CCP Maths 1 MP 2018

Thème de l'épreuve Estimations numériques d'intégrales
Principaux outils utilisés polynômes, intégrales de fonctions continues sur un segment, produits scalaires
Mots clefs polynôme interpolateur de Lagrange, polynômes orthogonaux, méthode de quadrature, intégrale de Gauss, factorielle, phénomène de Runge, polynôme de Legendre, méthode des trapèzes

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SESSION 2018 ! ! ! MPMA102 ! ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" MATHÉMATIQUES 1 Lundi 30 avril : 14 h - 18 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la !"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+ /'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+ a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" " ! ! ! ! Les calculatrices sont interdites ! ! ! ! ! ! ! Le sujet est composé d'un problème avec quatre parties. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/7 ! ESTIMATIONS NUMÉRIQUES D'INTÉGRALES Objectifs Le fil conducteur de ce sujet est le calcul approché d'intégrales. La partie I est indépendante des autres parties. À travers l'exemple de l'intégrale de Gauss, on utilise des suites de fonctions et on « permute limite et intégrale ». Les parties II et III peuvent être traitées de manière indépendante. La partie IV utilise des résultats des parties II et III. Les parties II, III et IV traitent de l'utilisation des polynômes interpolateurs pour le calcul approché d'intégrales : on présente le principe des méthodes de quadrature, dites de Newton-Cotes, ainsi qu'un raffinement avec la méthode de quadrature de Gauss. Le sujet comporte aussi quelques questions notées Informatique portant sur le programme «informatique pour tous». Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python. Notations -- Si f est une fonction réelle bornée sur [a, b] avec a < b, on pose : f = sup | f (x)|. x[a,b] -- On note Rn [X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. On pourra confondre les expressions « polynômes » et « fonctions polynomiales ». Partie I - « Permutation limite-intégrale » et intégrale de Gauss On considère l'intégrale de Gauss : I= 1 2 e-x dx. 0 I.1 - Utilisation d'une série entière Q1. Démontrer à l'aide d'une série entière que : I= + n=0 On pose pour n N : sn = n k=0 (-1)n . (2n + 1)n! (-1)k . (2k + 1)k! 2/7 Q2. Justifier que pour tout n N, on a : |I - sn | 1 . (2n + 3)(n + 1)! Q3. Informatique : écrire une fonction récursive factorielle qui prend en argument un entier naturel n et renvoie l'entier n!. Q4. Informatique : en déduire un script, qui détermine un entier N, tel que |I - sN | 10-6 . I.2 - Utilisation d'une autre suite de fonctions Pour tout n N , on définit sur [0, +[ la fonction fn par : n x2 fn (x) = 1 - . n Q5. Déterminer, en détaillant, la limite simple de la suite de fonctions ( fn )nN . 2 Q6. Soit n N . Démontrer que x [0, 1], | fn (x)| e-x . En déduire que : n n (-1)k I = lim . n+ k nk (2k + 1) k=0 Partie II - Notion de polynôme interpolateur Soit f : [a, b] R une fonction continue. On se donne n + 1 points x0 , x1 , . . . , xn dans [a, b], deux à deux distincts. On appelle polynôme interpolateur de f aux points xi , un polynôme P Rn [X] qui coïncide avec f aux points xi , c'est-à-dire tel que pour tout i 0, n, P(xi ) = f (xi ). II.1 - Existence du polynôme interpolateur Pour tout entier i de 0, n, on définit le polynôme li de Rn [X] par : n X - xk . li (X) = x - xk k=0 i ki On pose : Ln ( f ) = n f (xi )li (X). i=0 Q7. Démontrer que Ln ( f ) est un polynôme interpolateur de f aux points xi , puis démontrer l'unicité d'un tel polynôme. Un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur de Lagrange. 3/7 II.2 - Calcul effectif du polynôme interpolateur de Lagrange Q8. Informatique : si y0 , . . . , yn sont des réels, le polynôme P = n yi li (X) est l'unique polynôme i=0 de Rn [X] vérifiant P(xi ) = yi pour tout i. Écrire en langage Python une fonction lagrange qui prend en arguments x une liste de points d'interpolations xi , y une liste d'ordonnées yi de même longueur que x, a un réel, et qui renvoie la valeur de P en a. Par exemple, si x = [-1, 0, 1] et y = [4, 0, 4], on montre que P = 4X 2 et donc P(3) = 36. Ainsi, lagrange(x, y, 3) renverra 36. Q9. Informatique : chercher le polynôme interpolateur P = a0 + a1 X + · · · + an X n de f aux points xi revient aussi à résoudre le système linéaire suivant d'inconnues a0 , . . . , an : P(x0 ) = f (x0 ) a0 f (x0 ) .. V ... = ... . P(x ) = f (x ) an f (xn ) n n où V est une matrice carrée de taille n + 1. Déterminer la matrice V et indiquer la complexité du calcul en fonction de n, lorsque l'on résout ce système linéaire par la méthode du pivot de Gauss. II.3 - Expression de l'erreur d'interpolation On suppose, en plus dans cette partie, que f est de classe C n+1 sur [a, b]. On rappelle que Ln ( f ) est son unique polynôme interpolateur aux points xi . On note = {x0 , . . . , xn } l'ensemble des points d'interpolations et le polynôme de Rn+1 [X] défini par : n = (X - xi ). i=0 On veut démontrer pour tout réel x [a, b], la propriété suivante notée P x : c x ]a, b[, f (x) - Ln ( f )(x) = f (n+1) (c x ) (x). (n + 1)! Q10. Résultat préliminaire : soit p N . Démontrer que si : [a, b] R est une fonction p-fois dérivable qui s'annule p + 1 fois, alors il existe c ]a, b[ tel que (p) (c) = 0. Q11. Justifier que pour tout x , la propriété P x est vraie. On fixe x un réel de [a, b] qui n'est pas dans . Soit un réel. On définit sur [a, b] une application F par : F(t) = f (t) - Ln ( f )(t) - (t). Q12. Déterminer un réel de sorte que F(x) = 0. On choisira alors de cette façon. Q13. Démontrer que F s'annule n + 2 fois et en déduire que P x est vraie. 4/7 Q14. Justifier que la fonction f (n+1) est bornée sur [a, b] et en déduire un réel positif K indépendant de n tel que : K n+1 (n+1) f . f - Ln ( f ) (n + 1)! Q15. En déduire que si f est la fonction sinus, la suite (Ln ( f ))nN converge uniformément vers f sur [0, 2]. 1 Q16. On définit f sur [-1, 1] par f (x) = . Démontrer à l'aide d'une série entière que : 1 + x2 k N, f (2k) (2k)!. Cette dernière inégalité montre que la quantité f (n+1) peut être grande et cela peut empêcher parfois la convergence de la suite de polynômes interpolateurs. Ceci est appelé le phénomène de Runge. Partie III - Famille de polynômes orthogonaux On munit R[X] l'espace des polynômes à coefficients réels du produit scalaire ·, · défini par : pour tout polynôme P et Q de R[X] : P, Q = 1 P(t)Q(t) dt. -1 On applique le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base canonique (1, X, X 2 , . . .) de R[X]. On obtient donc une famille orthonormée de polynômes (P0 , P1 , P2 , . . .) vérifiant : k N, Vect {1, X, . . . , X k } = Vect {P0 , P1 , . . . , Pk }. Le polynôme Pn s'appelle le polynôme de Legendre d'indice n. Q17. Calculer P0 et P1 . Q18. Justifier que pour n 1, le polynôme Pn est orthogonal à Rn-1 [X]. Démontrer que le polynôme Pn est de degré n. On prend n 1. On veut démontrer que Pn admet n racines simples dans [-1, 1]. 1 Pn (t) dt = 0 et en déduire que Pn admet au moins une racine dans [-1, 1]. Q19. Justifier que -1 Supposons par l'absurde que Pn admet strictement moins de n racines simples. Si Pn admet des racines t1 , . . . , t p de multiplicité impaire avec p < n, on pose Q = (X - t1 ) . . . (X - t p ) ; sinon, on pose Q = 1. On considère enfin le polynôme H = QPn . 1 Q20. Justifier que H(t) dt = 0, puis conclure (on pourra remarquer que H est de signe constant sur [-1, 1]). -1 5/7 Partie IV - Méthodes de quadrature Dans cette partie, nous allons voir comment les polynômes interpolateurs de Lagrange peuvent être b f (x) dx pour f : [a, b] R une fonction continue. utilisés pour estimer a Pour cela, on choisit d'abord une subdivision a = x0 < x1 < ... < xN = b de l'intervalle [a, b]. À cause du phénomène de Runge, si N est grand, le polynôme interpolateur de f aux points xi n'est pas b forcément une bonne approximation de f . Approximer b f (x) dx par LN ( f )(x) dx n'est donc pas a forcément pertinent... a Nous allons en fait approximer f par un polynôme d'interpolation sur chaque petit intervalle [xk , xk+1 ]. D'après la relation de Chasles, on a : Q21. Justifier que : xk+1 xk b f (x) dx = a k=0 xk+1 - xk f (x) dx = 2 On est donc ramené à estimer N-1 xk+1 f (x) dx. xk 1 xk+1 - xk . g(t) dt avec g(t) = f xk + (t + 1) 2 -1 1 g(t) dt où g : [-1, 1] R est une fonction continue. -1 On se donne n + 1 points t0 , t1 , . . . , tn dans [-1, 1], deux à deux distincts. n g(ti )li (X) est le polynôme interpolateur de g aux points ti et on pose : On rappelle que Ln (g) = i=0 J(g) = 1 Ln (g)(t) dt = -1 Lorsqu'on approxime n i g(ti ) avec i = 1 li (t) dt. -1 i=0 1 g(t) dt par J(g), c'est-à-dire : -1 1 -1 g(t) dt n i g(ti ), i=0 on dit que J est une méthode de quadrature associée aux points t0 , . . . , tn et aux poids 0 , . . . , n . 1 Q22. Justifier que pour tout polynôme P Rn [X], on a J(P) = P(t) dt. -1 On dit que la méthode de quadrature J est d'ordre au moins n car la formule approchée est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à n. Q23. Exemple : on prend n = 1, t0 = -1 et t1 = 1. Déterminer 0 et 1 . Expliquer à l'aide d'un graphique en prenant g positive pourquoi, dans ce cas, la méthode J s'appelle la « méthode des trapèzes ». 6/7 Quadrature de Gauss Dans les deux questions suivantes, on prend pour points d'interpolation t0 , t1 , . . . , tn les (n + 1) racines du polynôme de Legendre Pn+1 introduit dans la partie III. Nous allons démontrer que, dans ce cas, la formule de quadrature J est d'ordre au moins 2n + 1. Soit P R2n+1 [X]. On fait la division euclidienne de P par Pn+1 , on note respectivement Q le quotient et R le reste de cette division : P = QPn+1 + R. 1 1 Q24. Démontrer que J(QPn+1 ) = Q(t)Pn+1 (t) dt, puis conclure que J(P) = P(t) dt. -1 -1 Q25. Démontrer que les poids 0 , . . . , n associés à la quadrature de Gauss sont strictement positifs et calculer leur somme. FIN 7/7

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 CCP Maths 1 MP 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Clément Mifsud (professeur en CPGE) ; il a été relu par Loïc Devilliers (ENS Cachan) et Sophie Rainero (professeur en CPGE). Cette épreuve est consacrée au calcul approché d'intégrales de fonctions continues sur un segment. · La première partie a pour objet d'obtenir deux expressions de l'intégrale Z 1 2 I= e -x dx 0 sous forme d'une somme d'une série convergente. Cette partie comporte deux questions portant sur le programme « informatique pour tous » ; l'une calcule la factorielle, l'autre utilise la série étudiée pour calculer une approximation de I. · La deuxième partie porte sur l'interpolation d'une fonction grâce aux polynômes interpolateurs de Lagrange et sur une majoration de l'erreur d'interpolation. Par ailleurs, deux questions portant sur le programme « informatique pour tous » s'intéressent au calcul du polynôme interpolateur de Lagrange et à la complexité de ce calcul. · La troisième partie, assez classique, introduit un produit scalaire entre polynômes, ce qui permet de construire une famille de polynômes, dits de Legendre, qui sont orthogonaux pour ce produit scalaire. Ils sont utilisés pour développer dans la dernière partie une méthode de quadrature, c'est-à-dire de calcul approché de l'intégrale d'une fonction f , à l'aide d'une combinaison linéaire de valeurs prises par f en des points d'interpolation particuliers. · La quatrième partie se consacre à l'analyse de cette méthode de quadrature dont les points d'interpolation associés sont les racines d'un polynôme de Legendre. L'intérêt de ce choix est d'obtenir une méthode de quadrature exacte pour les polynômes de degré 2n + 1 avec seulement n + 1 points (où n N). Ce sujet est issu des mathématiques appliquées : comment fait-on calculer une intégrale à un ordinateur, en pratique ? En dehors de la première partie (indépendante du reste du sujet) et de la question 16, il n'utilise que le cours de première année, qu'il permet de bien réviser. Indications Partie I 2 Utiliser la majoration du reste d'une série alternée. 5 Pour prouver l'inégalité demandée, commencer par démontrer que u > -1 ln(1 + u) 6 u Pour la seconde partie de la question, penser au théorème de convergence dominée. Partie II 7 Montrer l'unicité du polynôme interpolateur en considérant un second polynôme interpolateur et en étudiant les racines de la différence de ces deux polynômes. 10 Démontrer le résultat par récurrence sur p N et penser au théorème de Rolle. 11 Si x , que vaut (x) ? 13 Utiliser les questions 10 et 11. 14 Par hypothèse, f est de classe C n+1 sur [ a ; b ]. Utiliser la question 13. 15 On dispose d'une suite (xk )kN d'éléments deux à deux distincts de [ 0 ; 2 ] et pour chaque n N, on définit le polynôme Ln (f ) interpolateur de f aux points (xk )k[[ 0 ; n ]] . 16 Lorsque k N, que vaut f (2k) (0) ? Partie III 18 Ne pas oublier que n N Rn-1 [X] = Vect (P0 , P1 , . . . , Pn-1 ) 19 Que dire du signe de Pn sur [ -1 ; 1 ] si ce polynôme n'admet pas de racine dans l'intervalle [ -1 ; 1 ] ? Partie IV 21 Utiliser un changement de variable. 22 Démontrer tout d'abord le résultat pour P = i avec i [[ 0 ; n ]]. 24 Se servir des questions 18 et 22 et de la linéarité de J. 25 Pour la première partie de la question, poser, pour i [[ 0 ; n ]], n Si = (X - tk )2 k=0 k6=i Pour la seconde partie, considérer le polynôme constant égal à 1. I. « Permutation limite-intégrale » et intégrale de Gauss 1 D'après le développement en série entière de la fonction exponentielle, on a et = t R P tn n=0 n ! + En utilisant cette égalité en t = -x2 pour x R, on obtient que 2 e -x = x R + P (-1)n n=0 x2n n! 2 On en déduit que la fonction x 7- e -x est développable en série entière sur R. Par intégration de la série entière précédente sur [ 0 ; 1 ], segment inclus dans l'intervalle ouvert de convergence, on en déduit que Z 1 Z 1 + Z Z + + P P 1 P (-1)n 1 2n x2n x2n 2 I= e -x dx = (-1)n dx = (-1)n dx = x dx n! n! n=0 0 n=0 n ! 0 0 n=0 0 Or, pour tout entier naturel n, on a Z 1 x2n dx = 0 1 2n + 1 (-1)n n=0 (2n + 1) n ! + Finalement, on obtient I= P 2 Définissons pour tout entier n N, an = 1/ ((2n + 1) n !). La suite (an )nN est décroissante P de limite nulle. D'après le critère spécial des séries alternées, on sait que la série (-1)n an converge et de plus, + n N P (-1)k ak 6 an+1 k=n+1 Ainsi, par définition des suites (an )nN et (sn )nN et d'après la question 1, il vient 1 (-1)k 6 (2n + 3) (n + 1) ! k=n+1 (2k + 1) k ! + |I - sn | = P 3 La fonction récursive suivante, prenant en argument un entier naturel n, renvoie sa factorielle. def factorielle(n): if n==0: return 1 else: return n*factorielle(n-1) 4 D'après la question 2, il suffit de trouver un entier naturel N tel que 1 6 10-6 (2N + 3) (N + 1) ! pour obtenir que |I - sN | 6 10-6 . On en déduit le script suivant, grâce à la fonction définie à la question 3. N = 0 while 1/((2*N+3)*factorielle(N+1))>10**(-6): N = N+1 print(N) 5 Soit x R+ . Soit n N tel que n > x2 , alors 1 - x2 /n > 0 et ainsi n 2 x2 n ln 1- xn =e fn (x) = 1 - n x2 x2 1 =- + o Par ailleurs, ln 1 - n+ n n n x2 Ainsi, n ln 1 - = -x2 + o (1) n+ n 2 d'où, par continuité de la fonction exponentielle, fn (x) ----- e -x . En conclusion, n+ La suite de fonctions (fn )nN converge sim2 plement sur R+ vers la fonction x 7- e -x . 6 Avant de démontrer l'inégalité demandée, commençons par démontrer que u > -1 ln(1 + u) 6 u La fonction f : u 7- u - ln (1 + u) est définie et dérivable sur ] -1 ; + [ et, pour tout u ] -1 ; + [, sa dérivée vaut f (u) = 1 - u 1 = 1+u 1+u Ainsi, f est à valeurs positives sur [ 0 ; + [ et à valeurs négatives sur ] -1 ; 0 ]. Par conséquent, la fonction f est décroissante sur ] -1 ; 0 ] et croissante sur [ 0 ; + [. Par étude des variations de f , on en déduit que pour tout u > -1, f (u) > f (0) = 0, c'est-à-dire, u > -1 ln(1 + u) 6 u Pour démontrer ce résultat, on peut aussi utiliser la concavité de la fonction u ] -1 ; + [ 7- ln(1 + u) Démontrons maintenant l'inégalité de l'énoncé. Soient x [ 0 ; 1 ] et n N . Observons tout d'abord que le nombre x2 /n appartient à [ 0 ; 1 ] et par conséquent, fn (x) > 0. Puis distinguons deux cas. 2 · Si x2 /n = 1, alors fn (x) = 0 et ainsi l'inégalité |fn (x)| 6 e -x est évidente. · Si x2 /n [ 0 ; 1 [, alors -x2 /n > -1 et d'après l'inégalité précédente, on a x2 x2 ln 1 - 6- n n x2 x2 Puisque n > 0, n ln 1 - 6 -n × = -x2 n n Par croissance de la fonction exponentielle, on en déduit que fn (x) = e n ln(1-x 2 /n) 6 e -x 2