CCP Maths 1 MP 2016

Thème de l'épreuve Deux exercices et un problème sur la fonction digamma
Principaux outils utilisés développement en série entière, loi conjointe, sommes doubles, intégrales à paramètre, séries de fonctions
Mots clefs fonction gamma, fonction digamma

Corrigé

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SESSION 2016 MPMA102 ! ! ! EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! MATHEMATIQUES 1 Mardi 3 mai : 14 h - 18 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" " ! ! Les calculatrices sont interdites ! ! ! ! ! ! ! Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/4 ! EXERCICE I On considère l'équation différentielle (E) : x2 y + (x2 - x) y + 2 y = 0. I.1. Existe-t-il des solutions non nulles de l'équation (E) développables en série entière sur un intervalle ]-r, r[ (r > 0) de R? EXERCICE II II.1. Démontrer que la famille i+ j 2i+ j est sommable et calculer sa somme. (i, j)N² II.2. Soit X et Y deux variables aléatoires sur un même espace probabilisé à valeurs dans N. On suppose que la loi conjointe du couple (X,Y ) vérifie : i+ j pour tout (i, j) N², P(X = i,Y = j)= P [(X = i) (Y = j)] = i+ j+3 . 2 II.2.a. Vérifier que la relation ci-dessus définit bien une loi conjointe. II.2.b. Démontrer que les variables aléatoires X et Y suivent une même loi. II.2.c. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? PROBLÈME : Fonction Digamma Partie préliminaire III.1. III.1.a. Soit x ]0, + [, démontrer que la fonction t e-t t x-1 est intégrable sur ]0, + [. III.1.b. On note, pour tout x ]0, + [, (x) = + e-t t x-1 dt (fonction Gamma d'Euler). 0 Démontrer que pour tout x ]0, + [, (x) > 0. III.1.c. Démontrer que la fonction est dérivable sur ]0, + [ puis exprimer (x) sous forme d'intégrale. III.2. Pour tout entier n 2, on pose un = n 1 n-1 1 dt - . t n III.2.a. Utiliser un théorème du cours pour justifier simplement que la série un converge. n2 III.2.b. Pour tout entier n 1, on pose Hn = n 1 k - ln(n). k=1 Démontrer que la suite (Hn )n1 converge. 2/4 La limite de la suite (Hn )n1 sera notée dans tout le sujet ( est appelée la constante d'Euler). Dans (x) la suite de ce problème, on définit pour tout x ]0, + [, (x) = appelée fonction Digamma. (x) Expression de la fonction Digamma à l'aide d'une série III.3. Pour x ]0, + [ et pour tout entier n1, on définit la fonction fn sur ]0, + [ telle que : nt pour tout t ]0,n], fn (t) = 1 - t x-1 et pour tout t ]n, + [ , fn (t) = 0. n III.3.a. Démontrer que pour tout x < 1, ln(1 - x) -x. En déduire que pour tout entier n 1 , pour tout x ]0, + [ et tout t ]0, + [ , 0 fn (t) e-t t x-1 . III.3.b. En utilisant le théorème de convergence dominée, démontrer que pour tout x ]0, + [, n t n x-1 1- t dt. (x) = lim n+ 0 n III.4. On pose, pour n entier naturel et pour x ]0, + [, In (x) = 1 (1 - u)n ux-1 du. 0 III.4.a. Après avoir justifié l'existence de l'intégrale In (x), déterminer, pour x > 0 et pour n 1, une relation entre In (x) et In-1 (x + 1). III.4.b. En déduire, pour n entier naturel et pour x ]0, + [ une expression de In (x). III.4.c. Démontrer que, pour tout x ]0, + [, (x) = lim n! nx n+ n (formule de Gauss). (x + k) k=0 n III.5. Pour tout entier n 1, on note toujours Hn = 1 k - ln(n). k=1 n 1 n x -x x En remarquant que pour n 1 et x ]0, + [, x 1 + = e x Hn 1 + e k , démontrer n k=1 k k k=1 n x -x 1 x e k (formule de Weierstrass). = x e lim 1 + que pour tout x ]0, + [, n+ (x) k k=1 III.6. III.6.a. En déduire que la série x x ln 1 + - converge simplement sur ]0, + [ . k k k1 + x x ln 1 + - . Démontrer que l'application k k k=1 1 g est de classe C sur ]0, + [ et exprimer g (x) comme somme d'une série de fonctions. + 1 1 -1 - + - III.6.c. En déduire que, pour tout x ]0, + [, (x) = . On rappelle x k+x k=1 k (x) . que pour tout x ]0, + [, (x) = (x) III.6.b. On pose, pour tout x ]0, + [, g(x) = 3/4 III.7. III.7.a. Que vaut (1)? En déduire la valeur de l'intégrale + e-t ln(t) dt. 0 III.7.b. Calculer, pour tout x ]0, + [, (x + 1) - (x) puis démontrer que, pour tout entier n-1 1 n 2, (n) = - + . k=1 k III.7.c. On pose, pour tout (x,y) ]0, + [2 et k entier naturel, jk (y) = Démontrer que la série 1 1 - . k+y+1 k+y+x jk converge uniformément sur ]0, + [. k0 En déduire lim ((x + n) - (1 + n)). n+ III.8. Déterminer l'ensemble des applications f définies sur ]0, + [ et à valeurs réelles vérifiant les trois conditions : · f (1) = - , 1 · pour tout x ]0, + [, f (x + 1) = f (x) + , x · pour tout x ]0, + [, lim ( f (x + n) - f (1 + n)) = 0. n+ Autour de la fonction Digamma III.9. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue un premier tirage d'un boule dans l'urne et on adopte le protocole suivant : si on a tiré la boule numéro k, on la remet alors dans l'urne avec k nouvelles boules toutes numérotées k. On effectue ensuite un deuxième tirage d'une boule. On note X (respectivement Y ) la variable aléatoire égale au numéro de la boule choisie au premier tirage (respectivement au deuxième tirage). III.9.a. Déterminer la loi de la variable aléatoire X ainsi que son espérance E(X). III.9.b. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y et vérifier que pour tout entier naturel non 1 k nul k, P(Y = k) = . (2n + 1) - (n + 1) + n n+k III.9.c. Calculer l'espérance E(Y ). On pourra utiliser, sans démonstration, que n 1-n k2 n(n + k) = 2 + n ((2n + 1) - (n + 1)). k=1 Fin de l'énoncé 4/4 I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 16 1213 ­ D'après documents fournis Par exemple, si on a tiré la boule numéro 3, on remet quatre boules de numéro 3 dans l'urne (la boule tirée plus 3 nouvelles boules numéro 3).

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 CCP Maths 1 MP 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thomas Ragel (ENS Lyon) ; il a été relu par Damien Garreau (ENS Ulm) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). L'épreuve comporte deux exercices et un problème indépendants. Dans le premier exercice, on cherche les solutions développables en série entière d'une équation différentielle. Dans le second exercice, on étudie les lois conjointes et marginales de deux variables aléatoires. On fait intervenir la notion de famille sommable. Le problème est consacré à la fonction digamma définie par (x) = (x)/(x) pour x ] 0 ; + [, où , fonction qui généralise la factorielle, est définie par Z + x ] 0 ; + [ (x) = e -t tx-1 dt 0 Il est divisé en 9 questions principales que l'on peut regrouper en 4 parties : · Les questions III.1 et III.2 sont des préliminaires. On y étudie quelques propriétés élémentaires de la fonction et de la série harmonique. On calcule notamment la dérivée de au moyen du théorème de dérivation sous le signe intégrale. · Dans les questions III.3, III.4 et III.5, on cherche à exprimer la fonction sous différentes formes afin d'en déduire une expression de dans la question III.6. La question III.3 fait appel au théorème de convergence dominée. · Les questions III.7 et III.8 sont les plus difficiles du sujet. Elles permettent de caractériser la fonction digamma. Ces deux questions illustrent bien le raisonnement d'analyse-synthèse. · Le problème se termine par une question de probabilités. On s'intéresse au tirage de deux boules avec une remise qui dépend de la première boule tirée. L'expression de la fonction digamma trouvée à la question III.7.b permet de simplifier l'expression des probabilités obtenues. Ce sujet fait appel à la majeure partie du programme d'analyse de spé, notamment les grands théorèmes d'analyse (convergence dominée, dérivation sous le signe intégrale) et les notions de convergence uniforme, de série entière et de famille sommable. La difficulté reste contenue et elle est croissante, ce qui est parfait pour se préparer aux concours. Indications Exercice I I.1 Raisonner par analyse-synthèse. Dans l'analyse, se donner une solution f de (E) développable en série entière, écrire f et ses dérivées sous forme de sommes de séries entières et injecter ces expressions dans l'équation. Utiliser l'unicité du développement en série entière de la fonction nulle pour conclure. Exercice II II.1 D'abord, penser à faire une partition. Ensuite, calculer + P + k xk puis P k(k + 1)xk-1 k=1 k=1 Une autre solution consiste à calculer, pour tout i N, P i+j i+j j=0 2 P P i+j i+j i=0 j=0 2 + + + puis II.2.c Regarder si les événements (X = 0) et (Y = 0) sont indépendants. Problème III.1.b Utiliser le fait que fx est strictement positive et que, sur un segment, une fonction continue admet un minimum. III.1.c Appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale à l'aide d'une domination uniforme des dérivées sur un segment. III.3.a Utiliser un argument de convexité ou faire une étude de fonction. III.3.b Appliquer le théorème de convergence dominée. III.4.a Effectuer une intégration par parties. III.4.b Calculer I0 (x + n) et faire une récurrence. III.4.c Effectuer le changement de variable u = t/n. III.6.b Montrer la convergence normale de la série sur tout segment. III.6.c Dériver l'expression de g de la question III.5 et combiner ce résultat avec l'expression de g obtenue à la question III.6.b. III.7.c Montrer la convergence normale de la série de fonctions. Utiliser ensuite le théorème de la double limite. III.8 Remarquer que les propriétés 1 et 2 suffisent à prouver III.7.b. Ensuite, exprimer f (x) en fonction de f (x + n) en sommant la propriété 2, et faire apparaître f (1 + n) afin d'utiliser la propriété 3. Enfin, se servir de l'expression de la question III.6.c. III.9.b Il y a une erreur d'énoncé : il faut démontrer le résultat pour tout k [[ 1 ; n ]] et non pour tout k N . Utiliser le système complet d'événements (X = i)i[[ 1 ; n ]] . Ensuite, calculer P(Y = k | X = i) en distinguant i = k et i 6= k. Exercice I I.1 Analyse : soient r > 0 et f une solution de (E), développable en série entière sur ] -r ; r [. Soit une suite (an )n>0 telle que + x ] -r ; r [ P f (x) = an xn n=0 La fonction f est C sur son disque ouvert de convergence. D'après le théorème de dérivation terme à terme d'une série entière sur son intervalle ouvert de convergence, la fonction f est de classe C sur ] -r ; r [ et, pour tout x ] -r ; r [, + P f (x) = + n an xn-1 et f (x) = n=0 P n(n - 1)an xn-2 n=0 Soit x ] -r ; r [. La fonction f étant solution de l'équation différentielle, on a 0 = x2 f (x) + (x2 - x)f (x) + 2 f (x) + = P + n(n - 1)an xn + n=0 + = P n=0 P + n an xn+1 - n=0 P + n an xn + n=0 P 2 an xn n=0 + P (n(n - 1) - n + 2)an xn + (n - 1)an-1 xn n=1 + 0 = 2a0 + ((n(n - 2) + 2)an + (n - 1)an-1 ) xn P n=1 Cette égalité étant vraie sur un intervalle réel centré en 0, on en déduit par unicité du développement en série entière que a0 = 0 et n N an = -(n - 1)an-1 n(n - 2) + 2 Par récurrence sur n N, on obtient que an = 0 pour tout n N donc que f est identiquement nulle. Synthèse : Réciproquement, la fonction nulle est solution de (E). Pour tout r > 0, la fonction nulle est l'unique solution de (E) développable en série entière sur ] -r ; r [. Exercice II 2 II.1 On partitionne N en une réunion d'ensembles finis : [ N2 = {(i, j) N2 | i + j = k} kN Soit k N. Comme Card({(i, j) N | i + j = k}) = k + 1, on a X k k(k + 1) = 2k 2k i+j=k La famille (i + j)/2i+j (i,j)N2 est sommable si et seulement si k(k + 1)/2k kN l'est en vertu du théorème de sommation par paquets. On remarque que 4 k(k + 1) k k2 = O ---- 0 2k 2k k+ P Ainsi, k(k + 1)/2k = o 1/k 2 . Or la série 1/k 2 converge absolument, donc la i+j famille (i + j)/2 est sommable et (i,j)N2 + + X Xi+j i=0 j=0 = 2i+j + + X X k X k(k + 1) = k 2 2k k=0 i+j=k k=0 + On a P x [0;1[ xk = k=0 1 1-x P k De plus, la série entière x a un rayon de convergence égal à 1, donc sa somme est de classe C sur [ 0 ; 1 [ et elle est dérivable terme à terme. Par conséquent, en dérivant la somme une première fois, on obtient + X x [ 0 ; 1 [ k xk-1 = k=1 1 (1 - x)2 puis, en la dérivant une seconde fois, il vient + X x [ 0 ; 1 [ k(k + 1)xk-1 = k=1 + X k(k - 1)xk-2 = k=2 2 (1 - x)3 En utilisant la relation ci-dessus, on a + + X X i+j i=0 j=0 Finalement, i + j 2i+j 2i+j + = (i,j)N2 1 X k(k + 1) 1 = =8 k-1 2 2 (1 - 1/2)3 k=1 est sommable et sa somme vaut 8. Calculons la double somme sans considérer de partition. Soit i N. La suite (i + j)/2i+j jN est négligeable devant 1/j 2 jN donc elle est sommable. Calculons sa somme + + + X i+j iX 1 1 X j = + 2i+j 2i j=0 2j 2i+1 j=0 2j-1 j=0 i 1 1 1 = i + 2 (1 - 1/2) 2i+1 (1 - 1/2)2 + X i+j i 2 = i-1 + i i+j 2 2 2 j=0 De même, la famille i/2i-1 + 2/2i iN est sommable et + + + X X i+j X i 2 = + i 2i+j 2i-1 2 i=0 j=0 i=0 = + X i=0 + + i 2i-1 + X 1 +2 i 2 i=0 XX i + j 1 1 = +2 =8 i+j 2 2 (1 - 1/2) 1 - i=0 j=0