CCP Maths 1 MP 2021

SESSION 2021 @ MP1M1

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

1/5
EXERCICE I

On note f la fonction définie sur ]0,1] par :
nt

t2--1

f() =

Q1. Soit k EUR N. Justifier l'existence puis calculer l'intégrale

1
lk = | t* Int dt.
0

Q2. Justifier que la fonction f est intégrable sur |0,1[, puis démontrer que :

T2

[ ro =--

On pourra utiliser librement que :

EXERCICE II

Q3. Justifier que la fonction In est concave sur |0, +co! et en déduire que :

+ b+
V(a, b,c) EUR 10, +of*, Vabc < ---- On note f la fonction définie sur ]0, +co[? par : GP) = x +y += f(x; Y)=x+7y _ Q4. Démontrer que f admet un unique point critique sur l'ouvert |0,+oco[?, puis démontrer que f admet un extremum global que l'on déterminera. 2/5 PROBLÈME Un peu d'arithmétique avec la fonction zêta de Riemann On note & la fonction zêta de Riemann définie sur |1, +c| par : +00 1 &Cx) -- > 2
n=1

Le problème est constitué de trois parties indépendantes dans une large mesure.

Partie I - Alsorithmique : calcul de zêta aux entiers pairs

La suite des nombres de Bernoulli notée (b, }nen est définie par :
n--1

--1 n +1
Bo -- 1, Vn > 1, Dh -- k bn

Leonhard Euler (1707-1783) a démontré la formule suivante qui exprime les 
nombres &(2k) à
l'aide des nombres de Bernoulli :

(--1)7122k 17 2k
(2k)!

vk e N°, c(2k) =

Dans cette partie (informatique pour tous), on se propose de programmer le 
calcul des nombres de
Bernoulli b, afin d'obtenir des valeurs exactes de &(2k).

Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python. On sera très 
attentif à la rédaction
du code notamment à l'indentation.

Q5. Écrire une fonction factorielle(n) qui renvoie la factorielle d'un entier n 
EUR N.

Q6. On considère la fonction Python suivante binomin,p) qui renvoie le 
coefficient
binomial (n)
D

def binomi(n, p):
1f not(0<= p <= n): return 0 return factorielle(n)//(factorielle(p)*factorielle(n-p})) Combien de multiplications sont effectuées lorsque l'on exécute binom(30,10)7? Expliquer pourquoi 1l est possible de réduire ce nombre de multiplications à 20 ? Quel serait le type du résultat renvoyé s1 l'on remplaçait la dernière ligne de la fonction binom par return factoriellei(n)/(factorielle(p)*factorielle(n-p))? 3/5 Q7. Q8. Démontrer que, pourn >p>1,ona
F)=5 (1)
p/ p\p-1/
En déduire une fonction récursive binom rec(n,p) qui renvoie le coefficient
binomial (n).
P

Ecrire une fonction non récursive bernoulli(n) qui renvoie une valeur approchée 
du
nombre rationnel b,. On pourra utiliser librement une fonction binomial (n,p) 
qui renvoie

le coefficient binomial ().

Par exemple bernoulli(10) renvoie 0,075 757 575 757 575 76 qui est une valeur

5
approchée de bp = --

66

Partie II - Généralités sur la fonction zêta

Pour tout n EUR N°, on note f, la fonction définie sur ]1, +oco|[ par :

Q9.

Q10.
Q11.

Q12.
Q13.

Q14.

1
În (x) Dr

n*

r r r e In n
Pour tout a > 1 réel, démontrer que la série > --- converge.
n

Démontrer que la fonction & est de classe C{ sur ]1,+o[, puis qu'elle est 
décroissante.

La série de fonctions > fn converge-t-elle uniformément sur ]1, +co| ?

Déterminer la limite de & en +oo.

Soit x > 1. On pose :

*?°dt
I(x) -- Î 2x
1 À
Démontrer que :
I(x) < &(x) < I(x) + 1. En déduire un équivalent de & au voisinage de I. Un premier lien avec l'arithmétique : pour tout n EUR N°", on note d,, le nombre de diviseurs de | 1 l'entier n. On pose À = N° x N° et on prend x > 1. Justifier que la famille ( 
-) est
(ab)? (a, b}eA

sommable et que sa somme vaut {(x)*. En déduire que :
+00

dn
(x) = DE
n=1

On pourra considérer la réunion U,en* An où 4, = {(a, b)E À, ab =n}.
4/5
Partie III - Produit eulérien

Soit s > 1 un réel fixé. On définit une variable aléatoire X à valeurs dans N°" 
sur un espace
probabilisé (Q, A, P) par :

1
Vk EN',P(X = k) = ES

On rappelle qu'un entier a divise un entier b s'il existe un entier c tel que b 
= ac. On note alors ab.

Q15. Soit a E N°. Démontrer que P(X EUR aN ) = _
a

Q16. Soient a;, a>, ..., a, dans N° des entiers premiers entre eux deux à deux 
et N EUR N°.
Démontrer par récurrence sur ñn que :
(a. IN, IN, 7) an|N) -- a; X A> X *. X an|N.

Le résultat persiste-t-1l s1 les entiers a, &>, ..., a, sont seulement supposés 
premiers dans leur
ensemble, c'est-à-dire lorsque leur PGCD vaut 1 ?

Q17. En déduire que si a;,a>,...,a, sont des entiers de N° premiers entre eux 
deux à deux, alors
les événements [X EUR a; N*|,...,[X EUR a,N*] sont mutuellement indépendants.
On pourra noter (b.,....,b,) une sous-famille de la famille (a, ...,a,).

On note (Py)nen* = (2,3, 5,7,11,...) la suite croissante des nombres premiers.
Pour tout entier n EUR N°", on note B, l'ensemble des w EUR Q tels que X(w) 
n'est divisible par aucun
des nombres premiers pD1,D>,....., Dn.

Q18. Soit n EUR N°. Déduire des questions précédentes que :
n
1
P(B,)= | | (: _ =)
k=1 Pk

Q19. Soit w dans N,en B,. Que vaut X(w) ? En déduire que :

n

1
S)= lim | [Tr

k=1 Pr

. 7 1
On se propose, en application, de prouver que la série D, -- des inverses des 
nombres premiers
n

L 1
diverge. On raisonne pour cela par l'absurde en supposant que la série >», -- 
converge.
£ P P PP q p g

[=
Un -- -
n 1-1

k=1 Pk

On pose pour tout n EUR N",

Q20. Justifier que la suite (u,,) converge vers un réel L et que l'on a pour 
tout réel s > 1, [ > &(s).
Conclure.

FIN
5/5

CCINP Maths 1 MP 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Bertrand Wiel (professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Rémi Pellerin (ENS Lyon) et Céline Chevalier (enseignant-chercheur à 
l'université).

L'épreuve est constituée de deux exercices d'analyse, proches dans la forme de
ceux de la banque d'épreuves orales du concours, et d'un problème en trois 
parties
autour de la fonction zêta de Riemann faisant intervenir des questions 
d'informatique,
d'analyse, d'arithmétique et de probabilités.
· Le premier exercice s'intéresse au calcul d'une intégrale dont on montre 
qu'elle
est égale à la somme d'une série. Il ne contient que deux questions mais fait
appel à de nombreux résultats du cours sur les intégrales généralisées. Pour
réussir cet exercice, il fallait bien maîtriser la méthode d'inversion 
série-intégrale
et appliquer rigoureusement le théorème d'intégration terme à terme.
· Le second exercice, moins technique, demande d'établir par un argument 
classique de concavité l'inégalité arithmético-géométrique pour 3 réels 
strictement
positifs afin d'établir ensuite qu'une certaine fonction à deux variables 
réelles
admet un extremum local sur un ouvert. On recherche d'abord les éventuels
points critiques de la fonction pour déterminer où l'extremum pourrait être
atteint.
· La première partie du problème porte sur le programme de tronc commun
d'informatique, elle est indépendante des suivantes. L'objectif est d'écrire une
fonction itérative calculant les nombres de Bernoulli, après avoir écrit des 
fonctions auxiliaires pour calculer la factorielle et des coefficients 
binomiaux, cette
dernière sous forme récursive. Les questions d'efficacité associées à 
l'utilisation
de fonctions récursives ne sont pas soulevées. Seule la capacité à écrire une
fonction simple en Python est évaluée. La dernière fonction demande de mettre
en oeuvre le principe de mémoïsation.
· Dans la deuxième partie, on établit quelques propriétés de la fonction zêta à
l'aide du cours sur les séries de fonctions et les familles sommables. Comme le
premier exercice, elle exigeait de maîtriser les résultats du cours d'analyse de
seconde année et les exercices classiques associés.
· La dernière partie démontre la formule du produit eulérien liant la fonction
zêta à l'ensemble des nombres premiers, en utilisant le formalisme du cours de
probabilités. Elle exploite des résultats de première année en arithmétique et
utilise la notion de famille d'événements mutuellement indépendants.
Si le sujet comporte un nombre de questions plutôt faible, certaines d'entre 
elles
nécessitent une résolution en plusieurs étapes. L'ensemble est conforme aux 
sujets
récents de la filière MP du concours CCINP, c'est-à-dire d'une longueur 
raisonnable,
proche du cours et de ses applications classiques. C'est un bon sujet 
d'entraînement
pour l'écrit de ce concours mais aussi pour l'épreuve orale des concours 
Mines-Ponts
et Centrale-Supélec.

Publié dans les Annales des Concours

Indications
Exercice I
1 Intégrer par parties.
2 Appliquer le théorème d'intégration terme à terme des séries de fonctions.
Exercice II
4 Montrer que la fonction f admet un minimum global en son unique point critique
à l'aide de l'inégalité de la question 3.
Problème
7 Identifier les cas de base et le cas récursif pour écrire la fonction 
récursive.
8 Calculer les nombres de Bernoulli de b0 à bn (de bas en haut) en les stockant 
dans
une liste.
P
10 Appliquer le théorème de dérivation terme à terme à la série de fonctions
fn .
n>1

11 Raisonner par l'absurde et appliquer le théorème de la double limite en 1.
12 Appliquer le théorème de la double limite en +.
13 Procéder par comparaison série-intégrale. Pour x > 1, calculer la valeur de 
I(x)
pour établir l'équivalent.
S
14 Montrer que A =
An puis justifier que
nN

x > 1

X
(a,b)An

dn
1
= x
(ab)x
n

Conclure grâce à la réciproque du théorème de sommation par paquets.
16 Montrer l'implication directe par récurrence en établissant à l'aide du 
lemme de
Gauss que le produit de deux diviseurs de N premiers entre eux est un diviseur
de N.
17 Utiliser la question 16 pour montrer que l'intersection des éléments d'une 
sousfamille de ([X  ak N ])16k6n est de la forme [X  b1 b2 . . . br N ] puis 
utiliser le
résultat de la question 15.
18 Exprimer Bn comme l'intersection d'événements mutuellement indépendants.
19 Appliquer le théorème de continuité décroissante à la suite (Bn )nN .
P
20 Montrer que la suite (ln un )nN et la série
1/pn sont de même nature. Utiliser
l'équivalent de la question 13 pour établir la contradiction.

Exercice I
2k

1 Notons fk la fonction t 7 t ln t, définie sur ] 0 ; 1 ]. La fonction fk est 
continue en

tant que produit de fonctions continues et tfk (t) ----
0 par croissances comparées,
t0+
ainsi
 
1
fk (t) = + o 
t0
t
Le critère de comparaison aux intégrales de Riemann établit que la fonction fk 
est
intégrable sur ] 0 ; 1 ], donc
Z 1
t2k ln t dt existe.
L'intégrale Ik =
0

Ici la fonction de comparaison t 7 1/ t est intégrable, il n'est ainsi pas 
nécessaire d'utiliser le critère de comparaison des fonctions positives en 
écrivant
 
1
|fk (t)| = + o 
t0
t
qui d'ailleurs est strictement équivalent à l'écriture sans valeurs absolues
puisque la définition de la relation de négligeabilité porte sur les valeurs
absolues des fonctions. Le critère de comparaison aux intégrales de Riemann
correspond à cette situation.
Par croissances comparées, on a la limite t2k+1 ln t ----
0. Intégrons par parties,
+
t0

les fonctions t 7 ln t et t 7 t2k+1 /(2k + 1) étant de classe C 1 sur ] 0 ; 1 ],
Z 1
Ik =
t2k ln t dt
0

1 Z 1 2k+1
t2k+1
t
ln t -
dt
2k + 1
(2k
+ 1)t
0
0
Z 1
1
= 0-
t2k dt
2k + 1 0
-1
Ik =
(2k + 1)2

=

d'où

On peut appliquer le théorème d'intégration par parties aux intégrales sur un
intervalle quelconque lorsque l'existence de deux des limites parmi les trois
qu'elle décrit (les deux intégrales, le crochet) a été établie, la troisième 
limite
se déduisant alors du théorème de limite d'une somme. On peut également
intégrer par parties sur un segment [  ; 1 ], où   ] 0 ; 1 [, puis justifier le
passage à la limite quand  
- 0.
2 La fonction f est continue sur ] 0 ; 1 [ et

d'où

ln t
---- 0
- 1 t0+
 
1
f (t) = + o 
t0
t

tf (t) =

t

t2

Par comparaison aux intégrales de Riemann, la fonction f est donc intégrable au
voisinage de 0.

Publié dans les Annales des Concours

Utilisons l'équivalent ln t  t - 1 pour calculer la limite
t1

1 ln t
1
----
t + 1 t - 1 t1- 2
La fonction f est donc prolongeable par continuité en 1, puis intégrable au 
voisinage
de 1. On en déduit que
f (t) =

La fonction f est intégrable sur ] 0 ; 1 [.
Appliquons le résultat du cours sur le développement en série entière sur ] -1 
; 1 [
de la fonction u 7 1/(1 - u). On a
t  ] 0 ; 1 [

f (t) = -

+
+
+
P 2 k
P 2k
P
ln t
=
-
ln
t
(t
)
=
-
t
ln
t
=
-
fk (t)
2
1-t
k=0
k=0
k=0

Vérifions les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme :
· D'après la question 1, (fk )kN est une suite de fonctions continues 
intégrables
sur ] 0 ; 1 [.
P
· La série
fk converge simplement vers la fonction (-f ) continue sur ] 0 ; 1 [.
· Pour tout k  N, la fonction |fk | = -fk est intégrable sur ] 0 ; 1 [ d'après 
la
question 1. De plus,
Z 1
1
|fk (t)| dt =
(2k + 1)2
0
XZ 1
d'où, par comparaison avec une série de Riemann, la série
|fk (t)| dt est
0
convergente.
On en déduit, par application du théorème d'intégration terme à terme :
Z 1
Z 1X
+
+ Z 1
+
+
X
X
X
-1
(-f )(t) dt =
fk (t) dt =
fk (t) dt =
Ik =
(2k + 1)2
0
0
0
k=0

k=0

k=0

k=0

Soit p  N, séparons les termes d'indices pairs et ceux d'indices impairs, on a :
p
X
k=0

2p+1
p
X 1
X
1
1
=
-
2
2
(2k + 1)
n
(2k)2
n=1
k=1

Les séries étant convergentes, passons à la limite en utilisant la valeur 
rappelée dans
l'énoncé,
Z 1
+
+
+
X
X
X
1
2
1 2
3 2
1
1
=
-
=
-
=
f (t) dt =
(2k + 1)2
n2
(2k)2
6
4 6
4 6
0
n=1
k=0

Z

1

f (t) dt =

d'où,
0

k=1

2

8

L'énoncé de la question demande de justifier que f est intégrable puis de
démontrer l'expression de l'intégrale comme somme d'une série. La réponse
qui est proposée respecte cet ordre, en établissant dans un premier temps
l'intégrabilité puis en calculant l'intégrale. Ce n'était pas nécessaire. En 
effet,
le théorème d'intégration terme à terme ne s'appuie pas sur le fait que la
fonction f soit intégrable, au contraire il en fournit une preuve. On aurait
donc pu directement appliquer le théorème, les réponses attendues en étant,
toutes deux, les conséquences.