CCP Maths 2 MP 2017

Thème de l'épreuve Matrices stochastiques
Principaux outils utilisés probabilités conditionnelles, suites de matrices, diagonalisation, matrices nilpotentes, Python
Mots clefs chaîne de Markov, matrice stochastique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2017

MPMA206

!

!
!

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP!
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MATHEMATIQUES 2
Jeudi 4 mai : 8 h - 12 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
!"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+
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a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont autorisées
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Le sujet est composé d'un seul problème.
!

Notations
· Dans tout le sujet, K désigne les corps R ou C, p désigne un entier supérieur 
ou égal à 2.
On note Mp (K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à 
coefficients dans K.
· On note Ip la matrice unité de Mp (K).
· Si x = (x1 , . . . , xp ) est un vecteur de Kp , on note x sa norme «infinie» 
définie par :
x = max{|xi | |

i  1, p}.

· On dit que x est un vecteur stochastique si ses coordonnées sont positives ou 
nulles et
leur somme vaut 1 :
p
i  1, p, xi  0 et

xi = 1.

i=1

· Une matrice A = (ai,j ) de Mp (R) est dite stochastique si ses coefficients 
sont positifs ou
nuls et si la somme des coefficients de chacune de ses lignes vaut 1, 
c'est-à-dire si :
(i, j)  1, p2 , ai,j  0 et i  1, p,

p

ai,j = 1.

j=1

· Une matrice A est dite strictement positive si tous ses coefficients sont 
strictement positifs.
On note alors A > 0.
· Si b1 , b2 , . . . , bk sont des nombres complexes (respectivement des 
matrices carrées), on
note diag(b1 , b2 , . . . , bk ) la matrice diagonale (respectivement diagonale 
par blocs) dont
les coefficients diagonaux (respectivement blocs diagonaux) sont b1 , b2 , . . 
. , bk .

Objectifs

Le sujet est constitué d'un seul problème qui traite de matrices stochastiques 
dans un contexte
probabiliste de chaîne de Markov (partie I). On étudie le spectre d'une matrice 
stochastique A
(partie II) et la suite des itérés de A (partie III). On introduit aussi la 
notion de probabilité
invariante par A (partie IV), suivie de son calcul effectif par ordinateur 
(partie V).

La partie I est indépendante des autres parties. La partie IV utilise les deux 
résultats démontrés
dans les parties II et III. La partie V est une partie informatique liée à la 
partie IV, mais qui
peut être traitée de manière indépendante.

Partie I - Un exemple de chaîne de Markov

Une particule possède deux états possibles numérotés 1 et 2 et peut passer de 
son état à l'état
1 ou 2 de façon aléatoire. On considère un espace probabilisé (, F, P ) sur 
lequel on définit
pour tout n  N, la variable aléatoire Xn égale à l'état de la particule au 
temps n. L'état de la
particule au temps n + 1 dépend uniquement de son état au temps n selon les 
règles suivantes :
· si au temps n la particule est dans l'état 1, au temps n + 1 elle passe à 
l'état 2 avec une
1
probabilité .
2
· si au temps n la particule est dans l'état 2, au temps n + 1, elle passe à 
l'état 1 avec une
1
probabilité .
4

1
On suppose que P (X0 = 1) = P (X0 = 2) = .
2
Q1. Déterminer en justifiant la loi de X1 .

On pose µn = (P (Xn = 1), P (Xn = 2)) le vecteur ligne de R2 caractérisant la 
loi de Xn .

Q2.

Justifier la relation matricielle suivante :
1
2

n  N, µn+1 = µn A avec A = 

1

4

1
2

.

3
4

Q3. En déduire, à l'aide de la calculatrice, la loi de X5 (on demande les 
résultats arrondis au
centième).

Q4. Temps de premier accès à l'état 1 : on note T la variable aléatoire égale 
au plus petit
entier n  N tel que Xn = 1. Déterminer P (T = 1), puis P (T = k) pour tout 
entier k  2.

Q5. Justifier que A est diagonalisable, puis donner, sans détailler les 
calculs, une matrice Q
inversible à coefficients entiers telle que

1
A = Q diag 1,
Q-1 .
4

Q6. Justifier que les applications M  QM Q-1 et M  µ0 M définies sur M2 (R) sont
continues.

Q7. En déduire la convergence de la suite de matrices (An )nN , puis de la 
suite de vecteurs
lignes (µn )nN . Préciser les coefficients du vecteur ligne obtenu comme limite.

La suite de variables aléatoires (Xn )nN est un cas particulier de variables 
aléatoires dont l'état
à l'instant n + 1 ne dépend que de son état à l'instant n et pas des 
précédents. On dit alors
que (Xn )nN est une chaîne de Markov. Plus généralement si (Xn )nN est une 
chaîne de Markov
prenant ses valeurs dans 1, p, la loi des variables Xn est entièrement 
déterminée par la donnée
de la loi de X0 et d'une matrice stochastique A de Mp (R).

Si on pose maintenant µn = (P (Xn = 1), P (Xn = 2), . . . , P (Xn = p)), 
l'étude du comportement
de la loi de Xn lorsque n est grand, se ramène alors à l'étude de la 
convergence de la suite (µn )nN
vérifiant la relation de récurrence µn+1 = µn A. Cela conduit à l'étude de la 
suite de matrices
(An )nN . C'est l'objet des parties suivantes.

Partie II - Spectre d'une matrice stochastique

Soit A une matrice stochastique de Mp (R).

Q8. Justifier que 1 est valeur propre de A (on pourra considérer le vecteur 
colonne de Rp
dont toutes les coordonnées valent 1).

Q9.

Q10.

Soit x un vecteur colonne de Cp . Démontrer que Ax  x .
En déduire que si   C est une valeur propre de A, on a ||  1.

Localisation des valeurs propres

Soit   C une valeur propre de A.

Q11. Justifier l'existence d'un vecteur colonne x = (x1 , . . . , xp ) de Cp 
tel que x = 1 et
Ax = x.

Q12.

Soit i  1, p tel que |xi | = 1. Démontrer que :
| - ai,i |  1 - ai,i .

Étude d'un exemple

Q13.

Dans cette question uniquement, on prend :
1
 2

1
4

1
6

1
6

1
3

1
3

A=

1 
4 

4
6
1
3

.

Déduire de la question précédente que les valeurs propres de A sont contenues 
dans la réunion
de trois disques, que l'on représentera en précisant leurs centres et leurs 
rayons.

On constate en particulier sur l'exemple que 1 est la seule valeur propre de A 
de module 1.
On admettra, dans la suite du problème, que cette propriété reste vraie pour 
toute matrice
stochastique strictement positive.

Cas des matrices stochastiques strictement positives

Q14. On suppose en plus pour cette question et la question suivante que la 
matrice A est
strictement positive. On pose B = A - Ip et on note B  la matrice de Mp-1 (R) 
obtenue en
supprimant la dernière colonne et la dernière ligne de B.

Soit   C une valeur propre de B  .

On admet qu'il existe un entier i  1, p - 1 tel que :
| - (ai,i - 1)|  1 - ai,i - ai,p .

La démonstration (non demandée) de cette inégalité est similiaire à celle de la 
question Q12.

Déduire de cette inégalité que B  est inversible.

Q15.

En déduire que dim Ker(A - Ip ) = 1.

On admet sans démonstration que 1 est racine simple du polynôme caractéristique 
de A. On
dit alors que 1 est une valeur propre simple de A. Nous pouvons résumer les 
résultats de cette
partie par la Proposition 1 ci-dessous.

Proposition 1. Soit A une matrice stochastique de Mp (R) strictement positive. 
Alors 1 est
valeur propre simple et les autres valeurs propres ont un module strictement 
inférieur à 1.

Partie III - Itérées d'une matrice stochastique

On démontre dans cette partie la proposition suivante :

Proposition 2. Pour toute matrice A  Mp (R), stochastique et strictement 
positive, la suite
(An )nN converge dans Mp (R).

Un contre-exemple

Q16. On considère s la symétrie orthogonale de R2 par rapport à la droite 
d'équation y = x.
Donner, sans justification, la matrice B de s dans la base canonique de R2 .

Q17. La Proposition 2 reste-t-elle vraie si la matrice stochastique n'est pas 
strictement
positive ?

Résultat préliminaire

Soit  un nombre complexe avec || < 1 et N une matrice nilpotente de Mp (C).

Q18.

Q19.

Démontrer que N p = 0.
Soit k  N. Justifier que pour n au voisinage de +,

déduire la limite lorsque n tend vers + de

Q20.

n
k

est équivalent à

nk
. En
k!

n n-k
 .
k

En déduire que la suite de matrices ((Ip + N )n )nN converge vers la matrice 
nulle.

Convergence d'une suite de matrices

Soit A une matrice stochastique et strictement positive de Mp (R). On sait, 
d'après la Proposition 1, que 1 est valeur propre simple de A. Si 1 , . . . , r 
sont les autres valeurs propres
complexes de A, un théorème du cours montre que A est semblable sur C à une 
matrice diagonale par blocs du type
diag(1, 1 Ip1 + N1 , . . . , r Ipr + Nr ) ,

avec p1 , . . . , pr des entiers et N1 , . . . , Nr des matrices nilpotentes à 
coefficients complexes.

Q21.

Déduire des questions Q18 à Q20 que la suite (An )nN converge.

Partie IV - Probabilité invariante par une matrice stochastique

Définition. Soit A  Mp (R) une matrice stochastique. On dit que A admet une 
probabilité
invariante s'il existe un vecteur ligne stochastique µ  Rp tel que µ A = µ (on 
dit alors que µ
est une probabilité invariante par A).

Le but de cette partie est de démontrer la propriété énoncée dans la 
Proposition 3 ci-dessous.

Proposition 3. Soient A  Mp (R) une matrice stochastique strictement positive 
et µ0  Rp
un vecteur ligne stochastique. On note (µn )nN la suite de vecteurs lignes de 
Rp définie par la
relation : n  N, µn+1 = µn A. Alors, la suite (µn )nN converge vers un vecteur 
stochastique
µ vérifiant µ = µ A. De plus, le vecteur µ est l'unique probabilité invariante 
par A (il ne
dépend donc pas du choix de µ0 ).

Soient A  Mp (R) une matrice stochastique strictement positive et (µn )nN la 
suite définie
ci-dessus.

Q22.

Démontrer que l'ensemble des vecteurs stochastiques de Rn est une partie fermée 
de Rn .

Convergence de la suite

Q23.

Démontrer que la suite (µn )nN converge vers un vecteur µ vérifiant µ = µ A.

Q24. Soit µ = (m1 , . . . , mp ) un vecteur ligne stochastique. Démontrer que 
µA est encore un
vecteur stochastique.

Q25.

En déduire que µ est une probabilité invariante par A.

Unicité de la probabilité invariante

Q26. Lien avec le spectre de la transposée de A : soit µ  Rp un vecteur ligne 
stochastique.
Justifier que µ est une probabilité invariante pour A, si et seulement si le 
vecteur colonne t µ
est un vecteur propre de t A associé à la valeur propre 1.

Q27.

Justifier, en utilisant la question Q15, que dim Ker(t A - Ip ) = 1.

Q28.

En déduire que A admet une unique probabilité invariante.

Partie V - Informatique : calcul effectif de la probabilité invariante
d'une matrice stochastique strictement positive

Si A est une matrice stochastique strictement positive, on a établi dans la 
partie précédente la
convergence de la suite (µn )nN associée à la matrice A. Ceci fournit un 
algorithme de calcul
de la probabilité invariante par A. On en propose une implémentation en langage 
Python. On
sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code.

Un vecteur x de Rp sera représenté en Python par une liste de flottants. Par 
exemple, le
vecteur x = (1, 2, 3) de R3 sera représenté par la liste [1,2,3]. De même, une 
matrice A sera
représentée
par

 une liste dont les éléments sont les lignes de la matrice. Par exemple, la 
matrice
1 2 3
A=
sera représentée par la liste [ [1,2,3], [4,5,6] ].
4 5 6

On exécute le script
suivant A = [ [1,2,3], [4,5,6], [7,8,9], [10,11,12] ] qui

1 2 3
4
5 6

.
représente la matrice A = 

7
8 9
10 11 12

Q29.

Donner les valeurs renvoyées lorsque l'on exécute len(A), A[1] et A[2][1].

Q30. Écrire une fonction difference qui prend en arguments deux vecteurs x et y 
de même
taille et renvoie le vecteur x - y. Par exemple si x = (5, 2) et y = (3, 7), 
difference(x,y)
renverra [2,-5].

Q31. Écrire une fonction norme qui prend en arguments un vecteur x = (x1 , . . 
. , xp ) et renvoie
sa norme infinie x = max{|xi | | i  1, p} (on pourra utiliser librement la 
fonction abs
qui renvoie la valeur absolue d'un nombre, mais on s'interdit l'utilisation de 
la fonction max
déjà implémentée dans Python).

Q32. Écrire une fonction itere qui prend en arguments un vecteur ligne x et une 
matrice
A carrée
de
 même taille que x et qui renvoie le vecteur xA. Par exemple si x = (1, 1) et

1 2
A=
, on a xA = (5, 7) et donc itere(x,A) renverra [5,7].
4 5

Q33. On a vu, dans la Partie IV, que si A est une matrice strictement positive, 
la suite de
vecteurs lignes de Rp associée (µn )nN définie par la relation : n  N, µn+1 = 
µn A convergeait
vers un vecteur µ indépendant du choix de µ0 vecteur stochastique.

Écrire une fonction probaInvariante qui prend en arguments une matrice 
stochastique strictement positive A de Mp (R) et
 un réel  > 0 et qui renvoie le premier terme µk de la suite
1 1
1
(µn )nN avec µ0 =
, ,...,
tel que µk -µk-1   . On ne demandera pas à l'algorithme
p p
p
de vérifier que la matrice passée en argument est bien stochastique et 
strictement positive.

1 1
2 2

 et  = 10-6 ,
Par exemple, si A = 

1 3
4 4
probaInvariante(A,eps) renverra [0.33333396911621094, 0.6666660308837891].

FIN

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Quentin Guilmant (ENS Lyon) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à
l'université).

Le sujet est constitué d'un seul problème qui traite de matrices stochastiques,
c'est-à-dire de matrices carrées à coefficients réels positifs dont la somme 
vaut 1 à
chaque ligne. Ces matrices interviennent en probabilités pour représenter des 
chaînes
de Markov, qui sont des processus à temps discret dans lesquels le passage d'un 
état à
un autre est régi par des probabilités indépendantes des états précédents. Ces 
objets
sont étudiés en spécialité maths en TS et les résultats qui y sont admis 
trouveront
un éclairage fort intéressant dans ce problème.
· La première partie, indépendante du reste, donne un exemple de chaîne de
Markov à deux états modélisée par une matrice stochastique A de taille 2.
On diagonalise A pour calculer la limite de la suite de matrices (An )nN , ce 
qui
fournit la probabilité limite de se trouver dans l'un ou l'autre des deux états.
C'est le seul endroit du problème où les probabilités apparaissent.
· La deuxième partie s'intéresse au spectre complexe d'une matrice stochastique.
Elle nécessite de bien savoir manipuler vecteurs propres, normes et inégalités.
Le seul résultat admis du problème concerne la dimension du sous-espace propre
pour la valeur propre 1.
· La troisième partie établit la convergence de la suite de matrices (An )nN 
pour
toute matrice stochastique A strictement positive (aucun coefficient n'est nul).
Elle fait intervenir des matrices nilpotentes et des matrices définies par 
blocs.
· La quatrième partie décrit un processus limite pour obtenir une probabilité
invariante par une matrice stochastique A strictement positive, c'est-à-dire un
vecteur ligne µ représentant une distribution de probabilités et vérifiant µA = 
µ.
Ce vecteur est unique. Un brin de topologie apparaît au cours des questions.
· La cinquième partie met en oeuvre l'étude théorique précédente pour calculer
avec Python une valeur approchée de la probabilité invariante d'une matrice
stochastique strictement positive. Les matrices sont représentées par des listes
de listes. Les questions de programmation se ramènent à utiliser les algorithmes
de base du programme d'informatique commune de première année.
Ce problème est excellemment bien calibré pour le concours CCP MP, les 
questions sont bien ciblées, ce qui permet à n'importe quel étudiant sérieux 
d'avancer
à n'importe quel endroit du sujet. Aucune question n'est insurmontable. 
Toutefois,
il faut faire attention à ne pas survoler les questions, se contenter 
d'affirmer des propriétés, ou mener des calculs sans fournir les arguments 
attendus, au risque de perdre
énormément de points !

Indications
Partie I
1 Employer la formule des probabilités totales pour calculer P(X1 = 1) avec le
système complet d'événements {X0 = 1} et {X0 = 2}. De même pour P(X1 = 2).
2 Même technique qu'à la question 1 pour les rangs n et n + 1.
4 Exprimer l'événement {T = k} en fonction de X0 , X1 , . . . , Xk-1 .
6 Invoquer une propriété sur les applications linéaires.
7 La continuité des fonctions de la question 6 doit justifier des passages à la 
limite.
Partie II
9
10
11
12

Majorer chaque composante de Ax avec l'inégalité triangulaire sur les sommes.
Utiliser la question 9 avec un vecteur propre pour la valeur propre .
Normaliser un vecteur propre.
Pour le vecteur propre x de la question 11, isoler le terme ai,i xi de la somme
définissant la ie composante de Ax.
14 En appliquant l'inégalité triangulaire renversée sur le membre de gauche de 
l'inégalité de la question, établir que || > ai,p > 0.
15 Montrer que le rang de A - Ip vaut p - 1.
Partie III
18 Établir que le polynôme minimal de N vaut Xq avec q 6 p.
19 Rappelons la croissance comparées n = o(q n ) pour  > 0 et q > 1.
20 Appliquer la formule du binôme de Newton et remarquer que la somme ne 
comporte que p termes.
21 Calculer la limite de chacun des blocs diagonaux de A élevés à la puissance 
n.
Partie IV
22 Construire l'ensemble des vecteurs stochastiques de Rp (et non de Rn ) comme
l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue.
23
24
25
27
28

L'existence de µ est justifiée comme à la question 7.
Calculer les composantes de µ A puis les sommer.
Montrer que µ est stochastique à l'aide des questions 24 puis 22.
Se ramener à la question 15 grâce à l'invariance du rang par transposée.
Considérer deux probabilités invariantes et utiliser les questions 26 et 27.
Partie V

29 Les indices d'un tableau de longueur n sont compris entre 0 et n - 1.
31 Adapter l'algorithme de recherche d'un maximum vu en cours.
32 Essayer avec deux boucles for imbriquées : la première pour parcourir les 
composantes du vecteur résultat, la seconde pour calculer le produit ligne × 
colonne
à stocker dans la composante concernée.
33 Utiliser une boucle while qui maintient l'invariant suivant : les variables 
muAvant
et muApres contiennent respectivement µk-1 et µk avant le k e tour de boucle.

I. Un exemple de chaîne de Markov
1 L'énoncé fournit les probabilités conditionnelles suivantes :
P(X1 = 2 | X0 = 1) =

1
2

et

P(X1 = 1 | X0 = 2) =

1
4

Puisque P(· | X0 = 1) et P(· | X0 = 2) sont des probabilités sur (, F ) et que 
les événements {X1 = 1} et {X1 = 2} sont complémentaires l'un de l'autre, on en 
déduit que
1
3
=
4
4

D'après la formule des probabilités totales avec le système complet {X0 = i} 
i=1,2 ,
P(X1 = 1 | X0 = 1) = 1 -

1
1
=
2
2

et

P(X1 = 2 | X0 = 2) = 1 -

P(X1 = 1) = P(X1 = 1 | X0 = 1) P(X0 = 1) + P(X1 = 1 | X0 = 2) P(X0 = 2)
3
1 1 1 1
= × + × =
2 2 4 2
8

et

P(X1 = 2) = P(X1 = 2 | X0 = 1) P(X0 = 1) + P(X1 = 2 | X0 = 2) P(X0 = 2)
5
1 1 3 1
= × + × =
2 2 4 2
8
3
5
Remarquons également que P(X1 = 2) = 1 - P(X1 = 1) = 1 - = .
8
8

Conclusion : La loi de X1 est donnée par

x
P(X1 = x)

1

2
.

2 Soit n  N. Les événements {Xn = 1} et {Xn = 2} forment un système complet
d'événements. D'après la formule des probabilités totales,
 j  {1, 2}

P(Xn+1 = j) = P(Xn+1 = j | Xn = 1) P(Xn = 1)
+ P(Xn+1 = j | Xn = 2) P(Xn = 2)

D'après l'énoncé, les probabilités conditionnelles de la formule précédente ne 
dépendent pas de n. Posons alors, avec les données de l'énoncé,
a1,2 = P(Xn+1 = 2 | Xn = 1) =

1
2

et a2,1 = P(Xn+1 = 1 | Xn = 2) =

1
4

puis a1,1 = P(Xn+1 = 1 | Xn = 1) =

1
2

et a2,2 = P(Xn+1 = 2 | Xn = 2) =

3
4

La formule des probabilités totales se réécrit
 j  {1, 2}
d'où

(µn+1 )1

Finalement,

n  N

(µn+1 )j = a1,j (µn )1 + a2,j (µn )2

a
a1,2
(µn+1 )2 = (µn )1 (µn )2 × 1,1
a2,1 a2,2
µn+1 = µn × A avec A =

1/2 1/2
1/4 3/4

Remarquons que la matrice A est stochastique. En effet, la ligne i correspond
à la loi conditionnelle de Xn+1 sachant l'événement {Xn = i}.

3 D'après la relation de récurrence géométrique de la question 2,

5

1/2 1/2
5
µ5 = µ0 A =
×
 0,33 0,67
1/4 3/4
d'où

La loi de X5 est donnée par

4 Écrivons

x
P(X5 = x)

1
 0,33

2
.
 0,67

{T = 1} = {X0 = 2}  {X1 = 1}

D'après la formule des probabilités conditionnelles,
P(T = 1) = P(X0 = 2, X1 = 1)
= P(X0 = 2) P(X1 = 1 | X0 = 2)
1
1 1
× =
2 4
8
 k-1

T
{T = k} =
{Xi = 2}  {Xk = 1}

P(T = 1) =
Pour k > 2,

i=0

D'après la formule des probabilités composées,

P(T = k) = P(X0 = 2) P(X1 = 2 | X0 = 2) P(X2 = 2 | X0 = 2, X1 = 2) · · ·
k-1
Q
= P(X0 = 2) ×
P(Xi = 2 | X0 = · · · = Xi-1 = 2)
i=1

× P(Xk = 1 | X0 = · · · = Xk-1 = 2)

Or, l'état de la particule au rang i + 1 ne dépend que de son état au rang i  N 
donc
 k-1

Q
P(T = k) = P(X0 = 2)
P(Xi = 2 | Xi-1 = 2) P(Xk = 1 | Xk-1 = 2)
i=1
Q 3 1
1  k-1
1 3k-1 1
= ·
· = · k-1 ·
2
4
2 4
4
i=1 4
soit

k > 2

P(T = k) =

1  3 k
·
6 4

(valable pour k = 1)

Attention à ne pas invoquer une loi géométrique dans cette question, alors
même qu'il s'agit de déterminer la loi du rang d'apparition d'un premier
succès, ici « être dans l'état 1 ». En effet, l'expérience aléatoire ne se 
présente
pas comme la répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes.
5 Calculons le polynôme caractéristique A de A :
A = det(X I2 - A) =

X - 1/2
-1/2
-1/4
X - 3/4

= (X - 1)

1
1

=

C1 C1 +C2

X-1
X-1

-1/2
X - 3/4

-1/2
= (X - 1) (X - 3/4 + 1/2)
X - 3/4

A = (X - 1)(X - 1/4)
Ainsi, 1 et 1/4 sont les deux valeurs propres de la matrice A de taille 2, 
elles sont
nécessairement simples d'où
La matrice A est diagonalisable.