin, on réutilise les techniques précédentes pour trouver des plans stables par des endomorphismes, et même calculer une exponentielle de matrice. Le sujet est abordable et contient quelques questions proches du cours. C'est un très bon entraînement technique, car il comporte de nombreux calculs. Le problème constitue une bonne révision du cours sur la réduction et une introduction aux produits tensoriels de matrices. Il est néanmoins assez répétitif. Indications Exercice I 2 On pourra remarquer que u et v sont orthogonaux. 3 Utiliser la formule du projeté orthogonal sur un espace de dimension finie et exploiter la base orthonormale construite précédemment. Exercice II 4 Calculer la limite lorsque n tend vers + de nn-1 n-k+1 ... n n n Donner une expression de ce terme avec des factorielles. Utiliser l'expression explicite du coefficient binomial pour ensuite calculer lim P(Xn = k). n+ 5 Décomposer Xn comme une somme de variables aléatoires. Problème 7 Écrire la matrice de u dans une base adaptée. 8 Considérer une base adaptée à la décomposition. -In -In 10 Vérifier que Q-1 = et calculer Q B Q-1 . 3 In 2 In 11 Penser au résultat de la question précédente. 12 Utiliser les questions 10 puis 11. 14 Suivre la même méthode qu'à la question 10. 15 On vérifiera que pour tout polynôme P R[X] P(A) -2 A P (A) P(F) = 0 P(A) 16 17 18 19 20 21 22 23 On pourra le montrer dans un premier temps pour P = Xk pour tout entier naturel k, en procédant par récurrence. Poser T le polynôme minimal de A. Exploiter la question précédente afin d'obtenir des divisibilités. Utiliser la question précédente. Penser au fait qu'une matrice est trigonalisable sur R si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur R. Exploiter les questions 14 et 18 pour trouver une condition nécessaire et suffisante sur A pour que ce soit le cas, et trouver A la vérifiant. A 2A 1 -3 Observer que M = avec A = . 2A A 2 2 Il faut s'inspirer des questions 9 et 10. 4A 2A Observer que M = avec A = I2 . 2A 4A On pourra ensuite réemployer les techniques des questions 9 et 10. Poser, pour tout réel t, X(t) = x1 (t), x2 (t), x3 (t), x4 (t) et vérifier que X = M X. Trouver une équation différentielle simple vérifiée par la fonction P-1 X et la résoudre. Utiliser la question précédente. Exercice I 1 Si f et g sont continues sur le segment [ -1 ; 1 ] et à valeurs réelles, f g est continue sur le segment [ -1 ; 1 ] et à valeurs réelles, donc Z 1 (f | g) = f (t)g(t) dt -1 est bien défini. Pour vérifier que la forme (. | .) est un produit scalaire, montrons qu'elle est symétrique, bilinéaire et définie positive. Soient f , g et h continues sur le segment [ -1 ; 1 ] et à valeurs réelles. · La forme (. | .) est symétrique. En effet, Z 1 Z 1 (f | g) = f (t)g(t) dt = g(t)f (t) dt = (g | f ) -1 -1 · La forme (. | .) est bilinéaire. Pour la linéarité à gauche : Z 1 (f + g | h) = (f (t) + g(t))h(t) dt -1 1 = Z -1 Z f (t)h(t) dt + 1 g(t)h(t) dt -1 (f + g | h) = (f | h) + (g | h) Pour la linéarité à droite, utilisons la symétrie et la linéarité à gauche : (h | f + g) = (f + g | h) = (f | h) + (g | h) = (h | f ) + (h | g) · La forme (. | .) est positive. En effet, Z 1 (f | f ) = f (t)2 dt > 0 -1 · La forme (. | .) est définie : en effet f 2 > 0 et on sait que l'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si la fonction est nulle. Ainsi, (f | f ) est nul si et seulement si f est nulle. On en déduit que La forme (. | .) est un produit scalaire. Plus généralement, si a et b sont des réels tels que a < b, la forme (f | g) définie pour toutes fonctions continues f et g sur R et à valeurs réelles par l'intégrale de f g sur l'intervalle [ a ; b ] est un produit scalaire. Z 1 2 Par imparité, (u | v) = t dt = 0 -1 Ainsi, une base orthonormée de F est (u/kuk, v/kvk). Or, Z 1 Z 2 2 kuk = (u | u) = 1 dt = 2 et kvk = (v | v) = t3 t dt = 3 -1 -1 Une base orthonormée de F est 1 2 u 3v , . 2 2 1 -1 = 2 3 3 Notons p le projeté orthogonal sur F de la fonction exp. Comme on a déterminé une base orthonormée de F à la question précédente, on peut désormais calculer le projeté orthogonal de exp grâce à la formule suivante : u 3 v 3 v u 1 3 p = exp + exp = (u | exp) u + (v | exp) v 2 2 2 2 2 2 Z 1 1 1 Calculons (u | exp) = e t dt = [e t ]-1 = e - e -1 Par intégration par parties (on pose f (t) = e t , f (t) = e t , g(t) = t, g (t) = 1) : Z 1 Z 1 1 1 2 t t 1 (v | exp) = t e dt = [t e ]-1 - 1 e t dt = e + - e + = e e e -1 -1 De ceci, on déduit que Le projeté orthogonal de la fonction exponentielle vaut p = 1 1 3 e- u + v. 2 e e Remarquons que Inf (a,b)R2 Z 1 -1 2 e t - (a + bt) dt = Inf (exp - f | exp - f ) f F = (exp - p | exp - p) On cherche à calculer la norme de exp -p. Or, par définition du projeté orthogonal, exp -p est orthogonal à F, et donc normal à p. D'après le théorème de Pythagore, (exp - p | exp - p) + (p | p) = (exp | exp) Calculons d'abord (exp | exp) = Z 1 -1 e 2t e 2t dt = 2 1 -1 = e 2 - e -2 2 Calculons ensuite (p | p) en utilisant les différents calculs faits à la question 2 : 1 1 3 1 1 3 (p | p) = e- u+ v e- u+ v 2 e e 2 e e 3 2 2 1 1 1 1 3 = e- (u | u) + 2 e - (u | v) + (v | v) 4 e 2 e e e 3 2 2 1 1 2 = e- 2+ × 4 e e 3 e2 e -2 -1+ + 6 e -2 2 2 e2 13 e -2 (p | p) = + -1 2 2 On obtient alors (exp - p | exp - p) = (exp | exp) - (p | p) 2 e 2 - e -2 e 13e -2 7 = - + -1 =1- 2 2 2 2 e Z 1 2 7 En conclusion, Inf 2 e t - (a + bt) dt = 1 - 2 e (a,b)R -1 =