CCP Maths 2 MP 2011

Thème de l'épreuve Commutant d'une matrice. Inégalités sur les déterminants de matrices symétriques.
Principaux outils utilisés réduction de matrices, polynômes de matrices, matrices symétriques, déterminants
Mots clefs théorème de Choleski, inégalité de Hadamard, commutant, réduction simultanée, matrices définies positives

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2011 MPM2006 A CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et d la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées. Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et donner directement la réponse sur la copie. Ce sujet est composé d'un exercice et d'un problème qui sont indépendants. 1/4 EXERCICE Commutant d'une matrice Pour A E M3(R), on note C(A) : {M EUR M;,(R)/ÀM : MA} le commutant de la matrice A. 1. Démontrer que pour A E Mg(R), C(A) est un espace vectoriel. 1 4 --2 2. Démontrer, en détaillant, que la matrice A = 0 6 --3 est semblable a la matrice --1 4 0 T = . Pour cela, on donnera une matrice de passage que l'on notera P. GOOD ONO N)+--*O 3. Déterminer le commutant C (T ) de la matrice T. Déterminer sa dimension. 4. Démontrer que l'application M |--> P_1M P est un automorphisme d'espaces vectoriels de M;,(R). Que peut--on en déduire pour la dimension de C(A) ? 5. (a) Existe--t--il un polynôme annulateur de A de degré inférieur ou égal a 2 ? (b) Démontrer alors que C(A) : vect {lg, A, A2} . (c) En déduire que C(A) est l'ensemble des polynômes en A. Ce résultat reste--t--il vrai pour toute matrice A E Mg(R) ? PROBLÈME Inégalités sur les déterminants de matrices symétriques Dans ce problème, on note pour n entier naturel non nul : -- S,, l'ensemble des matrices symétriques de M,.(R), -- S,",Ï l'ensemble des matrices symétriques positives de M,.(R), -- S,",Î+ l'ensemble des matrices symétriques définies positives de M,.(R). 1 On admet ue si a: , a: ,..., a:,, sont n réels ositifs, l " a:,- > (" it,-) ". q 1 2 P "ë _ E 1. Question préliminaire On rappelle qu'une matrice S appartient a S,," , si S appartient a S,, et si, pour toute matrice X EUR M...flR), on a tXSX Z O. Démontrer qu'une matrice S de S,, est élément de S,",Ï si et seulement si toutes les valeurs propres de S sont positives. 2/4 PARTIE I l 2. Soit S E S,",Ï. Démontrer que " det S S -- trace S. n 3. Application : soit M EUR MAR). (a) Démontrer que tMM EUR S,",Î. 1 n n n 77. (b) Si M : (m,-j), en déduire l'inégalité (det JW)2 S (E) (ZZmÎj) . i=1 j=1 PARTIE II : Théorème de réduction simultanée 4. On se donne deux matrices A E S,",Ï+ et B E Sn . On note 13 la base canonique de R" et, dans cette base, A est la matrice d'un produit scalaire gp. On note l'espace euclidien E : (R",gp). Soit 13' une base orthonormée de E et B la matrice de passage de la base 13 vers la base 13' . (a) Justifier que I,, : ËRAR. (b) On note C : ÉRBR, justifier qu'il existe une matrice orthogonale Q et une matrice diagonale D telle que tQCQ : D. (c) Déterminer, en fonction des matrices R et Q, une matrice inversible P telle que : A : 'PP et B : 'PDP (théorème de réduction simultanée) l l Démontrer qu'une matrice inversible P telle que la matrice 'PBP soit diagonale n'est pas nécessairement une matrice orthogonale. (cl) Dans cette question, on prend l'exemple de la matrice B = < 1 1 ). On pourra, par exemple, utiliser la forme quadratique canoniquement associée à la matrice B. 5. Démontrer l'inégalité << det(A + B) 2 det A + det B >> dans les deux cas suivants : (a) A E S,",Ï+ et B E S+ en utilisant le théorème de réduction simultanée. On pourra n7 remarquer ici que, avec tous les À,- Z O, H(l + À,-) 2 (l + NA,-). ' i=1 z=1 (b) A E S,,Î et B E S,",Ï, en démontrant d'abord que A + B E S,," et en considérant les cas où les matrices sont dans S,",Ï sans être dans S,",Ïf 6. Soient A et B deux matrices de S,",Ï+ et t E {0,1]. On note B une matrice inversible et D : diag()... À2, - - - , )...) une matrice diagonale dans le théorème de réduction simultanée. (a) Exprimer det(tA + (1 -- t)B) en fonction de det P, 15 et les À,-. (b) En utilisant la fonction ln, démontrer que pour tout ?) entier compris entre 1 et n, t+ (1 -- t)À,- z À,1_t. (c) Démontrer que det(tA + (1 -- t)B) Z (det A)' (det B)1_t. 7. Si A est une matrice de S,",Ï+ et B une matrice de S,",Ï , on démontre de même par le théorème de réduction simultanée (par la convexité de la fonction a: |--> ln(l + e"')) le résultat suivant qui est admis : :l+--* (det(A + B))% 2 (det A)% + (det B) . 3/4 (a) Démontrer que S,",Î+ est dense dans S,",Ï . (b) Démontrer l'inégalité ci--dessus pour A et B deux matrices de S,",Ï . PARTIE III : Théorème de Choleski 8. Si A est une matrice de S,",Ï+, il est possible, par le procédé d'orthonormalisation de Schmidt, de trouver une matrice triangulaire supérieure inversible a coefficients diagonaux positifs T, vérifiant A : tTT (décomposition de Oholeski). On ne demande pas de prouver ce résultat. (a) On se propose de démontrer que cette matrice T est unique. Si on pose A : tT1T1 : tT2T2, démontrer que T1T2_1 : I,, et conclure. On pourra admettre que si T est l'ensemble des matrices triangulaires supérieures inversibles de M,,(R), (T, .) est un groupe. (b) Exemple : si A = (a,-,), où pour tout couple (i, ]) d'entiers compris entre 1 et n, a,,-- = min(i, j ), donner la décomposition de Oholeski de la matrice A. On ne demande pas de vérifier que A est une matrice de S,",Ïf 9. Un peu d'informatique Pour une matrice A de Sÿ+, écrire un algorithme en français permettant de trouver la matrice T de la décomposition de Oholeski. Entrer cet algorithme dans la calculatrice (on ne demande pas le programme sur la copie) puis, pour chacun des cas suivants, donner la matrice T : 49 14 --14 1 6 % Al: 14 26 --8 ,Ag= 6 % 6 , --14 --8 21 % 6 % 1 6 --2 1 2 3 AB: 6 1 --1 etA4= 2 26 26 --2 --1 6 3 26 70 10. Inégalité d'Hadamard (3) Soit S = (S,-,) E S,",Ï+, démontrer que det S $ US,-,- . i=1 (b) Application : démontrer que pour toute matrice inversible M EUR M,,(R), M = (a,-,), ...... g (fi (m))' . i=1 k=1 Fin de l'énoncé 4/4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Maths 2 MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Didier Lesesvre (ENS Cachan) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet est composé d'un exercice et d'un problème, tous deux d'algèbre. L'exercice porte sur l'étude du commutant d'une matrice particulière. Il est l'occasion de revoir la méthode de trigonalisation d'une matrice et d'appliquer quelques résultats de la théorie de la réduction des endomorphismes. Le problème, quant à lui, mène à la preuve de plusieurs résultats puissants et utiles d'algèbre linéaire (décomposition de Choleski, réduction simultanée) et les met en oeuvre pour obtenir des inégalités très générales portant sur les traces et les déterminants de certaines classes de matrices. Il est constitué de trois parties, qui peuvent être traitées sans encombre de manière indépendante en admettant les résultats des questions précédentes, qui sont tous clairement énoncés dans le sujet. Plus précisément : · La première partie est une introduction regroupant plusieurs résultats sur les matrices symétriques, qui sont utiles dans les deux parties suivantes. On y rencontre en particulier l'idée qui consiste, pour toute matrice M, à considérer t MM qui est symétrique positive. Les résultats sur les matrices positives induisent, par ce procédé, des propriétés valables pour toutes les matrices. · La deuxième partie est dédiée au théorème de réduction simultanée et à son utilisation pour obtenir des inégalités entre déterminants de matrices symétriques. · La dernière partie porte sur la décomposition de Choleski. Il est facile de prouver que pour toute matrice T inversible, t TT est une matrice symétrique définie positive. Le théorème de Choleski énonce une réciproque : toute matrice symétrique définie positive peut s'écrire sous cette forme. Le sujet propose une preuve de l'unicité de cette décomposition, sa mise en application sur un exemple concret de matrice, l'écriture d'un algorithme calculant cette décomposition pour des matrices de taille 3 et une preuve d'une inégalité d'Hadamard. Ce sujet aborde des thèmes intéressants et profonds, qui aboutissent à des résultats importants. Il reste cependant très abordable car les raisonnements à suivre sont décomposés en détail par l'énoncé. Il demande toutefois une bonne maîtrise des techniques de réduction et une bonne compréhension du cours sur les formes quadratiques. Indications Exercice 1 Vérifier simplement le caractère non vide et la stabilité par combinaison linéaire. Les plus malins peuvent remarquer que C(A) est le noyau d'un endomorphisme. 2 On cherche à prouver que A est semblable à une matrice triangulaire supérieure, c'est-à-dire que l'on cherche à la trigonaliser. Appliquer les méthodes habituelles. 3 Une matrice M qui commute avec T stabilise les sous-espaces propres de T. 4 Il s'agit de l'application de changement de base. Vérifier à la main qu'elle est linéaire et bijective. Deux espaces isomorphes ont même dimension. 5.a S'il existe un polynôme annulateur de degré inférieur ou égal à 2, alors il est de degré 1 ou 2. Prouver que dans chacun des cas c'est impossible. 5.b L'une des inclusions est évidente. On conclut par un argument de dimension. 5.c Déterminer la dimension de l'espace des polynômes en A en fonction du degré de son polynôme minimal. Problème 1 Une matrice symétrique est diagonalisable en base orthonormale. Écrire la définition de la positivité à une famille orthogonale de vecteurs propres. 2 Se servir de l'inégalité arithmético-géométrique rappelée en début de problème. 3.a Prouver la symétrie et la positivité séparément, en revenant aux définitions. 3.b Appliquer à la matrice t MM le résultat obtenu à la question 2. 4.a Écrire le produit scalaire canonique dans la base B . 4.b La matrice C est symétrique réelle dans B : appliquer le théorème spectral. 4.c Conclure à l'aide de ce qui précède : P = t (RQ)-1 . 4.d Trouver un changement de coordonnées simplifiant l'expression de la forme quadratique associée à B. 5.a Appliquer la réduction simultanée à A et B, puis réécrire det(A + B) en gardant à l'esprit que le déterminant d'un produit est le produit des déterminants. 5.b Prouver que la somme est symétrique positive en revenant aux définitions. Si l'on n'est pas dans le cas précédent, c'est que A et B ne sont pas inversibles : elles ont donc un déterminant nul. 6.a Développer à l'aide de la réduction simultanée. 6.b Se servir de la concavité du logarithme népérien. 6.c Conjuguer les deux questions qui précèdent pour obtenir le résultat. 1 7.a Si A est symétrique positive, que peut-on dire de An = A + In ? n 7.b Prendre deux suites de matrices symétriques définies positives convergeant respectivement vers A et B, et leur appliquer l'inégalité donnée au début de la question 7. 8.a Prouver que T1 T2 -1 est triangulaire supérieure et orthogonale, ainsi que sa transposée. En déduire qu'elle est diagonale. Conclure à l'aide de l'orthogonalité. 8.b Revenir à la définition du produit matriciel et écrire explicitement l'équation à résoudre. 9 Appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. 10.a Appliquer la décomposition de Choleski. 10.b Utiliser le résultat précédent avec la matrice symétrique définie positive t MM. Exercice Commutant d'une matrice 1 Le commutant C(A) de A est l'ensemble des matrices qui commutent avec A. Prouvons qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de M3 (R). Pour commencer, il est non vide car il contient la matrice nulle. On établit « manuellement » la stabilité par combinaison linéaire en vérifiant que si deux matrices M et N commutent avec A, il en va de même de leurs combinaisons linéaires : si est un réel, alors (M + N)A = MA + NA = AM + AN (M + N)A = A(M + N) (MA = AM, NA=AN) ce qui signifie que M + N est également dans C(A). C(A) est un sous-espace vectoriel de M3 (R). On peut remarquer, plus simplement, que le commutant de A est le noyau de l'application linéaire M 7 AM - MA, c'est donc un sous-espace vectoriel. 2 Il s'agit du problème de trigonalisation d'une matrice. Pour ce faire, on commence par calculer le polynôme caractéristique de A pour en déduire ses valeurs propres : A (X) = det(A - X I3 ) = 1-X 4 -2 0 6 - X -3 -1 4 -X = 1-X 4 3-X 0 6-X 3-X -1 4 3-X (C3 C1 + C2 + C3 ) = (3 - X) 1-X 0 -1 4 1 6-X 1 4 1 (multilinéarité) = (3 - X) 2-X 0 -1 0 0 6-X 1 4 1 (L1 L1 - L3 ) 1 0 = (3 - X)(2 - X) 0 6 - X -1 4 = (3 - X)(2 - X) 6-X 4 0 1 1 1 1 A (X) = (3 - X)(2 - X)2 (multilinéarité) (développement L1 ) La matrice A admet donc 2 et 3 comme valeurs propres. La valeur propre 3 est de multiplicité 1 dans le polynôme caractéristique, donc le sous-espace propre associé à la valeur propre 3 est de dimension 1. Quant à la valeur propre 2, elle peut être associée à un sous-espace propre de dimension 1 ou 2. Recherchons des bases de vecteurs propres pour les deux espaces propres en résolvant les systèmes d'équations associés. Commençons par trouver un vecteur de la droite propre associée à 3 : x + 4y - 2z = 3x 6y - 3z = 3y avec X = t (x y z) AX = 3X -x + 4y = 3z 4y - 2z = 2x 3y - 3z = 0 4y - 3z = x z=x y=z L1 L1 - L3 -x + 4y = 3z AX = 3X x=y=z La droite propre recherchée est donc celle des vecteurs ayant les trois mêmes coordonnées. En particulier, le vecteur t e1 = 1 1 1 est une base de la droite propre correspondant à la valeur propre 3. Raisonnons de même pour la valeur propre 2 : 4y - 2z = x 4y - 3z = 0 AX = 2X 4y - 2z = x x = 4y - 2z 4y = 3z -x + 4y = 2z 4y = 3z AX = 2X x =z On obtient un espace propre de dimension 1 associé à la valeur propre 2, engendré par t e2 = 4 3 4 Complétons ce système de deux vecteurs en une base en choisissant un troisième vecteur. Notons, en toute généralité t e3 = x y z Pour que la matrice A soit semblable à la matrice T, on veut que Ae3 = 2e3 + e2 : x + 4y - 2z = 2x + 4 6y - 3z = 2y + 3 Ae3 = 2e3 + e2 -x + 4y = 2z + 4 x = 4y - 2z - 4 4y = 3z + 3 x = z-1 Ae3 = 2e3 + e2 4y = 3(z + 1)