CCP Maths 2 MP 2003

Thème de l'épreuve Calcul de distances entre une matrice et certaines parties de Mn(R)
Principaux outils utilisés diagonalisation, produits scalaires, théorème du rang, trace, théorème de décomposition polaire, théorème de Courant et Fischer
Mots clefs vecteurs propres, matrices symétriques et antisymétriques, matrices orthogonales

Corrigé

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 SESSION 2008 _ | MPMZO7 CONCOURS COMMUNS POlYTECHNlOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de %(R) Notations Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note : WZ(R) : la R--algèbre des matrices carrées réelles d'ordre n. % 1(IR) : le lR--espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne. Pour une matrice A de Wfl(lR), 'A est sa matrice transposée, rang (A) son rang et Tr (A) sa trace. [" : la matrice unité de %(lR). SZ(R) : le sous--espace vectoriel des matrices symétriques de %(R). Ân(lR) : le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de %(lR). 3 :(lR) : l'ensemble des matrices positives de SZ(R) c'est-à--dire des matrices A de SZ(lR) vérifiant : pour toute matrice X & Wnl(lR), 'X A X Z O. GLfl(R) : le groupe des matrices inversibles de %(R). Q(R) : le groupe des matrices réelles orthogonales c'est-à--dire des matrices M de %(R) vérifiant : 'M M : In . Pour p entier naturel, Ap est l'ensemble des matrices de %(R) de rang-supérieur ou égal à p et Vp est l'ensemble des matrices de %(lR) de rang inférieur ou égal à p. Obiectifs Le but du sujet est de calculer la distance (par la norme de Schur définie à la question 113.) d'une matrice à : dans la partie II., SZ(IR) et Â(R) par le théorème de projection orthogonale, dans la partie III., Q(IR) par le théorème de décomposition polaire, dans la partie IV., Ap par des notions de densité, dans la partie V., Vp par le théorème de Courant et Fischer. La partie I. traite un exemple qui sera utilisé dans les différentes parties. Remarque : dans le texte, le mot «positif» signifie « supérieur ou égal à 0 >>. 1. Exercice préliminaire l 2 l 1. Soit la matrice F = --2 ---1 --1 de %Z(IR), on pose H = 'F F . --l --1 --2 Diagonaliser la matrice H et déterminer une matrice P de Q(R) et une matrice diagonale D à termes tous positifs telles que D2 = P"1 H P. 2. On pose S =PDP" & 3 ;(IR), montrer que la relation F =U S définit une matrice U EUR Q(R) et calculer cette matrice. 11. Calcul dela distance deA à 5j(iæ) et à Jdn(n) 3. Soit A et B deux matrices de %(R), on pose (A IB) : Tr ('A B) . Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur WZ(IR). 1 La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée : "A" = ((A |A))î. Dans tout le sujet, si H est une partie non vide de Wfl(lRä), la distance d'une matrice A de WZ(R) à la partie n est le réel d(A, H) = inf |A--M||. MeH 4. Montrer que WZ(R) : S:(IR) @ Ân(lR) et que cette somme directe est orthogonale. 5. Si A est une matrice de %(IR), montrer que d (A, SZ(IR))= "%(A--'A) et déterminer de même d(A, ÆR» 6. Calculer d (F, Â(R)) où F est la matrice exemple de la partie I. III. Calcul de la distance de A à Q(R) A. Théorème de la décomposition polaire 7. Montrer qu'une matrice S de SZ(R) appartient à 3 : (R) si et seulement si toutes les valeurs propres de S sont positives ou nulles. 8. Si A est une matrice de Wfi(lR) montrer que la matrice 'A A EUR 3 : (R). 9. Soit A une matrice de WZ(R), on suppose qu'il existe une matrice diagonale D=diag (d1 , d,, ..., d") à termes positifs telle que 'A A : Dz. On note A1 , A, ,..., An les matrices de W" 1(IR) qui forment les colonnes de la matrice A. a. Pour tout couple (i, j) d'entiers naturels compris entre 1 et n, évaluer 'A, A]... En particulier, si i est un entier pour lequel d, = O , que vaut A, ? b. Montrer que l'on peut trouver une base orthonormée (E,, E,, ..., En) de Wn,l(lRä) (par rapport au produit scalaire canonique (X, Y ) ='X Y de % 1(R)) telle que, pour tout entier naturel i entre 1 et n, A, : di E, . c. En déduire qu'il existe une matrice E de Q(lRä) telle que A = E D. 10. Soit A et B deux matrices de WZ(]R) vérifiant 'A A : 'B B . a. Montrer qu'il existe une matrice diagonale D à termes positifs et une matrice orthogonale P telles que: P"1 'AAP : P"1 'BBP = D2 . b. Montrer qu'il existe une matrice U de Q(R) telle que A = U B. 1 ]. Déduire des questions précédentes le théorème de décomposition polaire : Pour toute matrice A de %(R), il existe une matrice U de Q(R) et une matrice S de 3 : (IR) telles que A = U S . (Remarque : on peut également établir l'unicité de la matrice S de 5 : (IR) et même l'unicité de la matrice U de Q(R) si A est de plus inversible dans cette décomposition mais ce ne sera pas utile pour la suite du problème). B. Calcul de d(A, Q(R)) 12. Montrer que, pour toute matrice M de %(R) et pour toute matrice Q de Q(R), IlM Qll=llQ M ll=llM ll- 13. Dans la suite de cette partie, soit A une matrice de WZ(R), soit U E Q(R) et S e 3 : (IR) telles que A=U S ; il existe une matrice diagonale D et une matrice P de @(lR) telles que S = P D P"] . a. Montrer que, pour toute matrice Q de Q(R), [|A--Q" ="S --U"Q" et en déduire que d(A, Q(R» = d(S, O.(R» b. Montrer que d(A, Q(R))= d(D, Quan. 14. On note D=diag(7... k,, ..., À"). a. Montrer que pour toute matrice Q de Q(R), |D ---- Q"2 = z 73; -- 2 Tr (D Q) + n . i=1 b. Montrer que pour toute matrice Q de QUE), Tr (D Q) 5 EL . i=l c. Conclure que d (D, Q(R)) : "D -- In 15. Montrer que d(A, @(R))= "A -- U". 16. Calculer d(F, Q(R)) où F est la matrice exemple de la partiel. IV. Calcul de la distance deA à Ap 17. Un résultat de densité. a. Soit M un élément de Wfl(lR), montrer qu'il existe un réel oc > 0 tel que pour tout réel ?» vérifiant 0 < k < on , la matrice M -- À In est inversible. b. En déduire que GLn(R) est dense dans WZ(lR). 18. Soit A un élément de %(R), déterminer, pour tout entier naturel p S n , d (A, Ap ). V. Calcul de la distance de A à Vp A. Théorème de Courant et Fischer Soit A une matrice de 501%). On notera Xl ZX, 2...an ses valeurs propres, on notera D=diag(k,, k,, ..., À"), P la matrice de Q(R) vérifiant A = P D 'P et C1, C2, ...,Cn les matrices de 742 l(IR) formant les colonnes de la matrice P. Si k est un entier entre 1 et n, on note LP, l'ensemble des sous-espaces vectoriels de W" ](11%) de dimension k. Nous allons montrer que : . 'X A X k, = max mm Fe'l'k XeF--{O} 'X X (théorème de Courant et Fischer). 19. Soit X un vecteur de Wn,,(lR) de coordonnées (x,,x,,...,xn) dans la base orthonormée (C,,C,,...,CJ de W...(R). Calculer en fonction des x, et X, (i compris entre 1 et n): 'C, A EUR, 'X A X et 'X X et pour k entier entre 1 et n, , Ck Ck 20. Soitkentier entre 1 et n, on pose F, =vect{C,, C,, ...,C, }. X A X 2 X, et déterminer min XA X 'X X XeFk-{O} 'X X ' Montrer que pour tout X non nul de F , , 21. Soit F & W,, a. montrer que dim(Fñvect{C,, C..., ...,Cn})Zl. b. Si Xest un vecteur non nul de F (\ vect{ C, , C,+1 , ..., Cn }, montrer que 22. Conclure. B. Calcul de d(A,Vp) Dans toute cette partie : A est une matrice de WAR) de rang r et p est un entier naturel, p < r . 23. Montrer qu'il existe deux matrices E et P de Q(R) et une matrice diagonale D à termes positifs telles que A = E D P. En déduire que le rang de la matrice 'A A est encore r. (On pourra utiliser les résultats de la question 9.) 24. Si on note les valeurs propres de la matrice symétrique réelle 'A A de rang r: u, 2 u, _>_ Z ur > 0 et u... = = un : 0 , si on pose D=diag(Æ, ./u,_ , ..., u, , O, ..., O) , si pour 1 .<. ! S n on note M, la matrice de WZ(lR) dont la l--ième colonne est celle de la matrice E E Q(lR) de la question 23., tous les autres termes de M, étant nuls, on a clairement: E D = EJE, M,. [=] Montrer alors qu'il existe une famille orthonormale (R,, R,, ..., R") de matrices de %(R) (pour le produit scalaire (A |B) =Tr('A B) de %(R)), toutes de rang un, et telles que A=ëÆR,=ÂÆR,. 25. 26. 27. 28. P Avec les notations de la question 24, on pose N = z \/p_, R, . l=l Montrer que rang(N ) S p puis que d(A, Vp)s ,/u... + ...+ p., . Soit M une matrice de rang p ( p < r) , on note on1 Z ou, 2 2 an 2 0 les valeurs propres de la matrice '(A -- M) (A -- M) et on pose G : KerM (\ Im('A A). Soit k un entier compris entre l et r -- p. a. Montrer que dim G 2 r -- p . b. Soit F un sous-espace vectoriel de G de dimension k, montrer que : . 'X tA A X ak 2 mm --. XeF--{O} ' X X c. On note (V], V,, ..., Vn) une base de R" formée de vecteurs propres de la matrice 'A A, le vecteur V, étant associé à la valeur propre u, de telle sorte que : u, 2 p, 2 ?. ur > 0 et "r+1='"=pn =O' Montrer que dim (G nvect{ V,, V,, ..., Vk+p } ) 2 k. (1. En déduire que ock 2 pm,. En déduire d (A, Vp ). Calculer, pour p E {O, 1, 2, 3}, yp : d (F, Vp) où F est la matrice exemple de la partiel. Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 2 MP 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Alexis Devulder (ENS Ulm) et David Lecomte (Université de Stanford). Ce sujet traite exclusivement d'algèbre linéaire. Il propose de calculer de diverses manières la distance d'une matrice à plusieurs sous-ensembles classiques de Mn (R). Il est composé de cinq parties dont chacune (à l'exception de la première) permet de calculer une distance à un sous-ensemble particulier. La norme utilisée dérive du t produit scalaire qui, à deux matrices A et B, associe la trace de la matrice A B. · La première partie est un exercice préliminaire. Il s'agit simplement d'un exercice de diagonalisation de matrice. Les résultats ne serviront par la suite qu'à répondre aux toutes dernières questions de chaque partie. · La deuxième commence par la détermination de la distance d'une matrice à l'ensemble des matrices symétriques et à celui des matrices antisymétriques. C'est la partie la plus facile. Elle demande simplement de montrer quelques relations d'orthogonalité pour aboutir au résultat. · La troisième introduit un théorème très important d'algèbre linéaire qui servira pour toute la suite du problème (on peut cependant très bien poursuivre le problème en admettant son résultat). On s'en sert alors pour calculer la distance d'une matrice à l'ensemble des matrices orthogonales. On manipule beaucoup de matrices orthogonales et de matrices symétriques dans cette partie ; il est donc nécessaire de bien connaitre le cours sur ce sujet avant de l'aborder. · La quatrième est très courte et plutôt facile. Elle sert plus à se reposer avant la dernière partie qu'à tester des connaissances. · La dernière partie est la plus difficile à aborder. Là encore, le sujet commence par démontrer un théorème général d'algèbre linéaire. La démonstration t est assez bien amenée et ne nécessite que quelques calculs de la forme X AX, où X est un vecteur colonne et A une matrice symétrique (on se ramènera souvent à une matrice diagonale), ainsi que quelques raisonnements sur les dimensions. Enfin, on se sert de ce théorème pour calculer la distance d'une matrice de rang r à l'ensemble des matrices de rang au plus p < r. La dernière partie peut sembler difficile, mais il suffit d'avoir les idées claires pour s'en sortir (les preuves ne nécessitent aucune dextérité particulière). Ce sujet est très intéressant (et assez long). Il est varié et utilise presque tous les principaux théorèmes d'algèbre linéaire. Il est vivement conseillé d'y jeter un coup d'oeil et de s'accrocher. Indications I. Exercice préliminaire 1 Commencer par calculer H et son polynôme caractéristique H . Déterminer ensuite les valeurs propres de H en factorisant ce polynôme (on pourra commencer par chercher une racine entière évidente). t 2 Poser U = S-1 et montrer que U U est égale à l'identité. II. Calcul de la distance de A à Sn (R) et à An (R) 4 Introduire l'application linéaire T qui à une matrice associe sa transposée et calculer T2 . En déduire que T est diagonalisable et chercher ses sous-espaces propres. 5 Utiliser le théorème de projection orthogonale. III. Calcul de la distance de A à On (R) t 7 Si S appartient à Sn+ , exprimer X AX pour un vecteur propre de S afin d'en déduire que les valeurs propres sont positives. Dans l'autre sens, commencer par t écrire que S est diagonalisable dans le groupe orthogonal, puis exprimer X AX pour tout vecteur X, en fonction des valeurs propres de A et d'une matrice P de diagonalisation. 9.b Utiliser le fait que l'on puisse compléter toute famille orthonormée de vecteurs en une base orthonormée de l'espace tout entier. 10.b Utiliser le résultat de la question 9 et la relation de la question précédente. 12 Combiner les propriétés des matrices orthogonales avec les propriétés de la trace, notamment Tr(AB) = Tr(BA) pour toutes matrices A et B. 13.a Utiliser dans un premier temps le résultat de la question précédente. Pour le reste, on pourra montrer que pour toute matrice A et toute matrice orthogonale : d(A, On (R)) = d(A, On (R)) = d(A, On (R)) 14.a Développer ||D - ||2 . 14.b Montrer dans un premier temps que pour tout matrice = (i,j )i,j[[ 1 ; n ]] orthogonale et pour tous indices i et j, i,j est de valeur absolue inférieure à 1. 14.c Remarquer que la majoration précédente est une égalité pour une certaine matrice . 15 Utiliser le résultat de la question 12. IV. Calcul de la distance de A à p 17.a Utiliser le fait qu'un polynôme n'admet qu'un nombre fini de racines. 17.b Montrer que pour tout strictement positif, il existe une matrice M inversible telle que la norme de A - M soit inférieure à . V. Calcul de la distance de A à p 19 Remarquer que, P étant une matrice orthogonale, les vecteurs colonnes de P forment une famille orthogonale de vecteurs propres pour A. 20 Utiliser les expressions obtenues dans la question précédente. 21.a Utiliser la propriété : dim(E + F) = dimE + dimF - dim(E F) 21.b Raisonner comme à la question 20. 23 Utiliser le théorème de décomposition polaire. 24 Montrer dans un premier temps que la famille (Ml )l[[ 1 ; n ]] est orthonormée. 25 Calculer ||A - N||. 26.a Même indication qu'à la question 21.a. 26.b Appliquer le théorème de Courant et Fisher. Remarquer ensuite que F est inclus dans le noyau de M et donc que pour tout vecteur X de F, on a MX = 0. t 26.c Remarquer que Vect(V1 , . . . , Vk+p ) est inclus dans l'image de A A et utiliser alors la même indication qu'à la question 21.a. 26.d Utiliser le résultat de la question 26.b et raisonner comme à la question 20. 27 Déduire de la question précédente une minoration de la norme de ||A- M|| pour toute matrice de rang p strictement inférieure au rang de A. I. Exercice préliminaire 1 Dans un premier temps, on commence par 6 t H = = 5 5 calculer H. Un calcul rapide donne 5 5 6 5 5 6 Calculons le polynôme caractéristique H de cette matrice : 6- 5 5 6- 5 = -3 + 182 - 33 + 16 H () = det 5 5 5 6- On remarque que 1 est une racine de ce polynôme. Une division euclidienne donne alors H () = ( - 1)(-2 + 17 - 16) = -( - 1)2 ( - 16) On sait que H est symétrique réelle, donc diagonalisable dans le groupe orthogonal (c'est-à-dire diagonalisable, avec une matrice de passage orthogonale). Par conséquent, la dimension de chacun de ses sous-espaces propres est exactement égale à la multiplicité de la valeur propre comme racine du polynôme caractéristique. Pour diagonaliser H, il ne reste qu'à trouver une base orthonormée de chacun de ses sous-espaces propres. On rappelle que deux sous-espaces propres d'une matrice symétrique A sont nécessairement orthogonaux. Par conséquent, si l'on dispose d'une base orthonormée de chacun des sous-espaces propres de A, alors la réunion de ces bases reste une famille libre et orthonormée, et constitue une base orthonormée de Mn,1 (R) tout entier. Commençons par chercher le sous-espace propre associé à la valeur propre 16. t Soit X = (x1 , x2 , x3 ) un vecteur propre de H associé à cette valeur. On a 0 -10 5 5 x1 -10 5 x2 = 0 (H - 16 I3 ) X = 5 x3 0 5 5 -10 On vérifie par conséquent que X est solution si et seulement si x1 = x2 = x3 . Le sous-espace propre est donc bien de dimension 1 et une base en est le vecteur t X = (1, 1, 1). Comme on veut trouver une base orthonormée, on pose 1 1 1 X1 = 3 1 Cherchons maintenant une base orthonormée du sous-espace propre associé à la t valeur propre 1 (de dimension 2 car 1 est racine double). Si X = (x1 , x2 , x3 ) est un vecteur propre de H associé à 1, on a 5 5 5 x1 0 (H - I3 ) X = 5 5 5 x2 = 0 5 5 5 x3 0