SESSION 2019 C MPMA102
CONCOURS
COMMUN
INP
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
MATHÉMATIQUES 1
Lundi 29 avril: 14h-18h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.
1/4
+00
l 7
On admet que > --- ------ et on pose, pour f EUR 10, +co[ , f() =
n
Q1.
EXERCICE I
2 _
te !
6 let.
n=|
Justifier que la fonction f est intégrable sur 10, +o0| puis, à l'aide d'un
théorème d'intégration
+00
terme à terme, calculer l'intégrale | df.
o e-1
EXERCICE II
Si X est une variable aléatoire à valeurs dans N de loi de probabilité donnée
par : VneN,
+ 00
P, = P(X = n), la fonction génératrice de X est G,(1) = E(t* ) = > Pit".
Q2.
Q3.
n=0
Démontrer que l'intervalle |-1,1[ est inclus dans l'ensemble de définition de
la fonction G; .
Soient X, et X, deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N.
On pose S = X,+%,, démontrer que pour tout fe |-L I[ , Gs(f) = CYy, ().Gy, ({)
par deux
méthodes : l'une utilisant le produit de Cauchy de deux séries entières et
l'autre utilisant
uniquement la définition : G,(f) = E(t*).
On généralise ce résultat, que l'on pourra utiliser dans la question suivante,
à n variables
aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans N (on ne demande pas de
preuve de
cette récurrence).
Un sac contient quatre boules : une boule numérotée 0, deux boules numérotées 1
et une boule
numérotée 2.
On effectue n tirages d'une boule avec remise et on note S, la somme des
numéros tirés.
Déterminer pour tout £e [-I,1|, Gs,, (#) et en déduire la loi de S,.
2/4
PROBLÈME
Introduction
n
X «
nr où (a,),>, est une
-- X
Dans ce sujet une série de fonctions Z,, est une série de fonctions Ù a,
n>]
suite de réels telle que la série entière > ax soit de rayon 1.
n>l
Partie I - Propriétés
Soit une série de fonctions Z,, : Ù a
n>1]
ñ |
1-- x"
Q4. Sixe |-1,1|, donner un équivalent de 1--- x" pour n au voisinage de +.
q P £
n
X
---- converge absolument.
"1x
Démontrer que pour tout xe Ï-L I[ , la série >. a
n2>1
Remarque : la série Z, peut parfois converger en dehors de l'intervalle |-L|.
Donner un
exemple de suite (a,),-, telle que la série Z,, converge en au moins un x,
n'appartenant pas
à l'intervalle |-L I[
n
n converge uniformément sur tout segment
Q5. Démontrer que la série de fonctions > a
l-- x
n>]
[--b, b| inclus dans l'intervalle |-L|.
x"
+ 00
Q6. On pose, pour tout x EUR Ï-LII , f(x) = >. a,
I
n
n=] À
Justifier que la fonction f est continue sur l'intervalle Ï-Lil et démontrer
ensuite que la
fonction j est de classe C! sur l'intervalle |-Ll , Donner la valeur de f"(0).
Q7. Expression sous forme de série entière
On note A=N°xN..
Lorsque (u, , )(n, pye4 St une famille sommable de réels, justifier que
Y Su, Y > Ux.p |» OÙ 1, ={(k,p)EUR À,kp=n).
n=1 \ p=l n=1 | (k,p}el,
Démontrer que pour tout x e |-L,1[, la famille (a, x" Yen. pyza St Sommable.
+00 n 00
En déduire que pour tout x e |-1,1|, > a, > b,x" où b, = > a
=]
n =
l--x n d\n
n=1
(d | n Signifiant d divise n).
3/4
Partie II - Exemples
Q8.
Q9.
Q10.
Q11.
Q12.
Dans cette question, pour 721, a, =1 et on note d, le nombre de diviseurs de n.
Exprimer,
x"
1x"
comme la somme d'une série entière.
+ 00
pour tout xe Ï-LII , f(x) = >. a,
n=1
Dans cette question, pour n 21, a, =@(n) où on) est le nombre d'entiers
naturels premiers
avec ñ et inférieurs à n.
Justifier que la série entière Ù a,x" est de rayon 1.
n>]
On admet que pour n 21, n = >. p(d). Vérifier ce résultat pour nr =12.
din
x"
+00
Pour x e Ï-LII , eXprimer > p(n)
n=|
ue sous la forme d'un quotient de deux polynômes.
-- X
En utilisant le théorème de la double limite, établir à l'aide du développement
en série entière
D"
n
+ 00
de la fonction x + In(1+ x) sur l'intervalle Ï-Lil , la valeur de la somme >.
n=]l
Dans cette question et la suivante, pour n2>1, a,=(-1)" et pour tout xe |-LIf,
x"
En utilisant le théorème de la double limite, calculer lim 1) et donner un
équivalent de
Xx--0 X
f(x) au voisinage de 0. Retrouver le dernier résultat de la question Q6.
-- ]n 2
l-- I
On pourra remarquer que pour x e 0, I] , _ 5
1x" l+x+x
Démontrer qu'au voisinage de 1, f(x) --
+ +x7l
FIN
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IMPRIMERIE NATIONALE --- 191144 - D'après documents fournis
