CCP Maths 1 MP 2020

Thème de l'épreuve Étude de séries ternaires
Principaux outils utilisés séries numériques, suites et séries de fonctions, probabilités, intégration, informatique pour tous
Mots clefs séries, séries de fonctions, convergence uniforme, fonction de Cantor-Lebesgue, escalier du diable, développement ternaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2020 C MP1M1

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Lundi 4 mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé d'un problème qui comprend quatre parties indépendantes.

1/5
Objectifs

L'objectif de la partie I est de montrer l'existence d'un développement 
ternaire propre pour
certains nombres réels.

La partie IT propose l'étude d'une série de fonctions où les coefficients du 
développement ternaire
sont remplacés par une fonction continue.

La partie IIT étudie des développements ternaires aléatoires.

La partie IV définit et présente quelques propriétés de la fonction de 
Cantor-Lebesgue.

Notations

On note T l'ensemble des suites réelles t = (t,)nen* à valeurs dans {0; 1; 2}:
VnEN", t,EUR{0;1;2}.

On désigne par £" l'ensemble des suites réelles u = (u, ),en* bornées et on 
pose || u ||= Sup [u. |.
nEN*

On note |y| la partie entière d'un réel y.

PARTIE I - Développement ternaire

Étude de l'application ©

Q1. Démontrer que £" est un espace vectoriel réel et que l'application u || u 
|| est une norme
sur 2".

-- OO Fr r_ * r r Un
Q2. Pour u = (uy)nen* EUR ©", démontrer que la série de terme général jn 6st 
convergente.

On note alors :
+ 00
Un
o(u) = 3

n=1
Q3. Démontrer que l'application © est une forme linéaire continue sur £°".

Q4. Démontrer que si t = (t,)nen* EUR T, alors le réel o(t) est dans 
l'intervalle [0,1|.

Q5. Onnote tr = (T + ET = (T'h)nen: les éléments de T définis par :
n/neN non P

T =1et VnEN*\{1}, t, =0 T=0etVnEN*\{1} t, = 2.

Calculer o(rt) et o(t'). L'application o est-elle injective sur T ?

Développement ternaire propre

On fixe x EUR [0,1[. On définit une suite t(x) = (t,(X))hnen* Par :
VnEeN', t,(x) =137x] -- 313% 1x].

Q6. Démontrer que t(x) ET.

2/5
Q7.

Q8.

Q9.

On définit deux suites réelles (xh)nen* EURt (Yn)nen* Par :

, 137x| 1
Vn EUR N", Xn -- Zn et Yn = Xn Ton:
Démontrer que les suites (x,) et (y,) sont adjacentes de limite x. En déduire 
que :
+ 00
L N'tn(x)
X = 2h
n=1

Que peut-on en conclure concernant l'application p > 10,1] 9
F pP Le (0)

La suite t(x) = (t,(X))nen: est appelée développement ternaire propre de x.

Informatique pour tous. Écrire en langage Python une fonction flotVersTern(n, x)
d'arguments un entier naturel n et un flottant x et qui renvoie sous forme 
d'une liste les n
premiers chiffres t:(x),....,t,(x) définis dans la question précédente du 
développement
ternaire de x.

Par exemple flotVersTern(4,0.5) renvoie [1,1,1,1].

Informatique pour tous. Si £ = [£:,,...,1,]| est une suite finie d'entiers de 
{0; 1; 2}, on la
complète avec des 0 pour en faire un élément de T encore noté #.

Écrire en langage Python une fonction ternVersFlot(£) d'arguments une liste 
d'entiers #.
Cette fonction renvoie en sortie le flottant o(#).

Par exemple ternVersFlot([1,1,1,11]) renvoie 0.493827......

Q10. Znformatique pour tous. S1 EUR = [£,,..,1,| est une suite finie d'entiers 
de {0; 1; 2}, on lui

ajoute un élément égal à --1 s1 la somme ?, + --: + #,, est paire et un élément 
égal à --2 sinon.
Ce dernier élément permet alors d'essayer de détecter d'éventuelles erreurs de 
transmission.
Écrire en langage Python une fonction ajout(£) qui ajoute à la liste £ un 
élément comme
expliqué précédemment et qui renvoie la nouvelle liste.

Écrire en langage Python une fonction verif(£) qui renvoie True si la valeur du 
dernier
élément de # est correcte et False sinon.

Par exemple ajout([1,0,2,1,@]) renvoie [1,0,2,1,0,-1] et verif([1,0,2,1,0,-2])
renvoie False.

PARTIE II - Étude d'une fonction définie par une série

Dans cette partie, on définit une fonction @ à l'aide d'un développement en 
série analogue au
développement ternaire propre d'un réel, mais où la suite (t, )nen* est 
remplacée par une fonction
numérique à valeurs dans l'intervalle [0,2].

Pour tout réel x on pose :

+ 00

0) = Y 1 + re |

n=1

3/5
Étude de l'application @
Q11. Démontrer que est définie et de classe C! sur R.

Q12. Pour tout x réel, justifier l'écriture :

1 +2 einx
D
p(x) 7 + Im Zn

n=1

et en déduire une expression simple de @(x) en fonction de sin(x) et cos(x).

+00
ncos(nx)

Gr en fonction de cos(x).

Q13. Pour x EUR KR, en déduire une expression simple de D
n=1
TT

Q14. À l'aide de | (x) dx démontrer que :

0
T sin(x) 7 1 L
dx = 1147
J x >, (1-2 +1)

10 -- 6cos(x) n37t1

puis en calculant la somme de la série du second membre, en déduire la valeur 
de l'intégrale :
[ T sin(x)
dx .
po 10 -- 6cos(x)

Q15. Retrouver cette valeur par un calcul direct.

PARTIE IIT - Développements ternaires aléatoires

Dans cette partie, (Th n)n>1n>2 eSt une suite de variables aléatoires discrètes 
réelles, mutuellement
indépendantes, définies sur un même espace probabilisé (9, A, P) et vérifiant :

Vn>1,VN>2,T,n(®) = {0;1;2}

1 2
avec P(Tyn = 0) = P(Tyn = 1) = ve P(Tyn =2)=1- V

Soit N > 2 fixé. On pose :
N
Tan
XN -- ETS :

n=1
On admet que X,, est une variable aléatoire discrète réelle définie sur (9, A, 
P).

Q16. Démontrer que X}, admet une espérance et une variance. Donner leur valeur 
en fonction de N.

Q17. Justifier que, pour tout £ > 0:
im P(|Xvy -- E(Xy)| > EUR) = 0

4/5
Q18.

Soit £ > 0, démontrer que :
E E
P(IXy -- 11 > EUR) < P(IXy -- EQXn)| > =) + P(IECX\) -- 11 > =) |

En déduire que, pour tout £ > 0 :

PARTIE IV - Fonction de Cantor-Lebesgue

Dans cette partie, on va définir et étudier la fonction de Cantor-Lebesgue.

Étude d'une suite de fonctions

On note f, la fonction définie sur [0,1] par f(x) = x. Pour tout entier n EUR 
N, on pose :

Q19.

[___ fn(3x) 1
; si x EUR [0
, 1 È 1 | 1 2
xE [0,1], fnr1(0 = 4 - si x EUR b:s
1 -- 2 2
G +22 six e [5,1

Représenter l'allure graphique des fonctions fo, f: et f, sur trois schémas 
différents (pour f>
on envisagera sept sous-intervalles de [0,1|).
Pour tout n EUR N, démontrer que f, est à valeurs dans [0,1].

Q20. Informatique. Écrire en langage Python une fonction récursive cantor(n,x) 
qui renvoie la

Q21.

Q22.

Q23.

valeur de f, (x).

Pour tout entier n EUR N, démontrer que :

Vx E [0,14 [fn+10x) -- fGx)| < ZX onIL En déduire que la suite de fonctions (f,)nen converge uniformément sur [0,1]. La limite de la suite de fonctions (fh )nen est notée f. On l'appelle fonction de Cantor-Lebesgue. Démontrer que la fonction f est à valeurs dans [0,1] et qu'elle est croissante et continue sur [0,1]. Démontrer aussi qu'elle est surjective de [0,1] vers [0,1]. La fonction f est aussi nommée « escalier du diable ». Les développements ternaires étudiés en début de problème permettent d'obtenir une expression analytique de f (x). FIN 5/5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Maths 1 MP 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Michel (ENS Rennes) ; il a été relu par Quentin
Guilmant (ENS Lyon) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université).

Ce sujet traite de séries dont le terme général est de la forme un /3n où (un ) 
est
une suite numérique, une suite de fonctions ou une suite de variables 
aléatoires. Il est
composé de quatre parties indépendantes.
· Dans la première, on s'intéresse à l'écriture ternaire des réels compris 
entre 0
et 1. On en démontre l'existence ainsi que la non-unicité en général, et on met
en oeuvre informatiquement le calcul du développement ternaire propre d'un
flottant entre 0 et 1.
· La partie suivante étudie une fonction définie comme la somme d'une série.
Après avoir démontré sa régularité, on calcule son expression et son intégrale
sur le segment [ 0 ;  ]. On en déduit la somme d'une série et la valeur d'une
intégrale.
· Dans la troisième partie, on étudie le comportement asymptotique d'une 
variable aléatoire à valeurs dans l'intervalle [ 0 ; 1 ] dont l'écriture 
ternaire est finie.
· La dernière partie demande de construire par récurrence une suite de 
fonctions.
On démontre sa convergence uniforme et certaines propriétés de sa limite, 
appelée fonction de Cantor-Lebesgue ou escalier du diable.
Pour réussir ce sujet, il fallait maîtriser les suites et séries de fonctions 
ainsi que
les définitions et inégalités essentielles du programme de probabilités. Des 
notions
élémentaires d'informatique sont également nécessaires. On est amené à utiliser 
le
critère de comparaison des séries à termes positifs à plusieurs reprises, ainsi 
que les
théorèmes de dérivation et d'intégration des séries de fonctions ou encore le 
théorème
de continuité des suites de fonctions. Si le lien entre les parties I, II et 
III tient à
la forme des suites et séries considérées, le lien avec la partie IV est 
mentionné
dans le sujet mais n'est pas traité explicitement. Nous donnons quelques 
éléments
d'explication dans ce corrigé.

Indications
2 Démontrer la convergence absolue par comparaison à une série géométrique.
3 Démontrer la linéarité en raisonnant sur les sommes partielles et en passant 
à la
limite. Se ramener à une série géométrique pour démontrer la continuité.
4 Comparer à une série géométrique dont on calculera la somme.
6 Montrer que tn (x)  Z puis que -1 < tn (x) < 3 en utilisant le fait que x  R x - 1 < bxc 6 x 7 Montrer que (xn )nN est croissante, que (yn )nN est décroissante et que, pour tout n  N , xn 6 x < yn . Écrire x comme la somme de la série télescopique de terme général xn - xn-1 . 8 Construire la liste t à partir de la liste vide en y ajoutant les éléments l'un après l'autre. On pourra utiliser la fonction floor. 9 Utiliser une boucle for pour calculer la somme définissant (`). 10 Veiller à ne pas prendre en compte le dernier élément de la liste pour le calcul de la somme `1 + · · · + `n dans la fonction verif. 11 Appliquer le théorème de dérivation des séries de fonctions. On pourra utiliser des comparaisons à des séries géométriques. 12 Justifier que l'on peut séparer la série en deux et utiliser la linéarité de la partie imaginaire. Calculer une expression de (x) grâce à la somme d'une série géométrique. 13 Utiliser les questions 11 et 12. 14 Exprimer d'une part l'intégrale de  à l'aide de l'intégrale à calculer grâce à la question 12. Utiliser d'autre part le théorème d'intégration des séries de fonctions sur un segment pour calculer la valeur de l'intégrale de . En déduire l'égalité de l'énoncé. Enfin, calculer la somme à l'aide du développement en série entière : x  ] -1 ; 1 [ ln(1 - x) = - + X xn n=1 n 15 Effectuer le changement de variable u = cos(x) puis se ramener à une intégrale de v 7 (1 - v)-1 par un changement de variable linéaire. 16 Justifier que les variables aléatoires Tn,N admettent une espérance et une variance et en déduire que c'est aussi le cas de XN . 17 Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. 18 Écrire |XN - 1| 6 |XN - E(XN )| + |E(XN ) - 1| et montrer qu'il existe N0  N tel que pour tout N > N0 , |E(XN ) - 1| < /2. 19 Déterminer à la main les valeurs de f1 (x) et f2 (x) pour tout x  [ 0 ; 1 ] en distinguant les cas. Démontrer par récurrence que fn est bien à valeurs dans [ 0 ; 1 ]. 21 Démontrer le résultat par récurrence en distinguant selon la position de x dans l'intervalle [ 0 ; 1 ]. 22 Utiliser la P question 21. On rappelle qu'une suite (un )nN converge si et seulement si la série (un+1 - un ) converge. 23 Montrer par récurrence que pour tout n  N, fn est continue et croissante, ainsi que les égalités fn (0) = 0 et fn (1) = 1 puis passer à la limite. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer la surjectivité de f . Publié dans les Annales des Concours I. Développement ternaire 1 Montrons que ` est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites réelles. · L'ensemble ` est bien inclus dans cet espace. · La suite nulle, neutre pour l'addition des suites, est bornée, par exemple par 0. · Soient (u, v)  (` )2 et   R. D'après l'inégalité triangulaire, n  N |(u + v)n | = |un + vn | 6 |un | + |||vn | 6 kuk + ||kvk donc u + v  ` . L'ensemble ` est un R-espace vectoriel. Ainsi, Vérifions à présent que k · k est une norme sur ` . · L'application k · k est à valeurs dans R+ par définition. · Séparation : si u  ` et kuk = 0, alors pour tout n  N , |un | 6 0, d'où u = 0. · Homogénéité : si u  ` et   R, alors pour tout n  N , |un | 6 ||kuk donc, en passant à la borne supérieure, kuk = ||kuk. · Inégalité triangulaire : comme on l'a vu en démontrant la stabilité de ` par combinaison linéaire, si (u, v)  (` )2 , alors n  N |(u + v)n | 6 kuk + kvk d'où, en passant à la borne supérieure, ku + vk 6 kuk + kvk. L'application k · k est une norme sur ` . Ainsi, 2 Soit u  ` . Pour tout n  N , on a : un kuk 6 n n 3 3 Comme -1 < 1/3 < 1, le membre de droite de cette inégalité est le terme général d'une série géométrique convergente. Par comparaison de séries à termes positifs, on en déduit que la série de terme général un /3n converge absolument. Par conséquent, La série de terme général un /3n est convergente. 3 D'après la question 2,  est bien définie sur ` et à valeurs dans R. Démontrons sa linéarité. Soient (u, v)  (` )2 et   R. D'après la question 2, les séries de termes généraux (un + vn )/3n , un /3n et vn /3n sont convergentes donc on peut passer à la limite dans l'égalité N  N N u + v N u N v P P P n n n n = + n n n 3 n=1 n=1 3 n=1 3 (u + v) = (u) + (v) et on obtient Enfin, pour u  ` , en passant à la limite dans l'inégalité N  N + N u N 1 P P P 1 1 1 kuk n 6 kuk 6 kuk = kuk × × = n n n 3 1 - 1/3 2 n=1 3 n=1 3 n=1 3 + on trouve Ainsi, |(u)| = P un kuk 6 n 3 2 n=1 L'application  est une forme linéaire continue sur ` . Publié dans les Annales des Concours 4 Soit t  T. Par définition, on a n  N d'où 2 tn 6 n 3n 3 06 + X 1 1 1 =2× × =1 n 3 3 1 - 1/3 n=1 0 6 (t) 6 2 On a donc montré que t  T (t)  [ 0 ; 1 ] 5 Seul le premier terme de la série définissant ( ) est non nul et on calcule immédiatement ( ) = 1/3. Par ailleurs, + X 1 2 1 1 = 2× = n 3 3 1 - 1/3 3 n=2 ( 0 ) = 2 ( ) = ( 0 ) = 1/3. En particulier,  n'est pas injective sur T. 6 Soit n  N . Par définition de la partie entière, on a b3n xc  N et 3n-1 x  N donc tn (x)  Z. De plus, d'une part Ainsi, et d'autre part c'est-à-dire 3n x - 1 < b3n xc 6 3n x 3n-1 x - 1 < 3n-1 x 6 3n-1 x -3n x 6 -3 3n-1 x < -3n x + 3 En additionnant la première et la troisième inégalités, on obtient -1 < tn (x) < 3 Comme tn (x)  Z, on en déduit que tn (x)  {0 ; 1 ; 2}. En conclusion, t(x)  T 7 Soit n  N . D'après la question 6, n+1 3 x b3n xc tn+1 (x) xn+1 - xn = - = >0
3n+1
3n
3n+1
1
tn+1 (x) - 2
1
et
yn+1 - yn = xn+1 - xn + n+1 - n =
60
3
3
3n+1
Ainsi, (xn )nN est croissante et (yn )nN est décroissante. De plus,
1
yn - xn = n ---- 0
3 n
donc

Les suites (xn )nN et (yn )nN sont adjacentes.

D'après le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers un réel y. Or, 
par
définition de la partie entière, pour tout n  N ,
b3n xc 6 3n x < b3n xc + 1 xn 6 x < yn d'où En passant à la limite, on obtient y=x Enfin, on a vu plus haut que pour tout n > 2,
xn - xn-1 =

tn (x)
3n