Thème de l'épreuve | Étude générale d'une série de fonctions |
Principaux outils utilisés | suite et série de fonctions, intégrales généralisées, fonction génératrice, variables aléatoires |
Mots clefs | Série de fonctions |
SESSION 2019 C MPMA102 CONCOURS COMMUN INP ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP MATHÉMATIQUES 1 Lundi 29 avril: 14h-18h N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont interdites Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants. 1/4 +00 l 7 On admet que > --- ------ et on pose, pour f EUR 10, +co[ , f() = n Q1. EXERCICE I 2 _ te ! 6 let. n=| Justifier que la fonction f est intégrable sur 10, +o0| puis, à l'aide d'un théorème d'intégration +00 terme à terme, calculer l'intégrale | df. o e-1 EXERCICE II Si X est une variable aléatoire à valeurs dans N de loi de probabilité donnée par : VneN, + 00 P, = P(X = n), la fonction génératrice de X est G,(1) = E(t* ) = > Pit". Q2. Q3. n=0 Démontrer que l'intervalle |-1,1[ est inclus dans l'ensemble de définition de la fonction G; . Soient X, et X, deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N. On pose S = X,+%,, démontrer que pour tout fe |-L I[ , Gs(f) = CYy, ().Gy, ({) par deux méthodes : l'une utilisant le produit de Cauchy de deux séries entières et l'autre utilisant uniquement la définition : G,(f) = E(t*). On généralise ce résultat, que l'on pourra utiliser dans la question suivante, à n variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans N (on ne demande pas de preuve de cette récurrence). Un sac contient quatre boules : une boule numérotée 0, deux boules numérotées 1 et une boule numérotée 2. On effectue n tirages d'une boule avec remise et on note S, la somme des numéros tirés. Déterminer pour tout £e [-I,1|, Gs,, (#) et en déduire la loi de S,. 2/4 PROBLÈME Introduction n X « nr où (a,),>, est une -- X Dans ce sujet une série de fonctions Z,, est une série de fonctions Ù a, n>] suite de réels telle que la série entière > ax soit de rayon 1. n>l Partie I - Propriétés Soit une série de fonctions Z,, : Ù a n>1] ñ | 1-- x" Q4. Sixe |-1,1|, donner un équivalent de 1--- x" pour n au voisinage de +. q P £ n X ---- converge absolument. "1x Démontrer que pour tout xe Ï-L I[ , la série >. a n2>1 Remarque : la série Z, peut parfois converger en dehors de l'intervalle |-L|. Donner un exemple de suite (a,),-, telle que la série Z,, converge en au moins un x, n'appartenant pas à l'intervalle |-L I[ n n converge uniformément sur tout segment Q5. Démontrer que la série de fonctions > a l-- x n>] [--b, b| inclus dans l'intervalle |-L|. x" + 00 Q6. On pose, pour tout x EUR Ï-LII , f(x) = >. a, I n n=] À Justifier que la fonction f est continue sur l'intervalle Ï-Lil et démontrer ensuite que la fonction j est de classe C! sur l'intervalle |-Ll , Donner la valeur de f"(0). Q7. Expression sous forme de série entière On note A=N°xN.. Lorsque (u, , )(n, pye4 St une famille sommable de réels, justifier que Y Su, Y > Ux.p |» OÙ 1, ={(k,p)EUR À,kp=n). n=1 \ p=l n=1 | (k,p}el, Démontrer que pour tout x e |-L,1[, la famille (a, x" Yen. pyza St Sommable. +00 n 00 En déduire que pour tout x e |-1,1|, > a, > b,x" où b, = > a =] n = l--x n d\n n=1 (d | n Signifiant d divise n). 3/4 Partie II - Exemples Q8. Q9. Q10. Q11. Q12. Dans cette question, pour 721, a, =1 et on note d, le nombre de diviseurs de n. Exprimer, x" 1x" comme la somme d'une série entière. + 00 pour tout xe Ï-LII , f(x) = >. a, n=1 Dans cette question, pour n 21, a, =@(n) où on) est le nombre d'entiers naturels premiers avec ñ et inférieurs à n. Justifier que la série entière Ù a,x" est de rayon 1. n>] On admet que pour n 21, n = >. p(d). Vérifier ce résultat pour nr =12. din x" +00 Pour x e Ï-LII , eXprimer > p(n) n=| ue sous la forme d'un quotient de deux polynômes. -- X En utilisant le théorème de la double limite, établir à l'aide du développement en série entière D" n + 00 de la fonction x + In(1+ x) sur l'intervalle Ï-Lil , la valeur de la somme >. n=]l Dans cette question et la suivante, pour n2>1, a,=(-1)" et pour tout xe |-LIf, x" En utilisant le théorème de la double limite, calculer lim 1) et donner un équivalent de Xx--0 X f(x) au voisinage de 0. Retrouver le dernier résultat de la question Q6. -- ]n 2 l-- I On pourra remarquer que pour x e 0, I] , _ 5 1x" l+x+x Démontrer qu'au voisinage de 1, f(x) -- + +x7l FIN 4/4 IMPRIMERIE NATIONALE --- 191144 - D'après documents fournis
© Éditions H&K CCINP Maths 1 MP 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Angèle Niclas (ENS Lyon) ; il a été relu par Thierry Limoges (professeur en CPGE) et Benoit Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet d'analyse est composé de deux exercices indépendants et d'un problème rédigé en deux parties. Dans ce problème, on s'intéresse à l'étude d'une suite particulière de fonctions, définie en utilisant des séries entières. La première partie reste entièrement théorique tandis que la deuxième offre des applications concrètes. · Le premier exercice s'intéresse à une application du théorème d'intégration terme à terme pour calculer la valeur d'une intégrale généralisée. Il demande dans un premier temps de vérifier que cette intégrale généralisée existe, puis de justifier très rigoureusement l'interversion série/intégrale nécessaire au calcul. · Le deuxième exercice, consacré aux probabilités, porte sur une application des fonctions génératrices. La première question demande de démontrer un résultat très classique sur le comportement de la fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires. Dans la deuxième question, on applique ce résultat pour montrer comment il est possible de retrouver la loi d'une variable aléatoire en calculant sa fonction génératrice. · La première partie du problème est très théorique et sert à démontrer des résultats utilisés dans la seconde partie. Elle demande une bonne maîtrise des différentes notions de convergence des séries (simple, uniforme et normale) et des connaissances sur les séries entières. On utilisera également à la fin le théorème de sommation par parties. · Dans la deuxième partie du problème, on s'attaque à des applications de la première partie. La difficulté est croissante, en commençant par une application basique. On utilise ensuite le théorème de la double limite et le critère spécial des séries alternées pour obtenir des équivalents de fonctions et la valeur d'une série numérique. Le sujet est plutôt court, avec uniquement 12 questions, et demande donc un soin particulier dans la rédaction et dans les arguments avancés pour justifier les résultats. Beaucoup de démarches sont réutilisées plusieurs fois, mais demandent souvent des justifications pointues. Les connaissances nécessaires sont concentrées presque uniquement sur le programme de deuxième année, et balayent une grande partie des méthodes apprises en lien avec l'analyse. Le premier exercice donne l'occasion de bien travailler les intégrales généralisées et l'interversion intégrale/série. Le problème est une excellente révision des chapitres sur les séries et suites de fonctions. © Éditions H&K Indications Exercice I 1 Chercher un équivalent de f en 0 puis une comparaison au voisinage de +. Exprimer ensuite f sous la forme d'une série en se servant du développement en série entière de x 7 1/(1 - x). Exercice II 2 Utiliser le fait que si deux variables aléatoires X1 et X2 sont indépendantes alors pour toute fonction f , f (X1 ) et f (X2 ) sont aussi indépendantes. 3 Utiliser la question 2 en remarquant que les tirages successifs Xk sont indépendants et de même loi. Problème 4 Utiliser le fait que an xn est de rayon de convergence 1. Pour la convergence hors de l'intervalle, on pourra chercher une série an telle que La converge en x0 = 2. P 5 Prouver la convergence normale de la série plutôt que sa convergence uniforme. 6 Utiliser le résultat de la question 5, puis le théorème de dérivation d'une suite de fonctions. Pour établir la convergence uniforme des fn , on pourra s'inspirer de la démarche de la question 5. 7 Utiliser le théorème de sommation par paquets puis un raisonnement analogue à celui de la question 5 pour la sommabilité des (an xnp )(n,p)A . 8 Utiliser le résultat de la question 7. P 9 Remarquer que 1 6 an 6 n pour trouver le rayon an xn . P den convergence de Pour la dernière partie de la question, exprimer nx comme la dérivée d'une série entière connue. 10 Utiliser le critère spécial des séries alternées pour montrer la convergence uniforme de la série. 11 Reprendre le raisonnement de la question 5 pour montrer la convergence uniforme de f (x)/x. 12 Utiliser le critère spécial des séries alternées pour montrer la convergence uniforme de la série. Pour obtenir une majoration uniforme, on pourra remarquer que k [[ 0 ; n - 1 ]] xk > xn © Éditions H&K Exercice I 1 Soit t ] 0 ; + [, alors e -t < 1 et le dénominateur de f ne s'annule pas. La fonction t 7 1/(1 - e -t ) est donc continue sur ] 0 ; + [ et par produit de fonctions continues, f est également continue sur ] 0 ; + [. Elle est ainsi intégrable sur tout segment contenu dans ] 0 ; + [. Identifions le comportement de f aux bornes de l'intervalle. · Comportement en 0+ : le développement limité de t 7 e -t en 0+ est e -t + 1 - t t0 1 - e -t t d'où t e -t t et t0+ t0+ Par division des deux équivalents, on obtient immédiatement que d'où f (t) + 1 t0 f (t) ---- 1 + t0 La fonction f peut être prolongée par continuité en 0+ et en particulier elle est intégrable sur tout segment ] 0 ; A [ où A R. · Comportement en + : comme 1 - e -t ---- 1, on sait que t+ f (t) = t e -t 1 - e -t t+ t e -t Or par croissance comparée, te -t = o t+ 1 t2 Puisque la fonction t 7 1/t2 est intégrable sur ] 1 ; + [, par comparaison entre intégrales, f est également intégrable en +. Ainsi, La fonction f est intégrable sur ] 0 ; + [. On remarque ensuite que t ] 0 ; + [ f (t) = t e -t t = t 1 - e -t e -1 On cherche donc à calculer l'intégrale de f , qui est bien définie car f est intégrable sur ] 0 ; + [. L'énoncé recommande d'utiliser un théorème d'intégration terme à terme ce qui pousse à écrire f sous la forme d'une série. Utilisons le développement usuel en série entière + P n 1 = x 1 - x n=0 x ] -1 ; 1 [ Comme 0 < e -t < 1 si t ] 0 ; + [, on en déduit t ] 0 ; + [ f (t) = t e -t + P (e -t )n = n=0 + P t e -(n+1)t = n=0 + P n=1 t e -nt © Éditions H&K Soit n N . Définissons fn (t) = t e -nt et In = Z + fn (t) dt 0 Notons que pour tout t ] 0 ; + [, fn (t) > 0. Afin de vérifier les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme, on va calculer la valeur de In grâce à une intégration par parties. Pour cela : · la fonction t 7 t est de classe C 1 sur R+ , de dérivée t 7 1 ; · la fonction t 7 e -nt est la dérivée de t 7 -e -nt /n, aussi de classe C 1 sur R+ . -nt + Z + Z e 1 + -nt t + e dt Ainsi, In = te -nt dt = - n n 0 0 0 -nt + 1 e = 0+ - n n 0 1 In = 2 n Vérifions les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme : · la fonction fn est continue sur ] 0 ; + [ ; + P · la fonction t 7 fn (t) = f (t) est continue sur ] 0 ; + [ ; n=1 · D'après l'énoncé, la série suivante converge : X Z + X Z + X X 1 |fn (t)| dt = fn (t) dt = In = n2 0 0 n>1 n>1 On conclut alors que Z + Z f (t) dt = 0 puis que 0 + + X fn (t) dt = 0 + Z X + fn (t) dt = n=1 0 n=1 Z n>1 + n>1 + X In = n=1 2 6 t 2 dt = et - 1 6 Exercice 2 n 2 Comme pn = P(X = n), il vient que |pn | 6 1 et si t ] -1 ; 1 [ alors |pn tn | 6 |t| qui est le terme général d'une série géométrique convergente car |t| < 1. Ainsi GX (t) converge absolument pour t ] -1 ; 1 [ donc elle converge pour t ] -1 ; 1 [. L'intervalle ] -1 ; 1 [ est inclus dans l'ensemble de définition de GX . Soient X1 et X2 définies dans l'énoncé. Commençons par montrer l'affirmation demandée de manière directe. Soit t ] -1 ; 1 [, on définit ft (x) = tx . Comme X1 et X2 sont indépendantes, ft (X1 ) et ft (X2 ) le sont également. On obtient alors en utilisant la notation de l'énoncé S = X1 + X2 que GS (t) = E(tX1 +X2 ) = E(ft (X1 )ft (X2 )) = E(ft (X1 ))E(ft (X2 )) = GX1 (t)GX2 (t)