CCP Maths 1 MP 2017

Thème de l'épreuve Séries trigonométriques
Principaux outils utilisés matrice jacobienne, familles sommables, suites et séries de fonctions
Mots clefs série de Fourier, jacobienne, série trigonométrique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2017

MPMA102

!

!
!

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
!

MATHEMATIQUES 1
Mardi 2 mai : 14 h - 18 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
!"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+
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a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont interdites
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Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.
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EXERCICE 1
On définit deux fonctions :
-- la fonction f de R2 dans R par f (x, y) = sin(x2 - y2 ),
-- la fonction g de R2 dans R2 par g(x, y) = (x + y, x - y).
Q1. Justifier que les fonctions f et g sont différentiables en tout vecteur (x, 
y)  R2 et écrire la
matrice jacobienne de f puis de g en (x, y).
Q2. Pour (x, y)  R2 , déterminer l'image d'un vecteur (u, v)  R2 par 
l'application linéaire
d( f  g)((x, y)) en utilisant les deux méthodes suivantes :
1. en calculant f  g ;
2. en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes.

EXERCICE 2
2
et on pose A = N × N .
2
n
6
n=1

1
est sommable et calculer sa somme.
Démontrer que la famille 2 2
p q (p,q)A

1
n'est pas sommable.
Démontrer que la famille 2
p + q2 (p,q)A

On admet que
Q3.
Q4.

+

1

=

PROBLÈME
Séries trigonométriques
Il est utile en physique, notamment pour étudier des spectres d'énergie ou pour 
décomposer un signal périodique en harmoniques, de pouvoir écrire une fonction 
périodique en somme d'une série de
fonctions trigonométriques.
Nous allons nous intéresser à l'aspect mathématique de cette décomposition pour 
les fonctions de
période 2.
Dans ce qui suit,
on appelle "série trigonométrique" une série de fonctions du type :
[an cos(nx) + bn sin(nx)] où (an ) et (bn ) sont deux suites de réels.

Dans la première partie, on étudie quelques exemples. Dans la deuxième partie, 
on s'intéresse plus
particulièrement aux séries trigonométriques qui convergent normalement sur R.

On notera C2 l'espace vectoriel des fonctions continues et 2-périodiques de R 
dans R.
Pour une fonction f élément de C2 , on notera, pour tout entier naturel n :
1
n ( f ) =

f (x) cos(nx) dx

et

-

2/4

1
n ( f ) =

-

f (x) sin(nx) dx .

Partie I - Exemples
 1

1
Q5. Démontrer que la série trigonométrique
cos(nx) + n sin(nx) converge normalement
2n
3
  eix n
sur R. Pour tout entier p  2, déterminer la somme de la série
puis en déduire la valeur de
p
n0

+ 

1
1
n cos(nx) + n sin(nx) (il n'est pas utile de réduire au même dénominateur).
2
3
n=0
Q6. Écrire la fonction  : x  exp(cos x) cos(sin x) comme la somme d'une série 
trigonométrique.
On pourra écrire la fonction x  exp(eix ) comme la somme d'une série de 
fonctions.

Q7. Donner un exemple de suite (an ) de limite nulle, telle que la série 
trigonométrique
an cos(nx)
ne converge pas simplement sur R.
 1
Q8. On admet que la série trigonométrique
 sin(nx) converge simplement sur R. Convergen
n1
t-elle normalement sur R ?

Partie II - Propriétés
Une condition suffisante

bn sont absolument convergentes, alors la série trigoDémontrer que si les séries
an et

nométrique
[an cos(nx) + bn sin(nx)] converge normalement sur R.
Q9.

Une condition nécessaire
Q10.

Soient a et b deux réels quelconques.

Démontrer que le maximun sur R de la fonction x  |a cos x + b sin x| est a2 + 
b2 .

Q11. Démontrer que si la série trigonométrique
[an cos(nx) + bn sin(nx)] converge normalement

an et
bn sont absolument
sur R, alors les suites (an ) et (bn ) convergent vers 0 et les séries
convergentes.
Autres propriétés

Q12. On note f la somme d'une série trigonométrique
[an cos(nx) + bn sin(nx)] qui converge
normalement sur R. Justifier que f  C2 .

2
cos (nx)dx pour n  0 et donner la valeur de
sin(kx) cos(nx)dx pour k  n.
Q13. Calculer
-
-

Q14. On note f la somme d'une série trigonométrique
[an cos(nx) + bn sin(nx)] qui converge
+

[ak cos(kx) + bk sin(kx)]. Démontrer que pour tout
normalement sur R : pour tout réel x, f (x) =
k=0

3/4

entier naturel n non nul n ( f ) = an puis exprimer 0 ( f ) en fonction de a0 . 
On pourra utiliser sans

cos(kx) cos(nx)dx = 0.

démonstration que pour k  n :

-

On admettra, pour la suite du problème, que pour tout entier naturel n non nul 
n ( f ) = bn et 0 ( f ) = 0
(la démonstration n'est pas demandée).
0 ( f )
Q15. Soit f  C2 . Pour tout réel x, on pose u0 (x) =
. Pour tout entier n  1, on pose
2

un (x) converge
un (x) = n ( f ) cos(nx) + n ( f ) sin(nx). On suppose ici que la série 
trigonométrique
normalement sur R vers une fonction notée g :
+

0 ( f )  
pour tout réel x, g(x) =
+
k ( f ) cos(kx) + k ( f ) sin(kx) .
2
k=1
Quelles relations a-t-on dans ce cas entre n (g) et n ( f ) ? n (g) et n ( f ) ?
Q16. Il est admis que si une fonction h  C2 vérifie, pour tout entier naturel n 
: n (h) = n (h) = 0,
alors h est la fonction nulle. Démontrer que pour tout réel x, g(x) = f (x).

n ( f ) cos(nx) + n ( f ) sin(nx) d'une fonction
En résumé, lorsque la série trigonométrique
f  C2 converge normalement sur R, pour tout réel x, on a :
+

f (x) =

0 ( f )  
+
n ( f ) cos(nx) + n ( f ) sin(nx) .
2
n=1

Q17.

Si f  C2 est une fonction paire, que vaut n ( f ) ? Exprimer, sans 
démonstration, n ( f ) en
 
f (x) cos(nx) dx.
fonction de l'intégrale
0

ln(1 + x)
Application. Justifier que la fonction x 
est intégrable sur l'intervalle ]0, 1[ puis
x
 1
2
ln(1 + x)
dx = .
démontrer que
x
12
0
Q21. La somme d'une série trigonométrique qui converge normalement sur R 
est-elle nécessairement une fonction dérivable sur R ?

Proposer une condition suffisante sur les séries
nan et
nbn pour que la somme de la série trigo
nométrique
[an cos(nx) + bn sin(nx)], qui converge normalement sur R, soit une fonction 
dérivable
Q20.

sur R.
Q22.

 n
cos(nx).
Déterminer la somme de la série trigonométrique
3n

FIN
4/4

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 17 1177 ­ D'après documents fournis

Q18. Exemple. Soit f  C2 définie ainsi : pour tout x  [-, ], f (x) = x2 et f 
est 2-périodique
sur R. Construire la courbe de cette fonction paire f sur l'intervalle [-3, 3] 
puis déterminer, pour
tout entier naturel, les coefficients n ( f ) et n ( f ). Donner une série 
trigonométrique qui converge
normalement sur R vers f .
+
+
+
+

(-1)n
1
1
1
Q19. En déduire les sommes :
et
. Déduire alors de
la somme
.
2
2
2
n
n
n
(2n + 1)2
n=1
n=1
n=1
n=0

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Robin Michaud (ENS Lyon) ; il a été relu par Florian
Metzger (docteur en mathématiques) et Sophie Rainero (professeur en CPGE).

L'épreuve se compose de deux exercices et d'un problème, tous trois 
indépendants.
Le premier exercice est calculatoire : il comporte deux questions de calcul 
différentiel
très proches du cours. Dans le deuxième exercice, on étudie la sommabilité des 
familles

1
1
et
p2 q 2 (p,q)(N )2
p2 + q 2 (p,q)(N )2
Dans le problème, qui constitue l'essentiel du sujet, on s'intéresse aux séries 
dites
trigonométriques, c'est-à-dire les séries de la forme
P
(an cos(nx) + bn sin(nx))

Un des buts du problème est d'établir le lien entre une fonction f qui s'exprime
comme une somme trigonométrique et ses coefficients de Fourier, à savoir
Z
Z
1 
1 
n (f ) =
f (x) cos(nx) dx et n (f ) =
f (x) sin(nx) dx
 -
 -
· La première partie du problème est consacrée à quelques exemples de séries 
trigonométriques : en les étudiant, on met en évidence les différences entre 
convergence simple et convergence normale.
P
· Dans
an
P une seconde partie, on prouve que la convergence absolue des séries
et
bnP
est une condition nécessaire et suffisante à la convergence normale de
la série
(an cos(nx) + bn sin(nx)). Puis on montre qu'une fonction f continue
et 2-périodique vérifie pour tout x  R
f (x) =

P
0 (f ) +
n (f ) cos(nx) + n (f ) sin(nx)
+
2
n=1

lorsque cette série converge normalement. Cette série est appelée développement
en série de Fourier de la fonction f . On utilise ces résultats pour calculer
les sommes
+
X
1
n2
n=1

ainsi que l'intégrale

et

Z

0

1

+
X
(-1)n
n2
n=1

ln(1 + x)
dx
x

Enfin, on trouve un critère de dérivabilité pour les séries trigonométriques et
on l'applique au calcul d'une somme.
Ce sujet est abordable et comporte un grand nombre de questions proches du
cours. De la rigueur est néanmoins nécessaire pour ne pas passer à côté des 
difficultés, notamment dans la justification des interversions de limites et 
d'intégrales.
Cela constitue une bonne révision du cours sur les séries de fonctions et un 
aperçu
intéressant sur les séries de Fourier, qui ne figurent plus au programme de MP.

Indications
Exercice 1
1 La fonction f est une composée de fonctions différentiables et g est linéaire.
2.1 Calculer les dérivées partielles de f  g.

2.2 Utiliser la formule donnant la matrice jacobienne de f  g.
Exercice 2
3 Après avoir justifié la sommabilité, calculer la somme demandée en utilisant 
la
formule pour la somme des séries doubles positives sommables

+  +
P P
P
up,q =
up,q
p=1

(p,q)(N)2

q=1

+

4 Écrire A =

S

n=2

In où In = { (p, q)  A| p + q = n} et sommer par paquets.
Problème

5 Penser aux formules d'Euler qui établissent un lien entre les fonctions 
trigonométriques et la fonction exponentielle.
6 Remarquer que pour tout x  R
P e inx
n=0 n!
+

exp(e ix ) =

exp(cos x) cos(sin x) = Re (exp(e ix ))

et

7 Regarder ce qui se passe en x = 0.
8 Utiliser le fait que le maximum de la fonction sinus sur R est 1.
9 Majorer le terme |an cos(nx) + bn sin(nx)| à l'aide de |an | et |bn |.

10 À l'aide d'une formule trigonométrique, chercher le maximum sur R de la 
fonction
a
b
cos x + 
sin x
x 7- 
2
2
2
a +b
a + b2
11 Utiliser la question 10 ainsi que la définition de la convergence normale 
pour
obtenir une majoration de |an | et |bn | par des suites qui sont les termes 
généraux
de séries convergentes.
12 Appliquer le théorème de continuité d'une limite uniforme de fonctions 
continues.
13 La première intégrale se calcule à l'aide de l'égalité
x  R

cos2 x =

1 + cos(2x)
2

et la seconde en remarquant que l'intégrande est une fonction impaire.
14 Utiliser un théorème d'interversion d'une série et d'une intégrale, puis 
appliquer
la question précédente et l'égalité donnée par l'énoncé à chacune des 
intégrales.
P
15 Appliquer la question 14 à la série de fonctions
un (x).

16 On pourra montrer que n (f - g) = n (f ) - n (g) (idem avec n ).
17 Étudier la parité de la fonction x 7- f (x) sin x.

18 Deux intégrations par parties successives suffisent à calculer n , tandis 
que la
question 17 donne la valeur de n .

19 Évaluer la fonction f définie par l'énoncé à la question 18 d'une part, et 
son
développement en série trigonométrique calculée à la même question d'autre part,
en des points bien choisis.
20 Montrer que la fonction x 7- ln(1 + x)/x est prolongeable par continuité en 
0.
Pour le calcul de l'intégrale, utiliser le développement en série entière du 
logarithme et appliquer un théorème d'intégration terme à terme.
21 La question 18 fournit un contre-exemple. Pour trouver une condition 
nécessaire
et suffisante pour que la somme de la série trigonométrique
P
(an cos(nx) + bn sin(nx))
soit une fonction dérivable, penser au théorème du cours qui permet de dériver
une somme de fonctions dérivables.
P
22 Utiliser la série trigonométrique
sin(nx)/3n et la dérivée de sa somme.

Exercice 1
1 La fonction f est la composée de la fonction (x, y) 7- x2 - y 2 qui est 
différentiable sur R2 car polynomiale, avec la fonction  7- sin  qui est 
différentiable
sur R. Ainsi, f est différentiable en tout point de R2 comme composée de 
fonctions
différentiables. Soit (x, y)  R2 . On note Jac(f )(x, y) la matrice jacobienne 
de f en
ce point. Comme f : R2  R, cette matrice est de taille (1, 2). Les dérivées 
partielles
de f en (x, y) valent
f
f
(x, y) = 2x cos(x2 - y 2 ) et
(x, y) = -2y cos(x2 - y 2 )
x
y
si bien que la matrice jacobienne de f est

(x, y)  R2
Jac(f )(x, y) = 2x cos(x2 - y 2 )
- 2y cos(x2 - y 2 )
La fonction g est une application linéaire de R2 dans R2 , elle est donc 
différentiable
en tout point de R2 et sa matrice jacobienne (de taille (2, 2)) est la matrice 
de g dans
la base canonique :

1 1
2
(x, y)  R
Jac(g)(x, y) =
1 -1
On rappelle que la matrice jacobienne d'une application h : Rn  Rp est
une matrice de Mp,n (R). Si h = (h1 , . . . , hp ) avec hi : Rn  R pour
tout i  [[ 1 ; p ]], alors la matrice jacobienne de h est

h1
h1
···
 x1
xn 
 .
.. 
.

..
Jac(h) =  ..
. 
 h
hp 
p
···
x1
xn
2.1 Soit (x, y)  R2 . D'après le cours l'image par l'application d(f  g)(x, y) 
d'un
point (u, v)  R2 est donnée par

(f  g)
(f  g)
d(f  g)(x, y) (u, v) =
(x, y) · u +
(x, y) · v
x
y
On calcule en premier lieu
f  g(x, y) = sin((x + y)2 - (x - y)2 ) = sin(4xy)

car (x + y)2 - (x - y)2 = 2x · 2y = 4xy. Puis, on en déduit les dérivées 
partielles de
cette fonction
(f  g)
(f  g)
(x, y) = 4y cos(4xy) et
(x, y) = 4x cos(4xy)
x
y
Par conséquent,
Pour tout (x, y)  R2 et tout (u, v)  R2 on a

d(f  g)(x, y) (u, v) = 4y cos(4xy)u + 4x cos(4xy)v
2.2 D'après le cours, si f et g sont deux fonctions, avec g différentiable en a 
et f
différentiable en b = g(a), alors Jac(f  g)(a) = Jac(f )(b) · Jac(g)(a). Soit 
(x, y)  R2 .
D'après la question 1,