CCINP Maths 2 MP 2003

Thème de l'épreuve Calcul de distances entre une matrice et certaines parties de ℳn(ℝ)
Principaux outils utilisés diagonalisation, produits scalaires, théorème du rang, trace, théorème de décomposition polaire, théorème de Courant et Fischer
Mots clefs vecteurs propres, matrices symétriques et antisymétriques, matrices orthogonales

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SESSION 2008 _ | MPMZO7

CONCOURS COMMUNS POlYTECHNlOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de %(R)

Notations

Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note :

WZ(R) : la R--algèbre des matrices carrées réelles d'ordre n.

% 1(IR) : le lR--espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne.

Pour une matrice A de Wfl(lR), 'A est sa matrice transposée, rang (A) son rang 
et Tr (A) sa trace.
[" : la matrice unité de %(lR).

SZ(R) : le sous--espace vectoriel des matrices symétriques de %(R).

Ân(lR) : le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de %(lR).

3 :(lR) : l'ensemble des matrices positives de SZ(R) c'est-à--dire des matrices 
A de SZ(lR)
vérifiant : pour toute matrice X & Wnl(lR), 'X A X Z O.

GLfl(R) : le groupe des matrices inversibles de %(R).

Q(R) : le groupe des matrices réelles orthogonales c'est-à--dire des matrices M 
de %(R)
vérifiant : 'M M : In .

Pour p entier naturel, Ap est l'ensemble des matrices de %(R) de rang-supérieur 
ou égal à p et

Vp est l'ensemble des matrices de %(lR) de rang inférieur ou égal à p.

Obiectifs

Le but du sujet est de calculer la distance (par la norme de Schur définie à la 
question 113.) d'une
matrice à :

dans la partie II., SZ(IR) et Â(R) par le théorème de projection orthogonale,

dans la partie III., Q(IR) par le théorème de décomposition polaire,

dans la partie IV., Ap par des notions de densité,

dans la partie V., Vp par le théorème de Courant et Fischer.

La partie I. traite un exemple qui sera utilisé dans les différentes parties.

Remarque : dans le texte, le mot «positif» signifie « supérieur ou égal à 0 >>.

1. Exercice préliminaire

l 2 l
1. Soit la matrice F = --2 ---1 --1 de %Z(IR), on pose H = 'F F .
--l --1 --2

Diagonaliser la matrice H et déterminer une matrice P de Q(R) et une matrice 
diagonale D à

termes tous positifs telles que D2 = P"1 H P.

2. On pose S =PDP" & 3 ;(IR), montrer que la relation F =U S définit une matrice
U EUR Q(R) et calculer cette matrice.

11. Calcul dela distance deA à 5j(iæ) et à Jdn(n)

3. Soit A et B deux matrices de %(R), on pose (A IB) : Tr ('A B) .
Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur WZ(IR).

1
La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée : "A" = ((A 
|A))î.

Dans tout le sujet, si H est une partie non vide de Wfl(lRä), la distance d'une 
matrice A de WZ(R) à
la partie n est le réel d(A, H) = inf |A--M||.

MeH

4. Montrer que WZ(R) : S:(IR) @ Ân(lR) et que cette somme directe est 
orthogonale.

5. Si A est une matrice de %(IR), montrer que d (A, SZ(IR))= "%(A--'A) et 
déterminer de même

d(A, ÆR»

6. Calculer d (F, Â(R)) où F est la matrice exemple de la partie I.

III. Calcul de la distance de A à Q(R)

A. Théorème de la décomposition polaire

7. Montrer qu'une matrice S de SZ(R) appartient à 3 : (R) si et seulement si 
toutes les valeurs
propres de S sont positives ou nulles.

8. Si A est une matrice de Wfi(lR) montrer que la matrice 'A A EUR 3 : (R).

9. Soit A une matrice de WZ(R), on suppose qu'il existe une matrice diagonale
D=diag (d1 , d,, ..., d") à termes positifs telle que 'A A : Dz.

On note A1 , A, ,..., An les matrices de W" 1(IR) qui forment les colonnes de 
la matrice A.

a. Pour tout couple (i, j) d'entiers naturels compris entre 1 et n, évaluer 'A, 
A]...
En particulier, si i est un entier pour lequel d, = O , que vaut A, ?

b. Montrer que l'on peut trouver une base orthonormée (E,, E,, ..., En) de 
Wn,l(lRä) (par
rapport au produit scalaire canonique (X, Y ) ='X Y de % 1(R)) telle que, pour 
tout entier

naturel i entre 1 et n, A, : di E, .

c. En déduire qu'il existe une matrice E de Q(lRä) telle que A = E D.

10. Soit A et B deux matrices de WZ(]R) vérifiant 'A A : 'B B .
a. Montrer qu'il existe une matrice diagonale D à termes positifs et une 
matrice orthogonale P

telles que: P"1 'AAP : P"1 'BBP = D2 .
b. Montrer qu'il existe une matrice U de Q(R) telle que A = U B.

1 ]. Déduire des questions précédentes le théorème de décomposition polaire :
Pour toute matrice A de %(R), il existe une matrice U de Q(R) et une matrice S 
de 3 : (IR)
telles que A = U S .

(Remarque : on peut également établir l'unicité de la matrice S de 5 : (IR) et 
même l'unicité

de la matrice U de Q(R) si A est de plus inversible dans cette décomposition 
mais ce ne sera
pas utile pour la suite du problème).

B. Calcul de d(A, Q(R))

12. Montrer que, pour toute matrice M de %(R) et pour toute matrice Q de Q(R),
IlM Qll=llQ M ll=llM ll-

13. Dans la suite de cette partie, soit A une matrice de WZ(R), soit U E Q(R) 
et S e 3 : (IR) telles

que A=U S ; il existe une matrice diagonale D et une matrice P de @(lR) telles 
que

S = P D P"] .

a. Montrer que, pour toute matrice Q de Q(R), [|A--Q" ="S --U"Q" et en déduire 
que
d(A, Q(R» = d(S, O.(R»

b. Montrer que d(A, Q(R))= d(D, Quan.

14. On note D=diag(7... k,, ..., À").

a. Montrer que pour toute matrice Q de Q(R), |D ---- Q"2 = z 73; -- 2 Tr (D Q) 
+ n .
i=1

b. Montrer que pour toute matrice Q de QUE), Tr (D Q) 5 EL .
i=l

c. Conclure que d (D, Q(R)) : "D -- In

15. Montrer que d(A, @(R))= "A -- U".

16. Calculer d(F, Q(R)) où F est la matrice exemple de la partiel.

IV. Calcul de la distance deA à Ap

17. Un résultat de densité.
a. Soit M un élément de Wfl(lR), montrer qu'il existe un réel oc > 0 tel que 
pour tout réel ?»

vérifiant 0 < k < on , la matrice M -- À In est inversible. b. En déduire que GLn(R) est dense dans WZ(lR). 18. Soit A un élément de %(R), déterminer, pour tout entier naturel p S n , d (A, Ap ). V. Calcul de la distance de A à Vp A. Théorème de Courant et Fischer Soit A une matrice de 501%). On notera Xl ZX, 2...an ses valeurs propres, on notera D=diag(k,, k,, ..., À"), P la matrice de Q(R) vérifiant A = P D 'P et C1, C2, ...,Cn les matrices de 742 l(IR) formant les colonnes de la matrice P. Si k est un entier entre 1 et n, on note LP, l'ensemble des sous-espaces vectoriels de W" ](11%) de dimension k. Nous allons montrer que : . 'X A X k, = max mm Fe'l'k XeF--{O} 'X X (théorème de Courant et Fischer). 19. Soit X un vecteur de Wn,,(lR) de coordonnées (x,,x,,...,xn) dans la base orthonormée (C,,C,,...,CJ de W...(R). Calculer en fonction des x, et X, (i compris entre 1 et n): 'C, A EUR, 'X A X et 'X X et pour k entier entre 1 et n, , Ck Ck 20. Soitkentier entre 1 et n, on pose F, =vect{C,, C,, ...,C, }. X A X 2 X, et déterminer min XA X 'X X XeFk-{O} 'X X ' Montrer que pour tout X non nul de F , , 21. Soit F & W,, a. montrer que dim(Fñvect{C,, C..., ...,Cn})Zl. b. Si Xest un vecteur non nul de F (\ vect{ C, , C,+1 , ..., Cn }, montrer que 22. Conclure. B. Calcul de d(A,Vp) Dans toute cette partie : A est une matrice de WAR) de rang r et p est un entier naturel, p < r . 23. Montrer qu'il existe deux matrices E et P de Q(R) et une matrice diagonale D à termes positifs telles que A = E D P. En déduire que le rang de la matrice 'A A est encore r. (On pourra utiliser les résultats de la question 9.) 24. Si on note les valeurs propres de la matrice symétrique réelle 'A A de rang r: u, 2 u, _>_ Z ur > 0 et u... = = un : 0 , si on pose D=diag(Æ, ./u,_ , ..., u, 
, O, ..., O) ,
si pour 1 .<. ! S n on note M, la matrice de WZ(lR) dont la l--ième colonne est celle de la matrice E E Q(lR) de la question 23., tous les autres termes de M, étant nuls, on a clairement: E D = EJE, M,. [=] Montrer alors qu'il existe une famille orthonormale (R,, R,, ..., R") de matrices de %(R) (pour le produit scalaire (A |B) =Tr('A B) de %(R)), toutes de rang un, et telles que A=ëÆR,=ÂÆR,. 25. 26. 27. 28. P Avec les notations de la question 24, on pose N = z \/p_, R, . l=l Montrer que rang(N ) S p puis que d(A, Vp)s ,/u... + ...+ p., . Soit M une matrice de rang p ( p < r) , on note on1 Z ou, 2 2 an 2 0 les valeurs propres de la matrice '(A -- M) (A -- M) et on pose G : KerM (\ Im('A A). Soit k un entier compris entre l et r -- p. a. Montrer que dim G 2 r -- p . b. Soit F un sous-espace vectoriel de G de dimension k, montrer que : . 'X tA A X ak 2 mm --. XeF--{O} ' X X c. On note (V], V,, ..., Vn) une base de R" formée de vecteurs propres de la matrice 'A A, le vecteur V, étant associé à la valeur propre u, de telle sorte que : u, 2 p, 2 ?. ur > 0 et

"r+1='"=pn =O'
Montrer que dim (G nvect{ V,, V,, ..., Vk+p } ) 2 k.
(1. En déduire que ock 2 pm,.

En déduire d (A, Vp ).

Calculer, pour p E {O, 1, 2, 3}, yp : d (F, Vp) où F est la matrice exemple de 
la partiel.

Fin de l'énoncé.