CCP Maths 2 MP 2002

Thème de l'épreuve Algèbres des matrices, quaternions
Principaux outils utilisés algèbres, espaces vectoriels, applications linéaires, matrices, polynôme {caractéristique}, diagonalisation, trigonalisation, anneaux intègres, nombres complexes, corps, espaces euclidiens, matrices orthogonales
Mots clefs calcul matriciel, corps des quaternions, quaternions

Corrigé

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SESSION 2002 A MPM207 CONCOURS (OMMUNS POLYÏECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, àla précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Introduction Dans tout ce problème, les espaces vectoriels seront des R-espaces vectoriels. On appelle algèbre tout R-espace vectoriel A qui est muni d'une opération interne nommée multiplication ou produit. Cette multiplication est associative, et vérifie la propriété de distributivité : Va EUR A,Vb EUR A,Vc EUR A, a(b+c) =ab+ac, (b+c)a= ba+ca ainsi que: Va EUR A,Vb EUR A,VÀ E R, a(Àb) : (Àa)b : À(ab) On suppose de plus qu'il existe un élément noté 1 ou 1A et appelé élément neutre pour le produit, tel que: VaEA, a1=1a=a Enfin si cette multiplication est commutative, l'algèbre est dite commutative. La dimension d'une algèbre est sa dimension en tant qu'espace vectoriel. Une sous-algèbre de A est un sous--ensemble non vide de A qui est lui--même une algèbre (pour les mêmes opérations) et qui possède le même élément neutre que A. Pour que 18 soit une sous-algèbre de A, il suffit que ce soit un sous--espace vectoriel de A, qu'il contienne 1 et que : VbeB,Vb'elfià,bb'elfiä On appelle morphisme d'algèbre entre deux algèbres A et IB, toute application linéaire f de A dans B qui vérifie en plus : Va EUR À,Va' EUR A, f(aa') =f(a)f(a') et f(1A) : IB Tournez la page S.V.P Un morphisme d'algèbre qui est une bijection est appelé isomorphisme d'algèbre. On vérifie alors que son application réciproque est également un morphisme d'algèbre. On dira que deux algèbres sont isomorphes s'il existe un isomorphisme d'algèbre entre les deux. Dans tout le problème, n désigne un entier strictement positif. Dans ce cas, M,,(R) est l'espace vectoriel des matrices carrées à n lignes et n colonnes et à coefficients réels ; c'est une algèbre pour les opérations habituelles. L'élément neutre pour le produit est la matrice de l'identité, notée I,,. La trace d'une matrice A : (aij)1S,--Sn est : 15j5n n tI'(/--l) = 2 a,,-- i=l C'est la somme des éléments diagonaux de la matrice A. Une matrice scalaire est une matrice de la forme À]... où A est un réel. Une matrice diagonale est une matrice dont les éléments non diago-- naux sont tous nuls. L'ensemble des matrices scalaires et l'ensemble des matrices diagonales forment chacun une sous--algèbre de MAR). Ce problème étudie certaines propriétés des algèbres, et, en particulier, s'intéresse aux algèbres qui sont des corps, c'est-à--dire dans lesquelles tout élément non nul admet un inverse pour le produit. 1. Étude d'un exemple 1. Soit A une matrice quelconque de M2(R). Vérifier que : A2 ---- tr(A)A + det(A)b = O 2. Soit A une matrice non scalaire; on note A. l'ensemble A = {M EUR M2(R)l 3(a,b) EUR R2, M : (112 + bA} Vérifier que A est une algèbre de dimension deux, sous-algèbre de M2(R). 3. Montrer que A contient une matrice B telle que B2 = --12 si, et seulement si, (tr A)2 < 4detA 4. Vérifier qu'alors 12 et B forment une base de A et en déduire un isomorphisme d'algèbre entre A et le corps C des nombres complexes. 5. On suppose que A est non scalaire et vérifie : (tr A)2 = 4 det A Déterminer toutes les matrices de A telles que M 2 = O, et en déduire que A n'est pas un corps. 6. Soit B une matrice non scalaire de M2(R). On lui associe l'algèbre ]B comme dans 1.2. Dé- montrer que si A et B sont semblables, A et IB sont des algèbres isomorphes. 7. On suppose que A est telle que : @rAYZ>4dOEJl Vérifier que A est diagonalisable de valeurs propres distinctes. En déduire que A est isomorphe à l'algèbre des matrices diagonales. Est--ce que A est un corps ? II. Quelques résultats généraux Soit ID> une algèbre de dimension finie n. 1. Soit a un élément de D, démontrer que l'application çba définie par : çba:D---->D a:+-->ax est un endomorphisme de l'espace vectoriel II). 2. On note .%' une base de 1D). Matæ($a) désigne la matrice de l'endomorphisme çba dans la base %. Démontrer que l'appli-- cation: \11 :D -------> M,,(R) a l--> Mâtg($a) est un morphisme injectif d'algèbres. Vérifier que \II(D) est une sous--algèbre de M,,(R) et en déduire que D est isomorphe à une sous--algèbre de M,,(R). 3. On suppose que D = C, corps des nombres complexes. On munit C, considéré comme R- espace vectoriel, de la base % = (1, 2). Pour tout nombre complexe z = a + il), (a et b réels), écrire la matrice Matæ(çbz). 4. Soit maintenant A une sous-algèbre de M,,(R). On s'intéresse à quelques cas où on peut affir- mer que A est, ou n'est pas, un corps. (a) On suppose que A. contient une matrice non scalaire A qui a une valeur propre réelle /\. Montrer que A ne peut pas être un corps. On utilisera une matrice bien choisie, combinai-- son linéaire de I,, et de A. (b) En déduire que si A contient une matrice diagonalisable ou trigonalisable non scalaire, elle ne peut pas être un corps. (c) On suppose que A est intègre, c'est--à--dire que : VAEA, VBEA, AB=O=>A=OouB=O Montrer que, si A est une matrice non nulle de A, l'application çbA : X +--> AX est un isomorphisme de l'espace vectoriel A. En déduire que A est un corps. 111. L'algèbre des quaternions On suppose qu'il existe deux matrices A et B de M,,(R) telles que : A2 = --I... B2 = --1... AB + BA : 0 (*) ]. Démontrer que n ne peut pas être impair. 2. Démontrer que le sous--espace vectoriel lH[ engendré par les matrices [... A, B et AB est une sous--algèbre de M,,(R). Tournez la page S.V.P. 3. Lorsque t, a:, y et 2: sont des réels, calculer le produit : (H,, + a:A + yB + ZAB)(Hn ---- a:A -- yB -- ZAB) 4. En déduire : (a) que les quatre matrices [... A, B et AB sont indépendantes et forment une base de H ; (b) que H est un corps. 5. On suppose dans toute la suite du problème que n = 4 et, en notant J la matrice J = (O _1) et 0 la matrice nulle de M2(R), on définit les matrices A et B de M4(R) par : 10 _J 0 _ 0--12 A--(o _,) B--(12 .) On pose également C = AB. (a) Vérifier que les matrices A et B satisfont la condition (*). On appellera donc H le sous-- espace vectoriel de MAR) engendré par 14, A, B et C = AB. Ses éléments sont appelés quaternions. La base (14, A, B, C ) de H sera notée .%'. (b) Soit M une matrice non nulle de H, vérifier que tM E H; quel lien y a t-il entre M "1 et tM ? IV. Les automorphismes de l'algèbre des quaternions ]. On appelle quaternion pur un élément M de H tel que M = JM . Vérifier que l'ensemble des quaternions purs est un R-espace vectoriel de dimension trois et de base % = (A, B, C ). On le note L Est-ce une sous--algèbre de H ? 2. On munit IL de la structure d'espace vectoriel euclidien telle que la base % soit orthonormée. Le produit scalaire de deux éléments M et N de L est noté (M |N ), la norme de M s'écrit ||M ||. Vérifier que : %(MN + NM) = --(M|N)14 3. Montrer qu'un quaternion est pur si, et seulement si, son carré est une matrice scalaire de la forme /\I4 où A est un réel négatif. 4. Soit çf) un isomorphisme d'algèbre de H dans lui--même. Démontrer qu'il transforme tout qua-- ternion pur en un quaternion pur de même norme, et que la restriction de @ à L est un endomor- phisme orthogonal. 5 . Soient M et N deux quaternions purs. On veut démontrer que si M et N ont même norme, alors il existe P E H, non nulle, telle que : M : P'1NP (a) Commencer par examiner le cas où M et N sont colinéaires. (b) On suppose maintenant que M et N ne sont pas colinéaires. Vérifier que si M et N ont même norme : M(MN) -- (MN)N = IlMIIZ(M--N) et en déduire une matrice P non nulle telle que .M P : PN. 6. Montrer qu'alors, si on écrit P = 0514 + Q, avec & réel et Q E lL, @ est orthogonal à M et à N. 7. En déduire que tout isomorphisme d'algèbre çb de H dans lui--même est défini par : çb(M ) = P_1M P où P est un élément non nul de H. On pourra observer qu'un tel isomorphisme est déterminé par l'image de A et de B, et commencer par chercher les isomorphismes qui laissent A invariante. Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 2 MP 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Chevalier (ENS Ulm) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) et David Lecomte (ENS Cachan). Ce problème présente l'étude de différentes propriétés et caractérisations des algèbres (ensembles qui cumulent les structures d'anneau et d'espace vectoriel), avec l'exemple du corps des quaternions, vu comme une sous-algèbre de l'algèbre des matrices en dimension 4. · La première partie traite de l'exemple d'une sous-algèbre A de M2 (R) engendrée par un élément. On voit que suivant le déterminant et la trace de cet élément, A peut être un corps ou au contraire n'être même pas intègre. · La deuxième partie généralise l'exemple précédent en montrant que toute algèbre de dimension finie n peut être considérée comme une sous-algèbre de Mn (R), puis analyse quelles propriétés simples permettent de savoir si une telle sous-algèbre est un corps. · La troisième partie choisit un exemple plus élaboré, le corps non commutatif des quaternions, qui est explicitement construit et dont on exhibe les inverses. · Dans la quatrième partie, la plus difficile et la plus intéressante, on étudie les automorphismes d'algèbre du corps des quaternions (c'est-à-dire les automorphismes de corps qui fixent les scalaires), avec une approche géométrique euclidienne, et l'on montre en définitive après l'étude d'un certain nombre de cas qu'il s'agit des automorphismes intérieurs. Ce problème n'est pas difficile, si l'on excepte la fin de la quatrième partie ; il est très bien conçu et permet de réviser des notions classiques telles que les algèbres et les corps, tout en introduisant différents exemples qui peuvent se révéler utiles dans le cadre des exercices d'oral. Indications Première partie I.1 Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton. I.5 Un corps est nécessairement un anneau intègre. I.7 La matrice ne peut avoir une unique valeur propre car on a supposé que ce n'était pas une matrice scalaire. Deuxième partie II.4.a Utiliser l'élément A - In , après avoir vérifié qu'il était bien dans A. II.4.c Utiliser le fait que, A étant surjective, l'élément In possède un antécédent. Troisième partie III.1 Utiliser le déterminant. Quatrième partie IV.4 Utiliser la question IV.3 pour caractériser les quaternions et la question IV.2 pour calculer leur norme. IV.5.a Dans le cas M = -N, chercher une matrice telle que PM = MP à l'aide de la caractérisation obtenue à la question IV.2. IV.5.b Utiliser ||M|| = ||N|| puis prendre P = MN - ||M||2 I4 . IV.6 Revenir aux notations explicites du type M = aA + bB + cC et calculer Q sous cette forme. IV.7 Suivre scrupuleusement toutes les indications de l'énoncé, puis utiliser le fait que si (B) = P-1 BP, et P = I4 + Q, on peut s'arranger pour que Q soit colinéaire (et donc commute) à A. Dans le cas (B) = -B, on pourra même prendre Q = A. Enfin, le cas (A) 6= A se ramène à (A) = A par composition avec une application de la forme X 7- T-1 XT. I. Étude d'un exemple I.1 Soit A une matrice de M2 (R). Posons : a b A= c d Calculons le polynôme caractéristique de A : a-X c b d-X = (a - X)(d - X) - bc = X2 - (a + d)X + (ad - bc) a-X c b d-X = X2 - Tr (A)X + det(A) En fait, pour toute matrice A en dimension n, le polynôme caractéristique de A est égal à (-X)n + (-X)n-1 Tr (A) + . . . + det(A). Ceci relève du cours de première année. On sait que le polynôme caractéristique de la matrice A est un polynôme annulateur de A (théorème de Cayley-Hamilton), donc on peut conclure : A2 - Tr (A)A + det(A)I2 = 0 I.2 Posons A = {M M2 (R) | (a, b) R2 M = aI2 + bA} A est un espace vectoriel, plus précisément le sous-espace vectoriel de M2 (R) engendré par ses éléments I2 et A. I2 et A ne sont pas colinéaires comme éléments de M2 (R) car, par hypothèse, A n'est pas une matrice scalaire. Donc A, sous-espace vectoriel de M2 (R), est de dimension 2 et par construction on en obtient une base en prenant (I2 , A). Pour que A soit une sous-algèbre, puisque l'on sait déjà que c'est un sous-espace vectoriel, il suffit de vérifier que I2 A (immédiat car I2 = 1 × I2 + 0 × A) et que le produit de deux éléments de A est aussi dans A. Mais : (aI2 + bA)(cI2 + dA) = acI2 + (ad + bc)A + bdA2 et en utilisant le résultat de la question I.1 sous la forme A2 = Tr (A)A - det(A)I2 on trouve finalement (aI2 + bA)(cI2 + dA) = (ac - bd det(A)) I2 + (ad + bc + bd Tr (A)) A qui est une combinaison linéaire de I2 et A ; donc le produit est dans A. Ceci démontre que A est stable par produit matriciel, et conclut la preuve : A est une sous-algèbre de dimension 2 de M2 (R). I.3 Considérons un élément quelconque de A noté B = aI2 + bA. Le calcul du carré de B est un cas particulier du calcul du produit effectué à la question I.2 : B2 = (a2 - b2 det(A))I2 + (2ab + b2 Tr (A))A On veut connaître les conditions auxquelles on peut avoir B2 = -I2 . Comme la famille (I2 , A) est libre, ceci revient à résoudre le système : 2 a - b2 det(A) = -1 2ab + b2 Tr (A) = 0 Pour avoir l'égalité dans la seconde équation, il faut soit b = 0, mais dans ce cas la première équation devient a2 = -1 qui n'a pas de solution réelle, soit b 6= 0 et 2a = -b Tr (A). La première équation devient alors b2 (Tr A)2 - 4b2 det(A) = -4 Pour qu'il y ait une solution réelle, il est donc nécessaire que (Tr A)2 < 4 det(A) Réciproquement, si cette inégalité est vérifiée, en posant r 4 -1 b= et a= b Tr (A) (Tr A)2 - 4 det(A) 2 on a bien B2 = -I2 . En faisant le calcul jusqu'au bout, on ne trouve bien sûr pas une unique solution mais un couple de solutions opposées B et -B. I.4 A étant de dimension 2, B et I2 forment une base de A dès lors que c'est une famille libre. Soit kB + sI2 = 0 une relation de dépendance linéaire réelle. Alors, kB = -sI2 2 2 k B} = s2 I2 | {z d'où =-k2 I2 et s2 = -k 2 Comme s et k sont réels, ils sont alors nécessairement nuls. Par suite, (B, I2 ) est une base de A. On peut définir une application linéaire f de A dans C en envoyant la base (I2 , B) sur (1, i) (c'est-à-dire que I2 est envoyé sur le nombre complexe 1, et B sur le nombre complexe i). f est par construction un isomorphisme d'espaces vectoriels (puisqu'elle envoie une base sur une base). Pour que ce soit un isomorphisme d'algèbre, il suffit de vérifier qu'il s'agit bien d'un morphisme d'algèbre, et comme par construction f (I2 ) = 1, il ne reste qu'à vérifier que f est compatible avec le produit : d'une part, f ((aI2 + bB) · (cI2 + dB)) = f (acI2 + (ad + bc)B + dbB2 ) = f ((ac - db)I2 + (ad + bc)B) = (ac - db)f (I2 ) + (ad + bc)f (B) f ((aI2 + bB) · (cI2 + dB)) = (ac - db) + i(ad + bc) et d'autre part,