CCP Maths 1 MP 2019

Thème de l'épreuve Étude générale d'une série de fonctions
Principaux outils utilisés suite et série de fonctions, intégrales généralisées, fonction génératrice, variables aléatoires
Mots clefs Série de fonctions

Corrigé

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 CCINP Maths 1 MP 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Angèle Niclas (ENS Lyon) ; il a été relu par Thierry Limoges (professeur en CPGE) et Benoit Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet d'analyse est composé de deux exercices indépendants et d'un problème rédigé en deux parties. Dans ce problème, on s'intéresse à l'étude d'une suite particulière de fonctions, définie en utilisant des séries entières. La première partie reste entièrement théorique tandis que la deuxième offre des applications concrètes. · Le premier exercice s'intéresse à une application du théorème d'intégration terme à terme pour calculer la valeur d'une intégrale généralisée. Il demande dans un premier temps de vérifier que cette intégrale généralisée existe, puis de justifier très rigoureusement l'interversion série/intégrale nécessaire au calcul. · Le deuxième exercice, consacré aux probabilités, porte sur une application des fonctions génératrices. La première question demande de démontrer un résultat très classique sur le comportement de la fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires. Dans la deuxième question, on applique ce résultat pour montrer comment il est possible de retrouver la loi d'une variable aléatoire en calculant sa fonction génératrice. · La première partie du problème est très théorique et sert à démontrer des résultats utilisés dans la seconde partie. Elle demande une bonne maîtrise des différentes notions de convergence des séries (simple, uniforme et normale) et des connaissances sur les séries entières. On utilisera également à la fin le théorème de sommation par parties. · Dans la deuxième partie du problème, on s'attaque à des applications de la première partie. La difficulté est croissante, en commençant par une application basique. On utilise ensuite le théorème de la double limite et le critère spécial des séries alternées pour obtenir des équivalents de fonctions et la valeur d'une série numérique. Le sujet est plutôt court, avec uniquement 12 questions, et demande donc un soin particulier dans la rédaction et dans les arguments avancés pour justifier les résultats. Beaucoup de démarches sont réutilisées plusieurs fois, mais demandent souvent des justifications pointues. Les connaissances nécessaires sont concentrées presque uniquement sur le programme de deuxième année, et balayent une grande partie des méthodes apprises en lien avec l'analyse. Le premier exercice donne l'occasion de bien travailler les intégrales généralisées et l'interversion intégrale/série. Le problème est une excellente révision des chapitres sur les séries et suites de fonctions. Indications Exercice I 1 Chercher un équivalent de f en 0 puis une comparaison au voisinage de +. Exprimer ensuite f sous la forme d'une série en se servant du développement en série entière de x 7 1/(1 - x). Exercice II 2 Utiliser le fait que si deux variables aléatoires X1 et X2 sont indépendantes alors pour toute fonction f , f (X1 ) et f (X2 ) sont aussi indépendantes. 3 Utiliser la question 2 en remarquant que les tirages successifs Xk sont indépendants et de même loi. Problème 4 Utiliser le fait que an xn est de rayon de convergence 1. Pour la convergence hors de l'intervalle, on pourra chercher une série an telle que La converge en x0 = 2. P 5 Prouver la convergence normale de la série plutôt que sa convergence uniforme. 6 Utiliser le résultat de la question 5, puis le théorème de dérivation d'une suite de fonctions. Pour établir la convergence uniforme des fn , on pourra s'inspirer de la démarche de la question 5. 7 Utiliser le théorème de sommation par paquets puis un raisonnement analogue à celui de la question 5 pour la sommabilité des (an xnp )(n,p)A . 8 Utiliser le résultat de la question 7. P 9 Remarquer que 1 6 an 6 n pour trouver le rayon an xn . P den convergence de Pour la dernière partie de la question, exprimer nx comme la dérivée d'une série entière connue. 10 Utiliser le critère spécial des séries alternées pour montrer la convergence uniforme de la série. 11 Reprendre le raisonnement de la question 5 pour montrer la convergence uniforme de f (x)/x. 12 Utiliser le critère spécial des séries alternées pour montrer la convergence uniforme de la série. Pour obtenir une majoration uniforme, on pourra remarquer que k [[ 0 ; n - 1 ]] xk > xn Exercice I 1 Soit t ] 0 ; + [, alors e -t < 1 et le dénominateur de f ne s'annule pas. La fonction t 7 1/(1 - e -t ) est donc continue sur ] 0 ; + [ et par produit de fonctions continues, f est également continue sur ] 0 ; + [. Elle est ainsi intégrable sur tout segment contenu dans ] 0 ; + [. Identifions le comportement de f aux bornes de l'intervalle. · Comportement en 0+ : le développement limité de t 7 e -t en 0+ est e -t + 1 - t t0 1 - e -t t d'où t e -t t et t0+ t0+ Par division des deux équivalents, on obtient immédiatement que d'où f (t) + 1 t0 f (t) ---- 1 + t0 La fonction f peut être prolongée par continuité en 0+ et en particulier elle est intégrable sur tout segment ] 0 ; A [ où A R. · Comportement en + : comme 1 - e -t ---- 1, on sait que t+ f (t) = t e -t 1 - e -t t+ t e -t Or par croissance comparée, te -t = o t+ 1 t2 Puisque la fonction t 7 1/t2 est intégrable sur ] 1 ; + [, par comparaison entre intégrales, f est également intégrable en +. Ainsi, La fonction f est intégrable sur ] 0 ; + [. On remarque ensuite que t ] 0 ; + [ f (t) = t e -t t = t 1 - e -t e -1 On cherche donc à calculer l'intégrale de f , qui est bien définie car f est intégrable sur ] 0 ; + [. L'énoncé recommande d'utiliser un théorème d'intégration terme à terme ce qui pousse à écrire f sous la forme d'une série. Utilisons le développement usuel en série entière + P n 1 = x 1 - x n=0 x ] -1 ; 1 [ Comme 0 < e -t < 1 si t ] 0 ; + [, on en déduit t ] 0 ; + [ f (t) = t e -t + P (e -t )n = n=0 + P t e -(n+1)t = n=0 + P n=1 t e -nt Soit n N . Définissons fn (t) = t e -nt et In = Z + fn (t) dt 0 Notons que pour tout t ] 0 ; + [, fn (t) > 0. Afin de vérifier les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme, on va calculer la valeur de In grâce à une intégration par parties. Pour cela : · la fonction t 7 t est de classe C 1 sur R+ , de dérivée t 7 1 ; · la fonction t 7 e -nt est la dérivée de t 7 -e -nt /n, aussi de classe C 1 sur R+ . -nt + Z + Z e 1 + -nt t + e dt Ainsi, In = te -nt dt = - n n 0 0 0 -nt + 1 e = 0+ - n n 0 1 In = 2 n Vérifions les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme : · la fonction fn est continue sur ] 0 ; + [ ; + P · la fonction t 7 fn (t) = f (t) est continue sur ] 0 ; + [ ; n=1 · D'après l'énoncé, la série suivante converge : X Z + X Z + X X 1 |fn (t)| dt = fn (t) dt = In = n2 0 0 n>1 n>1 On conclut alors que Z + Z f (t) dt = 0 puis que 0 + + X fn (t) dt = 0 + Z X + fn (t) dt = n=1 0 n=1 Z n>1 + n>1 + X In = n=1 2 6 t 2 dt = et - 1 6 Exercice 2 n 2 Comme pn = P(X = n), il vient que |pn | 6 1 et si t ] -1 ; 1 [ alors |pn tn | 6 |t| qui est le terme général d'une série géométrique convergente car |t| < 1. Ainsi GX (t) converge absolument pour t ] -1 ; 1 [ donc elle converge pour t ] -1 ; 1 [. L'intervalle ] -1 ; 1 [ est inclus dans l'ensemble de définition de GX . Soient X1 et X2 définies dans l'énoncé. Commençons par montrer l'affirmation demandée de manière directe. Soit t ] -1 ; 1 [, on définit ft (x) = tx . Comme X1 et X2 sont indépendantes, ft (X1 ) et ft (X2 ) le sont également. On obtient alors en utilisant la notation de l'énoncé S = X1 + X2 que GS (t) = E(tX1 +X2 ) = E(ft (X1 )ft (X2 )) = E(ft (X1 ))E(ft (X2 )) = GX1 (t)GX2 (t)