CCP Maths 1 MP 2017

Thème de l'épreuve Séries trigonométriques
Principaux outils utilisés matrice jacobienne, familles sommables, suites et séries de fonctions
Mots clefs série de Fourier, jacobienne, série trigonométrique

Corrigé

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SESSION 2017 MPMA102 ! ! ! EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! MATHEMATIQUES 1 Mardi 2 mai : 14 h - 18 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la !"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+ /'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+ a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" " ! ! ! ! ! ! Les calculatrices sont interdites ! ! ! ! ! ! ! Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/4 ! EXERCICE 1 On définit deux fonctions : -- la fonction f de R2 dans R par f (x, y) = sin(x2 - y2 ), -- la fonction g de R2 dans R2 par g(x, y) = (x + y, x - y). Q1. Justifier que les fonctions f et g sont différentiables en tout vecteur (x, y) R2 et écrire la matrice jacobienne de f puis de g en (x, y). Q2. Pour (x, y) R2 , déterminer l'image d'un vecteur (u, v) R2 par l'application linéaire d( f g)((x, y)) en utilisant les deux méthodes suivantes : 1. en calculant f g ; 2. en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes. EXERCICE 2 2 et on pose A = N × N . 2 n 6 n=1 1 est sommable et calculer sa somme. Démontrer que la famille 2 2 p q (p,q)A 1 n'est pas sommable. Démontrer que la famille 2 p + q2 (p,q)A On admet que Q3. Q4. + 1 = PROBLÈME Séries trigonométriques Il est utile en physique, notamment pour étudier des spectres d'énergie ou pour décomposer un signal périodique en harmoniques, de pouvoir écrire une fonction périodique en somme d'une série de fonctions trigonométriques. Nous allons nous intéresser à l'aspect mathématique de cette décomposition pour les fonctions de période 2. Dans ce qui suit, on appelle "série trigonométrique" une série de fonctions du type : [an cos(nx) + bn sin(nx)] où (an ) et (bn ) sont deux suites de réels. Dans la première partie, on étudie quelques exemples. Dans la deuxième partie, on s'intéresse plus particulièrement aux séries trigonométriques qui convergent normalement sur R. On notera C2 l'espace vectoriel des fonctions continues et 2-périodiques de R dans R. Pour une fonction f élément de C2 , on notera, pour tout entier naturel n : 1 n ( f ) = f (x) cos(nx) dx et - 2/4 1 n ( f ) = - f (x) sin(nx) dx . Partie I - Exemples 1 1 Q5. Démontrer que la série trigonométrique cos(nx) + n sin(nx) converge normalement 2n 3 eix n sur R. Pour tout entier p 2, déterminer la somme de la série puis en déduire la valeur de p n0 + 1 1 n cos(nx) + n sin(nx) (il n'est pas utile de réduire au même dénominateur). 2 3 n=0 Q6. Écrire la fonction : x exp(cos x) cos(sin x) comme la somme d'une série trigonométrique. On pourra écrire la fonction x exp(eix ) comme la somme d'une série de fonctions. Q7. Donner un exemple de suite (an ) de limite nulle, telle que la série trigonométrique an cos(nx) ne converge pas simplement sur R. 1 Q8. On admet que la série trigonométrique sin(nx) converge simplement sur R. Convergen n1 t-elle normalement sur R ? Partie II - Propriétés Une condition suffisante bn sont absolument convergentes, alors la série trigoDémontrer que si les séries an et nométrique [an cos(nx) + bn sin(nx)] converge normalement sur R. Q9. Une condition nécessaire Q10. Soient a et b deux réels quelconques. Démontrer que le maximun sur R de la fonction x |a cos x + b sin x| est a2 + b2 . Q11. Démontrer que si la série trigonométrique [an cos(nx) + bn sin(nx)] converge normalement an et bn sont absolument sur R, alors les suites (an ) et (bn ) convergent vers 0 et les séries convergentes. Autres propriétés Q12. On note f la somme d'une série trigonométrique [an cos(nx) + bn sin(nx)] qui converge normalement sur R. Justifier que f C2 . 2 cos (nx)dx pour n 0 et donner la valeur de sin(kx) cos(nx)dx pour k n. Q13. Calculer - - Q14. On note f la somme d'une série trigonométrique [an cos(nx) + bn sin(nx)] qui converge + [ak cos(kx) + bk sin(kx)]. Démontrer que pour tout normalement sur R : pour tout réel x, f (x) = k=0 3/4 entier naturel n non nul n ( f ) = an puis exprimer 0 ( f ) en fonction de a0 . On pourra utiliser sans cos(kx) cos(nx)dx = 0. démonstration que pour k n : - On admettra, pour la suite du problème, que pour tout entier naturel n non nul n ( f ) = bn et 0 ( f ) = 0 (la démonstration n'est pas demandée). 0 ( f ) Q15. Soit f C2 . Pour tout réel x, on pose u0 (x) = . Pour tout entier n 1, on pose 2 un (x) converge un (x) = n ( f ) cos(nx) + n ( f ) sin(nx). On suppose ici que la série trigonométrique normalement sur R vers une fonction notée g : + 0 ( f ) pour tout réel x, g(x) = + k ( f ) cos(kx) + k ( f ) sin(kx) . 2 k=1 Quelles relations a-t-on dans ce cas entre n (g) et n ( f ) ? n (g) et n ( f ) ? Q16. Il est admis que si une fonction h C2 vérifie, pour tout entier naturel n : n (h) = n (h) = 0, alors h est la fonction nulle. Démontrer que pour tout réel x, g(x) = f (x). n ( f ) cos(nx) + n ( f ) sin(nx) d'une fonction En résumé, lorsque la série trigonométrique f C2 converge normalement sur R, pour tout réel x, on a : + f (x) = 0 ( f ) + n ( f ) cos(nx) + n ( f ) sin(nx) . 2 n=1 Q17. Si f C2 est une fonction paire, que vaut n ( f ) ? Exprimer, sans démonstration, n ( f ) en f (x) cos(nx) dx. fonction de l'intégrale 0 ln(1 + x) Application. Justifier que la fonction x est intégrable sur l'intervalle ]0, 1[ puis x 1 2 ln(1 + x) dx = . démontrer que x 12 0 Q21. La somme d'une série trigonométrique qui converge normalement sur R est-elle nécessairement une fonction dérivable sur R ? Proposer une condition suffisante sur les séries nan et nbn pour que la somme de la série trigo nométrique [an cos(nx) + bn sin(nx)], qui converge normalement sur R, soit une fonction dérivable Q20. sur R. Q22. n cos(nx). Déterminer la somme de la série trigonométrique 3n FIN 4/4 I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 17 1177 ­ D'après documents fournis Q18. Exemple. Soit f C2 définie ainsi : pour tout x [-, ], f (x) = x2 et f est 2-périodique sur R. Construire la courbe de cette fonction paire f sur l'intervalle [-3, 3] puis déterminer, pour tout entier naturel, les coefficients n ( f ) et n ( f ). Donner une série trigonométrique qui converge normalement sur R vers f . + + + + (-1)n 1 1 1 Q19. En déduire les sommes : et . Déduire alors de la somme . 2 2 2 n n n (2n + 1)2 n=1 n=1 n=1 n=0

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 CCP Maths 1 MP 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Robin Michaud (ENS Lyon) ; il a été relu par Florian Metzger (docteur en mathématiques) et Sophie Rainero (professeur en CPGE). L'épreuve se compose de deux exercices et d'un problème, tous trois indépendants. Le premier exercice est calculatoire : il comporte deux questions de calcul différentiel très proches du cours. Dans le deuxième exercice, on étudie la sommabilité des familles 1 1 et p2 q 2 (p,q)(N )2 p2 + q 2 (p,q)(N )2 Dans le problème, qui constitue l'essentiel du sujet, on s'intéresse aux séries dites trigonométriques, c'est-à-dire les séries de la forme P (an cos(nx) + bn sin(nx)) Un des buts du problème est d'établir le lien entre une fonction f qui s'exprime comme une somme trigonométrique et ses coefficients de Fourier, à savoir Z Z 1 1 n (f ) = f (x) cos(nx) dx et n (f ) = f (x) sin(nx) dx - - · La première partie du problème est consacrée à quelques exemples de séries trigonométriques : en les étudiant, on met en évidence les différences entre convergence simple et convergence normale. P · Dans an P une seconde partie, on prouve que la convergence absolue des séries et bnP est une condition nécessaire et suffisante à la convergence normale de la série (an cos(nx) + bn sin(nx)). Puis on montre qu'une fonction f continue et 2-périodique vérifie pour tout x R f (x) = P 0 (f ) + n (f ) cos(nx) + n (f ) sin(nx) + 2 n=1 lorsque cette série converge normalement. Cette série est appelée développement en série de Fourier de la fonction f . On utilise ces résultats pour calculer les sommes + X 1 n2 n=1 ainsi que l'intégrale et Z 0 1 + X (-1)n n2 n=1 ln(1 + x) dx x Enfin, on trouve un critère de dérivabilité pour les séries trigonométriques et on l'applique au calcul d'une somme. Ce sujet est abordable et comporte un grand nombre de questions proches du cours. De la rigueur est néanmoins nécessaire pour ne pas passer à côté des difficultés, notamment dans la justification des interversions de limites et d'intégrales. Cela constitue une bonne révision du cours sur les séries de fonctions et un aperçu intéressant sur les séries de Fourier, qui ne figurent plus au programme de MP. Indications Exercice 1 1 La fonction f est une composée de fonctions différentiables et g est linéaire. 2.1 Calculer les dérivées partielles de f g. 2.2 Utiliser la formule donnant la matrice jacobienne de f g. Exercice 2 3 Après avoir justifié la sommabilité, calculer la somme demandée en utilisant la formule pour la somme des séries doubles positives sommables + + P P P up,q = up,q p=1 (p,q)(N)2 q=1 + 4 Écrire A = S n=2 In où In = { (p, q) A| p + q = n} et sommer par paquets. Problème 5 Penser aux formules d'Euler qui établissent un lien entre les fonctions trigonométriques et la fonction exponentielle. 6 Remarquer que pour tout x R P e inx n=0 n! + exp(e ix ) = exp(cos x) cos(sin x) = Re (exp(e ix )) et 7 Regarder ce qui se passe en x = 0. 8 Utiliser le fait que le maximum de la fonction sinus sur R est 1. 9 Majorer le terme |an cos(nx) + bn sin(nx)| à l'aide de |an | et |bn |. 10 À l'aide d'une formule trigonométrique, chercher le maximum sur R de la fonction a b cos x + sin x x 7- 2 2 2 a +b a + b2 11 Utiliser la question 10 ainsi que la définition de la convergence normale pour obtenir une majoration de |an | et |bn | par des suites qui sont les termes généraux de séries convergentes. 12 Appliquer le théorème de continuité d'une limite uniforme de fonctions continues. 13 La première intégrale se calcule à l'aide de l'égalité x R cos2 x = 1 + cos(2x) 2 et la seconde en remarquant que l'intégrande est une fonction impaire. 14 Utiliser un théorème d'interversion d'une série et d'une intégrale, puis appliquer la question précédente et l'égalité donnée par l'énoncé à chacune des intégrales. P 15 Appliquer la question 14 à la série de fonctions un (x). 16 On pourra montrer que n (f - g) = n (f ) - n (g) (idem avec n ). 17 Étudier la parité de la fonction x 7- f (x) sin x. 18 Deux intégrations par parties successives suffisent à calculer n , tandis que la question 17 donne la valeur de n . 19 Évaluer la fonction f définie par l'énoncé à la question 18 d'une part, et son développement en série trigonométrique calculée à la même question d'autre part, en des points bien choisis. 20 Montrer que la fonction x 7- ln(1 + x)/x est prolongeable par continuité en 0. Pour le calcul de l'intégrale, utiliser le développement en série entière du logarithme et appliquer un théorème d'intégration terme à terme. 21 La question 18 fournit un contre-exemple. Pour trouver une condition nécessaire et suffisante pour que la somme de la série trigonométrique P (an cos(nx) + bn sin(nx)) soit une fonction dérivable, penser au théorème du cours qui permet de dériver une somme de fonctions dérivables. P 22 Utiliser la série trigonométrique sin(nx)/3n et la dérivée de sa somme. Exercice 1 1 La fonction f est la composée de la fonction (x, y) 7- x2 - y 2 qui est différentiable sur R2 car polynomiale, avec la fonction 7- sin qui est différentiable sur R. Ainsi, f est différentiable en tout point de R2 comme composée de fonctions différentiables. Soit (x, y) R2 . On note Jac(f )(x, y) la matrice jacobienne de f en ce point. Comme f : R2 R, cette matrice est de taille (1, 2). Les dérivées partielles de f en (x, y) valent f f (x, y) = 2x cos(x2 - y 2 ) et (x, y) = -2y cos(x2 - y 2 ) x y si bien que la matrice jacobienne de f est (x, y) R2 Jac(f )(x, y) = 2x cos(x2 - y 2 ) - 2y cos(x2 - y 2 ) La fonction g est une application linéaire de R2 dans R2 , elle est donc différentiable en tout point de R2 et sa matrice jacobienne (de taille (2, 2)) est la matrice de g dans la base canonique : 1 1 2 (x, y) R Jac(g)(x, y) = 1 -1 On rappelle que la matrice jacobienne d'une application h : Rn Rp est une matrice de Mp,n (R). Si h = (h1 , . . . , hp ) avec hi : Rn R pour tout i [[ 1 ; p ]], alors la matrice jacobienne de h est h1 h1 ··· x1 xn . .. . .. Jac(h) = .. . h hp p ··· x1 xn 2.1 Soit (x, y) R2 . D'après le cours l'image par l'application d(f g)(x, y) d'un point (u, v) R2 est donnée par (f g) (f g) d(f g)(x, y) (u, v) = (x, y) · u + (x, y) · v x y On calcule en premier lieu f g(x, y) = sin((x + y)2 - (x - y)2 ) = sin(4xy) car (x + y)2 - (x - y)2 = 2x · 2y = 4xy. Puis, on en déduit les dérivées partielles de cette fonction (f g) (f g) (x, y) = 4y cos(4xy) et (x, y) = 4x cos(4xy) x y Par conséquent, Pour tout (x, y) R2 et tout (u, v) R2 on a d(f g)(x, y) (u, v) = 4y cos(4xy)u + 4x cos(4xy)v 2.2 D'après le cours, si f et g sont deux fonctions, avec g différentiable en a et f différentiable en b = g(a), alors Jac(f g)(a) = Jac(f )(b) · Jac(g)(a). Soit (x, y) R2 . D'après la question 1,