CCP Maths 1 MP 2018

Thème de l'épreuve Estimations numériques d'intégrales
Principaux outils utilisés polynômes, intégrales de fonctions continues sur un segment, produits scalaires
Mots clefs polynôme interpolateur de Lagrange, polynômes orthogonaux, méthode de quadrature, intégrale de Gauss, factorielle, phénomène de Runge, polynôme de Legendre, méthode des trapèzes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2018

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MPMA102

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"

MATHÉMATIQUES 1
Lundi 30 avril : 14 h - 18 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
!"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+
/'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+
a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont interdites
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Le sujet est composé d'un problème avec quatre parties.
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1/7

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ESTIMATIONS NUMÉRIQUES D'INTÉGRALES
Objectifs
Le fil conducteur de ce sujet est le calcul approché d'intégrales.
La partie I est indépendante des autres parties. À travers l'exemple de 
l'intégrale de Gauss, on utilise
des suites de fonctions et on « permute limite et intégrale ».
Les parties II et III peuvent être traitées de manière indépendante. La partie 
IV utilise des résultats
des parties II et III.
Les parties II, III et IV traitent de l'utilisation des polynômes 
interpolateurs pour le calcul approché
d'intégrales : on présente le principe des méthodes de quadrature, dites de 
Newton-Cotes, ainsi qu'un
raffinement avec la méthode de quadrature de Gauss.
Le sujet comporte aussi quelques questions notées Informatique portant sur le 
programme «informatique pour tous». Les algorithmes demandés doivent être 
écrits en langage Python.
Notations
-- Si f est une fonction réelle bornée sur [a, b] avec a < b, on pose :
 f  = sup | f (x)|.
x[a,b]

-- On note Rn [X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré 
inférieur ou égal à n.
On pourra confondre les expressions « polynômes » et « fonctions polynomiales ».

Partie I - « Permutation limite-intégrale » et intégrale de Gauss
On considère l'intégrale de Gauss :
I=

1

2

e-x dx.

0

I.1 - Utilisation d'une série entière
Q1. Démontrer à l'aide d'une série entière que :
I=

+

n=0

On pose pour n  N :
sn =

n

k=0

(-1)n
.
(2n + 1)n!

(-1)k
.
(2k + 1)k!

2/7

Q2. Justifier que pour tout n  N, on a :
|I - sn | 

1
.
(2n + 3)(n + 1)!

Q3. Informatique : écrire une fonction récursive factorielle qui prend en 
argument un entier
naturel n et renvoie l'entier n!.
Q4. Informatique : en déduire un script, qui détermine un entier N, tel que |I 
- sN |  10-6 .
I.2 - Utilisation d'une autre suite de fonctions
Pour tout n  N , on définit sur [0, +[ la fonction fn par :
n

x2
fn (x) = 1 -
.
n
Q5. Déterminer, en détaillant, la limite simple de la suite de fonctions ( fn 
)nN .
2

Q6. Soit n  N . Démontrer que x  [0, 1], | fn (x)|  e-x .
En déduire que :
n  

n (-1)k
I = lim
.
n+
k nk (2k + 1)
k=0

Partie II - Notion de polynôme interpolateur
Soit f : [a, b]  R une fonction continue. On se donne n + 1 points x0 , x1 , . 
. . , xn dans [a, b], deux à
deux distincts.
On appelle polynôme interpolateur de f aux points xi , un polynôme P  Rn [X] 
qui coïncide avec f
aux points xi , c'est-à-dire tel que pour tout i  0, n, P(xi ) = f (xi ).
II.1 - Existence du polynôme interpolateur
Pour tout entier i de 0, n, on définit le polynôme li de Rn [X] par :
n

X - xk
.
li (X) =
x - xk
k=0 i
ki

On pose :
Ln ( f ) =

n

f (xi )li (X).

i=0

Q7. Démontrer que Ln ( f ) est un polynôme interpolateur de f aux points xi , 
puis démontrer l'unicité
d'un tel polynôme.
Un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur de Lagrange.

3/7

II.2 - Calcul effectif du polynôme interpolateur de Lagrange
Q8. Informatique : si y0 , . . . , yn sont des réels, le polynôme P =

n

yi li (X) est l'unique polynôme

i=0

de Rn [X] vérifiant P(xi ) = yi pour tout i. Écrire en langage Python une 
fonction lagrange
qui prend en arguments x une liste de points d'interpolations xi , y une liste 
d'ordonnées yi de
même longueur que x, a un réel, et qui renvoie la valeur de P en a.
Par exemple, si x = [-1, 0, 1] et y = [4, 0, 4], on montre que P = 4X 2 et donc
P(3) = 36. Ainsi, lagrange(x, y, 3) renverra 36.
Q9. Informatique : chercher le polynôme interpolateur P = a0 + a1 X + · · · + 
an X n de f aux points
xi revient aussi à résoudre le système linéaire suivant d'inconnues a0 , . . . 
, an :

P(x0 ) = f (x0 )
a0   f (x0 )

 ..
 V  ...  =  ... 

.

 P(x ) = f (x )
an
f (xn )
n
n
où V est une matrice carrée de taille n + 1.
Déterminer la matrice V et indiquer la complexité du calcul en fonction de n, 
lorsque l'on
résout ce système linéaire par la méthode du pivot de Gauss.
II.3 - Expression de l'erreur d'interpolation
On suppose, en plus dans cette partie, que f est de classe C n+1 sur [a, b]. On 
rappelle que Ln ( f ) est
son unique polynôme interpolateur aux points xi .
On note  = {x0 , . . . , xn } l'ensemble des points d'interpolations et  le 
polynôme de Rn+1 [X] défini
par :
n

 =
(X - xi ).
i=0

On veut démontrer pour tout réel x  [a, b], la propriété suivante notée P x :
c x ]a, b[,

f (x) - Ln ( f )(x) =

f (n+1) (c x )
 (x).
(n + 1)!

Q10. Résultat préliminaire : soit p  N . Démontrer que si  : [a, b]  R est une 
fonction p-fois
dérivable qui s'annule p + 1 fois, alors il existe c ]a, b[ tel que (p) (c) = 0.
Q11. Justifier que pour tout x  , la propriété P x est vraie.
On fixe x un réel de [a, b] qui n'est pas dans . Soit  un réel. On définit sur 
[a, b] une application F
par :
F(t) = f (t) - Ln ( f )(t) -  (t).
Q12. Déterminer un réel  de sorte que F(x) = 0. On choisira alors  de cette 
façon.
Q13. Démontrer que F s'annule n + 2 fois et en déduire que P x est vraie.

4/7

Q14. Justifier que la fonction f (n+1) est bornée sur [a, b] et en déduire un 
réel positif K indépendant
de n tel que :
K n+1  (n+1) 
f
 .
 f - Ln ( f ) 
(n + 1)!

Q15. En déduire que si f est la fonction sinus, la suite (Ln ( f ))nN converge 
uniformément vers f sur
[0, 2].
1
Q16. On définit f sur [-1, 1] par f (x) =
. Démontrer à l'aide d'une série entière que :
1 + x2

k  N,  f (2k)   (2k)!.

Cette dernière inégalité montre que la quantité  f (n+1)  peut être grande et 
cela peut empêcher parfois
la convergence de la suite de polynômes interpolateurs. Ceci est appelé le 
phénomène de Runge.

Partie III - Famille de polynômes orthogonaux
On munit R[X] l'espace des polynômes à coefficients réels du produit scalaire 
·, · défini par :
pour tout polynôme P et Q de R[X] :
P, Q =

1

P(t)Q(t) dt.

-1

On applique le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base canonique 
(1, X, X 2 , . . .) de
R[X]. On obtient donc une famille orthonormée de polynômes (P0 , P1 , P2 , . . 
.) vérifiant :
k  N,

Vect {1, X, . . . , X k } = Vect {P0 , P1 , . . . , Pk }.

Le polynôme Pn s'appelle le polynôme de Legendre d'indice n.
Q17. Calculer P0 et P1 .
Q18. Justifier que pour n  1, le polynôme Pn est orthogonal à Rn-1 [X]. 
Démontrer que le polynôme
Pn est de degré n.
On prend n  1. On veut démontrer que Pn admet n racines simples dans [-1, 1].
 1
Pn (t) dt = 0 et en déduire que Pn admet au moins une racine dans [-1, 1].
Q19. Justifier que
-1

Supposons par l'absurde que Pn admet strictement moins de n racines simples. Si 
Pn admet des racines
t1 , . . . , t p de multiplicité impaire avec p < n, on pose Q = (X - t1 ) . . 
. (X - t p ) ; sinon, on pose Q = 1.
On considère enfin le polynôme H = QPn .
 1
Q20. Justifier que
H(t) dt = 0, puis conclure (on pourra remarquer que H est de signe constant
sur [-1, 1]).

-1

5/7

Partie IV - Méthodes de quadrature
Dans cette partie, nous
 allons voir comment les polynômes interpolateurs de Lagrange peuvent être
b

f (x) dx pour f : [a, b]  R une fonction continue.

utilisés pour estimer

a

Pour cela, on choisit d'abord une subdivision a = x0 < x1 < ... < xN = b de 
l'intervalle [a, b]. À
cause du phénomène de Runge, si N est grand, le polynôme
interpolateur

 de f aux points xi n'est pas
b

forcément une bonne approximation de f . Approximer

b

f (x) dx par

LN ( f )(x) dx n'est donc pas

a

forcément pertinent...

a

Nous allons en fait approximer f par un polynôme d'interpolation sur chaque 
petit intervalle [xk , xk+1 ].
D'après la relation de Chasles, on a :

Q21. Justifier que :
 xk+1
xk

b

f (x) dx =
a

k=0

xk+1 - xk
f (x) dx =
2

On est donc ramené à estimer

N-1 

xk+1

f (x) dx.
xk

1

xk+1 - xk 
.
g(t) dt avec g(t) = f xk + (t + 1)
2
-1

1

g(t) dt où g : [-1, 1]  R est une fonction continue.

-1

On se donne n + 1 points t0 , t1 , . . . , tn dans [-1, 1], deux à deux 
distincts.
n

g(ti )li (X) est le polynôme interpolateur de g aux points ti et on pose :
On rappelle que Ln (g) =
i=0

J(g) =

1

Ln (g)(t) dt =

-1

Lorsqu'on approxime

n

i g(ti ) avec i =

1

li (t) dt.

-1

i=0

1

g(t) dt par J(g), c'est-à-dire :

-1

1

-1

g(t) dt 

n

i g(ti ),

i=0

on dit que J est une méthode de quadrature associée aux points t0 , . . . , tn 
et aux poids 0 , . . . , n .
 1
Q22. Justifier que pour tout polynôme P  Rn [X], on a J(P) =
P(t) dt.
-1

On dit que la méthode de quadrature J est d'ordre au moins n car la formule 
approchée est exacte
pour les polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Q23. Exemple : on prend n = 1, t0 = -1 et t1 = 1. Déterminer 0 et 1 . Expliquer 
à l'aide d'un
graphique en prenant g positive pourquoi, dans ce cas, la méthode J s'appelle 
la « méthode
des trapèzes ».
6/7

Quadrature de Gauss
Dans les deux questions suivantes, on prend pour points d'interpolation t0 , t1 
, . . . , tn les (n + 1) racines
du polynôme de Legendre Pn+1 introduit dans la partie III.
Nous allons démontrer que, dans ce cas, la formule de quadrature J est d'ordre 
au moins 2n + 1.
Soit P  R2n+1 [X]. On fait la division euclidienne de P par Pn+1 , on note 
respectivement Q le quotient
et R le reste de cette division :
P = QPn+1 + R.
 1
 1
Q24. Démontrer que J(QPn+1 ) =
Q(t)Pn+1 (t) dt, puis conclure que J(P) =
P(t) dt.
-1

-1

Q25. Démontrer que les poids 0 , . . . , n associés à la quadrature de Gauss 
sont strictement positifs
et calculer leur somme.
FIN

7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 MP 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Clément Mifsud (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Loïc Devilliers (ENS Cachan) et Sophie Rainero (professeur en CPGE).

Cette épreuve est consacrée au calcul approché d'intégrales de fonctions 
continues
sur un segment.
· La première partie a pour objet d'obtenir deux expressions de l'intégrale
Z 1
2
I=
e -x dx
0

sous forme d'une somme d'une série convergente. Cette partie comporte deux
questions portant sur le programme « informatique pour tous » ; l'une calcule la
factorielle, l'autre utilise la série étudiée pour calculer une approximation 
de I.
· La deuxième partie porte sur l'interpolation d'une fonction grâce aux 
polynômes
interpolateurs de Lagrange et sur une majoration de l'erreur d'interpolation.
Par ailleurs, deux questions portant sur le programme « informatique pour
tous » s'intéressent au calcul du polynôme interpolateur de Lagrange et à la
complexité de ce calcul.
· La troisième partie, assez classique, introduit un produit scalaire entre 
polynômes, ce qui permet de construire une famille de polynômes, dits de 
Legendre,
qui sont orthogonaux pour ce produit scalaire. Ils sont utilisés pour 
développer dans la dernière partie une méthode de quadrature, c'est-à-dire de 
calcul
approché de l'intégrale d'une fonction f , à l'aide d'une combinaison linéaire 
de
valeurs prises par f en des points d'interpolation particuliers.
· La quatrième partie se consacre à l'analyse de cette méthode de quadrature 
dont
les points d'interpolation associés sont les racines d'un polynôme de Legendre.
L'intérêt de ce choix est d'obtenir une méthode de quadrature exacte pour les
polynômes de degré 2n + 1 avec seulement n + 1 points (où n  N).
Ce sujet est issu des mathématiques appliquées : comment fait-on calculer une
intégrale à un ordinateur, en pratique ? En dehors de la première partie 
(indépendante
du reste du sujet) et de la question 16, il n'utilise que le cours de première 
année,
qu'il permet de bien réviser.

Indications
Partie I
2 Utiliser la majoration du reste d'une série alternée.
5 Pour prouver l'inégalité demandée, commencer par démontrer que
u > -1

ln(1 + u) 6 u

Pour la seconde partie de la question, penser au théorème de convergence 
dominée.
Partie II
7 Montrer l'unicité du polynôme interpolateur en considérant un second polynôme
interpolateur et en étudiant les racines de la différence de ces deux polynômes.
10 Démontrer le résultat par récurrence sur p  N et penser au théorème de Rolle.
11 Si x  , que vaut  (x) ?
13 Utiliser les questions 10 et 11.
14 Par hypothèse, f est de classe C n+1 sur [ a ; b ]. Utiliser la question 13.
15 On dispose d'une suite (xk )kN d'éléments deux à deux distincts de [ 0 ; 2 ] 
et
pour chaque n  N, on définit le polynôme Ln (f ) interpolateur de f aux points
(xk )k[[ 0 ; n ]] .
16 Lorsque k  N, que vaut f (2k) (0) ?
Partie III
18 Ne pas oublier que
n  N

Rn-1 [X] = Vect (P0 , P1 , . . . , Pn-1 )

19 Que dire du signe de Pn sur [ -1 ; 1 ] si ce polynôme n'admet pas de racine 
dans
l'intervalle [ -1 ; 1 ] ?
Partie IV
21 Utiliser un changement de variable.
22 Démontrer tout d'abord le résultat pour P = i avec i  [[ 0 ; n ]].
24 Se servir des questions 18 et 22 et de la linéarité de J.
25 Pour la première partie de la question, poser, pour i  [[ 0 ; n ]],
n

Si =

 (X - tk )2
k=0
k6=i

Pour la seconde partie, considérer le polynôme constant égal à 1.

I. « Permutation limite-intégrale »
et intégrale de Gauss
1 D'après le développement en série entière de la fonction exponentielle, on a
et =

t  R

P tn
n=0 n !
+

En utilisant cette égalité en t = -x2 pour x  R, on obtient que
2

e -x =

x  R

+

P

(-1)n

n=0

x2n
n!

2

On en déduit que la fonction x 7- e -x est développable en série entière sur R.
Par intégration de la série entière précédente sur [ 0 ; 1 ], segment inclus 
dans l'intervalle ouvert de convergence, on en déduit que
Z 1
Z 1 +
Z
Z
+
+
P
P 1
P (-1)n 1 2n
x2n
x2n
2
I=
e -x dx =
(-1)n
dx =
(-1)n
dx =
x dx
n!
n!
n=0 0
n=0 n !
0
0 n=0
0
Or, pour tout entier naturel n, on a
Z 1
x2n dx =
0

1
2n + 1

(-1)n
n=0 (2n + 1) n !
+

Finalement, on obtient

I=

P

2 Définissons pour tout entier n  N, an = 1/ ((2n + 1) n !). La suite (an )nN 
est
décroissante
P de limite nulle. D'après le critère spécial des séries alternées, on sait que
la série (-1)n an converge et de plus,
+

n  N

P

(-1)k ak 6 an+1

k=n+1

Ainsi, par définition des suites (an )nN et (sn )nN et d'après la question 1, 
il vient
1
(-1)k
6
(2n + 3) (n + 1) !
k=n+1 (2k + 1) k !
+

|I - sn | =

P

3 La fonction récursive suivante, prenant en argument un entier naturel n, 
renvoie
sa factorielle.
def factorielle(n):
if n==0:
return 1
else:
return n*factorielle(n-1)
4 D'après la question 2, il suffit de trouver un entier naturel N tel que
1
6 10-6
(2N + 3) (N + 1) !
pour obtenir que |I - sN | 6 10-6 . On en déduit le script suivant, grâce à la 
fonction
définie à la question 3.

N = 0
while 1/((2*N+3)*factorielle(N+1))>10**(-6):
N = N+1
print(N)
5 Soit x  R+ . Soit n  N tel que n > x2 , alors 1 - x2 /n > 0 et ainsi

n

2
x2
n ln 1- xn
=e
fn (x) = 1 -
n

x2
x2
1
=- + o
Par ailleurs,
ln 1 -
n+ n
n
n

x2
Ainsi,
n ln 1 -
= -x2 + o (1)
n+
n
2

d'où, par continuité de la fonction exponentielle, fn (x) ----- e -x . En 
conclusion,
n+

La suite de fonctions (fn )nN converge sim2
plement sur R+ vers la fonction x 7- e -x .
6 Avant de démontrer l'inégalité demandée, commençons par démontrer que
u > -1

ln(1 + u) 6 u

La fonction f : u 7- u - ln (1 + u) est définie et dérivable sur ] -1 ; + [ et, 
pour
tout u  ] -1 ; + [, sa dérivée vaut
f  (u) = 1 -

u
1
=
1+u
1+u

Ainsi, f  est à valeurs positives sur [ 0 ; + [ et à valeurs négatives sur ] -1 
; 0 ].
Par conséquent, la fonction f est décroissante sur ] -1 ; 0 ] et croissante sur 
[ 0 ; + [.
Par étude des variations de f , on en déduit que pour tout u > -1, f (u) > f 
(0) = 0,
c'est-à-dire,
u > -1

ln(1 + u) 6 u

Pour démontrer ce résultat, on peut aussi utiliser la concavité de la fonction
u  ] -1 ; + [ 7- ln(1 + u)
Démontrons maintenant l'inégalité de l'énoncé. Soient x  [ 0 ; 1 ] et n  N .
Observons tout d'abord que le nombre x2 /n appartient à [ 0 ; 1 ] et par 
conséquent,
fn (x) > 0. Puis distinguons deux cas.
2

· Si x2 /n = 1, alors fn (x) = 0 et ainsi l'inégalité |fn (x)| 6 e -x est 
évidente.
· Si x2 /n  [ 0 ; 1 [, alors -x2 /n > -1 et d'après l'inégalité précédente, on a

x2
x2
ln 1 -
6-
n
n

x2
x2
Puisque n > 0,
n ln 1 -
6 -n ×
= -x2
n
n
Par croissance de la fonction exponentielle, on en déduit que
fn (x) = e n ln(1-x

2

/n)

6 e -x

2