CCP Maths 2 MP 2016

Thème de l'épreuve Interpolation de Hermite et polynômes de Hermite
Principaux outils utilisés algorithmique, réduction, interpolation polynomiale, polynômes orthogonaux
Mots clefs algorithme d'Euclide, suite de Fibonacci, polynôme annulateur, interpolation de Hermite, polynômes de Hermite

Corrigé

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SESSION 2016 MPMA206 ! ! ! EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! MATHEMATIQUES 2 Jeudi 5 mai : 8 h - 12 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" " ! ! Les calculatrices sont autorisées ! ! ! ! ! ! ! Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/5 ! EXERCICE I : INFORMATIQUE Les algorithmes demandés doivent être écrits en Python. On sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code. Cet exercice étudie deux algorithmes permettant le calcul du pgcd (plus grand commun diviseur) de deux entiers naturels. I.1. Pour calculer le pgcd de 3705 et 513, on peut passer en revue tous les entiers 1,2,3, · · · ,512,513 puis renvoyer parmi ces entiers le dernier qui divise à la fois 3705 et 513. Il sera alors bien le plus grand des diviseurs communs à 3705 et 513. Écrire une fonction gcd qui renvoie le pgcd de deux entiers naturels non nuls, selon la méthode décrite ci-dessus. On pourra éventuellement utiliser librement l'instruction min(a,b) qui calcule le minimum de a et b. Par exemple gcd(3705, 513) renverra 57. I.2. L'algorithme d'Euclide permet aussi de calculer le pgcd. Voici une fonction Python nommée euclide qui implémente l'algorithme d'Euclide. def euclide(a,b): """Donn\'ees: a et b deux entiers naturels R\'esultat: le pgcd de a et b, calcul\'e par l'algorithme d'Euclide""" u = a v = b while v != 0: r = u % v u = v v = r return u Écrire une fonction «récursive» euclide_rec qui calcule le pgcd de deux entiers naturels selon l'algorithme d'Euclide. I.3. On note (Fn )nN la suite des nombres de Fibonacci définie par : F0 = 0, F1 = 1, n N, Fn+2 = Fn+1 + Fn . I.3.a. Écrire les divisions euclidiennes successivement effectuées lorsque l'on calcule le pgcd de F6 = 8 et F5 = 5 avec la fonction euclide. I.3.b. Soit n 2 un entier. Quel est le reste de la division euclidienne de Fn+2 par Fn+1 ? On pourra utiliser librement que la suite (Fn )nN est strictement croissante à partir de n = 2. En déduire, sans démonstration, le nombre un de divisions euclidiennes effectuées lorsque l'on calcule le pgcd de Fn+2 et Fn+1 avec la fonction euclide . I.3.c. Comparer pour n au voisinage de +, ce nombre un , avec le nombre vn de divisions euclidiennes effectuées pour le calcul du pgcd de Fn+2 et Fn+1 gcd. On pourra utiliser par la fonction n librement que Fn est équivalent, au voisinage de +, à / 5 où = (1 + 5)/2 est le nombre d'or. I.4. Écrire une fonction fibo qui prend en argument un entier naturel n et renvoie le nombre de Fibonacci Fn . Par exemple, fibo(6) renverra 8. I.5. En utilisant la fonction euclide, écrire une fonction gcd_trois qui renvoie le pgcd de trois entiers naturels. Par exemple, gcd_trois(18, 30, 12) renverra 6. 2/5 EXERCICE II Pour tout entier naturel non nul n, on note Mn (K) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans le corps K. Dans cet exercice, A est une matrice de Mn (R) telle que A3 + A2 + A = 0. II.1. Démontrer que les valeurs propres complexes de A prennent au maximum trois valeurs distinctes que l'on précisera. II.2. Justifier que A est diagonalisable dans Mn (C). II.3. Démontrer que si A est inversible alors det(A) = 1. PROBLÈME III Les deux premières parties du problème sont indépendantes. La deuxième partie étudie un exemple d'interpolation de Hermite et la troisième partie quelques propriétés d'une famille de polynômes qui portent le nom de ce même mathématicien. On note R [X] l'algèbre des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier naturel n, Rn [X] le sous-espace vectoriel de R [X] constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On note R (X) le corps des fractions rationnelles à coefficients réels. Pour tout polynôme P R [X], on note P le polynôme dérivé de P et, pour tout entier naturel n, on note P(n) le n-ième polynôme dérivé de P. Pour tout entier naturel non nul n, on note Mn (R) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. Première partie : questions préliminaires Soit n un entier naturel non nul. III.1. Soit P et Q deux polynômes non nuls à coefficients complexes. III.1.a. Démontrer que si P et Q n'ont aucune racine complexe commune, alors P et Q sont premiers entre eux (on pourra raisonner par l'absurde). III.1.b. On suppose que P et Q sont premiers entre eux. En utilisant le théorème de Gauss, démontrer que si P et Q divisent un troisième polynôme R à coefficients complexes, alors il en est de même du polynôme PQ. III.2. Soit (Pi )1in une famille de polynômes non nuls de R [X]. On considère le polynôme n P P R [X] et la fraction rationnelle Q R (X) définis par P = Pi et Q = . P i=1 n Pi Démontrer par récurrence que Q = . i=1 Pi 3/5 Deuxième partie : interpolation de Hermite Soit I un intervalle non vide de R, p un entier naturel non nul, (xi )1ip une famille d'éléments de I distincts deux à deux et (ai )1ip et (bi )1ip deux familles de réels quelconques. III.3. Définition du polynôme interpolateur de Hermite III.3.a. Soit P R [X] et a R. En utilisant la formule de Taylor, démontrer que : si P(a) = P (a) = 0 alors (X - a)2 divise P. III.3.b. En utilisant la question préliminaire III.1, démontrer que l'application de R2p-1 [X] vers définie par (P) = P(x1 ),P(x2 ), . . . ,P(x p ),P (x1 ),P (x2 ), . . . ,P (x p ) R2p est une application linéaire bijective de R2p-1 [X] sur R2p . III.3.c. Démontrer qu'il existe un unique polynôme PH R2p-1 [X] tel que, pour tout entier i vérifiant 1 i p, on a PH (xi ) = ai et PH (xi ) = bi . Le polynôme PH est appelé polynôme d'interpolation de Hermite. III.4. Étude d'un exemple Déterminer le polynôme d'interpolation de Hermite (défini à la question III.3) lorsque p = 2, x1 = -1, x2 = 1, a1 = 1, a2 = 0, b1 = -1 et b2 = 2 (si, au cours de ses calculs, le candidat a besoin d'inverser une matrice, il pourra le faire sans justification à l'aide de sa calculatrice). III.5. Une formule explicite p Pour tout entier i tel que 1 i p, on considère le polynôme Qi = j=1 j=i X -xj xi - x j 2 . III.5.a. Soit i un entier vérifiant 1 i p. Calculer Qi (xk ) pour tout entier k tel que 1 k p et démontrer qu'on a p 2 Qi (xk ) = 0 si k = i et Qi (xi ) = j=1 xi - x j j=i On pourra utiliser la question préliminaire III.2. III.5.b. Démontrer que le polynôme P défini par la formule p P = 1 - Qi (xi )(X - xi ) ai + (X - xi )bi Qi i=1 est le polynôme d'interpolation de Hermite défini à la question III.3. III.5.c. Retrouver le polynôme de la question III.4 en utilisant cette formule. 4/5 Troisième partie : polynômes de Hermite Soit (Hn )nN la famille de polynômes définie par H0 = 1 et, pour tout n N, Hn+1 = XHn - Hn . III.6. Démontrer que, pour tout n N, Hn est un polynôme unitaire de degré n. = (n + 1)Hn . III.7. Démontrer que, pour tout n N, Hn+1 Pour tous polynômes P et Q à coefficients réels, on pose P | Q = + - P(x)Q(x) f (x)dx, 2 + x 1 f (x)dx = 1. . On rappelle que la fonction f étant définie sur R par f (x) = exp - 2 2 - III.8. Un produit scalaire sur R [X] III.8.a. Justifier, pour tous polynômes P et Q dans R [X], l'existence de l'intégrale qui définit P | Q. III.8.b. Démontrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur R [X]. III.9. Une famille orthogonale Dans la suite, R[X] est muni de ce produit scalaire et de la norme associée notée . . III.9.a. Démontrer que, pour tout P R [X] et pour tout n N, P | Hn = P(n) | H0 . III.9.b. En déduire que, pour tout n N, la famille (H0 ,H1 ,...,Hn ) est une base orthogonale de Rn [X]. III.9.c. Calculer Hn pour tout n N. III.9.d. Soit P = X 3 + X 2 + X + 1. Préciser les polynômes H1 , H2 et H3 puis déterminer quatre 3 réels ai (0 i 3) tels que P = aiHi. En déduire la distance d du polynôme P au sous-espace i=0 R0 [X] des polynômes constants, c'est-à-dire la borne inférieure de P - Q quand Q décrit R0 [X]. III.10. Étude des racines des polynômes Hn Soit n N. On note p le nombre de racines réelles (distinctes) d'ordre impair du polynôme Hn , a1 , a2 , ..., a p ses racines et S le polynôme défini par p S = 1 si p = 0 et S = (X - ai ) sinon. i=1 III.10.a. Démontrer que, si p < n, alors S | Hn = 0. III.10.b. Démontrer que, pour tout x R, S(x)Hn (x) 0. III.10.c. En déduire que Hn a n racines réelles distinctes. Fin de l'énoncé 5/5

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 CCP Maths 2 MP 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Sélim Cornet (ENS Cachan) et Benjamin Monmege (Enseignant-chercheur à l'université). Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème indépendants. · On commence par un exercice d'informatique qui étudie le calcul du pgcd de deux entiers naturels ainsi que la suite de Fibonacci (Fn )nN . On compare le nombre de divisions euclidiennes nécessaires au calcul du pgcd de Fn+1 et Fn+2 avec l'algorithme d'Euclide puis avec un algorithme testant tous les nombres inférieurs ou égaux à Fn+1 pour voir s'ils conviennent. · Le deuxième exercice, très court, porte sur la réduction et les polynômes annulateurs. Les deux premières questions sont des applications directes du cours. · Le problème porte sur les polynômes et les espaces euclidiens. La première partie permet d'établir des résultats préliminaires (vus en cours) sur l'arithmétique des polynômes ainsi qu'une formule permettant de décomposer P /P en une somme lorsque P est un produit de polynômes non nuls. La deuxième partie est consacrée à l'interpolation de Hermite. Étant donné un entier naturel non nul p et des réels distincts x1 , . . . , xp , on démontre l'existence et l'unicité d'un polynôme PH appartenant à R2p-1 [X] tel que les valeurs de PH et de PH soient imposées en x1 , . . . , xp . On calcule ce polynôme sur un exemple et on démontre une formule explicite pour PH dans le cas général. La troisième partie traite de la famille (Hn )nN des polynômes de Hermite. On démontre plusieurs de ses propriétés, en particulier son orthogonalité pour un produit scalaire bien choisi. On établit également que, pour tout n N, le polynôme Hn admet exactement n racines réelles. Ce sujet est abordable et de longueur raisonnable. Le problème contient de nombreuses questions classiques sur les polynômes et l'algèbre euclidienne, qu'il est important de bien maîtriser. En particulier, de nombreux sujets de concours portent sur des familles de polynômes orthogonaux et les raisonnements effectués dans la troisième partie sur les polynômes de Hermite (intégration par parties pour l'orthogonalité, étude des racines...) peuvent s'adapter à ces autres familles. À l'exception de la question I.2 qui nécessite l'écriture d'une fonction récursive, l'exercice I peut être traité en première année. L'exercice II suppose d'avoir terminé le chapitre sur la réduction. Pour traiter le problème, il faut avoir étudié l'algèbre euclidienne, les polynômes et les intégrales généralisées. Indications Exercice I I.2 Utiliser, comme dans euclide, que pgcd (a, b) = pgcd (b, r) lorsque b est non nul et que r est le reste de la division euclidienne de a par b. Le cas d'arrêt est b = 0. I.5 Se rappeler l'associativité du pgcd. Exercice II II.2 Se souvenir des caractérisations de la diagonalisabilité du cours faisant appel aux polynômes annulateurs. II.3 Observer qu'avec l'hypothèse supplémentaire de cette question, on peut restreindre les valeurs propres possibles et noter que le polynôme caractéristique de A est à coefficients réels. Problème III III.1.a Utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss. III.3.b Pour l'injectivité, démontrer que si P Ker , alors en se servant des questions III.3.a et III.1. p Q (X - xi )2 divise P i=1 III.5.b Grâce à l'unicité du polynôme interpolateur, il suffit de vérifier que le polynôme proposé P est dans R2p-1 [X] et vérifie (P) = (a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bp ). III.6 Procéder par récurrence. III.7 Procéder de nouveau par récurrence. III.9.a Faire encore une démonstration par récurrence, en faisant appel à une intégration par parties. III.9.b Que vaut Hk () lorsque > k ? III.9.c Utiliser les questions III.9.a et III.6 pour calculer ||Hn ||. III.9.d Calculer le projeté orthogonal de P sur R0 [X] à l'aide d'une base orthonormale de R0 [X]. III.10.a Utiliser la question III.9.b. III.10.b On pourra se servir de la forme factorisée de Hn dans R[X] pour exprimer le produit S Hn . III.10.c Montrer par l'absurde que p = n et conclure. Exercice I : informatique I.1 En suivant l'algorithme donné dans l'énoncé, on peut procéder de la manière suivante pour écrire la fonction gcd : on initialise à 1 une variable p puis, pour chaque entier i compris entre 2 et Min (a, b), on teste s'il divise à la fois a et b. Si oui, on met i dans p. Ainsi, en sortie de boucle, p sera le dernier diviseur commun à a et b trouvé et donc le pgcd de a et b. def gcd(a,b): """Données : deux entiers naturels non nuls a et b Résultat : le pgcd de a et b""" p = 1 for i in range(2,min(a,b)+1): if a%i == 0 and b%i == 0: p = i return p I.2 Écrivons une version récursive de l'algorithme d'Euclide itératif rappelé dans l'énoncé. Il suffit de simuler une itération de la boucle while, à savoir le remplacement des valeurs de u et v par v et u%v, puis de continuer à l'aide d'un appel récursif, jusqu'à ce que v devienne égal à 0, qui est le cas d'arrêt de la fonction récursive. def euclide_rec(u,v): """Données : deux entiers naturels u et v Résultat : le pgcd de u et v""" if v == 0: # cas d'arrêt return u return euclide_rec(v,u%v) # appel récursif Comme l'algorithme itératif donné dans l'énoncé, l'algorithme récursif proposé ici est basé sur la propriété suivante, où r(a, b) désigne le reste de la division euclidienne de a par b lorsque b est non nul. ( a si b = 0 pgcd (a, b) = r(a, b) si b 6= 0 I.3.a Pour k > 1, on note Uk , Vk et Rk les valeurs prises par les variables u, v et r à la sortie de la k-ième itération de la boucle while. Avant le premier passage dans la boucle, u et v valent respectivement 8 et 5. La deuxième ligne du tableau indique la division euclidienne (DE) réalisée pour calculer Rk . k DE Rk Uk Vk 1 8=5×1+3 F6 = F5 × 1 + F4 3 5 3 2 5=3×1+2 F5 = F4 × 1 + F3 2 3 2 3 3=2×1+1 F4 = F3 × 1 + F2 1 2 1 4 2=1×2+0 0 1 0 On sort de la boucle à la quatrième itération puisque V4 vaut 0 et on renvoie alors U4 qui vaut 1. On observe que pour n {2 ; 3 ; 4}, le reste de la division euclidienne de Fn+2 par Fn+1 est Fn , mais que ce n'est pas vrai pour n = 1. I.3.b On vérifie par une récurrence double immédiate que Fn est un entier pour tout n N. En admettant, comme l'invite l'énoncé, que la suite (Fn )n>2 est strictement croissante, on peut écrire, pour tout entier n > 2, Fn+2 = Fn+1 × 1 + Fn et 0 6 Fn < Fn+1 Par unicité du quotient et du reste de la division euclidienne, il s'ensuit que Pour tout n > 2, le reste de la division euclidienne de Fn+2 par Fn+1 est Fn . Le résultat admis dans l'énoncé, la stricte croissance de (Fn )n>2 , se démontre aisément par récurrence. Notons P(n) les inégalités 0 < Fn < Fn+1 , pour tout n > 2. · P(2) est vraie puisque 0 < F2 = 1 < F3 = 2. · P(n) = P(n + 1) : soit n > 2, supposons P(n) vraie et démontrons P(n + 1). Alors Fn+1 > Fn > 0 d'où Fn+1 > 0 et Fn+2 - Fn+1 = Fn > 0 donc P(n + 1) est vraie. · Conclusion : pour tout n > 2, P(n) est vraie, d'où Fn+1 > Fn . Pour n > 3, après un tour de boucle, les valeurs u = Fn+2 et v = Fn+1 sont remplacées par u = Fn+1 et v = Fn . Par conséquent, il vient la relation de récurrence n > 3 un = un-1 + 1 En remarquant que u2 = 2 à l'aide du tableau de la question précédente, on conclut n > 2 un = n I.3.c Soit n > 2. Le nombre vn de divisions euclidiennes effectuées par la fonction gcd pour calculer le pgcd de Fn+2 par Fn+1 est égal à 2 × ( Min (Fn+2 , Fn+1 ) - 1) soit 2 × Fn+1 - 2 puisqu'on réalise deux divisions euclidiennes pour chaque passage dans la boucle for. En admettant que n 1+ 5 Fn où = n+ 2 5 2 on obtient l'équivalent vn n+1 n+ 5 un 5 n Par conséquent, + n vn 2 n+1 un = 0 donc Comme > 1, cela entraîne par croissances comparées que lim n+ vn Quand n +, un = o(vn ). Rappelons ici comment retrouver l'équivalent de Fn en + donné par l'énoncé. La suite (Fn )n>0 est solution d'une équation de récurrence linéaire double à coefficients constants, d'équation caractéristique associée (EC) Les solutions de (EC) sont r2 - r - 1 = 0