CCP Maths 1 MP 2019

SESSION 2019 C MPMA102

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Lundi 29 avril: 14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

1/4
+00
l 7
On admet que > --- ------ et on pose, pour f EUR 10, +co[ , f() =
n

Q1.

EXERCICE I

2 _
te !

6 let.

n=|

Justifier que la fonction f est intégrable sur 10, +o0| puis, à l'aide d'un 
théorème d'intégration

+00
terme à terme, calculer l'intégrale | df.
o e-1
EXERCICE II

Si X est une variable aléatoire à valeurs dans N de loi de probabilité donnée 
par : VneN,

+ 00

P, = P(X = n), la fonction génératrice de X est G,(1) = E(t* ) = > Pit".

Q2.

Q3.

n=0

Démontrer que l'intervalle |-1,1[ est inclus dans l'ensemble de définition de 
la fonction G; .

Soient X, et X, deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N.
On pose S = X,+%,, démontrer que pour tout fe |-L I[ , Gs(f) = CYy, ().Gy, ({) 
par deux
méthodes : l'une utilisant le produit de Cauchy de deux séries entières et 
l'autre utilisant

uniquement la définition : G,(f) = E(t*).

On généralise ce résultat, que l'on pourra utiliser dans la question suivante, 
à n variables
aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans N (on ne demande pas de 
preuve de
cette récurrence).

Un sac contient quatre boules : une boule numérotée 0, deux boules numérotées 1 
et une boule
numérotée 2.
On effectue n tirages d'une boule avec remise et on note S, la somme des 
numéros tirés.

Déterminer pour tout £e [-I,1|, Gs,, (#) et en déduire la loi de S,.

2/4
PROBLÈME

Introduction

n

X «

nr où (a,),>, est une
-- X

Dans ce sujet une série de fonctions Z,, est une série de fonctions Ù a,

n>]

suite de réels telle que la série entière > ax soit de rayon 1.

n>l

Partie I - Propriétés

Soit une série de fonctions Z,, : Ù a

n>1]

ñ |
1-- x"

Q4. Sixe |-1,1|, donner un équivalent de 1--- x" pour n au voisinage de +.
q P £

n

X
---- converge absolument.

"1x

Démontrer que pour tout xe Ï-L I[ , la série >. a

n2>1
Remarque : la série Z, peut parfois converger en dehors de l'intervalle |-L|. 
Donner un

exemple de suite (a,),-, telle que la série Z,, converge en au moins un x, 
n'appartenant pas

à l'intervalle |-L I[

n

n converge uniformément sur tout segment

Q5. Démontrer que la série de fonctions > a
l-- x

n>]

[--b, b| inclus dans l'intervalle |-L|.

x"

+ 00
Q6. On pose, pour tout x EUR Ï-LII , f(x) = >. a,
I

n
n=] À
Justifier que la fonction f est continue sur l'intervalle Ï-Lil et démontrer 
ensuite que la

fonction j est de classe C! sur l'intervalle |-Ll , Donner la valeur de f"(0).

Q7. Expression sous forme de série entière
On note A=N°xN..
Lorsque (u, , )(n, pye4 St une famille sommable de réels, justifier que

Y Su, Y > Ux.p |» OÙ 1, ={(k,p)EUR À,kp=n).
n=1 \ p=l n=1 | (k,p}el,

Démontrer que pour tout x e |-L,1[, la famille (a, x" Yen. pyza St Sommable.

+00 n 00
En déduire que pour tout x e |-1,1|, > a, > b,x" où b, = > a
=]

n =
l--x n d\n

n=1

(d | n Signifiant d divise n).

3/4
Partie II - Exemples

Q8.

Q9.

Q10.

Q11.

Q12.

Dans cette question, pour 721, a, =1 et on note d, le nombre de diviseurs de n. 
Exprimer,

x"
1x"

comme la somme d'une série entière.

+ 00
pour tout xe Ï-LII , f(x) = >. a,

n=1

Dans cette question, pour n 21, a, =@(n) où on) est le nombre d'entiers 
naturels premiers

avec ñ et inférieurs à n.

Justifier que la série entière Ù a,x" est de rayon 1.

n>]

On admet que pour n 21, n = >. p(d). Vérifier ce résultat pour nr =12.
din

x"

+00
Pour x e Ï-LII , eXprimer > p(n)

n=|

ue sous la forme d'un quotient de deux polynômes.
-- X

En utilisant le théorème de la double limite, établir à l'aide du développement 
en série entière

D"

n

+ 00
de la fonction x + In(1+ x) sur l'intervalle Ï-Lil , la valeur de la somme >.

n=]l

Dans cette question et la suivante, pour n2>1, a,=(-1)" et pour tout xe |-LIf,

x"

En utilisant le théorème de la double limite, calculer lim 1) et donner un 
équivalent de

Xx--0 X
f(x) au voisinage de 0. Retrouver le dernier résultat de la question Q6.

-- ]n 2

l-- I
On pourra remarquer que pour x e 0, I] , _ 5
1x"  l+x+x

Démontrer qu'au voisinage de 1, f(x) --

+ +x7l

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE --- 191144 - D'après documents fournis

© Éditions H&K

CCINP Maths 1 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Angèle Niclas (ENS Lyon) ; il a été relu par Thierry
Limoges (professeur en CPGE) et Benoit Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet d'analyse est composé de deux exercices indépendants et d'un problème
rédigé en deux parties. Dans ce problème, on s'intéresse à l'étude d'une suite 
particulière de fonctions, définie en utilisant des séries entières. La 
première partie reste
entièrement théorique tandis que la deuxième offre des applications concrètes.
· Le premier exercice s'intéresse à une application du théorème d'intégration
terme à terme pour calculer la valeur d'une intégrale généralisée. Il demande
dans un premier temps de vérifier que cette intégrale généralisée existe, puis 
de
justifier très rigoureusement l'interversion série/intégrale nécessaire au 
calcul.
· Le deuxième exercice, consacré aux probabilités, porte sur une application des
fonctions génératrices. La première question demande de démontrer un résultat
très classique sur le comportement de la fonction génératrice d'une somme de
variables aléatoires. Dans la deuxième question, on applique ce résultat pour
montrer comment il est possible de retrouver la loi d'une variable aléatoire en
calculant sa fonction génératrice.
· La première partie du problème est très théorique et sert à démontrer des 
résultats utilisés dans la seconde partie. Elle demande une bonne maîtrise des
différentes notions de convergence des séries (simple, uniforme et normale) et
des connaissances sur les séries entières. On utilisera également à la fin le 
théorème de sommation par parties.
· Dans la deuxième partie du problème, on s'attaque à des applications de la
première partie. La difficulté est croissante, en commençant par une application
basique. On utilise ensuite le théorème de la double limite et le critère 
spécial
des séries alternées pour obtenir des équivalents de fonctions et la valeur 
d'une
série numérique.
Le sujet est plutôt court, avec uniquement 12 questions, et demande donc un soin
particulier dans la rédaction et dans les arguments avancés pour justifier les 
résultats. Beaucoup de démarches sont réutilisées plusieurs fois, mais 
demandent souvent
des justifications pointues. Les connaissances nécessaires sont concentrées 
presque
uniquement sur le programme de deuxième année, et balayent une grande partie des
méthodes apprises en lien avec l'analyse. Le premier exercice donne l'occasion 
de bien
travailler les intégrales généralisées et l'interversion intégrale/série. Le 
problème est
une excellente révision des chapitres sur les séries et suites de fonctions.

© Éditions H&K

Indications
Exercice I
1 Chercher un équivalent de f en 0 puis une comparaison au voisinage de +.
Exprimer ensuite f sous la forme d'une série en se servant du développement en
série entière de x 7 1/(1 - x).
Exercice II
2 Utiliser le fait que si deux variables aléatoires X1 et X2 sont indépendantes 
alors
pour toute fonction f , f (X1 ) et f (X2 ) sont aussi indépendantes.
3 Utiliser la question 2 en remarquant que les tirages successifs Xk sont 
indépendants et de même loi.
Problème
4 Utiliser le fait que an xn est de rayon de convergence 1. Pour la convergence 
hors
de l'intervalle, on pourra chercher une série an telle que La converge en x0 = 
2.
P

5 Prouver la convergence normale de la série plutôt que sa convergence uniforme.
6 Utiliser le résultat de la question 5, puis le théorème de dérivation d'une 
suite de
fonctions. Pour établir la convergence uniforme des fn  , on pourra s'inspirer 
de la
démarche de la question 5.
7 Utiliser le théorème de sommation par paquets puis un raisonnement analogue à
celui de la question 5 pour la sommabilité des (an xnp )(n,p)A .
8 Utiliser le résultat de la question 7.
P
9 Remarquer que 1 6 an 6 n pour trouver le rayon
an xn .
P den convergence de
Pour la dernière partie de la question, exprimer
nx comme la dérivée d'une
série entière connue.
10 Utiliser le critère spécial des séries alternées pour montrer la convergence 
uniforme
de la série.
11 Reprendre le raisonnement de la question 5 pour montrer la convergence 
uniforme
de f (x)/x.
12 Utiliser le critère spécial des séries alternées pour montrer la convergence 
uniforme
de la série. Pour obtenir une majoration uniforme, on pourra remarquer que
k  [[ 0 ; n - 1 ]] xk > xn

© Éditions H&K

Exercice I
1 Soit t  ] 0 ; + [, alors e -t < 1 et le dénominateur de f ne s'annule pas. La fonction t 7 1/(1 - e -t ) est donc continue sur ] 0 ; + [ et par produit de fonctions continues, f est également continue sur ] 0 ; + [. Elle est ainsi intégrable sur tout segment contenu dans ] 0 ; + [. Identifions le comportement de f aux bornes de l'intervalle. · Comportement en 0+ : le développement limité de t 7 e -t en 0+ est e -t  + 1 - t t0 1 - e -t  t d'où t e -t  t et t0+ t0+ Par division des deux équivalents, on obtient immédiatement que d'où f (t)  + 1 t0 f (t) ---- 1 + t0 La fonction f peut être prolongée par continuité en 0+ et en particulier elle est intégrable sur tout segment ] 0 ; A [ où A  R. · Comportement en + : comme 1 - e -t ---- 1, on sait que t+ f (t) = t e -t 1 - e -t t+ t e -t Or par croissance comparée, te -t = o t+ 1 t2 Puisque la fonction t 7 1/t2 est intégrable sur ] 1 ; + [, par comparaison entre intégrales, f est également intégrable en +. Ainsi, La fonction f est intégrable sur ] 0 ; + [. On remarque ensuite que t  ] 0 ; + [ f (t) = t e -t t = t 1 - e -t e -1 On cherche donc à calculer l'intégrale de f , qui est bien définie car f est intégrable sur ] 0 ; + [. L'énoncé recommande d'utiliser un théorème d'intégration terme à terme ce qui pousse à écrire f sous la forme d'une série. Utilisons le développement usuel en série entière + P n 1 = x 1 - x n=0 x  ] -1 ; 1 [ Comme 0 < e -t < 1 si t  ] 0 ; + [, on en déduit t  ] 0 ; + [ f (t) = t e -t + P (e -t )n = n=0 + P t e -(n+1)t = n=0 + P n=1 t e -nt © Éditions H&K Soit n  N . Définissons fn (t) = t e -nt et In = Z + fn (t) dt 0 Notons que pour tout t  ] 0 ; + [, fn (t) > 0. Afin de vérifier les hypothèses 
du
théorème d'intégration terme à terme, on va calculer la valeur de In grâce à une
intégration par parties. Pour cela :
· la fonction t 7 t est de classe C 1 sur R+ , de dérivée t 7 1 ;
· la fonction t 7 e -nt est la dérivée de t 7 -e -nt /n, aussi de classe C 1 
sur R+ .
 -nt +
Z +
Z
e
1 + -nt
t
+
e
dt
Ainsi,
In =
te -nt dt = -
n
n 0
0
0
 -nt +
1
e
= 0+
-
n
n 0
1
In = 2
n
Vérifions les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme :
· la fonction fn est continue sur ] 0 ; + [ ;
+
P
· la fonction t 7
fn (t) = f (t) est continue sur ] 0 ; + [ ;
n=1

· D'après l'énoncé, la série suivante converge :
X Z +
X Z +
X
X 1
|fn (t)| dt =
fn (t) dt =
In =
n2
0
0
n>1

n>1

On conclut alors que
Z +
Z
f (t) dt =
0

puis que

0

+
+ X

fn (t) dt =

0

+ Z
X

+

fn (t) dt =

n=1 0

n=1

Z

n>1

+

n>1

+
X

In =

n=1

2
6

t
2
dt
=
et - 1
6

Exercice 2
n

2 Comme pn = P(X = n), il vient que |pn | 6 1 et si t  ] -1 ; 1 [ alors |pn tn 
| 6 |t|
qui est le terme général d'une série géométrique convergente car |t| < 1. Ainsi GX (t) converge absolument pour t  ] -1 ; 1 [ donc elle converge pour t  ] -1 ; 1 [. L'intervalle ] -1 ; 1 [ est inclus dans l'ensemble de définition de GX . Soient X1 et X2 définies dans l'énoncé. Commençons par montrer l'affirmation demandée de manière directe. Soit t  ] -1 ; 1 [, on définit ft (x) = tx . Comme X1 et X2 sont indépendantes, ft (X1 ) et ft (X2 ) le sont également. On obtient alors en utilisant la notation de l'énoncé S = X1 + X2 que GS (t) = E(tX1 +X2 ) = E(ft (X1 )ft (X2 )) = E(ft (X1 ))E(ft (X2 )) = GX1 (t)GX2 (t)