CCP Maths 2 MP 2013

Thème de l'épreuve Matrices toutes-puissantes
Principaux outils utilisés algorithmique, coniques, calcul matriciel, réduction
Mots clefs matrices toutes-puissantes, algorithme, hyperbole

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2013 MPM2006 u- CONCOURS COMMUNS IIIII -=- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures N .B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. 'Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants. 1/5 Exercice : points à coordonnées entières sur une hyperbole On munit le plan d'un repère orthonormé. On considère la conique % d'équation cartésienne : 332 -- 13y2 : l. 1. Tracer l'allure de l'hyperbole %. On précisera les tangentes aux points d'ordonnée nulle ainsi que les branches infinies. 2. Ecrire un algorithme en français qui renvoie les éventuels couples d'entiers naturels (a:, y) vérifiant : (l) 332 -- 13y2 : 1 y { 200 3. Programmer cet algorithme sur calculatrice et donner les couples d'entiers naturels (a:, y) solutions du système (1). On ne demande pas d'écrire le programme sur la copie. Problème : matrices «toutes--puissantes» Notations et objectifs Dans tout le texte, K désigne le corps R ou (C et p un entier naturel non nul. On note M,,(K) le K--espace vectoriel des matrices carrées de taille p a coefficients dans K et I,, la matrice unité de MAK). On pourra confondre M1(K) et K. Une matrice N de M,,(K) est dite nilpotente s'il existe un entier naturel 7° tel que N " = 0. Si M1, . . . ,M;, sont des matrices carrées, la matrice diag(M1, . . . ,M;,) désigne la matrice dia-- gonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M1, . . . , M ,,. Si E est un K--espace vectoriel, on note id E l'application identité sur E. Enfin, on note K[X] la K--algèbre des polynômes a coefficients dans K. On dit qu'une matrice A de M,,(K) est «toute-puissante sur K» et on notera en abrégé TPK si, pour tout 71 E N*, il existe une matrice B de M,,(K) telle que A : B". On note T p(K) l'ensemble des matrices de M,,(K) toutes--puissantes sur K : T,,(K) : {A e M,,(K) \ Vn e N* HB e M,,(K) A = En}. L'objectif principal du sujet est d'établir le résultat suivant : toute matrice inversible de M,,(C) est TPC. Dans la partie I, on traite quelques exemples et contre--exemples. Dans la partie II, on montre que, dans le cas où le polynôme caractéristique de la matrice A est scindé, on peut ramener l'étude au cas des matrices de la forme Al,, + N avec N nilpotente. Dans la partie III, on traite le cas des matrices unipotentes c'est--à--dire de la forme 1}) + N avec N nilpotente et on en déduit le théorème principal. Les parties I et II sont dans une large mesure indépendantes. La partie III utilise les résultats des parties précédentes. 2/5 Partie I : quelques exemples 1. Le cas de la taille 1 (a) Démontrer que T1(R) : {O, +oo[. (b) Soient 71 E N* et b : re'9 avec 7° > 0 et 9 E R. Donner les racines n--ièmes du nombre complexe 19, c'est--à--dire les solutions de l'équation z" = [) d'inconnue ?: EUR C. (C) En déduire T1((C). 2. Une condition nécessaire... (a) Démontrer que si A E Tp(K), alors det A E T1(K). (b) En déduire un exemple de matrice de M2(R) qui n'est pas TPlR. 3. ...mais pas suffisante SoitA--(_1 0 a b 0 _ 2 . Démontrer qu'il n'existe aucune matrice B = (c ci que A : BZ. En déduire que la condition nécessaire de la question précédente n'est pas suffisante. ) de Mg(R) telle 4. Un cas où A est diagonalisable () 3 2 Soit A = --2 5 2 2 --3 0 (a) Démontrer que A est diagonalisable sur R (le détail des calculs n'est pas demandé). (b) Démontrer que la matrice A est TPlR. (c) Pour chacun des cas n = 2 et n = 3, expliciter une matrice B de Mç,(R) vérifiant B" = A (on pourra utiliser la calculatrice). 5. Un exemple de nature géométrique . --l () 801t A _ ( 0 _1). (a) Justifier que A est la matrice d'une rotation vectorielle dont on précisera une mesure de l'angle. (b) En déduire que A est TPlR. 6. Le cas des matrices nilpotentes Soit N une matrice nilpotente de MAK). (a) Déterminer le polynôme caractéristique de N , en déduire que N p = 0. (b) Démontrer que si N est TPK, alors N est la matrice nulle. 3/5 Partie II : le cas où le polynôme caractéristique est scindé Dans toute cette partie, A désigne une matrice de M,,(K) dont le polynôme caractéristique noté XA est scindé sur K, c'est--à--dire de la forme : !: XA = (--1)p H(X -- &)"; i=1 avec k, 7°1, . . . ,7°;, des entiers de N* et À1, . . . , A], les valeurs propres de A, éléments de K. On note 13 la base canonique de KP et u l'endomorphisme de KP dont A est la matrice dans la base 13 . Enfin, pour 2' E {l, . . . , k}, on note C',- = Ker(u -- À,- ide)" que l'on appelle sous--espace carac-- téristique de u associé a la valeur propre À,-. 7. Démontrer que KP : C'1 @ - - - @ C';,. 8. (a) Soit ?} un endomorphisme de KP qui commute avec u et Q un polynôme a coefficients dans K. Démontrer que Ker Q(u) est stable par @. (b) En déduire que pour tout 2' E {l, . . . , k}, le sous--espace caractéristique C',- est stable par u. On note ainsi uc, l'endomorphisme induit par u sur C,. 9. Soit @ E {l, . . . , k}. Justifier que l'application uc, -- À,idg, est un endomorphisme de C',- nilpotent. 10. En déduire que la matrice A peut s'écrire sous la forme : A : Pdiag(Àflpl + N1, . . . , ÀkÏp,, + Nk)P_1a avec P une matrice inversible de M,,(K) et pour tout @ E {l, . . . , k}, p,- : dim C',- et N,- est une matrice nilpotente de Mp,(K). On rappelle que diag(ÀJpl + Nl, . . . ,À;,ka + N;,) désigne la matrice diagonale par blocs de premier bloc À1]p1 + Nl, de deuxième bloc À21p2 + N2 et de dernier bloc À;,ka + N;,. 11. Démontrer que, si pour tout 2' E {l, . . .,k} la matrice À,-Ip, + N,- est TPK, alors A est elle--même TPK. Partie III : le cas des matrices unipotentes Soit N une matrice nilpotente de M,,(K). Nous allons montrer que la matrice unipotente I,,+N est TPK. On pourra confondre polynôme et fonction polynôme. On rappelle que si f est une fonction, la notation f (a:) : o(a:p) signifie qu'il existe une fonction 8 tendant vers 0 en () telle que f(a:) : æp5(a:) au voisinage de 0. 4/5 12. Une application des développements limités (a) Soit V un polynôme de R[Xl tel que V(a:) : o(a:p) au voisinage de O. Démontrer, a l'aide d'une division euclidienne, qu'il existe un polynôme Q de R[Xl tel que V = X p >< Q. (b) Soit 71 E N*. Démontrer l'existence d'un polynôme U de R[Xl tel que l'on ait, au voisinage de 0 : 1 + a: : (U(æ))" + o(a:p) (on pourra utiliser un développement limité de (l + a:)°'). (c) En déduire que, pour tout 71 E N*, il existe un polynôme Q de R[Xl tel que : 1+X=U"+Xp >< Q. 13. Applications (a) Démontrer que la matrice unipotente ]p + N est TPK. (b) Soit A E K non nul. En déduire que si A est TPK, alors la matrice ÀIp + N est TPK. 14. Le résultat annoncé (a) Conclure que toute matrice inversible de Mp(CC) est TPC. (b) Toute matrice de Mp(CC) est--elle TPC ? 15. Donner un exemple de matrice de M4(R) non diagonalisable et non inversible qui est TPR. Fin de l'énoncé 5/5

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 CCP Maths 2 MP 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Christophe Fiszka (ENS Cachan) ; il a été relu par Florence Monna (Doctorante) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). L'énoncé se compose d'un court exercice et d'un problème indépendant. L'exercice propose de construire un algorithme pour déterminer les points à coordonnées entières sur une hyperbole que l'on aura au préalable pris soin de tracer. Cet exemple simple testait la capacité des candidats à programmer rapidement leurs calculatrices. Le problème en trois parties s'intéresse aux matrices « toutes-puissantes », c'està-dire aux matrices admettant pour tout entier n non nul une racine n-ième. Les deux premières parties sont indépendantes. · La première partie est riche d'exemples. Dans un premier temps, on traite le cas relativement facile des matrices de taille 1. Puis dans un second temps, on donne une condition nécessaire mais non suffisante portant sur le déterminant pour qu'une matrice soit « toute-puissante ». Après avoir diagonalisé explicitement une matrice réelle de taille 3, on justifie que cette dernière est bien « toute-puissante ». On termine par deux derniers cas particuliers très instructifs : celui des matrices de rotation et celui des matrices nilpotentes. · La deuxième partie reprend en détail, mais sans le dire, la preuve d'un grand classique : la décomposition de Dunford. On ramène ensuite l'étude de la notion de « toute-puissance » à celle des matrices unipotentes, c'est-à-dire des matrices du type Ip + N avec N nilpotente. · La dernière partie commence avec un rapide détour par les développements limités afin de prouver un lemme sur les polynômes. Fort de ce résultat, on est en mesure de vérifier que toute matrice unipotente est « toute-puissante ». Par application de la partie précédente, on en déduit le résultat principal du sujet : Toute matrice complexe inversible est « toute-puissante ». Ce sujet est relativement facile et classique. Il convient donc d'être particulièrement soigneux et précis lors de la rédaction. Le problème a le mérite d'aborder de nombreux points importants du programme sur le calcul matriciel et la réduction, ce qui en fait un bon problème de révision. Indications Exercice 2 Effectuer une boucle sur y. 3 On trouve deux couples solutions dont (1, 0). Problème Partie I 2.b Il suffit de donner une matrice dont le déterminant n'est pas dans T1 (R). 4.a Calculer le polynôme caractéristique de A. Une valeur propre est double, déterminer la dimension du sous-espace propre associé pour conclure. 4.b Utiliser le fait qu'une matrice est TPR si et seulement si n'importe quelle matrice qui lui est semblable l'est. 5.a Pour rappel, les matrices de rotation sont les matrices R avec cos - sin R = et R sin cos 6.b Si B est une racine n-ième de N, alors B est aussi nilpotente. Étudier l'indice de nilpotence de B, c'est-à-dire le plus petit entier non nul pour lequel Bk = 0. Partie II 7 C'est une application directe du lemme des noyaux. Partie III 12.a Rappelons le principe de la division euclidienne. Pour tous (P, S) K[X]2 avec S non nul, il existe un unique couple (Q, R) K[X]2 tel que P = S × Q + R avec deg(R) < p 12.b Comme on ne cherche pas à calculer U, il n'est pas nécessaire d'expliciter le développement limité de (1 + x) . Seule l'existence d'un tel développement suffit, or cette dernière est assurée par la formule de Taylor-Young. e avec N e nilpotente. 13.b Factoriser Ip + N sous la forme (Ip + N) 14.a Pour cette conclusion, il faut reprendre les résultats des questions 13.b et 11. 14.b Ne pas oublier les matrices nilpotentes... 15 Penser à regrouper par blocs les matrices de rotation de la question 5, qui sont bien « toutes-puissantes » mais en général non diagonalisables dans R. Exercice 1 L'équation de la tangente au point M(x0 , y0 ) H s'obtient par dédoublement des termes : TM : x0 x - 13y0 y = 1 De plus, l'hyperbole intersecte l'axe des abscisses (la droite d'équation y = 0) aux points M1 (1, 0) et M2 (-1, 0). Les tangentes en ces points sont TM1 : x = 1 et TM2 : x = -1 On peut aussi réécrire l'équation de l'hyperbole sous la forme H : (x - 13y)(x + 13y) = 1 On lit directement les équations des asymptotes : x = 13y et x = - 13y Ces informations aident à tracer l'hyperbole H. y H x 2 L'idée de l'algorithme est de faire une boucle parcourant les valeurs possibles p de y. À y fixé, la solution positive de x2 - 13y 2 = 1 est donnée par x = 1 + 13y 2 . On teste ensuite que la valeur obtenue est bien entière. Pour y variant de p 1 à 200 faire Calculer x = 1 + 13y 2 Si x est entier alors afficher (x, y) Fin Pour Il convient toutefois de prendre quelques précautions lorsque l'on teste si un p nombre est bien entier. Par exemple, si l'on choisit y = 6485 alors 1 + 13y 2 23382.000 pourtant (23382)2 - 13y 2 = -1... En effet, en poussant un peupplus loin l'approximation, on constate que cette racine n'est pas entière 1 + 13y 2 23382.00004. En toute rigueur, évitons donc de se limiter à regarder si la valeur fournie par la machine est bien entière car cette dernière est approximative. Si on dispose d'un sous-programme qui permet de tester si un nombre est entier (comme par exemple la commande type( ?,integer) sous Maple), le problème ne se pose pas.pSinon un compromis simple est de considérer l'entier le plus proche de 1 + 13y 2 , puis tester si ce dernier est bien solution de x2 - 13y 2 = 1. 3 Un calcul à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice donne deux possibilités dont une non triviale (1, 0) et (649, 180) Précisons le code dans différents langages : (à gauche le code, à droite la réponse) · Sous Maple, entier := proc (n) entier(200); local S, y; {[1, 0],[649,180]} S := {}; for y from 0 to n do if type(sqrt(1+13*y^2), integer) then S:=S union{[sqrt(1+13*y^2),y]}fi; od; RETURN(S); end; · Sous la calculatrice TI-83 plus et sans utiliser un sous-programme de vérification si un nombre est entier ou non, PROGRAM:TEST :FOR(Y,0,200) :ROUND((1+13*Y^2)^(1/2),0)-> X :IF X^2-13*Y^2=1 :THEN :DISP X,Y :END :END prgmTEST 1 0 649 180 Done · Sous Matlab, en évitant l'utilisation d'une boucle et en traitant le problème matriciellement, y=[0:1:10^7]; x=round(sqrt(1+13*y.^2)); [I,J]=find((x.^2-13*y.^2)==1); [x(I),y(I)] ans = 1 0 649 180 842401 233640 Dans le dernier exemple, on trouve une nouvelle solution à x2 - 13y 2 = 1 avec (842401, 233640). De plus, il est possible de répondre à la question sans même l'utilisation d'un logiciel de calcul. On peut par exemple faire un tableau de valeurs afin de « deviner » les bonnes valeurs...