CCP Maths 2 MP 2006

Thème de l'épreuve Étude des matrices de Gram et isométries de Rn
Principaux outils utilisés algèbre bilinéaire, isométries

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2006 MPM2006 A CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** QUELQUES APPLICATIONS DES MATRICES DE GRAM À LA GÉOMÉTRIE Dans tout le problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension n 2 2 et on note ( | ) un produit scalaire sur E et " H la norme associée. Si x,, x2, ...,x sont p vecteurs de E, on appelle matrice de GRAM de x,, x2,...,x notée p 179 G(x,, x2, ..., xp), la matrice de ÿl/lp(lR) de terme général (x,. ' x_,) pour IS i S p et 15 j 5 p : (x,lxl) (xl|x2) (x,|x,,) (x2lxl) G(x,, x2, ..., xp) : (xplx1) . (xplxp) on notera 1"(x| , x2, ..., xp) son déterminant: F(xl , x2, xp) : det G(xl , x2, ..., xp). Si A est une matrice de MM (IR) , le noyau de A est, par définition, Ker(A) : {X EUR Mq_1(R),AX : O} Par ailleurs, on note : pour n entier n 2 2 , En l'espace R" muni du produit scalaire canonique à la fois considéré comme espace vectoriel euclidien et espace affine euclidien. [. GÉNÉRALITÉS ]. Résultat préliminaire a. Que peut--on dire d'une matrice Y G MM (IR) vérifiant 'Y Y = 0 ? b. Si A EUR M,", (IR) , montrer que Ker (' A A) c Ker A puis en déduire que rang ('A A): rang A. 2. On donne xl , x2 , ..., xp p vecteurs de E. Si @ : (el, e,, ..., en) est une base orthonorrnale de E, et si A est la matrice de MM (IR) dont les colonnes sont les composantes des vecteurs xl , x2 , ..., x p dans la base OE , montrer que G(xl, x,, ..., xp) : 'A A. Quel lien existe entre le rang de la matrice G(x... x,, ..., x p) et le rang de la famille de vecteurs (xl , x2 , ..., xp) '? 3. Dans cette question, p = n . a. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur l"(xl , x,, x") pour que la famille (xl , x2 , x") soit liée. b. Montrer que la famille (x1 , x2 , ..., x") est libre si, et seulement si, l"(xl , x,, ..., x") > O. 4. Application L'angle géométrique d'un couple (u,v) de vecteurs non nuls de En est le réel oc & [O, n] (" IV) Hull IIVII' Si A, B et C sont trois points de E3 situés sur la sphère de centre O et de rayon 1, si on vérifiant: cos oc : ___-- désigne par or, 6 et y l'angle géométrique des couples respectifs (OA, OB), (OB, OC) et (O2, O_O) , montrer en utilisant une matrice de GRAM que : 1+2cosa cosB cosy Z cos'oc+cosOE+cos'y. Que se passe--t-il dans le cas où les points A, B et C sont sur un même cercle ? 5. Interprétation géométrique de la matrice de GRAM a. Si a, b et y sont trois vecteurs de E tels que le vecteur a soit orthogonal à la fois au vecteur b et au vecteur y, trouver une relation entre les déterminants F(a+b,y), F(a,y) et F(b,y). b. Si (x, y) est une famille libre de deux vecteurs de E2 , si F : vect{y} et si 2 est le projeté orthogonal du vecteur x sur F, montrer que F(x, y) : F(x -- z, y). 11. c. En déduire que si A, B et C sont trois points non alignés de E , ldl"(îB, AC) est l'aire 2 du triangle ABC (donc, dl"(AB, AC) est l'aire du parallélogramme << formé par A, B et C »). De la même façon on montre que si A, B, C et D sont quatre points non coplanaires de E , dF(AB, AC, AD) est le volume du parallélépipède << formé par A, B, C et D » que l'on désignera par parallélépipède ABCD. On ne demande pas de prouver ce résultat. a. Vérifier que ce résultat permet de retrouver la formule usuelle du volume du parallélépipède rectangle. b. A l'aide de ce résultat écrire un petit algorithme en français qui, avec la donnée des coordonnées des points A, B, C et D, calcule le volume du parallélépipède ABCD ou affiche que les points sont coplanaires. On pourra considérer que l'algorithme suppose connu le calcul du déterminant. c. Après avoir entré cet algorithme dans la calculatrice, indiquer les résultats qu'elle donne dans chacun des cas suivants : i. A=(1,2,0), B=(l,--l,3), C=(--l,--2, O) et D=(3, --1,0). ii. A=(l,--l, 2), B=(3,4,--7), C=(O,3, O) et D=(O, 2,1). iii. A=(8,0,â--), B=(O,l,--l), C=(--%,2,0) etD=(3,3, 0). POINTS ÉQUIDISTANTS SUR UNE SPHÈRE EUCLIDIENNE Dans cette partie, m est un entier naturel, m 2 2 , et test un réel, ! :t 1 . La famille de m vecteurs distincts (x, , x2 , ..., x...) de l'espace E, de dimension n 2 2, est solution du problème P(m, [) si : 7. tous les vecteurs x, , x2 , ..., xm sont de norme 1 et pour tout couple (i, j) d'entiers distincts entre 1 et m, (x, | x j ) = t . Résultats préliminaires a. Montrer que si (x,, x,, ..., xm) est solution du problème P(m, !) alors, pour tout couple x, -- x j " est constant. (i, j) d'entiers distincts entre l et m, b. Sans aucun calcul de déterminant, donner en le justifiant, le polynôme caractéristique de la matrice J & ÿVlm (R) dont tous les éléments sont égaux à 1. c. En déduire que si (x,,x2,...,xm) EURSt solution du problème P(m,t), alors I'(x,, x,, x...) = (] --t)""'(l + (m --l)t). Conditions nécessaires a. Montrer que, pour que (x,,x2,...,xm) soit une famille libre de vecteurs solution du ----1 m--l' problème P(m, !) , il est nécessaire que t es ] l [ et que m 5 n. b. Montrer que, pour que (x,, x,, ..., xm) soit une famille liée de vecteurs solution du --- 1 m -- 1 (on pourra montrer qu'alors, la famille (xl , x2 , ..., xm_l) est libre). c. Application Existe--t-il dans E3 cinq vecteurs distincts qui deux à deux forment un même angle obtus problème P(m, !) , il est nécessaire que t = et que m S n +1 9 , c'est-à-dire tel que 9 EUR }Ë,Tt[ ? 9. Exemple du cas n = 2 Déterminer pour m .>. 3, une famille (A,, A,, ..., A...) de points de E , telle que la famille de vecteurs (OZ, (Î4Ç, ...,OAm ) soit solution du problème P(m, !) en précisant le couple (m, !) . Placer ces points sur une figure. 10. Exemple du cas n = 3 On suppose que 11: 3 et le}:--1--,l{. 2t+1 On pose a-- - et I): a. Soit u un vecteur unitaire de R3 et H un sous es ace su lémentaire ortho onal de vect u p PP g dans R3 , justifier qu'il existe une famille (y,, y2, y,) de vecteurs de H solution du --1 problème P(3, Î). b. Si on pose alors pour tout ie {1, 2, 3}, x, = a y, +!) u , montrer que (xl, x,, x3) est une famille libre de vecteurs solution au problème P(3, !) . c. A quelle condition nécessaire portant sur oc EUR ]O,7t[ , existe--t--il trois points A1, A2 et A3 de la sphère de centre O et de rayon 1 de E3 tels que les trois angles géométriques des couples (5ÀÎ, O/ÎZ), (OX, @) et (OE, @) soient égaux à oc ? Remarque : on demande de ne pas utiliser le résultat de la question 4. 111. THÉORÈMES d'APOLLONIUS On rappelle que si OE = (al, a,, ..., an) est une base de E et si f est une forme bilinéaire symétrique sur EXE, la matrice de f dans la base @ est la matrice symétrique S de M,, (R) définie par : S = ( f (a, , a] )). Par ailleurs, si x et y sont deux vecteurs de E où X et Y sont les matrices de 9Vlml (R) représentant leurs composantes dans la base @, on a f(x, y)='XSY- 11. Soit < , > un autre produit scalaire sur E, on considère (a,, a,, ..., a") et (bl, b,, ..., bn) deux bases orthonormales de E pour ce produit scalaire. On note P la matrice de passage de la base (a, , a2 , ..., an) vers la base (17] , b2 , b ). n Montrer que, pour le produit scalaire ( | ), G(bl , b2 , ..., bn) : P"1 G(a1 , a2 , ..., a") P " n puisjustifier que Z(a,l a, ) : Z(b,l b, ). i=l i=l 12. Dans E , de repère orthonormé (O,el,ez), on considère l'ellipse C d'équation 2 2 x . , . . . --2-- + %,-- =1 ou a et b sont deux reels strictement pos1t1fs. a . , , . . . 2 u v u' v' . , a. Just1fier que l on defimt un produit scala1re sur R par . Donner un exemple simple de deux diamètres conjugués de C . c. Dans cette question, on demande de faire une figure. Soit M 0 un point de coordonnées (x... yo) de C , montrer en utilisant un vecteur gradient, xxo+YYO 2 a b2 la droite D qui passe par O et parallèle à T a pour équation cartésienne  : O . que l'équation de la tangente T à la courbe C en M 0 est : l. En déduire que ___--> Si on note M O' un point d'intersection de D et C , montrer que les vecteurs OM 0 et OM O' sont des diamètres conjugués de C . (1. Si M et M ' sont deux points de C tels que les vecteurs OM et OM ' soient des diamètres conjugués de C , démontrer les deux théorèmes d'Apollonius suivants : i. OM2 +OM' 2: a2 +!)2 (précision: OM2 : (ÜM| 5M)). ii. L'aire du parallélogramme << formé par O, M et M ' >> est constante égale à a b . IV. RECHERCHE D'UNE ISOMETRIE AFFINE 13. On note O(En) le groupe des automorphismes orthogonaux de En . Soit (x,, x,, xn) et ( y,, y,, ..., y") deux familles de vecteurs de En vérifiant G(x,, x,, ..., xn) =G(yl, y,, ..., y"). On veut montrer qu'il existe ueO(E ) vérifiant: pour tout entier ie{l,2,...,n}, n u(X.> = y.- On note p =rang(x,, x,, ..., x") =rang(y,, y,, ..., y"), et on considère que les vecteurs sont numérotés de sorte que (x,, x,, ..., x p) et (y,, y,, ..., y p) soient deux familles libres de vecteurs. On pose alors V = vect{x,, x,, ..., x }: vect{x,, x2, x . x }, 3 p) ") n 17 W : vect{y,, y,, ..., yp}= vect{yl, y,, ..., yp, ..., yn }, 14. on note (6 e en) une base orthonormale de Vl p+l' p+2' ...» et (e' e' ..., e'n ) une base orthonormale de Wl . Soit u un endomorphisme de E défini par : pour ie {l, 2, ..., p} u(x,) : y,. et pour ie {p+l, p+2, ..., n} u(e,) : e'l.. p+l ' p+2 ' ? Montrer que u conserve le produit scalaire. b. Pour tout entier i EUR {p + 1, p + 2, ..., n}, montrer que y,. -- u(x,) E W (\ Wi. c. Conclure. On donne (A1, A2, ..., A") et (B] , B,, ..., En) deux familles de points de En vérifiant pour A,AJ. = "13,3, tout couple d'entiers (i, j) compris entre l et n, et on veut montrer qu'il existe une isométrie affine f de En vérifiant pour tout entier i E {l, 2, ..., n}, f (A,) : B, . a. Si on pose pour tout entier i & {l, 2, ..., n}, x,. = A] A, et y,. = B1 B, , montrer que, pour tout couple d'entiers (i, j) compris entre 1 et n, (x,. ' x j.): (y, 1 y.].). b. Conclure. Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 2 MP 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Frédéric Mazoit (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Denis Ravaille (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet de géométrie est de difficulté moyenne et peut être traité entièrement dans le temps imparti. Le thème central, les matrices de Gram, est très souvent abordé dans les sujets de géométrie ou d'algèbre, ce qui fait de cet énoncé un très bon entraînement aux écrits des concours. Il comprend quatre parties largement indépendantes et les résultats nécessaires à la suite du sujet sont fournis dans l'énoncé lorsqu'il y en a besoin. · La première partie sert à établir des propriétés utilisées dans les parties suivantes. Elle donne notamment une interprétation géométrique des matrices de Gram. · Dans la deuxième partie, on étudie à quelles conditions une sphère de dimension n admet des familles de p points tous à égale distance les uns des autres, puis on applique les résultats trouvés au cas de la dimension 3. · La troisième partie porte sur les ellipses et plus précisément sur les théorèmes d'Apollonius : Étant donné une ellipse C de centre O et un point M0 de C, la parallèle à la tangente à C en M0 passant par O coupe l'ellipse en deux points --- --- --- --- M1 et M2 . On dit que OM0 et OM1 (ou OM0 et OM2 ) sont des diamètres conjugués. M1 M0 O C M2 ­ OM0 2 + OM1 2 est constant quand M0 décrit C. ­ L'aire du parallélogramme qui s'appuie sur OM0 et OM1 est constante. · Enfin, dans la quatrième partie, on montre, à l'aide des matrices de Gram, qu'une isométrie entre deux ensembles finis de points de Rn peut toujours se prolonger en une isométrie de Rn . Indications Première partie t 1.b Faire apparaître un produit de la forme B B. Utiliser le théorème du rang. 3.b Utiliser une propriété du déterminant des matrices symétriques. - - - 4 Calculer OA, OB, OC . 5.b Commencer par calculer (x - z | y), (x | z) et (z | z) en utilisant la propriété (x | y) y. du cours suivante : le projeté de x sur Vect(y) est (y | y) - - 5.c Distinguer le cas où AB et AC sont orthogonaux du cas général. 6.a Utiliser la question 2. Le volume du parallélépipède « formé par A, B, C et D » - - - est det AB, AC, AD . Deuxième partie 7.b Trouver une base de vecteurs propres. 7.c Faire apparaître une application du résultat de la question 7.b. 8.a Appliquer le résultat de la question 3.a. 8.b Appliquer le résultat de la question 3.b. Pour montrer que m 6 n + 1, utiliser le premier critère de la question pour montrer que les familles (x1 , x2 , . . . , xm ) et (x1 , x2 , . . . , xm-1 ) ne peuvent pas être simultanément liées. 9 À l'aide des hypothèses sur la famille (A1 , A2 , . . . , Am ), déterminer m puis t. Interpréter géométriquement. 10.b Calculer les produits scalaires (xi | xj ) pour (i, j) [[ 1 ; 3 ]]. 10.c Utiliser les résultats des questions 10.a et 10.b. Troisième partie 11 Exprimer B en fonction de A et P. Calculer la trace des deux matrices. 1/a2 0 12.a Faire intervenir la matrice D = . 0 1/b2 12.c Une équation de la tangente à une courbe C au point M0 est -- --- (OM - OM0 C(M0 ) = 0 12.d.i Appliquer le résultat de la question 11 aux vecteurs définis à la question 12.b. Quatrième partie 13.a Montrer la propriété pour les vecteurs de base. 13.b Pour montrer que yi - u(xi ) W , en utilisant le résultat de la question 13.a, calculer les produits scalaires yi - u(xi ) yj . 14.b Une application affine : E 7 E est une isométrie si et seulement si (A, B) E2 d(A, B) = d (A), (B) I. Généralités t 1.a Soit Y Mn,1 telle que Y Y = 0. En notant (yi,1 )i[[ 1 ; n ]] les coefficients de Y et (z1,i )i[[ 1 ; n ]] ceux de sa transposée, on obtient t YY = n P z1,k yk,1 = k=1 n P (yk,1 )2 k=1 On en déduit que chaque terme yk,1 est nul et donc La matrice Y est nulle. On peut aussi aborder la question en disant qu'une matrice Y de Mn,1 peut t être considérée comme un vecteur de Rn et que Y Y est alors le produit t scalaire canonique de Y avec Y. Donc si Y Y est nul, par définition du produit scalaire, Y = 0. t t 1.b Soit X un vecteur de Ker ( A A). Comme ( A A)X = 0, on a t t t X( A A)X = (AX)(AX) = 0 Le résultat de la question 1.a permet alors de conclure que AX = 0 et donc que X appartient à Ker (A). Finalement, t Ker ( A A) Ker (A) Comme par ailleurs, tout vecteur X de Ker (A) vérifie AX = 0 et donc t t t ( A A)X = A(AX) = A 0 = 0 les noyaux de A et de t A A sont égaux. D'après le théorème du rang, si : E 7 F est une application linéaire, dim Ker () + rg () = dim(E) t Or, les applications linéaires associées aux matrices A et A A ont toutes les deux le même ensemble de définition (Rn ) et nous venons de montrer qu'elles ont le même noyau. Par conséquent, t A Mn,p (R) rg (A) = rg ( A A) 2 Pour i [[ 1 ; p ]], les coordonnées du vecteur xi dans la base B sont, par définition, les coefficients (ak,i )k[[ 1 ; n ]] . On en déduit que P n n P (xi | xj ) = ak,i ek | al,j el = = (xi | xj ) = k=1 l=1 n P n P (ak,i ek | al,j el ) k=1l=1 n P n P ak,i al,j (ek | el ) k=1l=1 n P ak,i ak,j k=1 n P t car B est orthonormale. Par ailleurs, ( A A)i,j = ak,i ak,j donc k=1 t G(x1 , x2 , . . . , xn ) = A A De plus, d'après le résultat de la question 1.b, rg (A) = rg ( t A A). Par conséquent, rg G(x1 , x2 , . . . , xp ) = rg (x1 , x2 , . . . , xp ) 3.a Comme n = p, la matrice A définie à la question 2 est telle que A est inversible rg (A) = p = n la famille (x1 , x2 , . . . , xn ) est libre D'après le résultat de la question 2, rg (A) = rg G(x1 , x2 , . . . , xn ) On en déduit que A est inversible G(x1 , x2 , . . . , xn ) est inversible (x1 , x2 , . . . , xn ) 6= 0 Et au final, La famille (x1 , x2 , . . . , xn ) est liée si et seulement si (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0. t 3.b On a démontré à la question 2 que G(x1 , x2 , . . . , xn ) = A A. Par conséquent, t (x1 , x2 , . . . , xn ) = det( A A) t = det( A) det(A) = det(A)2 Et donc (x1 , x2 , . . . , xn ) > 0 Or on vient de montrer que la famille (x1 , x2 , . . . , xn ) est liée si et seulement si (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0. On en déduit donc que La famille (x1 , x2 , . . . , xn ) est libre si et seulement si (x1 , x2 , . . . , xn ) > 0. 4 Les points A, B et C étant sur la sphère unité, on a - - - kOAk = kOBk = kOCk = 1 - - - - - - Les produits scalaires (OA | OB), (OB | OC) et (OC | OA) sont donc respectivement égaux aux cosinus des angles , et . Par conséquent, 1 cos cos - - - 1 cos G(OA, OB, OC) = cos cos cos 1 - - - En développant le déterminant (OA, OB, OC) selon la première colonne, on obtient - - - (OA, OB, OC) = 1 cos cos cos cos cos cos - cos + cos 1 cos 1 1 cos = 1 + 2 cos cos cos - cos2 - cos2 - cos2