CCINP Maths 2 MP 2004

Thème de l'épreuve Calcul fonctionnel sur Mn(R)
Principaux outils utilisés fonctions de la variable réelle, algèbre générale, algèbre linéaire

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SESSION 2004 . MPMZOO7

CONCOURS COMMUN!» POlYTE(NNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

Fonctions de matrices

Notations :

1. Les lR-algèbres suivantes sont considérées au cours de ce texte :
> L'algèbre M ,, (IR) des matrices carrées réelles d'ordre n.

> Si 1 est un intervalle de R, d'intérieur non vide, on note CÏ° l'algèbre 
commutative des

fonctions de classe C°° de I dans R.
> L'algèbre des fonctions polynomiales de I dans IR est usuellement identifiée 
à l'algèbre

R[X].

2. On y rencontre aussi les R-espaces vectoriels suivants :
> L'espace des colonnes réelles à n lignes noté Mn,1 (R).

> L'espace RN[X]= {P eR[X]/degPî N}, où NEN.

3. Les notions de convergence dans M ,,,] (IR) et M ,, (R) sont relatives aux 
normes respectives :

> ||XH00 =Max|xk| , si X =t[xl,....,xn].

lSkSn

> ||M||=nMaxlm,--, , si M =[mÿ]15iSn.

19,an 15an

Objectifs du problème

Lorsque P EUR R[X ] et A EUR M ,, (R), on sait donner un sens à la matrice P(A) 
et l'on maîtrise bien
le calcul polynomial sur A qui en résulte. En particulier, si M est une matrice 
de M ,, (R), on

appelle POLYNÔME MINIMAL de M le polynôme unitaire P de plus bas degré tel que 
P(M ) = 0 ; il
est immédiat (et on l'admettra) qu'il s'agit du polynôme minimal de 
l'endomorphisme u de R"

dont M est la matrice dans la base canonique de IR" .
Dans un premier temps, ce texte propose de donner un sens à la matrice f (A) 
POUR TOUTE

FONCTION f DE CLASSE C°° , et cela moyennant des hypothèses convenables sur la 
matrice A.
Autrement dit, on apprend à maîtriser un certain calcul fonctionnel sur A.
Dans un second temps, on exploite ces résultats pour résoudre un système 
différentiel linéaire.

Notations fixées pour tout le problème :

> On considère une matrice A de M ,, (IR) et l'on SUPPOSE que son polynôme 
minimal HA peut
être écrit sous la forme: 1--1A(X)=(X--kl)m1 ...(X--À,)"" avec: er ; les M sont 
des

REELS distincts ; les mj sont dans N . On note alors m = 122 m j le degre de HA 
.
_J_r

> On considère aussi un intervalle ] de lR, d'intérieur non vide et contenant 
tous les X j .

La matrice A et l'intervalle [ sont particularisés dans les divers exemples 
traités au cours du
problème.

Préliminaires :

1. Établir que pourX dans M n,] (R) et M dans M ,, (R), on a : "MX"oo S "M 
IIHXHoe.

2. Soit % un sous--espace vectoriel de dimension d 21 de M ,, (R), et soit [3 
=(Bl,...,Bd) une

base de WL

a) Montrer que l'on définit une norme W sur M en posant W (M ): Max|xk

,si
lsksd

M : î:kak est la décomposition de l'élémentM de 914 sur la base B.
lsk.<.d b) Justifier l'existence de constantes réelles strictement positives a et b vérifiant: v M EUR %, a||M|| s W(M) sb||M|l. c) 801t (M p )peN une suite d elements de M ; on note M p = 1<ëd xp(k)Bk la decomposfi10n de M p sur B. Montrer que la suite (M ) converge vers 0 dans (M,, (R), || ||) si et P peN seulement si CHAQUE SUITE RÉELLE (xp(k))pe N (k =1,..., d ) converge vers 0. I -- Une relation d'équivalence sur Cî° On convient de dire que des fonctions f et g de C}'° «coïncident sur le spectre de A » lorsque : Vj & {l,...,r}, Vk & {O,...,mj --1}, f(k)(Àj)= g(k)(Àj--). Ce que l'on résume par la notation fîg. Un exemple: si HA (X): X2 (X+l) la notation fîg signifie: f(0)= g(0), f'(0)=g'(0) et f(--1)=g(--1)- 3. Soient [ dans N*, X dans Ietfdans C}'° vérifiant: f(k)(k) = 0 pour k : 0,1,2,...,EUR --1. (x--uÿ4 (EUR -- 1)! b) En déduire à l'aide d'un changement de variable, l'existence d'une fonction h vérifiath : (1) Vx EUR ], f(x) = (x --x)f h(x) (2) h e Cf a) Établir l'identité : \7'x & ], f (x)= [; f (£)(u) du . 4. Soient f et gdans C}'° . a) Onsuppose: 3heC'f', f=g+hHA. En considérant les dérivées successives de f -- g , établir que f Î g. b) On suppose f Î g ; en exploitant le 3. justifier l'existence de h dans C}'° vérifiant : 5. Soient P et Q dans R [X] ; prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (1) P ÎQ (2) BHER[X], P=Q+HUA. Il --- Définition de la matrice f (A) A. On considère l'application (p de R... - 1 [X] vers R'" qui associe à un polynôme P le m-uplet : )......,...,(P"°r>)ogkrS...,_l)--

6. Établir le caractère bijectif de (p .

7. Soit f dans C}'0 ; justifier l'existence d'un et d'un seul polynôme Pf de 
IR[X ], de degré
inférieur ou égal à (m --1) et tel que : f ÎPf° On convient alors de DÉFINIR la 
matrice f (A)

en posant : f(A) : PflA).

B. Quelques exemples

N
8. On suppose ici que f est polynomiale et l'on écrit : Vx & ], f(x) : Zakxk .
, k=0
En effectuant une division euclidienne, montrer qu'avec la définition de la 
question 7, on

N
obtient le résultat naturel : f ( A) = z akAk .
k=O

5 --4
4 --3
a) Calculer H A(X )

b) Calculer la matrice f (A) dans chacun des cas suivants :
(1) f(x) : ax + b , les réels a et b étant donnés.

(2) f(x) = sin(nx)
(3) f(x) = (x --1)2 g(x) , où la fonction g est donnée dans C,".

9. ICI:A={ }eMfiR)etl=R

III -- Le calcul systématique de f (A)

A. Une formule générale

10. En exploitant l'isomorphisme linéaire (p du [LA, justifier l'existence et 
l'unicité de
polynômes QLk (] 5 j S r,O _<_ k 5 m]. -- ]) vérifiant: pour TOUTE fonction f de C}'° , on a : Pf : Z 2 f ...(À j)QJ-,k lSer OSkSmj--l On considère alors les matrices dites «associées >> à A :

ZM = Q...A) (1 £er, OSkSmj--l).

1 1. Montrer que les diverses matrices Z j, k sont linéairement indépendantes 
et que :

VfEURCÎO»f(/Ï)= Z Zf(k)(}'j)zj,k

15er OSkSmj--l

B. Deux exemples

5 --4
4 ---3

a) Justifier l'existence de matrices ZI et 22 de M2 (R) telles que :

Vf EUR C}'°a f(A)=f(l)Zl+f'(l)Zz-

b) EN DÉDUIRE le calcul de Z] et 22.

12.ICI:A={ }etl=Rî.

13.

c) Calculer les matrices A2004,\/Â et plus généralement A" pour ou dans lili.

1 -1 1
la: A: 2 --2 1 eM3(R)etl=R.
1 --1 0

a) Présenter sous forme factorisée le polynôme H A(X ) La matrice A est-elle
diagonalisable dans M3 (R) '?

b) Calculer les matrices Z j k « associées » àA.

IV -- Un calcul fonctionnel sur la matrice A

A.

14.

15.

16.

17.

18.

Quelques identités bien naturelles

Soient f et g dans C}'° et on dans R.
a) Que valent Paf et Pf+g '?

b) Justifier l'existence d'un polynôme H de R [X] tel que : Pfg : Png + H H A .

a) Montrer que l'application S: f |--> f (A) de C? dans M ,, (IR) est un 
morphisme de

R-algèbres.
b) Quel est son noyau ?

On considère les fonctions cosinus et sinus de R dans IR, puis les fonctions fl 
:xl--> x/)_c et

f2 : x +--> l de Ri dans lR. On peut ainsi DÉFINIR les matrices cos A, sin A, 
et même \/Z et --ä
x

si les )Lj sont dans R:. .

a) En exploitant le morphisme S, calculer (cos A)2 + (sin A)2 .

b) On suppose ici que les 7Lj sont strictement positifs. Reconnaître : (Ü)2 et 
à:.

. Le spectre de f(A)

Montrer que l'ensemble noté MA = { f (A)/ f E Cf} est une sous-algèbre 
COMMUTATIVE de
M ,, (IR) et préciser sa dimension.

Montrer que si un élément de MA est inversible dans M n (R) alors son inverse 
est aussi dans

MA.

19. Soit f dans C'" ; établir l'équivalence des énoncés suivants :
(l) f(A) est inversible dans Mn (R).

(2) Vj EUR {1,...,r} f(7yi)i ()

20. Si M est une matrice de M n (R), on note A M l'ensemble de ses valeurs 
propres RÉELLES.

En exploitant la question 19 comparer les ensembles : A A et A A A) où f est 
donnée dans C,".

V -- Application à la résolution d'un système différentiel

une suite de fonctions de C'}0 et f dans C}'°. Établir l'équivalence des énoncés

21. Soient ( f,,)

pe N
suivants :

(l) La suite de matrices ( f p(A))

pe N converge dans M n (R) vers j (A) .

(2) Pour chaque j (15 j 5 r) et chaque k (0 5 k 5 m j --l), la suite réelle 
(fp(k)(Àj))peN

converge vers f (k)(k j ).

Lorsque la condition (2) est réalisée, on convient de dire que la suite de 
fonctions ( p)peN

«converge vers f sur le spectre de A >>.

+oe£

22. Pour ! réel, on considère la fonction f, :x |--> e" de R dans lR. Montrer 
que : f,(A) : 2%AÀ
£=0 --

Il s'agit donc précisément de la matrice usuellement notée exp (t A).

23. En exploitant les résultats acquis à ce stade du problème, résoudre le 
système différentiel :

Ë--=x--y+z

âzt
--y=2x--2 +2
5%" '
_a=x_

dt y

Fin de l'énoncé.