CCINP Maths 1 MP-MPI 2025

SESSION 2025

MP1M1

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
____________________

MATHÉMATIQUES 1
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

1/5

NOTE DE L'ÉDITEUR
Le sujet était commun
aux filières

MP et MPI

EXERCICE I
Q1. Soit une application f : ]-1, 1[   2 de classe C1 .
Justifier que f ' ( ]-1, 1[ ) est une partie connexe par arcs de  2 .
Q2. On considère l'application f : ]-1, 1[   2 définie par :

(0, 0) si t  ]-1, 0]

.
f (t ) = 
1
1
 t ² sin t , t ² cos t  si t  ]0, 1[

On note pour tout ( x, y )   2 , ( x, y=
)2
a)

x² + y ² .

Démontrer que f est dérivable en 0 puis sur l'intervalle ]-1, 1[ .

Préciser le vecteur f '(t ) pour tout t  ]-1, 0] et pour tout t  ]0,1[ .

b) Démontrer que  t  ]0, 1[ , f '(t ) 2  1 et en déduire que f ' ( ]-1, 1[ ) 
n'est pas connexe par
arcs de  2 .
On pourra tracer la boule unité de  2 pour la norme
pertinent comme preuve.

2

et on acceptera un dessin

EXERCICE II
On pose pour tout ( x, y )   2 , f ( x, y ) = (2 - x - y )² + (1 - x )² + (1 - 
2 x - y )² .
On se propose de déterminer le réel min f ( x, y ) par deux méthodes 
différentes.
( x , y ) 2

Q3. Première méthode
Déterminer le seul point critique de la fonction f sur  2 . Démontrer à l'aide 
d'une matrice
Hessienne que f admet en ce point un minimum local.
En admettant que ce minimum est global, donner la valeur du min f ( x, y ) .
( x , y ) 2

Q4. Deuxième méthode
Sur l'espace vectoriel euclidien 3 , on note le produit scalaire canonique par
norme associée par ( x, y , z ) =

x ² + y ² + z² .

On=
note a (2,1,1),
=
u (1,1,
=
2), v (1,0,1) et F = vect {u, v } .
On note b  F le projeté orthogonal du vecteur a sur le sous-espace vectoriel F.
0 et en déduire le vecteur b.
Justifier que a - b u =a - b v =
Déterminer la valeur de

min f ( x, y ) .

( x , y ) 2

2/5

et sa

PROBLÈME
Autour du théorème de comparaison avec une intégrale
Dans ce problème, on se propose de démontrer le théorème de comparaison avec 
une intégrale,
puis de traiter des exemples et des applications. On terminera par deux 
contre-exemples.

Partie I - Théorème de comparaison avec une intégrale
Dans cette partie, f est une fonction continue, positive et décroissante sur  + 
.
On pose, pour tout entier naturel n, Sn =

n

n

 f (t )dt et pour tout entier k non nul,

f (k ) , Jn =

0

k =0

Ik =

k

 f (t )dt .
k -1

Q5. Préciser la monotonie des suites ( Sn ) et ( Jn ) , puis démontrer que pour 
tout entier k non nul,
f (k ) 

k

 f (t )dt  f (k - 1) .
k -1

Q6. Démontrer que pour tout entier n non nul, Sn - f (0)  Jn  Sn -1 .
Q7. Démontrer enfin les deux résultats :
(1) f est intégrable sur  + , si et seulement si, la série
(2) La série

n

  f (t )dt - f (n) converge.
n 1

Q8. Un exemple.

n -1

On pose pour  > 0 et x  [ 2,+ [ , f ( x ) =

a)

 f (n) converge.

1
.
x (ln x )

Étudier la monotonie de la fonction f, calculer

x

 f (t )dt et en déduire la nature de la série
2

1

 n(ln n) .
n2

+

b) Dans le cas où  =2 , déterminer en fonction de ln 2 , un encadrement de

n =2

Q9. Une application.
On pose pour n entier naturel non nul,=
Tn

n

1

 k - ln n .
k =1

3/5

1

 n(ln n) .
2

a)

En utilisant le résultat (2) de la question Q7., établir que la suite (Tn ) 
converge. On notera
 sa limite (constante d'Euler).
n

1

=k ln n +  + o (1) et en déduire un équivalent au

b) Justifier que, au voisinage de +  ,

k =1

voisinage de +  de

n

1

k .
k =1

Q10. Une application sur une série de fonctions.

 g où pour tout x  ]0, + [ , g ( x ) = n² +x x ² .

On considère la série de fonctions

n

n

n 1

a)

Étudier la convergence normale de cette série de fonctions sur ]0, + [ .

b) On pose pour x fixé non nul, f (t ) =
Établir que, pour n entier non nul,

c)

x
.
t ² + x²

n +1

1

f (t )dt 

n

n

 f (t )dt .

f (k ) 

0

k =1

1

En déduire que, pour tout x non nul, - arctan 
x
2

+

 g (x)  2 .
n

n =1

+

d) Déterminer lim

 g (x) .

x + n = 1

La série de fonctions

n

 g converge-t-elle uniformément sur ]0, + [ ?
n

n 1

Partie II - Contre-exemples
f ( x ) sin(2x ) .
Q11. On pose pour x  [1, + [ , =
a)

Calculer pour n entier naturel non nul,
On pourra remarquer que

n +1
n

f (t )dt =

n +1
n

n+
n

f (t )dt .

1
2

f (t )dt +

n +1
n+

1
2

On note  x  la partie entière du réel x.
b) Établir que pour x  [1, + [ ,

x

1

sin ( 2t ) dt 

4/5

2
(  x  - 1) .

f (t )dt .

La fonction f est-elle intégrable sur [1, + [ ? Que dire de la nature de la 
série

 f (n ) ?
n 1

Q12. On se propose de construire un contre-exemple d'une fonction f continue, 
positive et intégrable
sur [1, + [ telle que

 f (n) diverge.
n 1

Pour tout entier n non nul, trouver un réel an de sorte que le triangle de base 
[ n - an , n + an ]
1
.
n²
Dessiner l'allure d'une courbe de fonction f définie et continue sur [1, + [ de 
la manière

et de hauteur 1 ait une aire égale à

suivante : chaque entier naturel n non nul a pour image 1 et autour de chaque n 
(sur chaque
intervalle [ n - an , n + an ] ) tracer l'allure du triangle de base [ n - an , 
n + an ] et de hauteur 1.
Enfin, la fonction est nulle en dehors de tous les intervalles [ n - an , n + 
an ] .

Démontrer que cette fonction f fournit un contre-exemple.

FIN

5/5