CCP Maths 2 MP 2017

Thème de l'épreuve Matrices stochastiques
Principaux outils utilisés probabilités conditionnelles, suites de matrices, diagonalisation, matrices nilpotentes, Python
Mots clefs chaîne de Markov, matrice stochastique

Corrigé

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SESSION 2017 MPMA206 ! ! ! EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! MATHEMATIQUES 2 Jeudi 4 mai : 8 h - 12 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la !"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+ /'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+ a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " ! ! ! ! ! ! Les calculatrices sont autorisées ! ! ! ! ! ! ! Le sujet est composé d'un seul problème. ! Notations · Dans tout le sujet, K désigne les corps R ou C, p désigne un entier supérieur ou égal à 2. On note Mp (K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans K. · On note Ip la matrice unité de Mp (K). · Si x = (x1 , . . . , xp ) est un vecteur de Kp , on note x sa norme «infinie» définie par : x = max{|xi | | i 1, p}. · On dit que x est un vecteur stochastique si ses coordonnées sont positives ou nulles et leur somme vaut 1 : p i 1, p, xi 0 et xi = 1. i=1 · Une matrice A = (ai,j ) de Mp (R) est dite stochastique si ses coefficients sont positifs ou nuls et si la somme des coefficients de chacune de ses lignes vaut 1, c'est-à-dire si : (i, j) 1, p2 , ai,j 0 et i 1, p, p ai,j = 1. j=1 · Une matrice A est dite strictement positive si tous ses coefficients sont strictement positifs. On note alors A > 0. · Si b1 , b2 , . . . , bk sont des nombres complexes (respectivement des matrices carrées), on note diag(b1 , b2 , . . . , bk ) la matrice diagonale (respectivement diagonale par blocs) dont les coefficients diagonaux (respectivement blocs diagonaux) sont b1 , b2 , . . . , bk . Objectifs Le sujet est constitué d'un seul problème qui traite de matrices stochastiques dans un contexte probabiliste de chaîne de Markov (partie I). On étudie le spectre d'une matrice stochastique A (partie II) et la suite des itérés de A (partie III). On introduit aussi la notion de probabilité invariante par A (partie IV), suivie de son calcul effectif par ordinateur (partie V). La partie I est indépendante des autres parties. La partie IV utilise les deux résultats démontrés dans les parties II et III. La partie V est une partie informatique liée à la partie IV, mais qui peut être traitée de manière indépendante. Partie I - Un exemple de chaîne de Markov Une particule possède deux états possibles numérotés 1 et 2 et peut passer de son état à l'état 1 ou 2 de façon aléatoire. On considère un espace probabilisé (, F, P ) sur lequel on définit pour tout n N, la variable aléatoire Xn égale à l'état de la particule au temps n. L'état de la particule au temps n + 1 dépend uniquement de son état au temps n selon les règles suivantes : · si au temps n la particule est dans l'état 1, au temps n + 1 elle passe à l'état 2 avec une 1 probabilité . 2 · si au temps n la particule est dans l'état 2, au temps n + 1, elle passe à l'état 1 avec une 1 probabilité . 4 1 On suppose que P (X0 = 1) = P (X0 = 2) = . 2 Q1. Déterminer en justifiant la loi de X1 . On pose µn = (P (Xn = 1), P (Xn = 2)) le vecteur ligne de R2 caractérisant la loi de Xn . Q2. Justifier la relation matricielle suivante : 1 2 n N, µn+1 = µn A avec A = 1 4 1 2 . 3 4 Q3. En déduire, à l'aide de la calculatrice, la loi de X5 (on demande les résultats arrondis au centième). Q4. Temps de premier accès à l'état 1 : on note T la variable aléatoire égale au plus petit entier n N tel que Xn = 1. Déterminer P (T = 1), puis P (T = k) pour tout entier k 2. Q5. Justifier que A est diagonalisable, puis donner, sans détailler les calculs, une matrice Q inversible à coefficients entiers telle que 1 A = Q diag 1, Q-1 . 4 Q6. Justifier que les applications M QM Q-1 et M µ0 M définies sur M2 (R) sont continues. Q7. En déduire la convergence de la suite de matrices (An )nN , puis de la suite de vecteurs lignes (µn )nN . Préciser les coefficients du vecteur ligne obtenu comme limite. La suite de variables aléatoires (Xn )nN est un cas particulier de variables aléatoires dont l'état à l'instant n + 1 ne dépend que de son état à l'instant n et pas des précédents. On dit alors que (Xn )nN est une chaîne de Markov. Plus généralement si (Xn )nN est une chaîne de Markov prenant ses valeurs dans 1, p, la loi des variables Xn est entièrement déterminée par la donnée de la loi de X0 et d'une matrice stochastique A de Mp (R). Si on pose maintenant µn = (P (Xn = 1), P (Xn = 2), . . . , P (Xn = p)), l'étude du comportement de la loi de Xn lorsque n est grand, se ramène alors à l'étude de la convergence de la suite (µn )nN vérifiant la relation de récurrence µn+1 = µn A. Cela conduit à l'étude de la suite de matrices (An )nN . C'est l'objet des parties suivantes. Partie II - Spectre d'une matrice stochastique Soit A une matrice stochastique de Mp (R). Q8. Justifier que 1 est valeur propre de A (on pourra considérer le vecteur colonne de Rp dont toutes les coordonnées valent 1). Q9. Q10. Soit x un vecteur colonne de Cp . Démontrer que Ax x . En déduire que si C est une valeur propre de A, on a || 1. Localisation des valeurs propres Soit C une valeur propre de A. Q11. Justifier l'existence d'un vecteur colonne x = (x1 , . . . , xp ) de Cp tel que x = 1 et Ax = x. Q12. Soit i 1, p tel que |xi | = 1. Démontrer que : | - ai,i | 1 - ai,i . Étude d'un exemple Q13. Dans cette question uniquement, on prend : 1 2 1 4 1 6 1 6 1 3 1 3 A= 1 4 4 6 1 3 . Déduire de la question précédente que les valeurs propres de A sont contenues dans la réunion de trois disques, que l'on représentera en précisant leurs centres et leurs rayons. On constate en particulier sur l'exemple que 1 est la seule valeur propre de A de module 1. On admettra, dans la suite du problème, que cette propriété reste vraie pour toute matrice stochastique strictement positive. Cas des matrices stochastiques strictement positives Q14. On suppose en plus pour cette question et la question suivante que la matrice A est strictement positive. On pose B = A - Ip et on note B la matrice de Mp-1 (R) obtenue en supprimant la dernière colonne et la dernière ligne de B. Soit C une valeur propre de B . On admet qu'il existe un entier i 1, p - 1 tel que : | - (ai,i - 1)| 1 - ai,i - ai,p . La démonstration (non demandée) de cette inégalité est similiaire à celle de la question Q12. Déduire de cette inégalité que B est inversible. Q15. En déduire que dim Ker(A - Ip ) = 1. On admet sans démonstration que 1 est racine simple du polynôme caractéristique de A. On dit alors que 1 est une valeur propre simple de A. Nous pouvons résumer les résultats de cette partie par la Proposition 1 ci-dessous. Proposition 1. Soit A une matrice stochastique de Mp (R) strictement positive. Alors 1 est valeur propre simple et les autres valeurs propres ont un module strictement inférieur à 1. Partie III - Itérées d'une matrice stochastique On démontre dans cette partie la proposition suivante : Proposition 2. Pour toute matrice A Mp (R), stochastique et strictement positive, la suite (An )nN converge dans Mp (R). Un contre-exemple Q16. On considère s la symétrie orthogonale de R2 par rapport à la droite d'équation y = x. Donner, sans justification, la matrice B de s dans la base canonique de R2 . Q17. La Proposition 2 reste-t-elle vraie si la matrice stochastique n'est pas strictement positive ? Résultat préliminaire Soit un nombre complexe avec || < 1 et N une matrice nilpotente de Mp (C). Q18. Q19. Démontrer que N p = 0. Soit k N. Justifier que pour n au voisinage de +, déduire la limite lorsque n tend vers + de Q20. n k est équivalent à nk . En k! n n-k . k En déduire que la suite de matrices ((Ip + N )n )nN converge vers la matrice nulle. Convergence d'une suite de matrices Soit A une matrice stochastique et strictement positive de Mp (R). On sait, d'après la Proposition 1, que 1 est valeur propre simple de A. Si 1 , . . . , r sont les autres valeurs propres complexes de A, un théorème du cours montre que A est semblable sur C à une matrice diagonale par blocs du type diag(1, 1 Ip1 + N1 , . . . , r Ipr + Nr ) , avec p1 , . . . , pr des entiers et N1 , . . . , Nr des matrices nilpotentes à coefficients complexes. Q21. Déduire des questions Q18 à Q20 que la suite (An )nN converge. Partie IV - Probabilité invariante par une matrice stochastique Définition. Soit A Mp (R) une matrice stochastique. On dit que A admet une probabilité invariante s'il existe un vecteur ligne stochastique µ Rp tel que µ A = µ (on dit alors que µ est une probabilité invariante par A). Le but de cette partie est de démontrer la propriété énoncée dans la Proposition 3 ci-dessous. Proposition 3. Soient A Mp (R) une matrice stochastique strictement positive et µ0 Rp un vecteur ligne stochastique. On note (µn )nN la suite de vecteurs lignes de Rp définie par la relation : n N, µn+1 = µn A. Alors, la suite (µn )nN converge vers un vecteur stochastique µ vérifiant µ = µ A. De plus, le vecteur µ est l'unique probabilité invariante par A (il ne dépend donc pas du choix de µ0 ). Soient A Mp (R) une matrice stochastique strictement positive et (µn )nN la suite définie ci-dessus. Q22. Démontrer que l'ensemble des vecteurs stochastiques de Rn est une partie fermée de Rn . Convergence de la suite Q23. Démontrer que la suite (µn )nN converge vers un vecteur µ vérifiant µ = µ A. Q24. Soit µ = (m1 , . . . , mp ) un vecteur ligne stochastique. Démontrer que µA est encore un vecteur stochastique. Q25. En déduire que µ est une probabilité invariante par A. Unicité de la probabilité invariante Q26. Lien avec le spectre de la transposée de A : soit µ Rp un vecteur ligne stochastique. Justifier que µ est une probabilité invariante pour A, si et seulement si le vecteur colonne t µ est un vecteur propre de t A associé à la valeur propre 1. Q27. Justifier, en utilisant la question Q15, que dim Ker(t A - Ip ) = 1. Q28. En déduire que A admet une unique probabilité invariante. Partie V - Informatique : calcul effectif de la probabilité invariante d'une matrice stochastique strictement positive Si A est une matrice stochastique strictement positive, on a établi dans la partie précédente la convergence de la suite (µn )nN associée à la matrice A. Ceci fournit un algorithme de calcul de la probabilité invariante par A. On en propose une implémentation en langage Python. On sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code. Un vecteur x de Rp sera représenté en Python par une liste de flottants. Par exemple, le vecteur x = (1, 2, 3) de R3 sera représenté par la liste [1,2,3]. De même, une matrice A sera représentée par une liste dont les éléments sont les lignes de la matrice. Par exemple, la matrice 1 2 3 A= sera représentée par la liste [ [1,2,3], [4,5,6] ]. 4 5 6 On exécute le script suivant A = [ [1,2,3], [4,5,6], [7,8,9], [10,11,12] ] qui 1 2 3 4 5 6 . représente la matrice A = 7 8 9 10 11 12 Q29. Donner les valeurs renvoyées lorsque l'on exécute len(A), A[1] et A[2][1]. Q30. Écrire une fonction difference qui prend en arguments deux vecteurs x et y de même taille et renvoie le vecteur x - y. Par exemple si x = (5, 2) et y = (3, 7), difference(x,y) renverra [2,-5]. Q31. Écrire une fonction norme qui prend en arguments un vecteur x = (x1 , . . . , xp ) et renvoie sa norme infinie x = max{|xi | | i 1, p} (on pourra utiliser librement la fonction abs qui renvoie la valeur absolue d'un nombre, mais on s'interdit l'utilisation de la fonction max déjà implémentée dans Python). Q32. Écrire une fonction itere qui prend en arguments un vecteur ligne x et une matrice A carrée de même taille que x et qui renvoie le vecteur xA. Par exemple si x = (1, 1) et 1 2 A= , on a xA = (5, 7) et donc itere(x,A) renverra [5,7]. 4 5 Q33. On a vu, dans la Partie IV, que si A est une matrice strictement positive, la suite de vecteurs lignes de Rp associée (µn )nN définie par la relation : n N, µn+1 = µn A convergeait vers un vecteur µ indépendant du choix de µ0 vecteur stochastique. Écrire une fonction probaInvariante qui prend en arguments une matrice stochastique strictement positive A de Mp (R) et un réel > 0 et qui renvoie le premier terme µk de la suite 1 1 1 (µn )nN avec µ0 = , ,..., tel que µk -µk-1 . On ne demandera pas à l'algorithme p p p de vérifier que la matrice passée en argument est bien stochastique et strictement positive. 1 1 2 2 et = 10-6 , Par exemple, si A = 1 3 4 4 probaInvariante(A,eps) renverra [0.33333396911621094, 0.6666660308837891]. FIN

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 CCP Maths 2 MP 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (professeur en CPGE) ; il a été relu par Quentin Guilmant (ENS Lyon) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université). Le sujet est constitué d'un seul problème qui traite de matrices stochastiques, c'est-à-dire de matrices carrées à coefficients réels positifs dont la somme vaut 1 à chaque ligne. Ces matrices interviennent en probabilités pour représenter des chaînes de Markov, qui sont des processus à temps discret dans lesquels le passage d'un état à un autre est régi par des probabilités indépendantes des états précédents. Ces objets sont étudiés en spécialité maths en TS et les résultats qui y sont admis trouveront un éclairage fort intéressant dans ce problème. · La première partie, indépendante du reste, donne un exemple de chaîne de Markov à deux états modélisée par une matrice stochastique A de taille 2. On diagonalise A pour calculer la limite de la suite de matrices (An )nN , ce qui fournit la probabilité limite de se trouver dans l'un ou l'autre des deux états. C'est le seul endroit du problème où les probabilités apparaissent. · La deuxième partie s'intéresse au spectre complexe d'une matrice stochastique. Elle nécessite de bien savoir manipuler vecteurs propres, normes et inégalités. Le seul résultat admis du problème concerne la dimension du sous-espace propre pour la valeur propre 1. · La troisième partie établit la convergence de la suite de matrices (An )nN pour toute matrice stochastique A strictement positive (aucun coefficient n'est nul). Elle fait intervenir des matrices nilpotentes et des matrices définies par blocs. · La quatrième partie décrit un processus limite pour obtenir une probabilité invariante par une matrice stochastique A strictement positive, c'est-à-dire un vecteur ligne µ représentant une distribution de probabilités et vérifiant µA = µ. Ce vecteur est unique. Un brin de topologie apparaît au cours des questions. · La cinquième partie met en oeuvre l'étude théorique précédente pour calculer avec Python une valeur approchée de la probabilité invariante d'une matrice stochastique strictement positive. Les matrices sont représentées par des listes de listes. Les questions de programmation se ramènent à utiliser les algorithmes de base du programme d'informatique commune de première année. Ce problème est excellemment bien calibré pour le concours CCP MP, les questions sont bien ciblées, ce qui permet à n'importe quel étudiant sérieux d'avancer à n'importe quel endroit du sujet. Aucune question n'est insurmontable. Toutefois, il faut faire attention à ne pas survoler les questions, se contenter d'affirmer des propriétés, ou mener des calculs sans fournir les arguments attendus, au risque de perdre énormément de points ! Indications Partie I 1 Employer la formule des probabilités totales pour calculer P(X1 = 1) avec le système complet d'événements {X0 = 1} et {X0 = 2}. De même pour P(X1 = 2). 2 Même technique qu'à la question 1 pour les rangs n et n + 1. 4 Exprimer l'événement {T = k} en fonction de X0 , X1 , . . . , Xk-1 . 6 Invoquer une propriété sur les applications linéaires. 7 La continuité des fonctions de la question 6 doit justifier des passages à la limite. Partie II 9 10 11 12 Majorer chaque composante de Ax avec l'inégalité triangulaire sur les sommes. Utiliser la question 9 avec un vecteur propre pour la valeur propre . Normaliser un vecteur propre. Pour le vecteur propre x de la question 11, isoler le terme ai,i xi de la somme définissant la ie composante de Ax. 14 En appliquant l'inégalité triangulaire renversée sur le membre de gauche de l'inégalité de la question, établir que || > ai,p > 0. 15 Montrer que le rang de A - Ip vaut p - 1. Partie III 18 Établir que le polynôme minimal de N vaut Xq avec q 6 p. 19 Rappelons la croissance comparées n = o(q n ) pour > 0 et q > 1. 20 Appliquer la formule du binôme de Newton et remarquer que la somme ne comporte que p termes. 21 Calculer la limite de chacun des blocs diagonaux de A élevés à la puissance n. Partie IV 22 Construire l'ensemble des vecteurs stochastiques de Rp (et non de Rn ) comme l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue. 23 24 25 27 28 L'existence de µ est justifiée comme à la question 7. Calculer les composantes de µ A puis les sommer. Montrer que µ est stochastique à l'aide des questions 24 puis 22. Se ramener à la question 15 grâce à l'invariance du rang par transposée. Considérer deux probabilités invariantes et utiliser les questions 26 et 27. Partie V 29 Les indices d'un tableau de longueur n sont compris entre 0 et n - 1. 31 Adapter l'algorithme de recherche d'un maximum vu en cours. 32 Essayer avec deux boucles for imbriquées : la première pour parcourir les composantes du vecteur résultat, la seconde pour calculer le produit ligne × colonne à stocker dans la composante concernée. 33 Utiliser une boucle while qui maintient l'invariant suivant : les variables muAvant et muApres contiennent respectivement µk-1 et µk avant le k e tour de boucle. I. Un exemple de chaîne de Markov 1 L'énoncé fournit les probabilités conditionnelles suivantes : P(X1 = 2 | X0 = 1) = 1 2 et P(X1 = 1 | X0 = 2) = 1 4 Puisque P(· | X0 = 1) et P(· | X0 = 2) sont des probabilités sur (, F ) et que les événements {X1 = 1} et {X1 = 2} sont complémentaires l'un de l'autre, on en déduit que 1 3 = 4 4 D'après la formule des probabilités totales avec le système complet {X0 = i} i=1,2 , P(X1 = 1 | X0 = 1) = 1 - 1 1 = 2 2 et P(X1 = 2 | X0 = 2) = 1 - P(X1 = 1) = P(X1 = 1 | X0 = 1) P(X0 = 1) + P(X1 = 1 | X0 = 2) P(X0 = 2) 3 1 1 1 1 = × + × = 2 2 4 2 8 et P(X1 = 2) = P(X1 = 2 | X0 = 1) P(X0 = 1) + P(X1 = 2 | X0 = 2) P(X0 = 2) 5 1 1 3 1 = × + × = 2 2 4 2 8 3 5 Remarquons également que P(X1 = 2) = 1 - P(X1 = 1) = 1 - = . 8 8 Conclusion : La loi de X1 est donnée par x P(X1 = x) 1 2 . 2 Soit n N. Les événements {Xn = 1} et {Xn = 2} forment un système complet d'événements. D'après la formule des probabilités totales, j {1, 2} P(Xn+1 = j) = P(Xn+1 = j | Xn = 1) P(Xn = 1) + P(Xn+1 = j | Xn = 2) P(Xn = 2) D'après l'énoncé, les probabilités conditionnelles de la formule précédente ne dépendent pas de n. Posons alors, avec les données de l'énoncé, a1,2 = P(Xn+1 = 2 | Xn = 1) = 1 2 et a2,1 = P(Xn+1 = 1 | Xn = 2) = 1 4 puis a1,1 = P(Xn+1 = 1 | Xn = 1) = 1 2 et a2,2 = P(Xn+1 = 2 | Xn = 2) = 3 4 La formule des probabilités totales se réécrit j {1, 2} d'où (µn+1 )1 Finalement, n N (µn+1 )j = a1,j (µn )1 + a2,j (µn )2 a a1,2 (µn+1 )2 = (µn )1 (µn )2 × 1,1 a2,1 a2,2 µn+1 = µn × A avec A = 1/2 1/2 1/4 3/4 Remarquons que la matrice A est stochastique. En effet, la ligne i correspond à la loi conditionnelle de Xn+1 sachant l'événement {Xn = i}. 3 D'après la relation de récurrence géométrique de la question 2, 5 1/2 1/2 5 µ5 = µ0 A = × 0,33 0,67 1/4 3/4 d'où La loi de X5 est donnée par 4 Écrivons x P(X5 = x) 1 0,33 2 . 0,67 {T = 1} = {X0 = 2} {X1 = 1} D'après la formule des probabilités conditionnelles, P(T = 1) = P(X0 = 2, X1 = 1) = P(X0 = 2) P(X1 = 1 | X0 = 2) 1 1 1 × = 2 4 8 k-1 T {T = k} = {Xi = 2} {Xk = 1} P(T = 1) = Pour k > 2, i=0 D'après la formule des probabilités composées, P(T = k) = P(X0 = 2) P(X1 = 2 | X0 = 2) P(X2 = 2 | X0 = 2, X1 = 2) · · · k-1 Q = P(X0 = 2) × P(Xi = 2 | X0 = · · · = Xi-1 = 2) i=1 × P(Xk = 1 | X0 = · · · = Xk-1 = 2) Or, l'état de la particule au rang i + 1 ne dépend que de son état au rang i N donc k-1 Q P(T = k) = P(X0 = 2) P(Xi = 2 | Xi-1 = 2) P(Xk = 1 | Xk-1 = 2) i=1 Q 3 1 1 k-1 1 3k-1 1 = · · = · k-1 · 2 4 2 4 4 i=1 4 soit k > 2 P(T = k) = 1 3 k · 6 4 (valable pour k = 1) Attention à ne pas invoquer une loi géométrique dans cette question, alors même qu'il s'agit de déterminer la loi du rang d'apparition d'un premier succès, ici « être dans l'état 1 ». En effet, l'expérience aléatoire ne se présente pas comme la répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes. 5 Calculons le polynôme caractéristique A de A : A = det(X I2 - A) = X - 1/2 -1/2 -1/4 X - 3/4 = (X - 1) 1 1 = C1 C1 +C2 X-1 X-1 -1/2 X - 3/4 -1/2 = (X - 1) (X - 3/4 + 1/2) X - 3/4 A = (X - 1)(X - 1/4) Ainsi, 1 et 1/4 sont les deux valeurs propres de la matrice A de taille 2, elles sont nécessairement simples d'où La matrice A est diagonalisable.