CCP Maths 2 MP 2004

Thème de l'épreuve Calcul fonctionnel sur Mn(R)
Principaux outils utilisés fonctions de la variable réelle, algèbre générale, algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 SESSION 2004 . MPMZOO7 CONCOURS COMMUN!» POlYTE(NNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Fonctions de matrices Notations : 1. Les lR-algèbres suivantes sont considérées au cours de ce texte : > L'algèbre M ,, (IR) des matrices carrées réelles d'ordre n. > Si 1 est un intervalle de R, d'intérieur non vide, on note CÏ° l'algèbre commutative des fonctions de classe C°° de I dans R. > L'algèbre des fonctions polynomiales de I dans IR est usuellement identifiée à l'algèbre R[X]. 2. On y rencontre aussi les R-espaces vectoriels suivants : > L'espace des colonnes réelles à n lignes noté Mn,1 (R). > L'espace RN[X]= {P eR[X]/degPî N}, où NEN. 3. Les notions de convergence dans M ,,,] (IR) et M ,, (R) sont relatives aux normes respectives : > ||XH00 =Max|xk| , si X =t[xl,....,xn]. lSkSn > ||M||=nMaxlm,--, , si M =[mÿ]15iSn. 19,an 15an Objectifs du problème Lorsque P EUR R[X ] et A EUR M ,, (R), on sait donner un sens à la matrice P(A) et l'on maîtrise bien le calcul polynomial sur A qui en résulte. En particulier, si M est une matrice de M ,, (R), on appelle POLYNÔME MINIMAL de M le polynôme unitaire P de plus bas degré tel que P(M ) = 0 ; il est immédiat (et on l'admettra) qu'il s'agit du polynôme minimal de l'endomorphisme u de R" dont M est la matrice dans la base canonique de IR" . Dans un premier temps, ce texte propose de donner un sens à la matrice f (A) POUR TOUTE FONCTION f DE CLASSE C°° , et cela moyennant des hypothèses convenables sur la matrice A. Autrement dit, on apprend à maîtriser un certain calcul fonctionnel sur A. Dans un second temps, on exploite ces résultats pour résoudre un système différentiel linéaire. Notations fixées pour tout le problème : > On considère une matrice A de M ,, (IR) et l'on SUPPOSE que son polynôme minimal HA peut être écrit sous la forme: 1--1A(X)=(X--kl)m1 ...(X--À,)"" avec: er ; les M sont des REELS distincts ; les mj sont dans N . On note alors m = 122 m j le degre de HA . _J_r > On considère aussi un intervalle ] de lR, d'intérieur non vide et contenant tous les X j . La matrice A et l'intervalle [ sont particularisés dans les divers exemples traités au cours du problème. Préliminaires : 1. Établir que pourX dans M n,] (R) et M dans M ,, (R), on a : "MX"oo S "M IIHXHoe. 2. Soit % un sous--espace vectoriel de dimension d 21 de M ,, (R), et soit [3 =(Bl,...,Bd) une base de WL a) Montrer que l'on définit une norme W sur M en posant W (M ): Max|xk ,si lsksd M : î:kak est la décomposition de l'élémentM de 914 sur la base B. lsk.<.d b) Justifier l'existence de constantes réelles strictement positives a et b vérifiant: v M EUR %, a||M|| s W(M) sb||M|l. c) 801t (M p )peN une suite d elements de M ; on note M p = 1<ëd xp(k)Bk la decomposfi10n de M p sur B. Montrer que la suite (M ) converge vers 0 dans (M,, (R), || ||) si et P peN seulement si CHAQUE SUITE RÉELLE (xp(k))pe N (k =1,..., d ) converge vers 0. I -- Une relation d'équivalence sur Cî° On convient de dire que des fonctions f et g de C}'° «coïncident sur le spectre de A » lorsque : Vj & {l,...,r}, Vk & {O,...,mj --1}, f(k)(Àj)= g(k)(Àj--). Ce que l'on résume par la notation fîg. Un exemple: si HA (X): X2 (X+l) la notation fîg signifie: f(0)= g(0), f'(0)=g'(0) et f(--1)=g(--1)- 3. Soient [ dans N*, X dans Ietfdans C}'° vérifiant: f(k)(k) = 0 pour k : 0,1,2,...,EUR --1. (x--uÿ4 (EUR -- 1)! b) En déduire à l'aide d'un changement de variable, l'existence d'une fonction h vérifiath : (1) Vx EUR ], f(x) = (x --x)f h(x) (2) h e Cf a) Établir l'identité : \7'x & ], f (x)= [; f (£)(u) du . 4. Soient f et gdans C}'° . a) Onsuppose: 3heC'f', f=g+hHA. En considérant les dérivées successives de f -- g , établir que f Î g. b) On suppose f Î g ; en exploitant le 3. justifier l'existence de h dans C}'° vérifiant : 5. Soient P et Q dans R [X] ; prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (1) P ÎQ (2) BHER[X], P=Q+HUA. Il --- Définition de la matrice f (A) A. On considère l'application (p de R... - 1 [X] vers R'" qui associe à un polynôme P le m-uplet : )......,...,(P"°r>)ogkrS...,_l)-- 6. Établir le caractère bijectif de (p . 7. Soit f dans C}'0 ; justifier l'existence d'un et d'un seul polynôme Pf de IR[X ], de degré inférieur ou égal à (m --1) et tel que : f ÎPf° On convient alors de DÉFINIR la matrice f (A) en posant : f(A) : PflA). B. Quelques exemples N 8. On suppose ici que f est polynomiale et l'on écrit : Vx & ], f(x) : Zakxk . , k=0 En effectuant une division euclidienne, montrer qu'avec la définition de la question 7, on N obtient le résultat naturel : f ( A) = z akAk . k=O 5 --4 4 --3 a) Calculer H A(X ) b) Calculer la matrice f (A) dans chacun des cas suivants : (1) f(x) : ax + b , les réels a et b étant donnés. (2) f(x) = sin(nx) (3) f(x) = (x --1)2 g(x) , où la fonction g est donnée dans C,". 9. ICI:A={ }eMfiR)etl=R III -- Le calcul systématique de f (A) A. Une formule générale 10. En exploitant l'isomorphisme linéaire (p du [LA, justifier l'existence et l'unicité de polynômes QLk (] 5 j S r,O _<_ k 5 m]. -- ]) vérifiant: pour TOUTE fonction f de C}'° , on a : Pf : Z 2 f ...(À j)QJ-,k lSer OSkSmj--l On considère alors les matrices dites «associées >> à A : ZM = Q...A) (1 £er, OSkSmj--l). 1 1. Montrer que les diverses matrices Z j, k sont linéairement indépendantes et que : VfEURCÎO»f(/Ï)= Z Zf(k)(}'j)zj,k 15er OSkSmj--l B. Deux exemples 5 --4 4 ---3 a) Justifier l'existence de matrices ZI et 22 de M2 (R) telles que : Vf EUR C}'°a f(A)=f(l)Zl+f'(l)Zz- b) EN DÉDUIRE le calcul de Z] et 22. 12.ICI:A={ }etl=Rî. 13. c) Calculer les matrices A2004,\/Â et plus généralement A" pour ou dans lili. 1 -1 1 la: A: 2 --2 1 eM3(R)etl=R. 1 --1 0 a) Présenter sous forme factorisée le polynôme H A(X ) La matrice A est-elle diagonalisable dans M3 (R) '? b) Calculer les matrices Z j k « associées » àA. IV -- Un calcul fonctionnel sur la matrice A A. 14. 15. 16. 17. 18. Quelques identités bien naturelles Soient f et g dans C}'° et on dans R. a) Que valent Paf et Pf+g '? b) Justifier l'existence d'un polynôme H de R [X] tel que : Pfg : Png + H H A . a) Montrer que l'application S: f |--> f (A) de C? dans M ,, (IR) est un morphisme de R-algèbres. b) Quel est son noyau ? On considère les fonctions cosinus et sinus de R dans IR, puis les fonctions fl :xl--> x/)_c et f2 : x +--> l de Ri dans lR. On peut ainsi DÉFINIR les matrices cos A, sin A, et même \/Z et --ä x si les )Lj sont dans R:. . a) En exploitant le morphisme S, calculer (cos A)2 + (sin A)2 . b) On suppose ici que les 7Lj sont strictement positifs. Reconnaître : (Ü)2 et à:. . Le spectre de f(A) Montrer que l'ensemble noté MA = { f (A)/ f E Cf} est une sous-algèbre COMMUTATIVE de M ,, (IR) et préciser sa dimension. Montrer que si un élément de MA est inversible dans M n (R) alors son inverse est aussi dans MA. 19. Soit f dans C'" ; établir l'équivalence des énoncés suivants : (l) f(A) est inversible dans Mn (R). (2) Vj EUR {1,...,r} f(7yi)i () 20. Si M est une matrice de M n (R), on note A M l'ensemble de ses valeurs propres RÉELLES. En exploitant la question 19 comparer les ensembles : A A et A A A) où f est donnée dans C,". V -- Application à la résolution d'un système différentiel une suite de fonctions de C'}0 et f dans C}'°. Établir l'équivalence des énoncés 21. Soient ( f,,) pe N suivants : (l) La suite de matrices ( f p(A)) pe N converge dans M n (R) vers j (A) . (2) Pour chaque j (15 j 5 r) et chaque k (0 5 k 5 m j --l), la suite réelle (fp(k)(Àj))peN converge vers f (k)(k j ). Lorsque la condition (2) est réalisée, on convient de dire que la suite de fonctions ( p)peN «converge vers f sur le spectre de A >>. +oe£ 22. Pour ! réel, on considère la fonction f, :x |--> e" de R dans lR. Montrer que : f,(A) : 2%AÀ £=0 -- Il s'agit donc précisément de la matrice usuellement notée exp (t A). 23. En exploitant les résultats acquis à ce stade du problème, résoudre le système différentiel : Ë--=x--y+z âzt --y=2x--2 +2 5%" ' _a=x_ dt y Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 2 MP 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par Sébastien Gadat (Enseignant-chercheur à l'Université) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce problème traite d'un calcul fonctionnel sur les matrices : il s'agit, en partant d'une fonction f supposée de classe C sur un intervalle contenant le spectre d'une matrice A, de définir convenablement une matrice f (A), définition qui prolonge celle de polynôme d'une matrice. Le sujet commence par quelques préliminaires, qui démontrent divers résultats qui seront utilisés plus loin. · La première partie est purement de l'analyse (manipulation de fonctions C sur un intervalle). Elle introduit une relation d'équivalence nécessaire à la suite du problème. · La deuxième partie définit de manière non ambiguë une matrice f (A), à partir d'une matrice A et d'une fonction f de la variable réelle. Notamment, il est démontré que cette définition prolonge bien celle, déjà connue, de polynôme d'une matrice. · La troisième partie donne quelques arguments dans le but de pouvoir calculer facilement f (A), en offrant par la suite l'occasion d'appliquer ces arguments sur des exemples. · La quatrième partie élabore quelques propriétés générales naturelles sur les objets définis, notamment le fait que l'application f 7 f (A) est un morphisme d'algèbres, ainsi que des conditions d'inversibilité. · La dernière partie traite cette fois de propriétés analytiques (une certaine condition de continuité de l'application A 7 f (A)), et en déduit que l'exponentielle d'une matrice est également définie de manière non ambiguë. La dernière question est une application à la résolution d'un système différentiel. Ce problème, dont l'enjeu est véritablement intéressant, est plutôt long et moyennement difficile. Il est original, bien qu'il fasse intervenir nombre d'outils classiques, en algèbre comme en analyse. Il constitue en conséquence un excellent sujet de révision. Il doit être fait dans l'ordre, car les parties ne sont pas indépendantes. Toutefois, les résultats utiles pour poursuivre le problème sont donnés par l'énoncé, exceptées les applications des résultats théoriques établis. Indications Préliminaires 1 2.a 2.b 2.c Revenir aux définitions des normes de l'énoncé. Revenir à la définition d'une norme. Penser à l'équivalence des normes en dimension finie. Utiliser la question précédente. I. 3.a 4.a 4.b 5 Une relation d'équivalence sur C I Penser à la formule de Taylor avec reste intégral. Utiliser la formule de Leibnitz. Faire une récurrence sur le nombre r de racines du polynôme A . Montrer que P - Q est divisible par chaque (X - j )mj . II. Définition de la matrice f (A) 6 Montrer que est linéaire et injective à l'aide de la question 5. 7 Utiliser de manière adéquate la bijectivité de établie à la question précédente. 8 Effectuer la division euclidienne de f par A et vérifier que le reste est bien égal à Pf . 9.a Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton, ainsi que le fait que A n'est pas une matrice scalaire (ce qui permet de minorer le degré du polynôme minimal). III. Le calcul systématique de f (A) 10 Prendre l'image réciproque par de la base « canonique » de Rm . 11 Constater que (Qij ) est une base de Rm [X], et que l'application P 7 P(A) est un isomorphisme de Rm [X] dans R[A] Mn (R). 13.a Calculer le polynôme caractéristique de A. Montrer alors, en utilisant le théorème du rang pour traiter la valeur propre double, qu'il s'agit ­ au signe près ­ du polynôme minimal de A. 13.b Utiliser la même méthode d'identification qu'à la question précédente. IV. Un calcul fonctionnel sur la matrice A 14.b 15.a 15.b 17 18 Utiliser la formule de Leibnitz, ainsi que la question 5. Utiliser la question précédente. Utiliser la question 4.b. Montrer que MA = R[A]. Montrer que si B est un élément inversible de Mn (R), alors B-1 est un polynôme en B. 19 Trigonaliser A. En déduire une expression de det f (A). 20 Déduire de la trigonalisation de A une expression du polynôme caractéristique de f (A). V. Application à la résolution d'un système différentiel 21 Utiliser les questions 11 et 2.c. 22 C'est une application de la question précédente. Préliminaires 1 Revenons aux définitions de l'énoncé. Soit X = (xi )16i6n un élément de Mn,1 (R), et M = (mij )16i,j6n une matrice dans Mn (R). On a alors, par définition, n P MX = (yi )16i6n avec yi = mij xj . j=1 Compte tenu des définitions données par l'énoncé des normes kMk = n Max |mij | et kXk = Max |xi | 16i,j6n il vient |yi | 6 6 16i6n n P |mij | |xj | j=1 n kMk P j=1 n kXk = kMk kXk Ceci étant vrai quel que soit l'indice i, on obtient, en prenant le maximum : kMXk 6 kMk kXk 2.a Pour répondre à la question, revenons à la définition d'une norme, et montrons que N vérifie chacune des propriétés d'une norme : Rappelons brièvement la définition d'une norme. Si E est un espace vectoriel, une application N : E R+ est une norme sur E si elle vérifie, pour tout R, x, y E les propriétés suivantes : N(x) = || N(x) (homogénéité), N(x + y) 6 N(x) + N(y) (inégalité triangulaire) et [N(x) = 0 x = 0] (séparation). · Définition : pour commencer, remarquons que N est bien définie sur M (car la décomposition d'un élément de M dans la base existe et est unique), et est bien à valeurs réelles positives. En général, lorsque des normes « exotiques » apparaissent dans un énoncé, il importe toujours de démontrer que la définition de la norme est bien sans ambiguïté. Cela est d'ailleurs parfois le plus difficile à établir, en particulier sur les espaces vectoriels de dimension infinie. · Homogénéité : soient R et X un élément de l'espace vectoriel M, d P que l'on décompose dans la base sous la forme X = xk k . On a alors k=1 d P naturellement la décomposition dans cette base de X = k=1 permet d'écrire le calcul ci-dessous : N (X) = Max | xk | 16k6d = Max || |xk | 16k6d = || Max |xk | 16k6d N (X) = || N (X) Ainsi, N est homogène. (xk )k , ce qui · Inégalité triangulaire : soient X = d P xk k et Y = k=1 d P yk k deux éléments de k=1 M (décomposés dans la base ). La décomposition dans cette base d P de X + Y est alors X + Y = (xk + yk )k . L'inégalité triangulaire vérifiée k=1 par la valeur absolue sur R justifie le calcul suivant. Pour k [[ 1 ; d ]], on a |xk + yk | 6 |xk | + |yk | 6 N (X) + N (Y) En prenant le maximum sur les k, il vient : N (X + Y) 6 N (X) + N (Y) ; ainsi, N vérifie l'inégalité triangulaire. d P · Séparation : soit X = xk k M tel que N (X) = 0. Cela signifie que k=1 Max |xk | = 0, c'est-à-dire que pour tout k, xk = 0, et donc X = 0. Ainsi, 16k6d N sépare bien les vecteurs de M. En conclusion, on a bien montré que N est une norme sur M. 2.b L'application M M 7 kMk est la restriction d'une norme sur Mn (R) à l'espace vectoriel M. Il s'agit donc d'une autre norme sur M. Le sous-espace de Mn (R) M est dimension finie d. Or, en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Il s'agit donc simplement d'une application directe de ce résultat à l'espace vectoriel M et aux normes N et k k. a, b > 0 M M akMk 6 N (M) 6 bkNk 2.c L'équivalence des normes N et k k implique en particulier qu'une suite Mn d'éléments de M tend vers 0 pour l'une des normes si et seulement si elle tend vers 0 pour l'autre norme. Ainsi, on a les équivalence suivantes : (Mn (R),k k) Mp ------- 0 p+ kMp k ---- 0 p+ N (Mp ) ---- 0 p+ (Mn (R),k k) Mp ------- 0 p+ Max |xp (k)| ---- 0 16k6d p+ La famille des indices k étant finie, on en déduit (Mn (R),k k) Mp ------- 0 p+ k [[ 1 ; d ]] xp (k) ---- 0 p+