CCP Maths 2 MP 2014

Thème de l'épreuve Étude d'une récurrence linéaire. Autour des projecteurs. Matrices symétriques et optimisation d'une forme linéaire.
Principaux outils utilisés réduction, projecteurs, matrices symétriques
Mots clefs Algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2014 MPM2006 .:==_ CONCOURS COMMUNS -=- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. \ Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants. 1/5 Partie I : EXERCICE 1 Soit les suites réelles (un), (un) et (w.) définies par : un--l--1 : un + 3Un Vn E N "Un+1 : 31... + un + 410.1 et (u.../vo, wo) : (1.0.1). wn+1 : 4Un + wn I.1. I.1.a Justifier sans calcul que la matrice A = EUR M3(R) est diagonalisable. Door--\ A>+--\O--D +--\»-l>© I.1.b Diagonaliser la matrice A E Mg(lR). I.1.c Déterminer la matrice A" pour tout 71 E N . On pourra utiliser la calculatrice. I.2. Expliciter les termes u... un et wn en fonction de n. Partie II : EXERCICE 2 Soit 71 un entier supérieur a 2 et E un espace vectoriel sur R de dimension n. On appelle projecteur de E , tout endomorphisme p de E vérifiant p o p = p. II.1. Soit p un projecteur de E. II.1.a Démontrer que les sous-espaces vectoriels Ker(p) et lm(p) sont supplémentaires dans E. II.1.b En déduire que la trace de p (notée Tr (p)) est égale au rang de p (noté rg (p)). II.1.C Un endomorphisme u de E vérifiant Tr (u) : rg (u) est--il nécessairement un projec-- teur de E ? II.2. Donner un exemple de deux matrices A et B de M3(R) de rang 1 telles que A soit diagonalisable et B ne soit pas diagonalisable. Justifier la réponse. II.3. Soit u un endomorphisme de E de rang 1. II.3.a Démontrer qu'il existe une base fi : (el, - - - ,en) de E telle que la matrice Mat5(u) de u dans fi soit de la forme : 0 0 0.1 0 . . . () @ Mat5(u) : _ _ _ EUR MAR) où al, - - - ,an sont 71 nombres réels. 0 0 an II.3.b Démontrer que u est diagonalisable si, et seulement si, la trace de u est non nulle. II.3.C On suppose que Tr (u) : rg (u) = 1. Démontrer que u est un projecteur. l l --l II.3.d Soit la matrice A = 1 1 --1 EUR M3(R). Démontrer que A est la matrice d'un 1 l --l projecteur de R3 dont on déterminera l'image et le noyau. 2/5 Partie III : PROBLEME Notations et rappels Soit 71 un entier supérieur a 1. On désigne par diag (041, - - - , o...) la matrice diagonale de M...,(R) dont les coefficients diagonaux sont les réels 041, - - - , or,, dans cet ordre. Si M EUR M,,(R), on note "M sa transposée. On munit l'espace vectoriel E = R" du produit scalaire canonique noté (\ ) et de la norme euclidienne H H associée. On note 8 (E) le sous--espace des endomorphismes symétriques de E, c'est--à--dire l'ensemble des endomorphismes 8 de E vérifiant : V(OE,y) EUR EZ, <8(OE) \ y) = ("L) 8(9)>- Un endomorphisme symétrique 8 de E est dit symétrique positif (respectivement symétrique défini positif) si : Va: E E, (8(33) \ a:) > 0 (respectivement Va: E E \ {O}, (8(33) \ a:) > 0). Une matrice symétrique S de M,,(R) est dite symétrique positive (respectivement symétrique définie positive) si : VX EUR M...(R), "XSX ; 0 (respectivement VX EUR Mn,1(llä) \ {O}, "XSX > 0). On note S,Ï (R) (respectivement S,Ï+(R)) l'ensemble des matrices symétriques positives (res-- pectivement symétriques définies positives) de M,,(R). On rappelle qu'un endomorphisme 8 de E est symétrique (respectivement symétrique positif, symétrique défini positif) si, et seulement si, sa matrice dans toute base orthonormée de E est symétrique (respectivement symétrique positive, symétrique définie positive). On admet que, pour tous réels positifs al, - - - ,a... n 1/n n 1 (U (L,-> { -- Ë a,- (inégalité arithmético--géométrique). . n . 7,=1 'L=1 Objectif du problème On se donne une matrice S de S,Ï (R) (ou SË+(R)) et on étudie le maximum (ou minimum) de la forme linéaire A |--> Tr (AS ) sur des ensembles de matrices. Questions préliminaires III.1. III.1.a Enoncer (sans démonstration) le théorème de réduction des endomorphismes symé-- triques de l'espace euclidien E et sa version relative aux matrices symétriques réelles. III.1.b Toute matrice symétrique a coefficients complexes est--elle nécessairement diagonali-- sable ? On pourra par exemple considérer la matrice de M2(C) : III.2. Soit 8 EUR 8 (E), de valeurs propres (réelles) À1, - - - ,)... rangées dans l'ordre croissant : À1<À2<'"<Àn- Soit 5 = (51, - -- ,en) une base orthonormée de E telle que, pour tout @ E {l, - -- ,n}, 8,- est un vecteur propre associé a la valeur propre À,-. Pour tout vecteur a: de E, on pose : Rs(ff) =  "MM -- I,, est continue de MAR) dans MAR). III.5. Justifier que, si A = (a...--) est une matrice orthogonale, alors : V(z',j) e {1,--- ,n}2 la...-- \g 1. 111.6. En déduire que le groupe orthogonal CAR) est une partie compacte de MAR). III.7. Soit S E S,Ï(R), de valeurs propres (positives) À1, - - - , ).... On pose A : diag()... - - - , )...). Si A est une matrice orthogonale, on note T (A) le nombre réel T (A) : Tr (AS ) III.7.a Soit A E CAR). Démontrer qu'il existe une matrice orthogonale B telle que : T(A) : Tr (BA) . III.7.b Démontrer que l'application T de CAR) dans R admet un maximum sur CAR), que l'on notera t. III.7.c Démontrer que, pour toute matrice orthogonale A de CAR), T(A) { Tr (S), puis déterminer le réel 15. 4/5 Inégalité d'Hadamard Soit S = (S...--) E S,,Ï (R), de valeurs propres (réelles positives) À1,--- ,)... rangées dans l'ordre croissant : O< À1< \ Àg< <Àn- III. 8. Démontrer l' inégalité valable pour tout S E S+(R): s> 0, on pose S8 = S + ein. Démontrer que det(Sg) < (8... + 8), puis 1 % conclure que : n n U Ài < H 8...- (inégalité d'Hadamard). i=1 i=1 Application de l'inégalité d'Hadamard : détermination d'un minimum Soit S E SË+(R), de valeurs propres 0 < À1 < < À... et A : diag()...--- ,Àn). Soit Q EUR On(R) telle que S : QA'Q. On désigne par M l'ensemble des matrices de SË+(R) de déterminant égal a l. III.12. Démontrer que, pour tout A E M, la matrice B : "QAQ est une matrice de U vérifiant : Tr (AS) : Tr (BA). III.13. Démontrer que {Tr (AS)\A E U} : {Tr (BA)\B EUR bl}, puis que ces ensembles admettent une borne inférieure que l'on notera m. III.14. Démontrer que, si B = (I)...) E U : Tr (BA) ; n(À1---Àn)1/n(b1,1---bn,n)1/n. III.15. En déduire que, pour B = (I)...) E U, Tr (BA) ; n (det(S))1/n. l III.16. Pour tout entier k tel que 1 < [EUR < n, on pose ,uk : À_ (det(S))1/n et D : diag(..., - -- ,un). !: Déterminer le réel m. Fin de l'énoncé 5/5

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 CCP Maths 2 MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Kévin Destagnol (ENS Cachan) ; il a été relu par Florence Monna (Doctorante) et Benjamin Monmege (ENS Cachan). Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème mutuellement indépendants qui traitent tous d'algèbre et plus particulièrement d'algèbre linéaire. Le premier exercice, bien que calculatoire, est très classique et consiste à utiliser la théorie de la réduction pour étudier des suites récurrentes (Xn )nN M3,1 (R)N définies par avec A M3 (R). n N Xn = AXn-1 et X0 M3,1 (R) Le deuxième exercice traite des projecteurs d'un espace vectoriel réel E de dimension finie. La première partie établit que si p est un projecteur, alors on a E = Ker (p) Im (p) et le rang de p est égal à sa trace. Dans un second temps, l'exercice s'intéresse à la réciproque de cette dernière propriété, particulièrement dans le cas des endomorphismes de rang 1. Enfin, le problème traite de diverses questions d'optimisation liées à la forme linéaire sur Mn (R) définie par T : A 7 Tr (AS) pour S une matrice symétrique positive ou définie positive. Il est constitué de quatre parties non indépendantes. Cependant tous les résultats utiles sont explicitement énoncés dans les questions, ce qui permet au besoin d'admettre les résultats d'une partie et de continuer sans encombre. · La première partie établit des propriétés assez classiques des endomorphismes symétriques utiles dans les parties suivantes, notamment le fait que les valeurs propres d'un endomorphisme symétrique positif (respectivement défini positif) sont positives (respectivement strictement positives) et que si S Sn (R), alors ses coefficients diagonaux sont compris entre la plus petite et la plus grande valeur propre de S. · La partie suivante établit l'existence d'un maximum pour la forme linéaire T restreinte au groupe des matrices orthogonales On (R), et le détermine. · La troisième partie prépare la dernière et démontre une inégalité d'Hadamard : si S est une matrice symétrique positive, alors son déterminant est inférieur au produit de ses coefficients diagonaux. · Pour finir, la dernière partie utilise l'inégalité d'Hadamard établie à la partie précédente pour obtenir l'existence d'un minimum (et l'exhiber) de T restreinte à l'ensemble U des matrices symétriques définies positives de déterminant 1, dans le cas où S est elle-même définie positive. Globalement le sujet n'est pas très long et reste très abordable car assez classique et très guidé. À noter qu'à partir de la rentrée 2014, les notions de matrices symétriques positives et définies positives deviendront hors programme. Cependant, le sujet rappelle toutes les définitions nécessaires, si bien qu'il peut être traité sans aucune connaissance préalable de ces notions. Indications Partie I I.1.c Lorsque A = PDP-1 avec D diagonale, que vaut An ? I.2 En considérant Xn = t (un , vn , wn ), exprimer pour tout entier n non nul le vecteur Xn en fonction de A et de Xn-1 et en déduire une expression de Xn en fonction de An et de X0 . Partie II II.1.b Remarquer que Im (p) Ker (p - id ) et regarder la matrice de p dans une base adaptée. II.1.c Raisonner sur des matrices simples comme par exemple les matrices diagonales et remarquer qu'un endomorphisme ne peut pas être un projecteur s'il admet une valeur propre différente de 0 et de 1. II.2 Penser à nouveau à utiliser des matrices très simples. Pour trouver B, se souvenir qu'une matrice dont la seule valeur propre est 0 ne peut être diagonalisable que si, et seulement si, elle est nulle. II.3.a Considérer un supplémentaire du noyau et une base adaptée. II.3.b Utiliser le critère : f est diagonalisable si, et seulement si, E est somme directe des sous-espaces propres de f . II.3.c Penser à utiliser la question II.3.a et la définition d'un projecteur. Partie III III.3.a Exprimer la plus petite valeur propre 1 de s sous la forme Rs (x) pour un certain x judicieusement choisi. III.3.b Calculer les produits scalaires hs(ei ) | ej i pour tout (i, j) [[ 1 ; n ]]2 . III.5 Identifier les coefficients diagonaux de t M M avec ceux de In . III.6 Penser à la dimension finie. III.7.a Diagonaliser et utiliser les propriétés de base de la trace. III.7.b Quelle propriété topologique permet d'obtenir l'existence d'extremums ? III.7.c Quelle est la trace d'une matrice de la forme B avec diagonale ? III.8 Exprimer le déterminant et la trace en fonction des valeurs propres. III.11 Noter que la matrice S est symétrique définie positive puis justifier qu'on peut faire tendre vers 0. III.13 Remarquer que l'ensemble {Tr (B) | B U} est une partie minorée non vide de R pour la deuxième partie de la question. III.14 Même indication que pour la question III.7.c. III.15 Trouver une minoration de b1,1 · · · bn,n en fonction de det(B) et utiliser l'hypothèse sur B. I. EXERCICE 1 I.1.a La matrice A est symétrique réelle. Par conséquent, La matrice A est diagonalisable. On a typiquement ici un exemple de cas où parcourir le sujet en entier au préalable peut permettre de trouver la réponse à cette question. En effet, si on ne voit pas que A est symétrique (ce qui ne devrait pas être le cas à cause de la mention sans calcul), la question III.1.a donne la réponse ! Par ailleurs, il est capital de préciser que la matrice est réelle, comme nous le verrons à la question III.1.b. I.1.b Commençons par déterminer les valeurs propres de A en calculant son polynôme caractéristique A . Grâce à la règle de Sarrus : A (X) = det(XI3 - A) = X-1 -3 0 -3 X-1 -4 0 -4 = (X - 1)3 - 16(X - 1) - 9(X - 1) X-1 soit A (X) = (X - 1)(X + 4)(X - 6) après factorisation par X - 1. Les valeurs propres de A étant exactement les racines du polynôme A , il s'ensuit que sp (A) = {-4, 1, 6} Déterminons à présent chaque sous-espace propre E (A) = Ker (A - I3 ) pour dans sp (A). · Commençons par examiner le cas de la valeur propre -4. Il s'agit d'étudier le t sous-espace E-4 (A) = Ker (A + 4I3 ). Or, un vecteur X = (x, y, z) R3 appartient à E-4 (A) si, et seulement si, il est solution du système (A + 4I3 )X = 0, soit si, et seulement si, =0 5x + 3y 3x + 5y + 4z = 0 4y + 5z = 0 En multipliant tout d'abord la deuxième ligne par 5 puis en lui retranchant 4 fois la troisième ligne, on obtient 3 fois la première ligne de sorte que 3 x = - y 5x + 3y =0 5 X E-4 (A) 4y + 5z = 0 z = -4y 5 Par conséquent, E-4 (A) est la droite vectorielle dirigée par (-3, 5, -4). Après normalisation de ce vecteur, on obtient que le vecteur 3 1 4 e1 = - , , - 5 2 2 5 2 engendre le sous-espace propre E-4 (A). · Passons à l'étude de E1 (A). x X = y E1 (A) z De la même façon que pour E-4 (A), 3y =0 x = - 4 z 3x + 4z = 0 3 y = 0 4y =0 4 3 Ainsi, le vecteur unitaire e2 = - , 0, engendre E1 (A). 5 5 t · Enfin, il reste l'étude de E6 (A). Un vecteur X = (x, y, z) R3 appartient à E6 (A) si, et seulement si, =0 -5x + 3y 3x - 5y + 4z = 0 4y - 5z = 0 Multiplions alors la deuxième ligne par 5 avant de lui ajouter 4 fois la troisième ligne afin d'obtenir -3 fois la première ligne. Par suite, 3 x = y -5x + 3y =0 5 X E6 (A) 4y - 5z = 0 z = 4y 5 De manière analogue aux cas précédents, on en déduit que le vecteur unitaire 3 1 4 , , e3 = 5 2 2 5 2 engendre le sous-espace propre E6 (A). La famille B = (e1 , e2 , e3 ) forme alors une base de R3 . Si on dénote par P la matrice de passage de la base canonique à B, on a -3 -4 2 3 1 5 0 5 P= 5 2 -4 32 4 Finalement, on en déduit que A = PDP-1 -4 0 0 avec D = 0 1 0 0 0 6 -3 -4 2 3 1 5 0 5 et P = 5 2 -4 32 4 On sait qu'une matrice symétrique est diagonalisable en base orthonormée. Ici, on a choisi des vecteurs de base unitaires de telle sorte que la matrice t de passage P obtenue soit orthogonale et par conséquent vérifie P-1 = P, ce qui s'avérera utile pour éviter des calculs en question I.1.c. Il ne faut pas penser que prendre les vecteurs non normalisés simplifie les choses. Certes l'expression de P sera plus simple, mais pas celle de P-1 . I.1.c Grâce à la question I.1.b, on a A = PDP-1 avec D = diag(-4, 1, 6) d'où n N An = PDn P-1 Si ce n'est pas clair, remarquer que, par exemple pour n = 2, on a A2 = PDP-1 PDP-1 = PD2 P-1 et effectuer un raisonnement par récurrence.