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CCP Maths 1 MP 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thierry Limoges (ENS Cachan) ; il a été relu par
François Lê (ENS Lyon) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).
Ce sujet comporte deux exercices et un problème indépendants.
Le premier exercice est une question de cours à propos de la loi de Poisson.
Le deuxième traite un exemple de série de fonctions qui converge simplement mais
ne s'intègre pas terme à terme.
Le problème est constitué de quatre parties indépendantes autour du théorème
d'approximation de Weierstrass. De nombreux exemples et contre-exemples y sont
abordés.
· La première partie illustre la dépendance de la limite vis-à-vis de la norme
choisie dans un espace vectoriel normé de dimension infinie et traite un
contreexemple du théorème d'approximation de Weierstrass lorsque l'ensemble de
définition n'est plus un segment.
· Dans la deuxième partie, on démontre un théorème des moments : si tous les
moments d'ordre k d'une fonction f continue sur [ a ; b ] sont nuls,
c'est-à-dire si
Z b
k N
xk f (x) dx = 0
a
alors f est identiquement nulle sur [ a ; b ]. On utilise ce résultat dans un
cadre
préhilbertien puis on établit qu'il ne s'étend pas sur un intervalle quelconque.
· La troisième partie étudie la convergence d'une suite de polynômes définis
grâce
à une suite récurrente.
· Enfin, la quatrième partie démontre le théorème d'approximation de
Weierstrass via une méthode probabiliste, en utilisant les polynômes de
Bernstein.
On peut retrouver cet exercice dans la première épreuve de mathématiques du
concours Mines-Ponts de la filière MP en 2015.
Ce sujet contient des exemples variés qui illustrent les théorèmes autour de la
convergence uniforme, ainsi que les limites de leur cadre d'application
(segments,
intervalles). Il permet de s'approprier de manière solide ces notions de
convergence
simple ou uniforme.
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Indications
II.1 Comparer chaque terme à la fonction x 7- 1/x2 en +.
II.2 Trouver des sommes géométriques, simplifier la formule de S, effectuer le
changement de variable u = e x , puis une décomposition en éléments simples
pour calculer son intégrale.
II.3 Raisonner par l'absurde et appliquer le théorème d'intégration terme à
terme.
III.1 Établir une contradiction à propos de la limite en 0 d'un polynôme qui
approcherait la fonction h uniformément sur ] 0 ; 1 ].
III.2 Un sous-espace de dimension finie dans un espace vectoriel normé est
fermé.
III.3.a Un polynôme ayant une infinité de racines est le polynôme nul.
III.3.b Utiliser le théorème de Weierstrass. Montrer que la norme de la
différence
tend vers 0.
III.4.a Utiliser la linéarité de l'intégrale.
III.4.b Montrer que l'intégrale de f 2 est nulle en l'obtenant comme une limite.
III.5 Interpréter le résultat de la question précédente comme une orthogonalité
dans l'espace préhilbertien donné.
III.6.a Comparer à une intégrale de Riemann, puis effectuer une intégration par
parties. Montrer la formule par récurrence.
III.6.b Utiliser sin x = Im (e ix ) pour x R.
III.6.c Effectuer un changement de variable.
III.6.d Raisonner par l'absurde.
III.7 Étudier la fonction gx sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] puis la suite
récurrente associée.
III.8 Penser à une bosse qui se déplace.
III.9.a Utiliser la question III.7.
III.9.b Appliquer le théorème de l'énoncé à la suite de fonctions (Pn )nN sur
l'intervalle [ 0 ; 1 ].
III.10.a Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable aléatoire
Sn .
III.10.b Utiliser le théorème de transfert.
III.11.a Montrer l'uniforme continuité de f sur [ 0 ; 1 ].
III.11.b Montrer que les événements {Sn = k} pour les entiers k surlesquels la
Sn
-x > .
somme est indexée sont inclus dans l'événement
n
III.11.c Séparer la somme en deux termes, puis les majorer grâce aux questions
III.11.a et III.11.b.
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Exercice I
I.1 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre > 0.
Cette variable aléatoire admet donc une série génératrice de rayon supérieur ou
égal
à 1, et étant à valeurs dans N, c'est par définition la somme de la série
entière en la
variable t
P
P - k k
P - (t)k
P(X = k)tk =
e
t =
e
k!
k!
k>0
k>0
k>0
Cette série entière est de rayon de convergence infini, de somme
+
P
e -
k=0
(t)k
= e - e t
k!
Par conséquent, pour tout t R,
GX (t) = e (t-1)
La fonction GX est dérivable en 1. Ainsi X admet une espérance et E(X) = GX (1).
Or, pour tout t R, GX (t) = e (t-1) , d'où
E(X) =
La fonction GX est deux fois dérivable en 1 donc X admet une variance. On a
GX (1) = E(X(X - 1)) = E(X2 - X) = E(X2 ) - E(X)
par linéarité de l'espérance. Ainsi,
V(X) = E(X2 ) - E(X)2 = E(X2 ) - E(X) + E(X) - E(X)2 = GX (1) + GX (1) - GX (1)2
Il faut savoir retrouver cette formule qui ne doit pas être écrite sur la copie
sans justification.
Or comme pour tout t R, GX (t) = 2 e (t-1) , on en déduit V(X) = 2 + - 2 = ,
c'est-à-dire
V(X) =
Exercice II
II.1 Soit n N . Comme la fonction fn : x 7- e -nx - 2e -2nx est continue
sur [ 0 ; + [, la fonction fn est intégrable au voisinage de 0. Lorsque x tend
vers +,
1
1
-nx
-2nx
e
=O
et e
=O
car n > 0
2
x
x2
1
donc
fn (x) = O
x2
Comme la fonction x 7- 1/x2 est intégrable au voisinage de +, par comparaison
la fonction fn est intégrable au voisinage de +, d'où
Pour tout n N , fn est intégrable sur I.
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Z
On a
+
fn (x) dx =
0
Z
+
(e -nx - 2e -2nx ) dx
0
+
e -nx
e -2nx
-2
=
-n
-2n 0
1
1
= 0+ -0+2
n
-2n
Z
Ainsi,
Z
+
fn (x) dx = 0
0
+
et donc
fn (x) dx = 0
0
+ Z
X
n=1
+
0
fn (x) dx = 0
II.2 Soit x P
] 0 ; + [. Comme
> 0, e -x et e -2x sont dansP] 0 ; 1 [, donc les séries
P x
-x n
-x n
géométriques
(e ) et
(e ) convergent, ainsi que
fn (x) par linéarité.
Calculons sa somme
+
S(x) =
=
=
P
fn (x)
n=1
+
P
n=1
+
P
n=1
=
=
=
=
e -nx - 2e -2nx
n
(e -x ) - 2
+
P
n=1
e -2x
n
1
1
e
- 2e -2x
1 - e -x
1 - e -2x
1
1
- 2 2x
ex - 1
e -1
1
1
-2 x
ex - 1
(e - 1)(e x + 1)
1
1
1
-
2
ex - 1
ex + 1
-x
1 ex + 1 - 2
- 1 ex + 1
1
S(x) = x
e +1
=
ex
Étudions l'intégrabilité de la fonction S sur I = ] 0 ; + [. C'est une fonction
continue
sur I, qui se prolonge par continuité en 0. Au voisinage de +,
1
S(x) = O
x2
Par conséquent, la fonction S est intégrable au voisinage de +. Ainsi,
P
La série de fonctions
fn converge simplement sur I vers
la fonction S, intégrable sur I, définie par S(x) = 1/(e x +1).
