CCINP Maths 1 MP 2017

Thème de l'épreuve Séries trigonométriques
Principaux outils utilisés matrice jacobienne, familles sommables, suites et séries de fonctions
Mots clefs série de Fourier, jacobienne, série trigonométrique

Corrigé

 : (gratuite si tu crées un compte) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2017

MPMA102

!

!
!

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
!

MATHEMATIQUES 1
Mardi 2 mai : 14 h - 18 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
!"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+
/'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+
a été amené à prendre.!

!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
"
!
!
!
!
!
!
Les calculatrices sont interdites
!
!
!
!
!
!
!
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
1/4

!

EXERCICE 1
On définit deux fonctions :
-- la fonction f de R2 dans R par f (x, y) = sin(x2 - y2 ),
-- la fonction g de R2 dans R2 par g(x, y) = (x + y, x - y).
Q1. Justifier que les fonctions f et g sont différentiables en tout vecteur (x, 
y)  R2 et écrire la
matrice jacobienne de f puis de g en (x, y).
Q2. Pour (x, y)  R2 , déterminer l'image d'un vecteur (u, v)  R2 par 
l'application linéaire
d( f  g)((x, y)) en utilisant les deux méthodes suivantes :
1. en calculant f  g ;
2. en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes.

EXERCICE 2
2
et on pose A = N × N .
2
n
6
n=1

1
est sommable et calculer sa somme.
Démontrer que la famille 2 2
p q (p,q)A

1
n'est pas sommable.
Démontrer que la famille 2
p + q2 (p,q)A

On admet que
Q3.
Q4.

+

1

=

PROBLÈME
Séries trigonométriques
Il est utile en physique, notamment pour étudier des spectres d'énergie ou pour 
décomposer un signal périodique en harmoniques, de pouvoir écrire une fonction 
périodique en somme d'une série de
fonctions trigonométriques.
Nous allons nous intéresser à l'aspect mathématique de cette décomposition pour 
les fonctions de
période 2.
Dans ce qui suit,
on appelle "série trigonométrique" une série de fonctions du type :
[an cos(nx) + bn sin(nx)] où (an ) et (bn ) sont deux suites de réels.

Dans la première partie, on étudie quelques exemples. Dans la deuxième partie, 
on s'intéresse plus
particulièrement aux séries trigonométriques qui convergent normalement sur R.

On notera C2 l'espace vectoriel des fonctions continues et 2-périodiques de R 
dans R.
Pour une fonction f élément de C2 , on notera, pour tout entier naturel n :
1
n ( f ) =

f (x) cos(nx) dx

et

-

2/4

1
n ( f ) =

-

f (x) sin(nx) dx .

Partie I - Exemples
 1

1
Q5. Démontrer que la série trigonométrique
cos(nx) + n sin(nx) converge normalement
2n
3
  eix n
sur R. Pour tout entier p  2, déterminer la somme de la série
puis en déduire la valeur de
p
n0

+ 

1
1
n cos(nx) + n sin(nx) (il n'est pas utile de réduire au même dénominateur).
2
3
n=0
Q6. Écrire la fonction  : x  exp(cos x) cos(sin x) comme la somme d'une série 
trigonométrique.
On pourra écrire la fonction x  exp(eix ) comme la somme d'une série de 
fonctions.

Q7. Donner un exemple de suite (an ) de limite nulle, telle que la série 
trigonométrique
an cos(nx)
ne converge pas simplement sur R.
 1
Q8. On admet que la série trigonométrique
 sin(nx) converge simplement sur R. Convergen
n1
t-elle normalement sur R ?

Partie II - Propriétés
Une condition suffisante

bn sont absolument convergentes, alors la série trigoDémontrer que si les séries
an et

nométrique
[an cos(nx) + bn sin(nx)] converge normalement sur R.
Q9.

Une condition nécessaire
Q10.

Soient a et b deux réels quelconques.

Démontrer que le maximun sur R de la fonction x  |a cos x + b sin x| est a2 + 
b2 .

Q11. Démontrer que si la série trigonométrique
[an cos(nx) + bn sin(nx)] converge normalement

an et
bn sont absolument
sur R, alors les suites (an ) et (bn ) convergent vers 0 et les séries
convergentes.
Autres propriétés

Q12. On note f la somme d'une série trigonométrique
[an cos(nx) + bn sin(nx)] qui converge
normalement sur R. Justifier que f  C2 .

2
cos (nx)dx pour n  0 et donner la valeur de
sin(kx) cos(nx)dx pour k  n.
Q13. Calculer
-
-

Q14. On note f la somme d'une série trigonométrique
[an cos(nx) + bn sin(nx)] qui converge
+

[ak cos(kx) + bk sin(kx)]. Démontrer que pour tout
normalement sur R : pour tout réel x, f (x) =
k=0

3/4

entier naturel n non nul n ( f ) = an puis exprimer 0 ( f ) en fonction de a0 . 
On pourra utiliser sans

cos(kx) cos(nx)dx = 0.

démonstration que pour k  n :

-

On admettra, pour la suite du problème, que pour tout entier naturel n non nul 
n ( f ) = bn et 0 ( f ) = 0
(la démonstration n'est pas demandée).
0 ( f )
Q15. Soit f  C2 . Pour tout réel x, on pose u0 (x) =
. Pour tout entier n  1, on pose
2

un (x) converge
un (x) = n ( f ) cos(nx) + n ( f ) sin(nx). On suppose ici que la série 
trigonométrique
normalement sur R vers une fonction notée g :
+

0 ( f )  
pour tout réel x, g(x) =
+
k ( f ) cos(kx) + k ( f ) sin(kx) .
2
k=1
Quelles relations a-t-on dans ce cas entre n (g) et n ( f ) ? n (g) et n ( f ) ?
Q16. Il est admis que si une fonction h  C2 vérifie, pour tout entier naturel n 
: n (h) = n (h) = 0,
alors h est la fonction nulle. Démontrer que pour tout réel x, g(x) = f (x).

n ( f ) cos(nx) + n ( f ) sin(nx) d'une fonction
En résumé, lorsque la série trigonométrique
f  C2 converge normalement sur R, pour tout réel x, on a :
+

f (x) =

0 ( f )  
+
n ( f ) cos(nx) + n ( f ) sin(nx) .
2
n=1

Q17.

Si f  C2 est une fonction paire, que vaut n ( f ) ? Exprimer, sans 
démonstration, n ( f ) en
 
f (x) cos(nx) dx.
fonction de l'intégrale
0

ln(1 + x)
Application. Justifier que la fonction x 
est intégrable sur l'intervalle ]0, 1[ puis
x
 1
2
ln(1 + x)
dx = .
démontrer que
x
12
0
Q21. La somme d'une série trigonométrique qui converge normalement sur R 
est-elle nécessairement une fonction dérivable sur R ?

Proposer une condition suffisante sur les séries
nan et
nbn pour que la somme de la série trigo
nométrique
[an cos(nx) + bn sin(nx)], qui converge normalement sur R, soit une fonction 
dérivable
Q20.

sur R.
Q22.

 n
cos(nx).
Déterminer la somme de la série trigonométrique
3n

FIN
4/4

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 17 1177 ­ D'après documents fournis

Q18. Exemple. Soit f  C2 définie ainsi : pour tout x  [-, ], f (x) = x2 et f 
est 2-périodique
sur R. Construire la courbe de cette fonction paire f sur l'intervalle [-3, 3] 
puis déterminer, pour
tout entier naturel, les coefficients n ( f ) et n ( f ). Donner une série 
trigonométrique qui converge
normalement sur R vers f .
+
+
+
+

(-1)n
1
1
1
Q19. En déduire les sommes :
et
. Déduire alors de
la somme
.
2
2
2
n
n
n
(2n + 1)2
n=1
n=1
n=1
n=0