CCP Maths 2 MP 2001

Thème de l'épreuve Étude et utilisation des matrices compagnon
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, déterminants, changements de base, réduction des endomorphismes

Corrigé

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SESSION 2001 MP006 A CONCOURS (0MMUNS POlYÏECHNIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP MATHÉMATIQUES 2 DURÉE : 4 heures Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n°99--186 du 16/11/99. UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et définitions : Dans tout le problème K désigne lRä ou (C et n est un entier naturel. . . , . . ... 1 SI u est un endomorph1sme d un K-espace vectoriel E, on note u0 = sz et Vne N, u"+ = u 0 u . On note KH [X] la K-algèbre des polynômes de degré inférieur ou égal à n, 7%" (K) la K--algèbre des matrices carrées de taille n à coefficients dans K de matrice unité I" et GL " (K) le groupe des matrices inversibles de 7%" (K) ; les éléments de 7%" (K) sont notés M = (m,. ]) . Pour une matrice A de 776" (K), on note 'A la transposée de la matrice A, rg(A) son rang, )(A = det(A -- X I") son polynôme caractéristique et Sp(A) l'ensemble de ses valeurs propres. Si P = X " +a...X""' +...+alX +a0 est un polynôme unitaire de K" [X] on lui associe () O . . 0 -- ao l 0 . . O --- al . 0 l 0 . 0 -- (17 la matr1ce compagnon C ,. = " EUR 7%}, (K). 0.010 --a,,_2 O . . 01 --a"_] (c'est-à--dire la matrice C,. = (c,--j) est définie par c,-j =l pour i--j=1, Cm =_ai--l et Cij :D dans les autres cas). Les parties II. III. et IV. utilisent les résultats de la partie I. et sont indépendantes entre elles. Tournez la page S.V.P. l\) 1. Propriétés générales Dans cette partie on considère le polynôme P = X " +a X "' +...+a1X +a0 de K" [X] et C ,, sa n--l matrice compagnon associée. 1. Montrer que C,, est inversible si et seulement si P(O) # O. 2. Calculer le polynôme caractéristique de la matrice C P et déterminer une constante k telle que la = k P. 3. Soit Q un polynôme de K" [X], déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une matrice A de 7%" (K) telle que ;(A = Q . 4. On note 'CP la transposée de la matrice C P . a. Justifier la proposition : Sp(C,.) =Sp(' C,.) . b Soit  élément de Sp(' C P) , déterminer le sous--espace propre de [CP associé à À . c. Montrer que 'C,. est diagonalisable si et seulement si P est scindé sur K et a toutes ses racines simples. d. On suppose que P admet n racines /'L1, /12, À" deux à deux distinctes, montrer que 'C,. est diagonalisable et en déduire que le déterminant de Vandermonde 1 l . . l >... 7.2 . . x,, 7L12 7t22 . . k,,2 est nonnul. }Lln--l À2l'l--l . . knit--] 5. Exemples : a. Déterminer une matrice A (dont on précisera la taille n) vérifiant : A2002 = A2001 + A2000 +1999 In . b. Soit E un K--espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme de E vérifiant: f "" $ 0 et f " = O ; montrer que l'on peut trouver une base de E dans laquelle la matrice de f est une matrice compagnon que l'on déterminera. 11. Localisation des racines d'un polynôme Soit A = (a....) une matrice de 7%" (C), on pose pour tout entier 1.<. i S n : Il r,. =Zlaij' et D; = { zEC, z'Sri}. [=] X] 262 Pour X = EUR 7%" 1(@), on note HX" =max x,. \. _ " °° 1.<.iSu x" xl . x7 ., \ 6. 801t Àe Sp(A) et X = ' un vecteur propre assooee a À. X Il Montrer que pour tout entier 1 S i S n : 'À x,.| S nl.X"æ . 7. Démontrer que Sp (A) c ÜDk . [(=] X ""1 + ...+ a1X + a() un polynôme de C[X], établir que toutes les racines de , l+'a,,_ll }. 8. Soit P=X"+a P sont dans le disque fermé de centre 0 et de rayon R = max{ lao n--l ,l+|al ,l+la2 9. Application : Soit a, b, c et d quatre entiers naturels distincts et non nuls, montrer que l'équation d'inconnue n : / -- / n" +n) =n' +n' n'admet pas de solution sur N\{O,l }. III. Suites récurrentes linéaires On note E :(}N l'espace vectoriel des suites de complexes et si u est une suite de E, on écrira u(n) à la place de un pour désigner l'image de n par M. On considère le polynôme P = X " + a X "" +...+a0 de  À" est élément de F. 11. Soit ça l'application de F vers @" définie par : u l--> (u(0), u(1),..., u( p -- l)), montrer que ça est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Quelle est la dimension de F ? 12. Pour tout entier 0 S i S p --l on définit les éléments e,. de F par : e,(i)=l et, lorsque OSjSp--l et j;éi, e,.(j)=0. a. Déterminer pour OSiS p--l, e,.(p). b. Montrer que le système de vecteurs (eo, e, e })_1) est une base de F. p--l c. Soit u un élément de F, établir que u : Zu(i)e, . [:O 13. Si M est un élément de E, on définit l'élément f(u) de E par : f(u) : n l--> u(n+ 1). Montrer que l'application f ainsi définie est un endomorphisme de E et que F est stable par f. 14. Si g est l'endomorphisme de F induit par f, montrer que la matrice de g dans la base (eo,el,...,ep_,) est 'C,,. 15. On suppose que P admet p racines non nulles et deux à deux distinctes : À... /"L] , À {,_1 . a. Déterminer une base de F formée de vecteurs propres de g. b. En déduire que, si u est élément de F, il existe des constantes complexes ko, k......, k telles que : Vne N, u(n) : kOÀS + klÀf' +...+ k ÂÏ)--1° p--l p--1 16. Exemple : (On revient àla notation usuelle un) Soit a , b et c trois réels distincts. Déterminer une base de l'espace vectoriel des suites définies par u0 ,ul et % et par la relation de récurrence valable pour tout ne N : Lt,,+3 = (a +b+c) un+2 -- (ab+ac+bc) u + abc un . n+l IV. Matrices vérifiant : rg(U -- V) = 1 Dans cette partie, pour une matrice A, on notera C A la matrice compagnon du polynôme (----l)" 95 A . 17. Une matrice A est-elle nécessairement semblable à la matrice compagnon CA ? Pour tout couple (U, V) de matrices de GL" (K), on considère les deux propositions suivantes, que l'on identifie chacune par un symbole : (*): rg(U--V)=l (**) : Il existe une matrice inversible P telle que U : P_'CUP et V : P"CVP. 18. Montrer qu'un couple (U, V) de matrices distinctes de GL " (K) vérifiant (**) vérifie (*). 19. Déterminer un couple (U, V) de matrices de GL2 (K) (n = 2) vérifiant (*) mais ne vérifiant pas (**) et déterminer le plus grand commun diviseur des polynômes Xu et Xv . Dans la suite de cette partie, (U, V) est un couple de matrices de GL " (K) vérifiant (*) et tel que )(U et xv sont deux polynômes premiers entre eux. Soit E un K--espace vectoriel de dimension n et de base B, on désigne par u et v les automorphismes de E tels que U (respectivement V) soit la matrice de u (respectivement v) dans la base B. Enfin on pose H= Ker (u -- v) . 20. Montrer que H est un hyperplan vectoriel de E. ' 21. Soit F # {0} un sous--espace vectoriel de E stable par u et par -v c'est--à--dire : u(F)CF et V(F)CF. On notera u F (respectivement vF ) l'endomorphisme induit par u (respectivement v) sur F. On rappelle que ){uF d1v1se %" . a. Montrer que F n'est pas inclus dans H. b. On suppose que F # E , montrer que F + H = E puis que l'on peut compléter une base B F de, F par des vecteurs de H pour obtenir une base B' de E. En utilisant les matrices de u et v dans la base B' montrer que l'on aboutit à une contradiction. c. Quels sont les seuls sous--espaces stables à la fois par u et par v '? 22. Pourje N, on note G_, = {xe E, 14 " (x) EUR H}. a. Montrer que les sous-espaces G]. sont des hyperplans vectoriels de E. b. Montrer que ñGi # {0}. '=0 Tournez la page S.V.P. 6 n--?. c. Soit y un vecteur non nul de HG}. , on pose pour 0 5 j 5 n --l : ej : uj (y). j=o ' Montrer que B" : (eo, el, ..., e ) est une base de E. n--l (On pourra considérer F =vect{y, u(y), u""(y)} où p est le plus grand entier naturel non nul pour lequel la famille (y, u(y), u""' (y)) est libre). d. Montrer que la matrice de u (respectivement v) dans B" est C U (respectivement Cv) . e. Conclure. 23. Application : Soit u et v deux automorphismes d'un K--espace vectoriel E de dimension n vérifiant : rg(u--v) =l, xu(X) : (--1)"(X" +1) et xï_(X) : (--l)"(X" --l). En utilisant une action de groupe, montrer que le groupe engendré par u et v est fini de cardinal inférieur ou égal à (Zn) !. Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 2 MP 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Lyon) ; il a été relu par Yacine Dolivet (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Le sujet propose une étude des matrices compagnon. On étudie dans la première partie la diagonalisabilité de ces matrices. Ensuite, on utilise celles-ci pour donner, dans la deuxième partie, une localisation des racines d'un polynôme, puis pour l'étude des suites récurrentes linéaires d'ordre p (dans la troisième partie). La quatrième partie, plus difficile, propose une brève étude des couples (U,V) de matrices vérifiant rg (U - V) = 1. Ce problème fait un large tour d'horizon des notions d'algèbre linéaire au programme et permet de revoir plusieurs raisonnements classiques dans ce domaine. Indications Partie I 1 Calculer det CP . 2 Raisonner par récurrence sur la taille de la matrice compagnon, ou bien effectuer l'opération sur les lignes L1 L1 + X L2 + X2 L3 + ... + Xn-1 Ln . 4.d Utiliser la question 4.c pour montrer que la matrice est diagonalisable, puis utiliser la question 4.b. 5.a Utiliser la question 5.a et le théorème de Cayley-Hamilton. 5.b Choisir y tel que f n-1 (y) 6= 0 et montrer que (y, f (y), ..., f n-1 (y)) est une base. Partie II 8 Utiliser la matrice compagnon associée à P. 9 Les cas n > 2 s'éliminent grâce à la question 8 et le cas n = 2 s'élimine à la main. Partie III 12.b Utiliser -1 . 15.a Utiliser la question 10. 16 Remarquer que P(X) = (X - a)(X - b)(X - c). Partie IV 18 Montrer que Cu - Cv est de rang 1. 19 Comme le suggère la suite de l'énoncé, il faut choisir le contre-exemple de manière à ce que l'on ait pgcd (u , v ) 6= 1 et il est bien sûr préférable de choisir des matrices diagonales. 21.a Raisonner par l'absurde, en supposant que F H et en montrant qu'on a alors u |v , donc un diviseur non trivial commun à u et v . F 21.b À l'aide des matrices de u et de v dans une base B' suggérée par l'énoncé, construire un diviseur non trivial commun à u et v . 22.b Choisir i telles que Gi = Ker i et appliquer le théorème du rang à x (0 (x), 1 (x), . . . , n-2 (x)) 22.c Montrer que Vect (y, u(y), ..., up-1 (y)) est stable par u et v. 23 Considérer l'ensemble E, à 2n éléments, constitué des vecteurs ei de la base trouvée à la question précédente ainsi que des vecteurs -ei . Faire alors agir le groupe engendré par u et v sur cet ensemble de la manière g.e = g(e). Montrer que cette action est fidèle et en déduire que le groupe engendré par u et v s'injecte dans S2n . On peut également se passer d'action de groupe. Il suffit de remarquer que le groupe engendré par u et v est inclus dans le groupe G = { GLn (K) Sn (ei ) = e(i) ou - e(i) } puis de calculer le cardinal de G. I. Propriétés générales 1 En développant le déterminant de CP par rapport à la première ligne, on voit que det CP = (-1)n+2 a0 . Une autre méthode consiste à regarder le rang de la matrice : si CP est inversible, alors la première ligne est non nulle, donc P(0) est non nul. Réciproquement, si P(0) est non nul alors les n - 1 premières colonnes de CP sont libres, et la dernière colonne n'est pas combinaison linéaire des n - 1 premières, puisque la première coordonnée de celles-ci est nulle et que la première coordonnée de la dernière colonne est non nulle. On en déduit que CP est inversible si et seulement si P(0) 6= 0. 2 En effectuant l'opération sur les lignes L1 L1 + XL2 + ... + Xn-1 Ln , on obtient : 0 0 ... 0 -P(X) 1 -X . . . 0 -a1 .. .. .. . . 0 1 . .. .. .. .. .. . . . . . 0 . . . . . . 1 -an-1 - X En développant par rapport à la première ligne, on en déduit CP = (-1)n P On aurait pu également raisonner par récurrence, d'autant plus que le résultat était quasiment donné par l'énoncé. Cette méthode est bien sûre juste, mais elle est plus longue à rédiger, ce qui devient handicapant dans une épreuve en temps limité. 3 Condition nécessaire : si A Mn (K) alors on sait que son polynôme caractéristique est de degré n et que son terme de plus haut degré est (-1)n . Réciproquement, supposons que P soit un polynôme de degré n, et que son terme de plus haut degré soit (-1)n . Alors il s'agit du polynôme caractéristique de C(-1)n P . t 4.a CP et CP ont même polynôme caractéristique, car t t det(CP - id ) = det( ( CP - id )) = det( CP - id ) On en déduit sp(CP ) sp(CP ) CP () = 0 t () = 0 CP t sp( CP ) sp(CP ) = sp( t CP ) d'où 4.b Soit sp(CP ). (x1 , . . . , xn ) Ker (CP - id ) ( 26i6n xi = i-1 x1 P() x1 = 0 On en déduit Ker (CP - id ) = K (1, , . . . , n-1 ) t 4.c Supposons CP diagonalisable. Alors CP est scindé sur K, et t L E= Ker ( CP - id ) t sp( CP ) donc t P n = dim(E) = sp( t dim(Ker ( CP - id )) CP ) t Or, d'après la question précédente, pour tout K, dim(Ker ( CP - id )) 6 1. t Nécessairement, CP admet n valeurs propres distinctes ; P admet donc n racines distinctes, soit n racines simples. t Réciproquement, si P est scindé à racines simples, alors CP admet n valeurs t propres distinctes, donc CP est diagonalisable. On en déduit bien que t CP est diagonalisable si et seulement si P est scindé à racines simples. 4.d Le déterminant de Vandermonde est le déterminant d'une base de vecteurs t propres de CP exprimée dans la base canonique, donc, d'après la question 4.b, il est non nul. Le déterminant de Vandermonde est un résultat classique, qu'il vaut mieux connaître. On a en fait : Vdm(a1 , . . . , an ) = (aj - ai ) i