CCINP Maths 2 MP 2011

Thème de l'épreuve Commutant d'une matrice. Inégalités sur les déterminants de matrices symétriques.
Principaux outils utilisés réduction de matrices, polynômes de matrices, matrices symétriques, déterminants
Mots clefs théorème de Choleski, inégalité de Hadamard, commutant, réduction simultanée, matrices définies positives

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SESSION 2011 MPM2006

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et d la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et 
donner directement la
réponse sur la copie.

Ce sujet est composé d'un exercice et d'un problème qui sont indépendants.

1/4

EXERCICE
Commutant d'une matrice

Pour A E M3(R), on note C(A) : {M EUR M;,(R)/ÀM : MA} le commutant de la 
matrice A.

1. Démontrer que pour A E Mg(R), C(A) est un espace vectoriel.

1 4 --2
2. Démontrer, en détaillant, que la matrice A = 0 6 --3 est semblable a la 
matrice
--1 4 0

T = . Pour cela, on donnera une matrice de passage que l'on notera P.

GOOD
ONO
N)+--*O

3. Déterminer le commutant C (T ) de la matrice T. Déterminer sa dimension.

4. Démontrer que l'application M |--> P_1M P est un automorphisme d'espaces 
vectoriels de
M;,(R).
Que peut--on en déduire pour la dimension de C(A) ?
5. (a) Existe--t--il un polynôme annulateur de A de degré inférieur ou égal a 2 
?
(b) Démontrer alors que C(A) : vect {lg, A, A2} .
(c) En déduire que C(A) est l'ensemble des polynômes en A.
Ce résultat reste--t--il vrai pour toute matrice A E Mg(R) ?

PROBLÈME
Inégalités sur les déterminants de matrices symétriques

Dans ce problème, on note pour n entier naturel non nul :
-- S,, l'ensemble des matrices symétriques de M,.(R),
-- S,",Ï l'ensemble des matrices symétriques positives de M,.(R),

-- S,",Î+ l'ensemble des matrices symétriques définies positives de M,.(R).

1
On admet ue si a: , a: ,..., a:,, sont n réels ositifs, l " a:,- > (" it,-) ".
q 1 2 P "ë _ E
1. Question préliminaire
On rappelle qu'une matrice S appartient a S,," , si S appartient a S,, et si, 
pour toute matrice
X EUR M...flR), on a tXSX Z O.
Démontrer qu'une matrice S de S,, est élément de S,",Ï si et seulement si 
toutes les valeurs
propres de S sont positives.

2/4

PARTIE I

l
2. Soit S E S,",Ï. Démontrer que " det S S -- trace S.
n

3. Application : soit M EUR MAR).
(a) Démontrer que tMM EUR S,",Î.

1 n n n 77.
(b) Si M : (m,-j), en déduire l'inégalité (det JW)2 S (E) (ZZmÎj) .

i=1 j=1
PARTIE II : Théorème de réduction simultanée

4. On se donne deux matrices A E S,",Ï+ et B E Sn . On note 13 la base 
canonique de R" et, dans
cette base, A est la matrice d'un produit scalaire gp. On note l'espace 
euclidien E : (R",gp).

Soit 13' une base orthonormée de E et B la matrice de passage de la base 13 
vers la base 13' .
(a) Justifier que I,, : ËRAR.

(b) On note C : ÉRBR, justifier qu'il existe une matrice orthogonale Q et une 
matrice
diagonale D telle que tQCQ : D.

(c) Déterminer, en fonction des matrices R et Q, une matrice inversible P telle 
que :

A : 'PP et B : 'PDP (théorème de réduction simultanée)

l l

Démontrer qu'une matrice inversible P telle que la matrice 'PBP soit diagonale 
n'est
pas nécessairement une matrice orthogonale.

(cl) Dans cette question, on prend l'exemple de la matrice B = < 1 1 ). On pourra, par exemple, utiliser la forme quadratique canoniquement associée à la matrice B. 5. Démontrer l'inégalité << det(A + B) 2 det A + det B >> dans les deux cas 
suivants :

(a) A E S,",Ï+ et B E S+ en utilisant le théorème de réduction simultanée. On 
pourra

n7

remarquer ici que, avec tous les À,- Z O, H(l + À,-) 2 (l + NA,-).
' i=1

z=1
(b) A E S,,Î et B E S,",Ï, en démontrant d'abord que A + B E S,," et en 
considérant les cas
où les matrices sont dans S,",Ï sans être dans S,",Ïf

6. Soient A et B deux matrices de S,",Ï+ et t E {0,1]. On note B une matrice 
inversible et
D : diag()... À2, - - - , )...) une matrice diagonale dans le théorème de 
réduction simultanée.

(a) Exprimer det(tA + (1 -- t)B) en fonction de det P, 15 et les À,-.
(b) En utilisant la fonction ln, démontrer que pour tout ?) entier compris 
entre 1 et n,
t+ (1 -- t)À,- z À,1_t.
(c) Démontrer que det(tA + (1 -- t)B) Z (det A)' (det B)1_t.
7. Si A est une matrice de S,",Ï+ et B une matrice de S,",Ï , on démontre de 
même par le théorème

de réduction simultanée (par la convexité de la fonction a: |--> ln(l + e"')) 
le résultat suivant
qui est admis :

:l+--*

(det(A + B))% 2 (det A)% + (det B) .

3/4

(a) Démontrer que S,",Î+ est dense dans S,",Ï .

(b) Démontrer l'inégalité ci--dessus pour A et B deux matrices de S,",Ï .

PARTIE III : Théorème de Choleski

8. Si A est une matrice de S,",Ï+, il est possible, par le procédé 
d'orthonormalisation de Schmidt,
de trouver une matrice triangulaire supérieure inversible a coefficients 
diagonaux positifs T,
vérifiant A : tTT (décomposition de Oholeski).

On ne demande pas de prouver ce résultat.

(a) On se propose de démontrer que cette matrice T est unique.
Si on pose A : tT1T1 : tT2T2, démontrer que T1T2_1 : I,, et conclure.
On pourra admettre que si T est l'ensemble des matrices triangulaires 
supérieures
inversibles de M,,(R), (T, .) est un groupe.

(b) Exemple : si A = (a,-,), où pour tout couple (i, ]) d'entiers compris entre 
1 et n,
a,,-- = min(i, j ), donner la décomposition de Oholeski de la matrice A.

On ne demande pas de vérifier que A est une matrice de S,",Ïf

9. Un peu d'informatique
Pour une matrice A de Sÿ+, écrire un algorithme en français permettant de 
trouver la matrice
T de la décomposition de Oholeski.
Entrer cet algorithme dans la calculatrice (on ne demande pas le programme sur 
la copie)
puis, pour chacun des cas suivants, donner la matrice T :

49 14 --14 1 6 %
Al: 14 26 --8 ,Ag= 6 % 6 ,

--14 --8 21 % 6 %

1 6 --2 1 2 3
AB: 6 1 --1 etA4= 2 26 26

--2 --1 6 3 26 70

10. Inégalité d'Hadamard
(3) Soit S = (S,-,) E S,",Ï+, démontrer que det S $ US,-,- .
i=1
(b) Application : démontrer que pour toute matrice inversible M EUR M,,(R), M = 
(a,-,),

...... g (fi (m))' .

i=1 k=1

Fin de l'énoncé

4/4