CCINP Maths 2 MP 2012

Thème de l'épreuve Éléments propres de M ↦ AM-MA dans Mn(ℝ)
Principaux outils utilisés calcul matriciel, réduction
Mots clefs commutant, crochet de Lie

Corrigé

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SESSION 2012

MPM2006

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
____________________

MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

3p  1

p

n
3n+2012 - 9 × 52n

n
Mn (R)
1in

(Ei,j )
E i,j

n
1j n
i

In
j

R [X]
Mn (R)

A
P =

d
P

A
ak X k  R[X]

k=0

P  R[X]

P (A) =

d
P

ak A k

u

Rn
P (A)

k=0

R[A]

Tournez la page S.V.P.

P

P (A) = 0

A
A

P (u) = 0
u

A
Mn (R)

A

Mn (R)
A (M ) = AM - M A.
A
A

n=2
n=2
A
a b
c d

A=

I2
!

(A )

A
 M2 (R)

(E1,1 , E2,2 , E1,2 , E2,1 )

A

M2 (R)

A 6= 0

A 6= I2

R
A

A

(d - a)2 + 4bc > 0

A

A

Rn

c = (c1 , . . . , cn )
A
e = (e1 , . . . , en )
i

P

u
1  i  n i

c

(i, j)

1 0

 0
e D=

0 ···
1in 1jn

Bi,j = P Ei,j P -1 .

···

0

ei 
0

0 
n

(i, j)
Ei,j

i

DEi,j - Ei,j D

j
(i, j) Bi,j

A

A
A
Mn (R)
(Pi,j ) 1in

(i, j) i,j

A

1jn

Pi,j
A

A  Mn (R)  Mn (C)
A (M ) = AM - M A

Mn (C)

A
M  Mn (C)
A

zC

z
t

z

A

zC
t

A

z

z
X  Mn,1 (C) X =
6 0

A
AX = zX

Y  Mn,1 (C) Y 6= 0

AY = zY
A (X t Y )

z - z

A

A

AX = X

i,j

A

X  Mn,1 (R) X 6=

(i, j)
APi,j X = µi,j Pi,j X

µi,j

A

A
m

A
(In , A, . . . , Am-1 )
R [A]

(A )

R [A]
dim (

(A ))

Tournez la page S.V.P.

u
un-1 6= 0
1in

un = 0
i

y

(A )

v

Rn

ei = un-i (y)

(e1 , e2 , . . . , en )
B

n
un-1 (y) 6= 0

Rn
B

Rn

v(y) =

n
P

v=

i ei i  R)

i=1

n
P

i un-i

i=1

(A )
u
1 , 2 , . . . , p 1  p  n)
1  k  p Eu (k )

u
u

k
k

p

mk

B  Mn (R)
B
(A )
v

Rn

v

B
1  k  p Eu (k )

k
v (Eu (k ))  Eu (k )
(A )

B
R

v

n

u
(A )

n=7
p

mk

B  Mn (R), B =
6 0).

B

A
B

B
d

k  N A (B k ) = kB k
A (P (B))

P  R[X]

B
Bd = 0

XB - dB
B

 B

P  (B)
B

B

IMPRIMERIE NATIONALE ­ 12 1233 ­ D'après documents fournis

A