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CCP Maths 1 MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Robin Michaud (ENS Lyon) ; il a été relu par Florian
Metzger (docteur en mathématiques) et Sophie Rainero (professeur en CPGE).
L'épreuve se compose de deux exercices et d'un problème, tous trois
indépendants.
Le premier exercice est calculatoire : il comporte deux questions de calcul
différentiel
très proches du cours. Dans le deuxième exercice, on étudie la sommabilité des
familles
1
1
et
p2 q 2 (p,q)(N )2
p2 + q 2 (p,q)(N )2
Dans le problème, qui constitue l'essentiel du sujet, on s'intéresse aux séries
dites
trigonométriques, c'est-à-dire les séries de la forme
P
(an cos(nx) + bn sin(nx))
Un des buts du problème est d'établir le lien entre une fonction f qui s'exprime
comme une somme trigonométrique et ses coefficients de Fourier, à savoir
Z
Z
1
1
n (f ) =
f (x) cos(nx) dx et n (f ) =
f (x) sin(nx) dx
-
-
· La première partie du problème est consacrée à quelques exemples de séries
trigonométriques : en les étudiant, on met en évidence les différences entre
convergence simple et convergence normale.
P
· Dans
an
P une seconde partie, on prouve que la convergence absolue des séries
et
bnP
est une condition nécessaire et suffisante à la convergence normale de
la série
(an cos(nx) + bn sin(nx)). Puis on montre qu'une fonction f continue
et 2-périodique vérifie pour tout x R
f (x) =
P
0 (f ) +
+
n (f ) cos(nx) + n (f ) sin(nx)
2
n=1
lorsque cette série converge normalement. Cette série est appelée développement
en série de Fourier de la fonction f . On utilise ces résultats pour calculer
les sommes
+
X
1
2
n
n=1
ainsi que l'intégrale
et
Z
0
1
+
X
(-1)n
n2
n=1
ln(1 + x)
dx
x
Enfin, on trouve un critère de dérivabilité pour les séries trigonométriques et
on l'applique au calcul d'une somme.
Ce sujet est abordable et comporte un grand nombre de questions proches du
cours. De la rigueur est néanmoins nécessaire pour ne pas passer à côté des
difficultés, notamment dans la justification des interversions de limites et
d'intégrales.
Cela constitue une bonne révision du cours sur les séries de fonctions et un
aperçu
intéressant sur les séries de Fourier, qui ne figurent plus au programme de MP.
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Indications
Exercice 1
1 La fonction f est une composée de fonctions différentiables et g est linéaire.
2.1 Calculer les dérivées partielles de f g.
2.2 Utiliser la formule donnant la matrice jacobienne de f g.
Exercice 2
3 Après avoir justifié la sommabilité, calculer la somme demandée en utilisant
la
formule pour la somme des séries doubles positives sommables
+ +
P P
P
up,q =
up,q
p=1
(p,q)(N)2
q=1
+
4 Écrire A =
S
n=2
In où In = { (p, q) A| p + q = n} et sommer par paquets.
Problème
5 Penser aux formules d'Euler qui établissent un lien entre les fonctions
trigonométriques et la fonction exponentielle.
6 Remarquer que pour tout x R
P e inx
n=0 n!
+
exp(e ix ) =
exp(cos x) cos(sin x) = Re (exp(e ix ))
et
7 Regarder ce qui se passe en x = 0.
8 Utiliser le fait que le maximum de la fonction sinus sur R est 1.
9 Majorer le terme |an cos(nx) + bn sin(nx)| à l'aide de |an | et |bn |.
10 À l'aide d'une formule trigonométrique, chercher le maximum sur R de la
fonction
a
b
cos x +
sin x
x 7-
2
2
2
a +b
a + b2
11 Utiliser la question 10 ainsi que la définition de la convergence normale
pour
obtenir une majoration de |an | et |bn | par des suites qui sont les termes
généraux
de séries convergentes.
12 Appliquer le théorème de continuité d'une limite uniforme de fonctions
continues.
13 La première intégrale se calcule à l'aide de l'égalité
x R
cos2 x =
1 + cos(2x)
2
et la seconde en remarquant que l'intégrande est une fonction impaire.
14 Utiliser un théorème d'interversion d'une série et d'une intégrale, puis
appliquer
la question précédente et l'égalité donnée par l'énoncé à chacune des
intégrales.
P
15 Appliquer la question 14 à la série de fonctions
un (x).
16 On pourra montrer que n (f - g) = n (f ) - n (g) (idem avec n ).
17 Étudier la parité de la fonction x 7- f (x) sin x.
18 Deux intégrations par parties successives suffisent à calculer n , tandis
que la
question 17 donne la valeur de n .
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19 Évaluer la fonction f définie par l'énoncé à la question 18 d'une part, et
son
développement en série trigonométrique calculée à la même question d'autre part,
en des points bien choisis.
20 Montrer que la fonction x 7- ln(1 + x)/x est prolongeable par continuité en
0.
Pour le calcul de l'intégrale, utiliser le développement en série entière du
logarithme et appliquer un théorème d'intégration terme à terme.
21 La question 18 fournit un contre-exemple. Pour trouver une condition
nécessaire
et suffisante pour que la somme de la série trigonométrique
P
(an cos(nx) + bn sin(nx))
soit une fonction dérivable, penser au théorème du cours qui permet de dériver
une somme de fonctions dérivables.
P
22 Utiliser la série trigonométrique
sin(nx)/3n et la dérivée de sa somme.
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Exercice 1
1 La fonction f est la composée de la fonction (x, y) 7- x2 - y 2 qui est
différentiable sur R2 car polynomiale, avec la fonction 7- sin qui est
différentiable
sur R. Ainsi, f est différentiable en tout point de R2 comme composée de
fonctions
différentiables. Soit (x, y) R2 . On note Jac(f )(x, y) la matrice jacobienne
de f en
ce point. Comme f : R2 R, cette matrice est de taille (1, 2). Les dérivées
partielles
de f en (x, y) valent
f
f
(x, y) = 2x cos(x2 - y 2 ) et
(x, y) = -2y cos(x2 - y 2 )
x
y
si bien que la matrice jacobienne de f est
(x, y) R2
Jac(f )(x, y) = 2x cos(x2 - y 2 )
- 2y cos(x2 - y 2 )
La fonction g est une application linéaire de R2 dans R2 , elle est donc
différentiable
en tout point de R2 et sa matrice jacobienne (de taille (2, 2)) est la matrice
de g dans
la base canonique :
1 1
2
(x, y) R
Jac(g)(x, y) =
1 -1
On rappelle que la matrice jacobienne d'une application h : Rn Rp est
une matrice de Mp,n (R). Si h = (h1 , . . . , hp ) avec hi : Rn R pour
tout i [[ 1 ; p ]], alors la matrice jacobienne de h est
h1
h1
···
x1
xn
.
..
.
..
Jac(h) = ..
.
h
hp
p
···
x1
xn
2.1 Soit (x, y) R2 . D'après le cours l'image par l'application d(f g)(x, y)
d'un
point (u, v) R2 est donnée par
(f g)
(f g)
d(f g)(x, y) (u, v) =
(x, y) · u +
(x, y) · v
x
y
On calcule en premier lieu
f g(x, y) = sin((x + y)2 - (x - y)2 ) = sin(4xy)
car (x + y)2 - (x - y)2 = 2x · 2y = 4xy. Puis, on en déduit les dérivées
partielles de
cette fonction
(f g)
(f g)
(x, y) = 4y cos(4xy) et
(x, y) = 4x cos(4xy)
x
y
Par conséquent,
Pour tout (x, y) R2 et tout (u, v) R2 on a
d(f g)(x, y) (u, v) = 4y cos(4xy)u + 4x cos(4xy)v
2.2 D'après le cours, si f et g sont deux fonctions, avec g différentiable en a
et f
différentiable en b = g(a), alors Jac(f g)(a) = Jac(f )(b) · Jac(g)(a). Soit
(x, y) R2 .
D'après la question 1,