CCP Maths 2 MP 2009

Thème de l'épreuve Polynômes d'endomorphismes. Symétrie orthogonale. Résultant de polynômes.
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, déterminants, polynômes, espaces euclidiens, coniques
Mots clefs résultant, nombres algébriques, symétrie orthogonale, polynôme d'endomorphisme

Corrigé

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 me.--52... .v " mm.--Sn-- a müb0...æ<ämmîä m2 ËmEË - Ë5EÜËm mËËË oe...=o_z=vuh>.--ooe «:::--cou moe=°uzcv ' A MPM2006 CONCOURS (OMMUNS POI.YTECHNIOUES SESSION 2009 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. * * * NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants. Remarques : ... Il n'est pas demandé le détail des calculs sur la copie lorsque le candidat aura besoin de calculer un déterminant, un produit de matrices, l'inverse d'une matrice ou tout autre calcul. Par exemple, pour un déterminant, il pourra se contenter d'écrire le déterminant à calculer et de donner la réponse. ---- On rappelle que le candidat doit indiquer les théorèmes utilisés et lorsqu'il s'agira des théorèmes de Bézout et Gauss il indiquera leur nom. PREMIER EXERCICE Soit E un IR--espace vectoriel, u un endomorphisme de E et P un polynôme à coefficients réels. 1. Si À est une valeur propre de u, démontrer que P (À) est une valeur propre de l'endomorphisme P(u) de E. 2. On suppose que P(u) est l'endomorphisme nul : P(u) = 0. (a) Montrer que toute valeur propre de u est racine de P. (b) Réciproquement, toute racine de P est--elle valeur propre de u ? 3. On suppose dans cette question que E est un IR--espace vectoriel de dimension impaire et que u est un endomorphisme de E vérifiant u3 -- u2 + u -- id = 0. Déterminer le Spectre de u. 1/4 DEUXIÈME EXERCICE On munit IR3 de sa structure euclidienne canonique et on note (e1,e2,e3) sa base canonique. On note w = 261 + 382 + 63 et H le plan vectoriel d'équation 2:L' + 3y + z = 0. On note 3 la symétrie orthogonale par rapport au plan H et S la matrice de 3 dans la base (e1,e2,e3) de IRB. 1. Donner une base (u, U) du plan H et justifier, sans calcul, que (u, 'U, w) est une base de IR3. 2. Écrire la matrice S' de la symétrie s dans la base (u, v, w). 3. En déduire la matrice S . PROBLÈME : RÉSULTANT DE DEUX POLYNÔMES I. Définition et propriétés Soit p et q deux entiers naturels non nuls, soit P C] P = zaka et Q : Zb,,X'" k=0 k=0 deux polynômes de C[X] avec (L,, 74 O, bq # O. Le résultant des polynômes P et Q est le nombre complexe noté Res(P, Q) : ao bo CL1 (91 cm ' bo Res(P, @) : ap al ao 191 al bq % È ap bq C'est un déterminant q + p colonnes, dont les q premières colonnes représentent les coefficients du polynôme P et les p suivantes représentent les coefficients du polynôme Q ; les positions non remplies étant des zéros. Par exemple, si P = 1 + 2X + 3X2 et Q = 4 + 5X + GX2 + 7X3, 0 O Res(P, Q) = 1 2 3 oc>oeoe»-- OO--DN)r--*O Ox]OEOEA> flOEOEA>O La matrice servant à définir Res(P, Q) pourra être notée M p)Q : Res(P, Q) : det MP,Q- On note E : Cq_1[X] >< Cp_1[X] et F : Cp+q_1[X]. Soit u l'application de E vers F définie pour (A, B) E E par : u(/--l, B) : PA + QB. 1. Cas où u est bijective (a) Démontrer que u est une application linéaire. (b) Si on suppose que u est bijective, démontrer que P et Q sont premiers entre eux. 2/4 (c) Si on suppose que P et Q sont premiers entre eux, déterminer Keru et en déduire que u est bijective. 2. Matrice de u On note 8 == ((1,O),(X,O),...,(Xq"l,0),(O,l),(O,X),...,(O,XP"'1)) une base de E et B' = (1,X, ...,Xp+q"l) la base canonique de F. (a) Déterminer la matrice de u par rapport aux bases 3 et B' . (b) Démontrer que Res(P, Q) # 0 si et seulement si, P et Q sont premiers entre eux (donc Res(P, Q) = 0 si et seulement si, P et Q ont au moins une racine commune complexe). 3. Racine multiple (a) Démontrer qu'un polynôme P de C[X ] admet une racine multiple dans @ si et seulement si, Res(P, P') = 0. (b) Application : déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme X 3 + aX + b admette une racine multiple. II. Applications 4. Equation de Bézout Dans cette question, on note P = X4 + X3 + 1 et Q = X3 ------ X + 1. (a) Démontrer, en utilisant la première partie, que les polynômes P et Q sont premiers entre eux. (b) On cherche un couple (A0, B0) de polynômes de C[X] tel que PAO + QBO : 1. Expliquer comment on peut trouver un tel couple en utilisant la matrice de u puis donner un couple solution. (0) Déterminer tous les couples (A, B) de polynômes de C[X ] vérifiant PA + QB : 1. On pourra commencer par remarquer que, si (A,B) est un couple solution, alors P(A "" AO) : Q(Bo "" B)- 5. Equation d'une courbe (a) On considère la courbe F de représentation paramétrique t2+t t2--t+1 pourtEURlR. f--"\--x QOE É"? /"\/'\ <--+-- @-- VV ll ll Etudier et construire la courbe P, on précisera les branches infinies. (b) On se donne deux polynômes P et Q à coefficients réels et l'on pose, pour (a:, y, t) E IRB, A(t) = P(t) -- a: et B(t) : Q(t) -- y. Etablir que si un point M de coordonnées (a:, y) appartient à la courbe de représentation paramétrique pour t E IR f'""\ @ & @@ \-/V || || ©"U /'\/'\ @+-- @+-- VV alors les fonctions polynômes A et B ont une racine commune. En déduire qu'un point M de coordonnées (513, y) appartenant à. la courbe I' vérifie : oe2+y2--2oey--4y+3=0. 3/4 (c) Expliquer brièvement et sans calcul, à partir de la matrice de la forme quadratique définie sur IR2 par q(a:, y) : £L'2 +y2 -- 2æy, la nature de la courbe d'équation cartésienne æ2+y2--2æy--4y+3=0. 6. Nombre algébrique En utilisant les polynômes P(X) = X2 -- 3 et Qy(X) : (y -- X)2 - 7, déterminer un polynôme à coefficients entiers de degré 4 ayant comme racine \/3 + \/'7 . Quelles sont les autres racines de ce polynôme ? Fin de l'énoncé 4/4

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 CCP Maths 2 MP 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA) ; il a été relu par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Cette épreuve se compose de 2 exercices et d'un problème, tous indépendants. · Le premier exercice, court, aborde la réduction des endomorphismes en dimension finie avec la notion de polynôme annulateur et son lien avec le spectre de l'endomorphisme. · Le second exercice utilise la géométrie euclidienne en dimension 3 ; on calcule la matrice d'une symétrie orthogonale dans deux bases différentes. · Le problème introduit la notion de résultant d'un couple de polynômes à coefficients complexes. On y montre notamment que le résultant est nul si et seulement si les polynômes ne sont pas premiers entre eux. Ce résultat est appliqué à la description des polynômes satisfaisant une relation de Bézout pour deux polynômes premiers entre eux donnés. On constate également sur un exemple comment ce résultat permet de passer d'un paramétrage d'une parabole du plan à une équation cartésienne de cette parabole. Enfin, il permet de construire ex plicitement un polynôme à coefficients entiers, de degré 4, admettant 3 + 7 pour racine. Ce sujet est d'une longueur raisonnable pour une épreuve de quatre heures. Les exercices sont des applications assez directes du cours, qui permettent de travailler une partie spécifique du programme sans avoir à faire face à trop de difficultés techniques. Le problème, lui, est à la fois intéressant et utile puisqu'il permet de réviser les théorèmes de Gauss et de Bézout, puis de découvrir la notion de résultant et quelques-unes de ses applications sur des exemples. Indications Premier exercice 1 Montrer tout d'abord par récurrence que n N un (x) = n x si x est un vecteur propre de u pour la valeur propre . 2.a Montrer que, si x est un vecteur propre de u pour la valeur propre , alors P(u)(x) = P()x 3 Remarquer que u3 - u2 + u - 1 = (u - 1)(u2 + 1). Deuxième exercice 1 Observer que est orthogonal au plan . 3 Utiliser la question précédente et la formule de changement de base pour la matrice d'un endomorphisme. Problème 1.b Montrer la contraposée. 1.c Penser au théorème de Gauss. 2.b Utiliser le résultat de la question 1. 3.a Raisonner par double implication. 3.b Utiliser une calculatrice pour déterminer MP,P . 4.a Calculer MP,Q à l'aide d'une calculatrice et utiliser la question 2.b. 4.b Se ramener à la résolution d'un système linéaire et utiliser une calculatrice. 4.c Penser au théorème de Gauss. 5.b Utiliser le résultat de la question 2.b. 6 Montrer que le résultant de P et Qy , vu comme une fonction de y, répond à la question. Premier exercice 1 Soit R une valeur propre de u. Il existe x E non nul tel que u(x) = x Par récurrence, il vient n N un (x) = n x Cette égalité est encore vraie pour n = 0. Par combinaisons linéaires, on en déduit d P que, lorsque P = ak Xk est un polynôme à coefficients réels, k=0 P(u)(x) = d P ak uk (x) = k=0 Puisque x 6= 0, d P ak k x = P()x k=0 P() est une valeur propre de l'endomorphisme P(u). Remarquons que tout vecteur propre de u pour la valeur propre est un vecteur propre de P(u) pour la valeur propre P(). Le rapport du jury note pêle-mêle pour cette question que : · il est important de préciser qu'un vecteur propre est non nul ; · on rencontre trop souvent P(u(x)) ou P(x), ce qui n'a pas de sens pour P polynôme et x vecteur. 2.a Considérons une valeur propre R de l'endomorphisme u. Alors il existe x E non nul tel que u(x) = x À la question précédente, on a vu que dans ce cas P(u)(x) = P()x Puisque P(u) est l'endomorphisme nul par hypothèse, P(u) = 0. Par conséquent, P(u)(x) = 0, donc P()x = 0. Puisqu'en outre x 6= 0, il vient que P() = 0 Par suite, Toute valeur propre de u est racine de P. 2.b Considérons l'endomorphisme nul de E, ( E - E u: x 7- 0E et le polynôme P(X) = X(X + 1) La relation P(u) = 0 est bien satisfaite. On vérifie facilement que le spectre de u est {0} alors que les racines de P sont 0 et -1. Par suite, Une racine de P n'est pas nécessairement une valeur propre de u. Plus généralement, lorsque l'on multiplie un polynôme annulateur d'un endomorphisme par n'importe quel polynôme, on obtient encore un polynôme annulateur. Ainsi, on peut ajouter un nombre arbitraire (fini !) de racines à un polynôme annulateur, quitte à le multiplier par des polynômes de la forme X - . L'ensemble des racines d'un polynôme annulateur peut donc être aussi grand qu'on le souhaite. En revanche, il ne peut pas être trop petit : en effet, comme on l'a montré à la question 2.a, parmi les racines d'un polynôme annulateur d'un endomorphisme figurent nécessairement les valeurs propres de ce dernier. Malgré les remarques précédentes, le rapport du jury note que « pour certains, il y a égalité entre spectre et ensemble des racines d'un polynôme annulateur. » Espérons que les lecteurs avertis de ce corrigé ne commettront pas cette erreur. 3 Remarquons que 1 est racine de P, ce qui permet la factorisation P = X3 - X2 + X - 1 = (X - 1)(X2 + 1) Ce polynôme annule u par hypothèse. Par conséquent, le résultat de la question 2.a assure que sp (u) {1} Puisque E est de dimension finie et impaire, le polynôme caractéristique u de u est de degré impair. Comme E est un espace vectoriel réel, u est à coefficients réels. Enfin, le fait que R u () = det (u - id ) assure que le coefficient dominant de u est (-1)dim E = -1. Par conséquent, et lim u (X) = + X- lim u (X) = - X+ Bien entendu, si on adopte l'autre définition du polynôme caractéristique, R u () = det ( id -u) alors le coefficient dominant de u est 1 et l'on a lim u (X) = - X- et lim u (X) = + X+ Puisque u est une application polynomiale, elle est continue sur R. Le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à u assure que u s'annule sur R, donc u admet au moins une valeur propre réelle. Par suite, sp (u) 6= On en déduit que sp (u) = {1}