CCP Maths 2 MP 2010

Thème de l'épreuve Quelques utilisations des projecteurs
Principaux outils utilisés projecteurs, exponentielle d'endomorphismes, polynômes d'endomorphismes, espaces euclidiens
Mots clefs exponentielle de matrice, exponentielle d'endomorphisme

Corrigé

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SESSION 2010 MPM2006 A CONCOURS (OMMUNS POIYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. * >|< * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en eapliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS Notations et objectifs : Dans tout le texte E désigne un R--espace vectoriel de dimension finie n > 1. On note id l'endomorphisme identité de E, MAR) le R--espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille n. Si E1 et E2 sont des sous--espaces vectoriels de E supplémentaires, c'est--à--dire E : El @ E2, on appelle projecteur sur El parallèlement à EZ l'endomorphisme p de E qui, a un vecteur a: de E se décomposant comme a: = 331 + 332, avec (331, 332) EUR El >< E2, associe le vecteur 331. On rappelle que si A est une matrice de MAR), la matrice exponentielle de A est la matrice : +oo Ak exp(A) : Ü' k=0 ' De même si u est un endomorphisme de E , l'exponentielle de u est l'endomorphisme : +oo uk exp(u) : --. k=0 k! 1/4 SESSION 2010 MPM2006 A CONCOURS (OMMUNS POIYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. * >|< * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en eapliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS Notations et objectifs : Dans tout le texte E désigne un R--espace vectoriel de dimension finie n > 1. On note id l'endomorphisme identité de E, MAR) le R--espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille n. Si E1 et E2 sont des sous--espaces vectoriels de E supplémentaires, c'est--à--dire E : El @ E2, on appelle projecteur sur El parallèlement à EZ l'endomorphisme p de E qui, a un vecteur a: de E se décomposant comme a: = 331 + 332, avec (331, 332) EUR El >< E2, associe le vecteur 331. On rappelle que si A est une matrice de MAR), la matrice exponentielle de A est la matrice : +oo Ak exp(A) : Ü' k=0 ' De même si u est un endomorphisme de E , l'exponentielle de u est l'endomorphisme : +oo uk exp(u) : --. k=0 k! 1/4 Dans les parties II. et III., on propose une méthode de calcul d'exponentielle de matrice a l'aide de projecteurs spectraux dans les cas diagonalisable et non diagonalisable Dans la dernière partie IV., on utilise les projections orthogonales pour calculer des distances a des parties. Les quatre parties sont indépendantes. I. Questions préliminaires . . 0 1 0 0 l. 801t les matrices A -- 0 0 et B _ 1 0 . Calculer exp(A), exp(B), exp(A) exp(B) et exp(A + B) (pour exp(A + B), on donnera la réponse en utilisant les fonctions ch et sh). 2. Rappeler sans démontration, une condition suffisante pour que deux matrices A et B de MAR) vérifient l'égalité exp(A) exp(B) : exp(A + B). II. Un calcul d'exponentiefle de matrice à l'aide des projecteurs spectraux, cas diagonalîsable Soit A E Mn(lR) une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont : À1<À2<"'<À... où 7° désigne un entier vérifiant 1 { 7° { n. 3. Polynôme interpolatcur de Lagrange : on note IRT_1[X] le R--espace vectoriel des polynômes a coefficients réels de degré inférieur ou égal a 7° -- 1. On considère l'application linéaire çb de RT_1[X] dans IR" définie par : P '_> (P(À1),P(À2),. ' ' 7P(À7'))' Déterminer le noyau de çb, puis en déduire qu'il existe un unique polynôme L de IRT_1[X] tel que pour tout 7 EUR {I, . . . ,7°}, L(Ài) : eÀ'L'. 4. Pour 7' EUR {I, . . . ,7°}, on définit le polynôme ZZ- de RT_1[X] par : " X--Àk k=1 " '" k7£75 (a) Calculer Zi(Àj) selon les valeurs de 7' et j dans {l, . . . ,7°}. (13) En déduire une expression du polynôme L comme une combinaison linéaire des polynômes ZZ- avec 7 EUR {l,...,7°}. 5. Une propriété de l'emponcntz'cllc : soit P une matrice inversible de MAR) et D une matrice de MAR). (a) Justifier que l'endomorphisme de MAR) défini par M |--> PM P_1 est une application continue. (13) En déduire que : exp(PDP_l) : Pexp(D)P_l. 2/4 Déduire des questions 3. et 5. que exp(A) : L(A). On suppose que E est munie d'une base 13 et on désigne par ?} l'endomorphisme de E dont la matrice par rapport a B est A. Soit A une valeur propre de v, et a: un vecteur propre associé. Démontrer que pour tout polynôme P E R[X], on a : P(v)(a:) : P(À)æ. Soit 2' EUR {1, . . . ,7°}, on note E, : Ker(v -- À,-- id) le sous--espace propre de ?} associé a À,--. (a) Démontrer que l'endomorphisme de E, p,-- : Z,-(v) est le projecteur sur E,, parallèlement a @ E;, (on dit que les p,-- sont les projecteurs spectraux de v). k = 1 k #75 (b) En déduire une expression de exp(A) comme une combinaison linéaire de matrices de projecteurs. III. Un calcul d'exponentiefle de matrice à l'aide des projecteurs spectraux, cas non diagonalîsable Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme minimal est (X -- 1)2(X -- 2). 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. L'endomorphisme u est--il diagonalisable ? Justifier la réponse. Écrire, sans justifier, un exemple de matrice triangulaire de M3(R) dont l'endomorphisme canoniquement associé a pour polynôme minimal (X -- 1)2(X -- 2). Démontrer, sans aucun calcul, que E : Ker(u -- id)2 @ Ker(u -- 2 id). On considère les endomorphismes de E : p = (u -- id)2 et q = u 0 (2 id --u). Calculer p + q. Démontrer que l'endomorphisme p est le projecteur sur Ker(u -- 2 id), parallèlement a Ker(u -- id)? Que dire de l'endomorphisme q ? Soit {L' un élément de E. (a) Préciser (u -- 2 id) (p(a:)). (b) Déterminer un nombre réel oz tel que pour tout entier naturel k, uk @ p : oz""p. (c) En déduire que exp(u) @ p : fip où @ est un réel a déterminer. Que vaut pour tout entier [EUR > 2, (u -- id)'EUR 0 q? Démontrer que exp(u) oq : yuoq où y est un réel a déterminer (on pourra écrire en justifiant que exp(u) : exp(id) @ exp(u -- id) ). Ecrire enfin l'endomorphisme exp(u) comme un polynôme en u. IV. Calcul de distances à l'aide de projecteurs orthogonaux Dans cette artie on su ose en lus ue l'es ace E est muni d'un roduit scalaire < - - > ce 7 7 7 qui lui confère une structure d'espace euclidien. On rappelle que la norme euclidienne associée, notée H - H, est définie par : Va: E E, Ha:H : \/< a:,a: >. Si F est un sous--espace vectoriel de E, on note F L son orthogonal, et on appelle projecteur orthogonal sur F, noté 191: le projecteur sur F, parallèlement a F i. Enfin, si a: est un vecteur de E, la distance euclidienne de a: a F, notée d(a:, F) est le réel : d<æ. F) = inf{Hæ -- yH \ y e F}. 3/4 17. 18. 19. 20. Théorème de la projection orthogonale : soit F un sous--espace vectoriel de E et a: un vecteur de E. Rappeler sans démonstration, la formule permettant de calculer d(a:, F) a l'aide du vecteur pF(a:). Cas des hyperplan5 : soit n un vecteur non nul de E et H l'hyperplan de E orthogonal a n, c'est a dire H : (Vect {n})% Exprimer pour a: E E, la distance d(a:, H) en fonction de < a:,n > et de Un.... Une application : dans cette question uniquement, E : M,,(R) muni de son produit scalaire canonique : si A et B sont dans M,,(R), en notant Tr la trace, < A, B > : Tr('AB). Enfin on note H l'ensemble des matrices de M,,(R) dont la trace est nulle. (a) Justifier que H est un hyperplan de M,,(R) et déterminer H i. (b) Si M est une matrice de M,,(R), déterminer la distance d(M, H). Et pour une norme non euclidienne ? Dans cette question E = R2 est muni de la norme infinie notée NOO : si a: : (331,332) EUR R2, Noe(a:) : max{loefl, 13:21}. On pose F : Vect{(1,0)} et a: = (1, 1). Déterminer la distance «infinie» du vecteur a: a F, c'est--à--dire le réel : doe<æ. F) = inf{Noe 

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 CCP Maths 2 MP 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Ce sujet porte sur le thème très classique de l'utilisation des projecteurs pour le calcul d'exponentielle de matrice et d'endomorphisme, puis pour le calcul de distances dans le cadre euclidien. Les quatre parties sont indépendantes à une exception près : la partie III utilise un critère demandé dans la partie I. · Les questions préliminaires en première partie servent à se fixer les idées et à rappeler que les propriétés de l'exponentielle réelle ou complexe ne sont pas transportées telles quelles dans Mn (R). · La deuxième partie propose d'exprimer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable comme combinaison linéaire de matrices des projecteurs spectraux. La démarche consiste à écrire l'exponentielle comme un polynôme en la matrice en s'appuyant essentiellement sur les polynômes interpolateurs de Lagrange et sur la continuité d'applications linéaires en dimension finie. Une bonne connaissance du cours de réduction permet ensuite de relier l'écriture polynomiale de l'exponentielle avec les projecteurs spectraux de l'endomorphisme associé à la matrice considérée. · La troisième partie se concentre sur le calcul de l'exponentielle d'un endomorphisme non diagonalisable dont on connaît le polynôme minimal. L'idée principale tient dans l'écriture de l'espace vectoriel comme somme directe de sous-espaces qui sont spécifiquement choisis en fonction du polynôme minimal. En considérant les deux projecteurs associés à cette somme directe de supplémentaires, on parvient à calculer l'exponentielle de l'endomorphisme. · La dernière partie propose de calculer dans un espace euclidien la distance entre un vecteur et un sous-espace vectoriel. Le sous-espace en question est un hyperplan dont l'orthogonal est connu, ce qui permet un calcul explicite très simple. Puis en dernier lieu, on s'intéresse au cas d'un espace non euclidien. Ce sujet est abordable et faisable dans le temps imparti. C'est un très bon problème d'entraînement pour s'assurer que l'on maîtrise bien les outils incontournables du programme que sont les projecteurs, les théorèmes de diagonalisation et la théorie des espaces euclidiens. Indications Partie I 1 Calculer A2 et B2 puis conclure en factorisant A2 et B2 dans Ak et Bk pour tout entier k > 2. 2 Se souvenir que l'anneau (Mn (R), +, ×) n'est pas commutatif. Partie II 3 Penser à calculer les dimensions de l'espace de départ et de celui d'arrivée. 4.b Remarquer que (li )i[[ 1 ; r ]] est une famille libre de Rr-1 [X]. 5.a L'espace Mn (R) est de dimension finie. 5.b Écrire l'exponentielle de PDP-1 comme une limite et utiliser la continuité de l'application introduite à la question 5.a. 6 Comme A est semblable à D diagonale, montrer en premier lieu que exp(D) = L(D) 7 Vérifier la propriété demandée sur les monômes Xk avec k entier et en déduire le cas général. r M 8.a Écrire la décomposition d'un vecteur x dans la somme directe Ek . 8.b Utiliser les résultats des questions 6 et 8.a. k=1 Partie III 9 Examiner les multiplicités des racines du polynôme minimal. 10 La matrice triangulaire de M3 (R) recherchée possède nécessairement une valeur propre double et la dimension du sous-espace propre associé n'est pas égale à 2. 11 Les polynômes (X - 1)2 et (X - 2) sont premiers entre eux. 13 Décomposer un vecteur x de E dans la somme directe obtenue à la question 11. 14.a Utiliser les règles de composition de polynômes d'endomorphismes P(u) Q(u) = (PQ)(u) 14.c Écrire l'exponentielle de u comme une limite et utiliser la continuité de la composition dans L (E) v 7 v p. 15 Décomposer u = id +(u - id ) et utiliser le critère rappelé à la question 2. Partie IV 16 Faire apparaître l'identité et invoquer le résultat de la question 12. 18 Remarquer que id -pF = pF . 19.a Vérifier que la trace n'est pas l'application nulle puis remarquer que A Mn (R) Tr (In A) = Tr (A) 19.b Utiliser le résultat de la question 18. 20 Penser à l'unicité donnée par le théorème de projection orthogonale. I. Questions préliminaires 1 Un simple calcul donne A2 = 0 et B2 = 0. Pour tout entier k > 2, les écritures factorisées Ak = Ak-2 × A2 et Bk = Bk-2 × B2 permettent d'en déduire Ak = 0 et Bk = 0 Ainsi, dans les séries qui définissent exp(A) et exp(B), tous les termes d'exposant supérieur ou égal à deux sont nuls d'où exp(A) = I2 + A et exp(B) = I2 + B. Par suite, 1 1 1 0 2 1 exp(A) = , exp(B) = et exp(A) exp(B) = 0 1 1 1 1 1 Notons C = A + B. On trouve que C2 = I2 et pour tout entier k, on obtient k k C2k = C2 = I2 et C2k+1 = C × C2 = C Munissons Mn (R) de la norme d'application linéaire définie par A Mn (R) kAk = kAXk XMn,1 (R)r{0} kXk Sup qui garantit que pour tout (A, B) Mn (R)2 , on a kABk 6 kAk × kBk Il en résulte que, pour tout entier k, kC2k k kCk2k 6 (2k)! (2k)! Or, les séries numériques P kCk2k (2k)! et et kC2k+1 k kCk2k+1 6 (2k + 1)! (2k + 1)! P kCk2k+1 (2k + 1)! sont convergentes puisqu'on reconnaît les développements en série entière respectifs de ch kCk et sh kCk dont les rayons de convergence sont infinis. Ceci implique la convergence dans Mn (R) des séries P C2k (2k)! et P C2k+1 (2k + 1)! Selon la parité de l'entier k, en notant [x] la partie entière de x, on a les égalités C2×[k/2] si k pair k C = C2×[k/2]+1 sinon En notant rk le reste de la division euclidienne de k par 2, c'est-à-dire 0 si k pair et 1 sinon, il vient Ck = (1 - rk ) × C2×[k/2] + rk C2×[k/2]+1 Il s'ensuit, par linéarité du signe somme dans le cas de séries convergentes combinée à un changement d'indice, P Ck k=0 k! + exp(A + B) = + = P 1 (1 - rk ) × C2×[k/2] + rk C2×[k/2]+1 k=0 k! + P C2k+1 P C2k + k=0 (2k + 1)! k=0 (2k)! + + P 1 P 1 = I2 + C k=0 (2k)! k=0 (2k + 1)! + = exp(A + B) = ch (1) I2 + sh (1) C Ainsi, exp(A + B) = ch (1) sh (1) sh (1) ch (1) À l'issue de ces calculs, on constate que, contrairement à ce qu'on pourrait penser, la relation exp(A) exp(B) = exp(A + B) avec A et B des matrices de Mn (R) est fausse en général alors que cette égalité vaut pour l'exponentielle réelle et l'exponentielle complexe. Cette différence tient au fait que l'anneau (Mn (R), +, ×) n'est pas commutatif et permet d'appréhender le critère attendu pour la question suivante. 2 Une condition suffisante sur les matrices A et B pour satisfaire exp(A + B) = exp(A) exp(B) est que le produit des deux matrices commute, c'est-à-dire AB = BA Bien que la démonstration ne soit pas exigée, avoir une certaine idée du mécanisme de la preuve permet de se souvenir efficacement de la condition des matrices qui commutent. En effet, si A et B commutent, le calcul de (A + B)k qui intervient dans le terme général de l'exponentielle exp(A+B) peut se faire par la formule du binôme et permet alors de démontrer l'égalité attendue.