CCP Maths 1 MP 2019

CCINP Maths 1 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Angèle Niclas (ENS Lyon) ; il a été relu par Thierry
Limoges (professeur en CPGE) et Benoit Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet d'analyse est composé de deux exercices indépendants et d'un problème
rédigé en deux parties. Dans ce problème, on s'intéresse à l'étude d'une suite 
particulière de fonctions, définie en utilisant des séries entières. La 
première partie reste
entièrement théorique tandis que la deuxième offre des applications concrètes.
· Le premier exercice s'intéresse à une application du théorème d'intégration
terme à terme pour calculer la valeur d'une intégrale généralisée. Il demande
dans un premier temps de vérifier que cette intégrale généralisée existe, puis 
de
justifier très rigoureusement l'interversion série/intégrale nécessaire au 
calcul.
· Le deuxième exercice, consacré aux probabilités, porte sur une application des
fonctions génératrices. La première question demande de démontrer un résultat
très classique sur le comportement de la fonction génératrice d'une somme de
variables aléatoires. Dans la deuxième question, on applique ce résultat pour
montrer comment il est possible de retrouver la loi d'une variable aléatoire en
calculant sa fonction génératrice.
· La première partie du problème est très théorique et sert à démontrer des 
résultats utilisés dans la seconde partie. Elle demande une bonne maîtrise des
différentes notions de convergence des séries (simple, uniforme et normale) et
des connaissances sur les séries entières. On utilisera également à la fin le 
théorème de sommation par parties.
· Dans la deuxième partie du problème, on s'attaque à des applications de la
première partie. La difficulté est croissante, en commençant par une application
basique. On utilise ensuite le théorème de la double limite et le critère 
spécial
des séries alternées pour obtenir des équivalents de fonctions et la valeur 
d'une
série numérique.
Le sujet est plutôt court, avec uniquement 12 questions, et demande donc un soin
particulier dans la rédaction et dans les arguments avancés pour justifier les 
résultats. Beaucoup de démarches sont réutilisées plusieurs fois, mais 
demandent souvent
des justifications pointues. Les connaissances nécessaires sont concentrées 
presque
uniquement sur le programme de deuxième année, et balayent une grande partie des
méthodes apprises en lien avec l'analyse. Le premier exercice donne l'occasion 
de bien
travailler les intégrales généralisées et l'interversion intégrale/série. Le 
problème est
une excellente révision des chapitres sur les séries et suites de fonctions.

Indications
Exercice I
1 Chercher un équivalent de f en 0 puis une comparaison au voisinage de +.
Exprimer ensuite f sous la forme d'une série en se servant du développement en
série entière de x 7 1/(1 - x).
Exercice II
2 Utiliser le fait que si deux variables aléatoires X1 et X2 sont indépendantes 
alors
pour toute fonction f , f (X1 ) et f (X2 ) sont aussi indépendantes.
3 Utiliser la question 2 en remarquant que les tirages successifs Xk sont 
indépendants et de même loi.
Problème
4 Utiliser le fait que an xn est de rayon de convergence 1. Pour la convergence 
hors
de l'intervalle, on pourra chercher une série an telle que La converge en x0 = 
2.
P

5 Prouver la convergence normale de la série plutôt que sa convergence uniforme.
6 Utiliser le résultat de la question 5, puis le théorème de dérivation d'une 
suite de
fonctions. Pour établir la convergence uniforme des fn  , on pourra s'inspirer 
de la
démarche de la question 5.
7 Utiliser le théorème de sommation par paquets puis un raisonnement analogue à
celui de la question 5 pour la sommabilité des (an xnp )(n,p)A .
8 Utiliser le résultat de la question 7.
P
9 Remarquer que 1 6 an 6 n pour trouver le rayon
an xn .
P den convergence de
Pour la dernière partie de la question, exprimer
nx comme la dérivée d'une
série entière connue.
10 Utiliser le critère spécial des séries alternées pour montrer la convergence 
uniforme
de la série.
11 Reprendre le raisonnement de la question 5 pour montrer la convergence 
uniforme
de f (x)/x.
12 Utiliser le critère spécial des séries alternées pour montrer la convergence 
uniforme
de la série. Pour obtenir une majoration uniforme, on pourra remarquer que
k  [[ 0 ; n - 1 ]] xk > xn

Exercice I
1 Soit t  ] 0 ; + [, alors e -t < 1 et le dénominateur de f ne s'annule pas. La
fonction t 7 1/(1 - e -t ) est donc continue sur ] 0 ; + [ et par produit de 
fonctions
continues, f est également continue sur ] 0 ; + [. Elle est ainsi intégrable 
sur tout
segment contenu dans ] 0 ; + [. Identifions le comportement de f aux bornes de
l'intervalle.
· Comportement en 0+ : le développement limité de t 7 e -t en 0+ est
e -t  + 1 - t
t0

1 - e -t  t

d'où

t e -t  t

et

t0+

t0+

Par division des deux équivalents, on obtient immédiatement que
d'où

f (t)  + 1
t0

f (t) ----
1
+
t0

La fonction f peut être prolongée par continuité en 0+ et en particulier elle 
est
intégrable sur tout segment ] 0 ; A [ où A  R.
· Comportement en + : comme 1 - e -t ---- 1, on sait que
t+

f (t) =

t e -t
1 - e -t

t+

t e -t

Or par croissance comparée,
te

-t

=

o

t+

1
t2

Puisque la fonction t 7 1/t2 est intégrable sur ] 1 ; + [, par comparaison entre
intégrales, f est également intégrable en +.
Ainsi,

La fonction f est intégrable sur ] 0 ; + [.

On remarque ensuite que
t  ] 0 ; + [

f (t) =

t e -t
t
= t
1 - e -t
e -1

On cherche donc à calculer l'intégrale de f , qui est bien définie car f est 
intégrable sur ] 0 ; + [. L'énoncé recommande d'utiliser un théorème 
d'intégration terme
à terme ce qui pousse à écrire f sous la forme d'une série. Utilisons le 
développement
usuel en série entière
+
P n
1
=
x
1 - x n=0

x  ] -1 ; 1 [

Comme 0 < e -t < 1 si t  ] 0 ; + [, on en déduit
t  ] 0 ; + [

f (t) = t e -t

+
P

(e -t )n =

n=0

+
P

t e -(n+1)t =

n=0

+
P

n=1

t e -nt

Soit n  N . Définissons
fn (t) = t e

-nt

et

In =

Z

+

fn (t) dt

0

Notons que pour tout t  ] 0 ; + [, fn (t) > 0. Afin de vérifier les hypothèses 
du
théorème d'intégration terme à terme, on va calculer la valeur de In grâce à une
intégration par parties. Pour cela :
· la fonction t 7 t est de classe C 1 sur R+ , de dérivée t 7 1 ;
· la fonction t 7 e -nt est la dérivée de t 7 -e -nt /n, aussi de classe C 1 
sur R+ .
 -nt +
Z +
Z
e
1 + -nt
t
+
e
dt
Ainsi,
In =
te -nt dt = -
n
n 0
0
0
 -nt +
1
e
= 0+
-
n
n 0
1
In = 2
n
Vérifions les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme :
· la fonction fn est continue sur ] 0 ; + [ ;
+
P
· la fonction t 7
fn (t) = f (t) est continue sur ] 0 ; + [ ;
n=1

· D'après l'énoncé, la série suivante converge :
X Z +
X Z +
X
X 1
|fn (t)| dt =
fn (t) dt =
In =
n2
0
0
n>1

n>1

On conclut alors que
Z +
Z
f (t) dt =
0

puis que

0

+
+ X

fn (t) dt =

0

+ Z
X

+

fn (t) dt =

n=1 0

n=1

Z

n>1

+

n>1

+
X

In =

n=1

2
6

t
2
dt
=
et - 1
6

Exercice 2
n

2 Comme pn = P(X = n), il vient que |pn | 6 1 et si t  ] -1 ; 1 [ alors |pn tn 
| 6 |t|
qui est le terme général d'une série géométrique convergente car |t| < 1. Ainsi 
GX (t)
converge absolument pour t  ] -1 ; 1 [ donc elle converge pour t  ] -1 ; 1 [.
L'intervalle ] -1 ; 1 [ est inclus dans l'ensemble de définition de GX .
Soient X1 et X2 définies dans l'énoncé. Commençons par montrer l'affirmation
demandée de manière directe. Soit t  ] -1 ; 1 [, on définit ft (x) = tx . Comme 
X1
et X2 sont indépendantes, ft (X1 ) et ft (X2 ) le sont également. On obtient 
alors en
utilisant la notation de l'énoncé S = X1 + X2 que
GS (t) = E(tX1 +X2 ) = E(ft (X1 )ft (X2 )) = E(ft (X1 ))E(ft (X2 )) = GX1 
(t)GX2 (t)