CCP Maths 2 MP 2005

Thème de l'épreuve Racines carrées de matrices
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction de matrices, polynômes, espaces vectoriels normés

Corrigé

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SESSION 2005 MPM2007 A CONCOURS (OMMUNS POlYÏE(HNIOUOES EPREUVE SPEClFIQUE - F ILIERE MP ' MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. RACINES CARRÉES DE MATRICES Notations Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note : M ,, (IR) la IR - algèbre des matrices carrées réelles de taille n. Mm1 (IR) le IR - espace vectoriel des matrices à n lignes et une colonne. GLfl (IR) le groupe des matrices inversibles de M " (IR) . I" la matrice unité de M " (IR) . [d l'application identité de IR". Pour une matrice A de M n ( IR) , 'A est sa matrice transposée. Sn (IR) le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M " (IR) . S + (IR) l'ensemble des matrices symétriques positives de M " (IR) , c'est-à-dire des matrices A de Il Sn (IR) vérifiant : pour toute matrice X E M...] (IR), 'XAX Z 0. Si x, ,x,,...,xn sont des réels, on note diag(x, ,x,,...,xn) la matrice diagonale de M " (IR) qui admet pour coefficients diagonaux les réels x, ,x,,..., xn dans cet ordre. Si p est un entier naturel non nul, on notera || IL0 la norme infinie sur IR" : h"=maxl oe [ lSiSp ' __ 17 Si x-(x,,...,xp)eIR , Si (: EUR IR" et r > 0, on note B,, (a, r) la boule ouverte de centre a et de rayon r pour la norme " ||æ . Obiectifs Soit A une matrice de M" (IR) , on dit qu'une matrice R de M" (IR) est une racine carrée de A si R2 = A. On note Rac(A) l'ensemble des racines carrées de A, c'est--à--dire Rac(A) : {R E M,, (R), R' = A} . Le problème propose de déterminer les racines carrées de A dans différents exemples, (on pourra constater qu'une matrice peut admettre parfois une infinité de racines) et d'étudier quelques propriétés topologiques de Rac(A) . Les trois parties du problème sont indépendantes. Les trois premiers exemples de la partie I sont tous indépendants. I --- DÉTERMINATION DE Rac(A) DANS QUELQUES EXEMPLES Exemple 1 : Cas où A possède n valeurs propres distinctes On suppose que la matrice A e M " (IR) admet n valeurs propres réelles Â, < À, < < À" . 1. Justifier l'existence d'une matrice PeMÆR) inversible telle que A=PDP'l où D : diag(À, ,À,,...,Àn ) , puis montrer que R est une racine carrée de A, si et seulement si la matrice S : P"'RP est une racine carrée de D. 2. Racines carrées de D Soit S une racine carrée de D. a Montrer que DS : SD. En déduire que la matrice S est diagonale. b. c. On note alors S : diag(s,,s,,...,sn). Que vaut si2 lorsque ie {l,...,n} ? d. e. Que peut--on dire de Rac(A) si A admet une valeur propre strictement négative ? Si on suppose que toutes les valeurs propres de A sont positives ou nulles, déterminer les racines carrées de la matrice D. On pourra poser 8, EUR {--1,+l} pour i & {l,..., n} . 3. Écrire toutes les racines carrées de A à l'aide de la matrice P. Combien de racines carrées A admet--elle ? (On discutera selon le signe des valeurs propres de A). 4. Application : 11 --5 5 Écrire les racines carrées de A: --5 3 --3 à l'aide de la matrice P que l'on 5 ---3 3 déterminera. Exemple 2 : Cas où A est la matrice nulle de MH (IR) Dans cet exemple, on cherche à déterminer les racines carrées de la matrice nulle. Soit R E M n ( R), une racine carrée de la matrice nulle. 5. Soit f l'endomorphisme de R" dont R est la matrice dans la base canonique de R". On note r le rang def. . n a. Comparer Im f et Ker f pu1s montrer que r 5 --2--. b. On suppose f non nul, donc r 21 . Soit (e.,...,er) une base de Im f que l'on complète avec (e,.+,,...,en_,.) pour former une base de Ker f . Pour ie {l,...,r} , on note "; le vecteur tel que f (ui) : e, . Montrer que la famille B =(e,,... e ul,...,u,) est une base de R" puis écrire la ' n---r ' matrice de f dans la base B . On notera M , cette matrice. 6. 3. Déterminer les racines carrées dans M n (R) de la matrice nulle. b. Application : déterminer dans M 4 ( IR) , les racines carrées de la matrice nulle. Exemple 3 : Cas où A : In 7. Soit R une racine carrée de l'unité ] . Il a. Vérifier que R est une matrice inversible. b. Montrer que R est semblable à une matrice diagonale que l'on décrira. 8. Déterminer Rac(lfl) . On pourra poser EUR,. EUR {--l,+l} pour ie{1,...,n} . Exemple 4 : Cas où A est une matrice symétrique réelle Dans cet exemple, toutes les matrices que l'on considérera appartiennent à M ,, (R) . 9. Une matrice symétrique admet-elle nécessairement une racine carrée ? 10. Montrer qu'une matrice symétrique positive admet au moins une racine carrée qui est elle même symétrique et positive. Remarque : On peut montrer l'unicité de cette racine carrée dans Sn+ (IR) mais ce ne sera pas utile pour la suite du problème. Il -- ÉTUDE TOPOLOGIQUE DE Rac(A) Si A est une matrice de M,,(R) qui a pour coefficients (a.... )1<' , on définit une norme en ,_j$n a,._jl . On munit M n ( R) de cette norme N. posant N (A) = max ISA/Sn 11. Fermeture de Rac(A) Soit A une matrice de M ,, ( R) . Montrer que Rac(A) est une partie fermée de M ,, ( R) . 12. Étude du caractère borné de Rac(ln) a. Un exemple instructif 1 0 J. Calculer Sq2. Rac(l,) est-elle une q _ Pour tout entier naturel q, on pose S q =( partie bornée de M , (IR) ? b. Rac(ln) est-elle une partie bornée de M n ( R) pour n 2 3 ? c. Application : pour cette question, n 2 2 . Montrer qu'il n'existe pas de norme " " « surmultiplicative » sur GL" (R) , c'est-à-- dire vérifiant pour tous A et B dans GL" ( R) , "AB" ?. "A""B" . III -- ZÉROS DE FONCTIONS POLYNOMIALES. APPLICATION À LA DÉTERMINATION DE L'INTÉRIEUR DE Rac(A) Soit p un entier naturel non nul. On munit R" de la norme infinie " "oe . On note FP l'ensemble des fonctions polynomiales sur R" , c'est-à-dire : si Pe FP , il existe N un entier naturel et une famille de réels {a. lSi,,...,i < N } tels que :, ..... t,,' p-- _ "l I' V(x,,x,,...,xp)ell><...xIp, P(x,,x,,...,xp)-- z ail_____ipxl...xp. lSt, ,...,1,,.<.N Par exemple si p = 3 , P(x, ,x,,x,) : 5x12 + 3x,x,x3 + 4xî est une fonction polynomiale sur R' . Si p = l , F, est l'ensemble des fonctions polynômes sur R . Enfin, si Pe FP , on pose Z(P) : {(x,,x,,...,xp)e RP, P(x,,x2,...,xp)= O} (Z(P) est l'ensemble des zéros de la fonction polynomiale P). L'objectif de cette partie est d'étudier l'intérieur de Z (P), afin de déterminer l'intérieur de Rac(A). On rappelle que si Q est une partie de R" , un vecteur a de R" est un point intérieur à Q s'il existe un nombre réel r strictement positif tel que B,, (a,r) (: Q et que l'intérieur d'une partie est l'ensemble de ses points intérieurs. 13. Questions préliminaires : a. Soit a : (a,,...,ap)e R" et r > 0. Montrer que Bao (a,r) peut s'écrire comme produit de p intervalles. b. Soient F et G deux parties de R". On suppose que F et G sont d'intérieur vide, montrer que F 0G est encore d'intérieur vide. 14. Exemples d'ensemble des zéros de fonctions polynomiales a. Dans cette question p = 1. Soit P une fonction polynôme sur IR . Dans quel cas Z (P) est-il infini ? Justifier votre réponse. b. Dans cette question p = 2 . On considère P(xl,x2) : 2x, --x2 --1 et Q(x, ,x2) = x,2 --x2 . Représenter graphiquement dans le plan R2 les ensembles Z (P) et Z (Q). Z (P) et Z (Q) sont--ils infinis ? 15. Intérieur de l'ensemble des zéros d'une fonction polynomiale Soit P & FP . a. Soient I,,12,...,I p des parties infinies de R . Montrer par récurrence que si la fonction polynomiale P s'annule sur [] >< 12 x >< Ip , alors P est la fonction nulle. b. En déduire que si P s'annule sur une partie d'intérieur non vide, P est la fonction nulle. c. Si l'on suppose que P n'est pas la fonction nulle, que vaut l'intérieur de Z (P) ? 16. Application à l'étude de l'intérieur de Rac(A) Dans cette question, on confondra les espaces vectoriels Mn (R) et R" . Par exemple, on . , , , o 2 . prendra la liberte d ecr1re que pour M e M " ( R), M = (m,. ,)l<_ _< EUR R" , sans se souc1er de '- _uj_n l'ordre des termes. Soit A une matrice de MH (R). , . , 2 . . . a. Ecrire Rac(A) sous forme d un sous--ensemble de R" purs montrer qu'il ex1ste des éléments P],PZ,...,P. de I'n2 tels que Rac(A)=ûZ(P,). n" h. Déterminer l'intérieur de Rac(A). Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 2 MP 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Hicham Qasmi (ENS Lyon) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Ce sujet aborde le thème des racines carrées de matrices. Il porte essentiellement sur l'étude de leur existence et sur les propriétés topologiques de l'ensemble qu'elles constituent. Il est composé de trois parties indépendantes. · La première partie permet de déterminer les racines carrées de quelques matrices simples. Elle fait appel à des notions de base en algèbre linéaire, et plus précisément sur la réduction des matrices. · La deuxième porte sur l'étude de quelques propriétés topologiques des racines carrées de matrices : forment-elles un ensemble fermé ? borné ? · Enfin, la troisième partie propose de déterminer l'intérieur de l'ensemble des racines carrées de matrices en introduisant un ensemble bien choisi de polynômes dont on étudie les racines. Dans l'ensemble, le sujet est de longueur raisonnable et ne présente pas de grande difficulté. Il a l'avantage d'être assez complet car il fait appel à des outils d'algèbre (la réduction de matrices et les polynômes) et de topologie (les espaces vectoriels normés). Indications Première partie 2.b Utiliser le résultat de la question précédente. 2.d Exploiter le calcul de la question précédente. 3 On pourra utiliser les résultats des questions 1, 2.d et 2.e. 4 Appliquer le résultat de la question précédente. Puis, pour rendre les calculs plus aisés, remarquer que A est symétrique et possède des valeurs propres simples. 5.a Penser à la formule du rang. 5.b Garder à l'esprit que cette base de Im f est aussi une famille de vecteurs de Ker f . 6.a Utiliser le résultat de la question précédente. 6.b Quelles sont les valeurs possibles de r ? 7.b Trouver un polynôme annulateur de R. 8 Utiliser la question précédente. 9 Utiliser la question 2.d. 10 On s'inspirera de la réponse à la question 3. Deuxième partie 11 Écrire Rac(A) comme l'ensemble des zéros d'une fonction bien choisie. 12.b S'inspirer de la preuve de la question précédente. 12.c Se souvenir de la question 7.a. Troisième partie 13 Penser à la définition de la norme infinie sur Rp . 15.a Utiliser la question 14.a. 15.b Utiliser les questions 13.a puis 15.a. 15.c Utiliser la question précédente. 16.b Appliquer le résultat des questions 13.b et 15.c. I. Détermination de Rac(A) dans quelques exemples simples 1 La matrice A est réelle de taille n et possède exactement n valeurs propres réelles distinctes ; elle est donc diagonalisable, c'est-à-dire P GLn (R) A = PDP-1 où D = diag(1 , . . . , n ). Supposons que R soit une racine carrée de A. Comme P GLn (R) on a A = PDP-1 S2 = P-1 RP 2 = P-1 RPP-1 RP = P-1 R2 P car R Rac(A) = P-1 AP S2 = D Autrement dit, S est une racine carrée de D. Réciproquement, si la matrice S est une racine carrée de D, alors 2 R2 = PSP-1 = PSP-1 PSP-1 = PS2 P-1 car S Rac(D) = PDP-1 R2 = A donc R est une racine carrée de A. Finalement, R Rac(A) S Rac(D) 2.a Soit S une racine carrée de D. Il vient que DS = S2 S = SS2 = SD Les matrices S et D commutent. 2.b Pour toute matrice M, notons mij son coefficient (i, j). Le coefficient (i, j) de la matrice DS - SD s'écrit n n P P dik skj - sik dkj = (i - j ) sij k=1 k=1 Par ailleurs, les valeurs propres 1 , . . . , n sont deux à deux distinctes, donc 2 (i, j) {1, . . . , n} i 6= j = sij = 0 La matrice S est donc diagonale. 2.c S est une racine carrée de D donc S2 = D. Or S est diagonale, si bien que i {1, . . . , n} si 2 = i 2.d Soit R une racine carrée de A. D'après la question 1, S = P-1 RP est alors une racine carrée de D = diag(1 , . . . , n ). De plus, d'après la question 2.c, S est forcément diagonale et ses coefficients diagonaux vérifient i {1, . . . , n} Ainsi, i {1, . . . , n} si 2 = i i > 0 Une condition nécessaire pour qu'il existe une racine carrée de A est que toute valeur propre de A soit positive ou nulle. La contraposée s'écrit alors Si A admet une valeur propre strictement négative alors Rac(A) est l'ensemble vide. 2.e Soit S une racine carrée de D. D'après la question 2.c, i {1, . . . , n} donc i {1, . . . , n} si 2 = i i {-1; 1} si = i i n Réciproquement, soient (1 , . . . , n ) {-1; 1} et S = diag(1 1 , . . . , n n ). Le carré de S est S2 = diag 1 2 1 , . . . , n 2 n = D Ainsi, n Rac(D) = S Mn (R) | (i )16i6n {-1; 1} S = diag 1 1 , . . . , n n 3 Si A admet une valeur propre strictement négative alors, d'après la question 2.d, Rac(A) est vide. Sinon, considérons R une matrice de Mn (R). D'après la question 1, S = P-1 RP est une racine carrée de D si et seulement si R est une racine carrée de A, donc Rac(A) = PSP-1 S Rac(D) où Rac(D) est donné par la question précédente. Comme 1 < 2 < . . . < n , · soit 1 est nul, auquel cas Rac(A) possède exactement 2n-1 éléments ; · soit 1 n'est pas nul, auquel cas Rac(A) possède exactement 2n éléments. En conclusion, 0 2n-1 card Rac(A) = n 2 si une valeur propre de A est strictement négative si 0 est la plus petite valeur propre de A sinon