CCP Maths 2 MP 2007

Thème de l'épreuve Groupes d'isométries sur Rn
Principaux outils utilisés espaces vectoriels normés, produit scalaire, dimension finie
Mots clefs norme, norme euclidienne, espace euclidien, dualité, isométrie, groupe

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2007 ); EDHEÜLIRE EÜH"IU"«I'E PÛLVTEEHHIÛUE5-- EPREUVE SPEClFIQUE -- FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. >l<>l<>l< NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. >l<>l<>l< Groupes d'isométries sur IR" Notations Dans ce sujet, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on note : E l'espace vectoriel IR" et B = (al,...,cn) sa base canonique <-,-> le produit scalaire canonique sur E: si x=(xl,...,xn) et y=(yl,...,yn) sont deux vecteurs de E, on a < x, y > = ( XY = ZxÏyi où)( et Y sont les matrices colonnes des vecteurs x et i=l y dans la base 8 (B est donc une base orthonormale pour < - , - >) L' (E ) la lR-algèbre des endomorphismes de E (GL(E),o) le groupe des automorphismes de E M "51 (IR) le lR-espace vectoriel des matrices à n lignes et une colonne M " (IR) la lR-algèbre des matrices carrées réelles de taille n GLn (IR) le groupe des matrices inversibles de M " (IR) pour une matrice A de M " (IR) , t A est sa matrice transposée O (IR) le groupe des matrices orthogonales, c'est-à-dire des matrices A de M " (IR) vérifiant l'l IAA = In où In est la matrice unité de M " (IR) 1/6 Sn++(IR) l'ensemble des matrices symétriques définies positives de Mn (IR), c'est-à-dire des matrices A de Sn (IR) vérifiant : pour toute matrice X EUR Mn,1 (IR) non nulle, ')Ç4X > 0. Si x1,x2,...,xn sont des réels, on note diag(xl,x2,...,xn) la matrice diagonale de M " (IR) qui admet pour coefficients diagonaux les réels x1,x2,...,xn dans cet ordre Si p est un réel supérieur ou égal à l, on note H - "p la norme p sur E : si x=(xl,...,xn)EURE, x xu.=(â ")- l xH=müxt (X) Z lSiSn On note || - "oe la norme infinie sur E : si x = (XI,...,xn) EUR E, Une norme N sur E est dite euclidienne s'il existe un produit scalaire ça sur E tel que pour tout XEE, N(x) =./ç0(x,x). Objectifs Si N est une norme sur E, on dit qu'un endomorphisme u EUR L' (E ) est une N--isométrie si pour tout XEE, N(u(x))=N(x). On note lsom(N ) l'ensemble des N--isométries. L'objectif du problème est de déterminer le nombre d'éléments de lsom(N ) dans le cas des normes euclidiennes puis des normes p. 1. Description des normes euclidiennes 1. Identité du parallélogramme a. Montrer que si N est une norme euclidienne alors elle vérifie l'identité du parallélogramme, c'est-à-dire pour tous vecteurs x et y de E, on a (N(x+y))2 +(N(x--y))2 = 2{(N(x))2 + (N(y))Î . En déduire que la norme || - "oe n'est pas euclidienne. b. Justifier que la norme " - "2 est euclidienne puis montrer que pour p = 2, la norme || - "p n'est pas euclidienne. 2. Soit 5 EUR Sf(lR) . xl Yi ) et y=(yl,...,yn) sont deux vecteurs de E, on note X= 3 et Y= 3 les xïl yïl matrices colonnes associées. Montrer que si l'on pose < x, y > S= 'XSY , alors <-,->S définit un Si x = (XI,...,X n produit scalaire sur E. 2/6 11. Soit ça un produit scalaire sur E et S la matrice de coefficients (ça(e,,ej)). Justifier que pour tous vecteurs x et y de E ça(x, y) = [ XS Y et que S EUR Sn++ (R). On a donc montre que ça= <-,->S. Toute norme euclidienne peut donc s'écrire sous la forme N S :x H \/ 'XSX avec S EUR Sn++ (R) oùX désigne la matrice colonne associée à x. Quelques généralités et exemples Soit N une norme sur E. Montrer que (Isom(N ), 0) est un sous-groupe de GL(E ) . Une caractérisation géométrique des N--isométries On note Z(N) = {x EUR E, N(x) = l} , la sphère unité pour N. Soit u EUR L' (E ) . Montrer que u est une N--isométrie si et seulement si u (E(N )) = E(N ) . Le groupe des N--isométries est donc l'ensemble des endomorphismes laissant stable la N-- sphère unité Dans cette question uniquement n = 2 et donc E = R2 . On note 3 la symétrie orthogonale par rapport à la droite D = Vect{e1 --e,} où (61,62) est la base canonique de R2 et r la rotation vectorielle d'angle ?. Les endomorphismes s et r sont--ils des H - H1-isométries '? Dans cette question uniquement n = 3 et donc E = R3 . Si (x, y,z) EUR R3 , on pose q(x, y,z) = 3x2 + 2 y2 +322 --2xz , ce qui définit une forme quadratique q. x a. On note X = y , déterminer une matrice symétrique S EURM 3 (R) , telle que 2 q(x,y,z) = 'XSX. b. Déterminer une matrice PEURQ(R) et une matrice diagonale DEURM3(R) telles que S = PDÎP . c. Justifier alors que l'application N q : (x, y, 2) H ,/q(x, y,z) est une norme euclidienne sur R3 . (1. Déterminer la nature géométrique de la quadrique Z(Nq) , la sphère unité pour la norme N q et en donner une équation simple dans une nouvelle base. e. Justifier que Z(Nq) est une surface de révolution, préciser un vecteur qui dirige son axe. f. Déduire de la question 5, par une considération géométrique, que Isom(Nq) a une infinité d'éléments. 3/6 Ill.Étude de Isom(N) lorsque N est une norme euclidienne 10. 11. Si u EUR £(E) , on note [u]B la matrice de u dans la base 8 . Si N est une norme, on note ISOM(N) = {[u]B , u EUR lsom(N)} . L'ensemble ISOM(N) est par construction un groupe isomorphe à lsom(N ) , c'est << sa version matricielle >>. Caractérisation matricielle des isométries euclidiennes a. Soit S EUR Sn++ (R), N S la norme euclidienne associée et <-,->S le produit scalaire associé. Soit u EUR L' (E ) . Montrer que u est une N S -isométrie si et seulement si pour tous vecteurs x et y de E, on a S=< x,y >S. b. En déduire que u est une N S -isométrie si et seulement si sa matrice A dans B vérifie 'ASA = S . Reconnaître alors ISOM(H - H2). Que peut-on dire du nombre d'éléments de ISOM(H - H2) ? Justifier votre réponse. Une application des polynômes interpolateurs R,[X ] désigne le ]R -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à r. On se donne r+l réels x0 < x1 < ...< xr . On considère l'application linéaire u de RÏ[X ] vers R... définie par PH (P(xO),P(xl),...,P(x,)). a. Déterminer le noyau de u . En déduire que pour tous réels y0,y1,...,yr , il existe un unique polynôme L de R,[X ] tel que pour tout i EUR {O,...,r}, L(x,) = y, (un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur). b. Application : soit n un entier naturel non nul et u1,...,un des réels strictement positifs, on pose U = diag(ul,...,un) et V = diag(Æ ,...,Æ ). Montrer qu'il existe un polynôme L, à coefficients réels, tel que V = L(U ) . Racine carrée dans Sn++ (R) a. Soit S EUR Sn++ (R). Déterminer une matrice A EUR Sn++ (IR) telle que A2 = S . On dit que A est une racine carrée de S. b. Soit E EURSn++(R) une autre racine carrée de S. Montrer qu'il existe un polynôme Q, à coefficients réels, tel que A = Q(B) . En déduire que A et B commutent. c. Montrer que la somme de deux matrices symétriques définies positives est une matrice inversible. d. Déduire des questions précédentes que A = B (on pourra calculer (A + B ) (A -- B ) ). Désormais, on note \/S l'unique racine carrée dans Sn++ (IR) de S. 4/6 12. Étude du groupe d'isométrie pour une norme euclidienne Soit N une norme euclidienne. Il existe donc une matrice S EUR Sn++ (IR) telle que pour tout x EUR E, N (x) = N S (x) = \/ ' XSX où)( est le vecteur colonne associée à x. a. Montrer que si M EUR Un (R) , la matrice (\/Ê )_1M \/Ê appartient à ISOM (N S) . --1 b. Montrer que l'application l// de On (R) dans ISOM(NS) définie par M H (\/E) M x/Ê est une bij ection. Le groupe d'isométrie d'une norme euclidienne est--il fini? 1v. Étude du cardinal de Isom(p) Dans cette partie p est un réel strictement supérieur à 1, on appelle exposant conjugué de p . 1 1 l'umque réel q tel que -- + -- = 1. P q Pour alléger l'écriture, une p-isométrie désigne une isométrie pour la norme H - Hp et on note lsom( p) le groupe des p-isométries. Si uEUR£(E), u* désigne l'adjoint de u pour <-,->. On rappelle que u*EUR£(E), est caractérisé par l'égalité suivante : pour tout (x, y) EUR E 2 , < u(x), y >=< x,u * (y) >. 13. Endomorphismes de permutation signée 77n désigne le groupe des permutations de l'ensemble {l,2,...,n} . Soit 0 EUR 73" et g =(£1,...,£n) EUR {--1,+1}" . On note uw l'endomorphisme de E qui vérifie pour tout i EUR {1, 2,...,n} , uw (e,) = ('à-%...- a. Montrer que uw est une p-1sometr1e. , 1 2 3 4 b. Ecrire la matrice de uw dans la base canonique dans le cas où n = 4 , a = (3 4 1 2) et g=(1,1,--1,1). 14. Inégalité de Holdër , . . 1 1 . . a. Montrer que pour tous réels a et b pos1t1fs ou nuls, on a ab £ --ap + --bq . On pourra ut1hser P q la fonction logarithme népérien. b. En déduire que pour tous vecteurs x et y de E, on a \< x, y >\ S Hpr Hqu . Ce résultat s'appelle l'inégalité de Holdër (on pourra d'abord démontrer l'inégalité lorsque Hpr = Hqu = 1 ). c. Que devient l'inégalité si p = 2 ? Dans toute la suite, u désigne une p-isométrie. On note (al.].) les coefficients de la matrice A = [u] 5 . 15. Montrer que pour toutj EUR{1,2,..., n} , Î aÿ.|p = 1. En déduire la valeur de ÎÎ p . i=1 j=1 i=1 %-- 5/6 16. Une formule clé de dualité Soit er. Onnote2q ={zeE, Z", = 1} . a. Justifier l'existence du réel max \< x, y >\ . yezq b. Justifier que ry1g>q<\< x,y >\ $ Hx||p . Soit ie {l,2,...,n} ; si x, = 0 , on pose y, = 8, x, p_1||pr1_p où 8, désigne le signe de x, et si x, = 0 , on pose y, = 0. On définit ainsi un vecteur y = (yl,...,yn ). Montrer que \< x,y >| = HxH puis montrer l'égalité suivante : HxH = maxl< x,y >\ . p p yezq 17. En déduire que si u est une p-isométrie, u * est une q-isométrie. Donner alors, en justifiant, la 18. 19. ïl ïl q valeur de z z |aJ, j=l i=l On suppose de plus que p = 2 . l" l" a. Soient al,a2,...,ar des réels dans [0,1] vérifiant Za,f =Za,fl . Montrer avec soin que k=l k=l pour tout k EUR {l, 2, ..., r} , ak ne prend qu'un nombre fini de valeurs à déterminer. a... ne peut prendre que 2 valeurs U b. En déduire que pour tout i et j dans {l,2,...,n}, différentes que l'on précisera (on rappelle que les %-- sont les coefficients de la matrice d'une p-isométrie). Conclusion Montrer alors que lorsque p = 2 , lsom( p) est un groupe fini dont on déterminera le cardinal. On remarquera en particulier que ce cardinal est indépendant de p. Commentaire : Les p-isométries pour p = 2 sont seulement en nombre fini, contrairement aux isométries euclidiennes qui forment un groupe infini mais compact (pas très difficile à montrer). Sur R" , la géométrie euclidienne est donc plus riche que celle des normes p pour p = 2 . Fin de l'énoncé 6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Maths 2 MP 2007 ­ Corrigé Ce corrigé est proposé par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Nicolas Weiss (Doctorant en mathématiques) et Tristan Poullaouec (Professeur agrégé). Ce problème aborde l'ensemble des isométries pour différentes normes de l'espace vectoriel E = Rn . On cherche à y démontrer en particulier que les isométries pour les normes p définies par n 1/p P p kxkp = xi i=1 sont en nombre fini si p 6= 2 et en nombre infini si p = 2. · Dans la partie I, on démontre quelques propriétés caractéristiques des normes euclidiennes. Au passage, on prouve que les normes p ne sont pas euclidiennes. · La partie II est consacrée à l'étude de quelques exemples. · La partie III établit une bijection entre l'ensemble des isométries pour une norme euclidienne et l'ensemble des isométries du produit scalaire canonique. On démontre ainsi que les isométries pour une norme euclidienne sont en nombre infini. Cette partie utilise comme outil de base la notion de racine carrée d'une matrice symétrique définie positive. · Dans la partie IV, on étudie des isométries pour les normes p. À l'aide de l'inégalité de Hölder, on prouve que leurs matrices dans la base canonique sont d'une forme assez simple et enfin qu'elles sont en nombre fini. Dans son rapport, le jury juge ce sujet « proche du cours, de difficulté raisonnable ». Effectivement, les parties I à II nécessitent surtout une bonne assimilation du cours et doivent être résolues rapidement et proprement. La partie III contient des questions classiques, mais présentées dans un contexte original. La question 12 exige rigueur et soin pour être traitée correctement. Le début de la partie IV ne devrait pas poser trop de difficultés. En revanche, les questions 16 et 18 demandent de l'intuition et une solide connaissance du cours. Indications Partie I 1.a Pour affirmer que k · k n'est pas euclidienne, montrer à l'aide d'un contreexemple que l'identité du parallélogramme n'est pas vérifiée. 1.b Utiliser l'indication précédente. Partie II 4 Ne pas oublier de démontrer que Isom(N) GL(E). 6 Identifier géométriquement (k · k1 ) et s'appuyer sur le résultat de la question précédente. 7.c Se servir de la question 2. En particulier, démontrer que S S++ (R). 7.d Se placer dans une base orthonormée de vecteurs propres de S. Partie III 8.a Utiliser l'identité de la polarisation. 10.a Le polynôme L est l'antécédent de (y0 , y1 , . . . , yr ) par u. 11.b À l'aide de la question 10.b, démontrer qu'il existe un polynôme L tel que A = L(S). Dans ce cas A = L(B2 ). 12.a Exploiter le résultat de la question 8.b. 12.b Exhiber la réciproque de , en justifiant grâce à la question 8.b qu'elle est bien définie. Partie IV 14.a Utiliser la concavité du logarithme népérien. 15 La j-ième colonne de A représente le vecteur u(ej ). Calculer sa norme p. ( E - R 16.a Introduire la fonction f : . Démontrer qu'elle est continue grâce y 7- hx, yi à l'inégalité de Hölder. 16.b Utiliser l'inégalité de Hölder. Justifier que kykq = 1. 17 Appliquer le résultat de la question 16 en intervertissant p et q. 18.a Il faut montrer que k ne peut valoir que 0 ou 1. Supposer que p < q. Dans ce cas pk - qk > 0 si k ] 0 ; 1 [. 18.b Établir que |aij | [ 0 ; 1 ], et se servir de la question précédente. 19 Démontrer que, si A est la matrice d'une p-isométrie, chaque colonne de A ne contient qu'un seul 1 ou -1 et qu'il en va de même des lignes de A. I. Description des normes euclidiennes 1.a Si N est une norme euclidienne, alors il existe un produit scalaire sur E tel que pour tout vecteur x de E, on a N(x)2 = (x, x). Démontrons l'égalité du parallélogramme à l'aide de ce produit scalaire 2 2 (x, y) E2 N(x + y) + N(x - y) = (x + y, x + y) + (x - y, x - y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) + (x, x) - 2(x, y) + (y, y) = 2(x, x) + 2(y, y) = 2N(x)2 + 2N(y)2 (x, y) E2 2 2 (N(x + y)) + N(x - y) = 2 N(x)2 + N(y)2 Pour établir que la norme k · k n'est pas euclidienne, il suffit de démontrer, à l'aide d'un contre-exemple, qu'elle ne vérifie pas l'identité du parallélogramme. Prenons E = R2 , x = (1, 0) et y = (0, 1). On a alors kx + yk = k(1, 1)k = 1 2 2 et kx - yk = k(1, -1)k d'une part, N(x + y) + N(x - y) = 2 = 1. Ainsi, mais, d'autre part, 2 N(x)2 + N(y)2 = 4. De ce fait La norme k · k n'est pas euclidienne 1.b La norme 2 est euclidienne : il s'agit de la norme associée au produit scalaire canonique sur E. Pour justifier que la norme p n'est pas euclidienne pour p = 6 2, reprenons la méthode de la question précédente. Posons à nouveau E = R2 , x = (1, 0) et y = (0, 1). On a alors kxkp = kykp = 1 Ainsi et kx + ykp = kx - ykp = (1p + 1p )1/p = 21/p kx + yk2p + kx - yk2p = 2 × 22/p et 2 kxk2p + kyk2p = 4 L'identité du parallélogramme est vérifiée avec ces deux vecteurs si et seulement si 2 × 22/p = 4, c'est-à-dire si et seulement si 22/p = 2, soit p = 2. En conclusion Pour p 6= 2, la norme p n'est pas euclidienne. Dans le rapport, le jury précise : « il y a une différence entre « justifier » et « montrer que » ; un « justifier » attend généralement une réponse rapide. » Dans cette question, il n'était donc pas nécessaire de redémontrer en détail que la norme 2 est euclidienne. 2 Vérifions que h·, ·iS définit un produit scalaire sur E. · Si (x, y) E2 , et si X et Y sont les matrices colonnes associées, alors t t t hx, yiS = X SY = X SY car hx, yiS est un réel t t = Y SX t = Y SX hx, yiS = hy, xiS car S est symétrique La forme h·, ·iS est donc symétrique. · soient (x, x , y) E3 et R. Notons X, X et Y les matrices colonnes associées. t t t hx + x , yiS = (X + X ) SY = X SY + X SY = hx, yiS + hx , yiS ce qui prouve que h·, ·iS est linéaire à gauche. Comme h·, ·iS est symétrique, elle est également linéaire à droite. La forme h·, ·iS est donc bilinéaire. · enfin, si x est un vecteur non nul et si X est sa matrice colonne associée, t alors hx, xi = X SX > 0 puisque S S++ n (R). Ainsi h·, ·iS est définie positive. Finalement h·, ·iS définit un produit scalaire sur E. t En toute rigueur, l'objet X SY est une matrice à une ligne et une colonne, puisque t X M1,n (R), S Mn,n (R) et Y Mn,1 (R). Toutefois, par un procédé classique dans ce contexte, on identifie les matrices à une ligne et une colonne aux réels. 3 Soit (x, y) E2 . Posons x = (x1 , x2 , . . . , xn ) et y = (y1 , y2 , . . . , yn ). De plus X et Y sont les matrices colonnes associées respectivement à x et y. Par définition du produit matriciel n P SY = (ei , ek )yk k=1 16i6n n P = (ei , yk ek ) k=1 par linéarité à droite de 16i6n par définition de y SY = (ei , y) 16i6n En utilisant la linéarité à gauche de et la définition de x, il vient n n P P t X SY = xi (ei , y) = xi ei , y = (x, y) i=1 Ensuite t i=1 S = ((ej , ei )) = ((ei , ej )) = S en utilisant la symétrie de . La matrice S est donc symétrique. Enfin, soit X Mn,1 (R) une matrice colonne non nulle et x E le vecteur t associé. On a X SX = (x, x) et (x, x) > 0, puisque est définie positive. Ainsi, S S++ n (R). On a donc démontré que t Pour tous vecteurs x et y de E, (x, y) = X SY et S S++ n (R).