CCP Maths 1 MP 2014

Thème de l'épreuve Calcul d'une intégrale double. Solutions d'une équation différentielle d'ordre 2. Convergence de séries via la transformation d'Abel.
Principaux outils utilisés intégrales doubles, équations différentielles linéaires, séries numériques, séries de fonctions
Mots clefs transformation d'Abel, séries alternées, coordonnées polaires

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SESSION 2014 MPM1002 _:â=_ CONCOURS COMMUNS -=- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené a prendre. \ Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants. 1/5 I : PREMIER EXERCICE I.1. On note D = {(a:, y) EUR R2, 332 + y2 S 1}, calculer l'intégrale double // doedy. 1+az:2+y2 D II : DEUXIEME EXERCICE & et 19 étant deux fonctions continues sur R, on note l'équation différentielle (E): 332 y" + a(a:) y' + b(a:) y = 0 . On note S+ l'espace vectoriel des solutions de (E) sur l'intervalle ] = ]O, +oo[ et S _ l'espace vectoriel des solutions de (E) sur l'intervalle J : ]--oo, O[ . L'objectif de cet exercice est d'étudier la dimension de l'espace vectoriel S des fonctions y de classe 02 sur R vérifiant (E) sur R tout entier. II.1. Donner la dimension des espaces vectoriels S + et S _. II.2. On note 90 l'application linéaire de S vers S+ >< S_ définie par g0(f) : (f],fj) où f; désigne la restriction de la fonction f a l'intervalle ] et fj désigne la restriction de la fonction f a l'intervalle J. Donner le noyau de l'application go et en déduire que dim S S 4. II.3. Dans cette question, on considère a(a:) : a: et b(a:) : O, d'où (E) : a:2y" + a:y' : 0 . Déterminer S+ et S _. Déterminer ensuite S et donner sans détails la dimension de S. II.4. Dans cette question (E) : a:2y" -- 6oey' + 12y : 0. Déterminer deux solutions sur I de cette équation de la forme 33 H 33" (oz réel). En déduire S+ puis S _. Déterminer S et donner la dimension de S. II.5. Donner un exemple d'équation différentielle du type (E) : 33%" + a(a:)y' + b(a:)y : 0 tel que dim S = 0 (on détaillera). On pourra, par exemple, s'inspirer de la question précédente. III : PROBLEME Première partie : convergence de séries par transformation d'Abel III.1. On considère une suite de réels (an), une suite de complexes (bn) et on note pour tout entier naturel 71 : Sn : Zakbk et Bn : 2 191EUR. k--0 k=0 En remarquant que, pour k 2 l, bk =Bk -- Bk_1, démontrer que, pour tout entier naturel 71 non nul, n--1 Sn : Z(ak -- ak+1)Bk + czan (transformation d'Abel). k=0 2/5 III.2. On suppose que la suite (En) est bornée et que la suite (an) est décroissante de limite nulle. III.2.a Démontrer que la série Z(ak -- ak+1) converge. 1:20 III.2.b En déduire que la série Zanbn converge. nZO III.2.C En appliquant le résultat précédent au cas où bn : (--l)", donner une démonstration du théorème des séries alternées, après l'avoir énoncé. III.3. Exemple. Dans cette question, 9 est un réel différent de 2k7r (k EUR Z) et oz E R. n III.3.a Calculer pour n entier naturel non nul, Ze k=1 ik9 in9 III.3.b Discuter en fonction du réel oz la nature de la série Z 7121 a | sin na: III.4. Soit la série de fonctions Zun où pour a: réel et n entier naturel non nul, un(aî) : ( ) 7121 \/H Démontrer que cette série de fonctions converge simplement en tout point de R. On pourra utiliser sans démonstration le fait qu'une série de complexes Ë un converge si et seulement si, les deux séries ayant pour termes généraux les parties réelles et parties imaginaires (c'est--à--dire ZRe(un) et Zlm(un) ) convergent. sin(na:) \/ñ +oo On notera U sa fonction somme : pour tout réel Q:, U (33) : î: n=1 Deuxième partie : convergence uniforme de séries III.5. On considère une suite de réels (an) et ( fn) une suite de fonctions définies sur une partie A de (C et a valeurs dans (C. On pose, pour tout Z EUR A et pour tout entier naturel n, Fn(z) : ka(z). k_0 On suppose que la suite (an) est décroissante de limite nulle et qu'il existe M EUR R+, tel que pour tout Z EUR A et tout 71 E N, an(z)l S M (on dit que la suite (E,) est uniformément bornée). III.5.a Démontrer que la suite (anFn) converge uniformément sur A et que la série de fonc-- tions Ë (a;EUR -- ak+1)Fk converge normalement sur A. 1:20 III.5.b A l'aide d'une transformation d'Abel, en déduire que la série de fonctions Zanfn converge uniformément sur A. 3/5 III.6. Exemple. sin(na:) \/ñ III.6.a Démontrer que pour a: E R, 1 -- e'"' : --21sin(æ/2)e'oe/2. Pour {L' réel et 71 entier naturel non nul, un(aî) : Démontrer que la série de fonctions Zun converge uniformément sur tout intervalle 7121 [a, 27T -- &] où a E ]O, 7T[. En déduire que la fonction U est continue sur l'intervalle ]O, 27T[. III.6.b Pour 79 entier naturel, on considère la série de fonctions Zvn où pour a: réel et 71 7121 sin(na:) sin(pæ) \/ñ Démontrer que, pour tout entier naturel 79, la série de fonctions Ë on converge 7121 entier naturel non nul, vn(a:) : uniformément sur l'intervalle [O, 7T] . On pourra, par exemple, utiliser sans démonstration, que : a: _ a: pour tout a: E {O, 7T], -- £ sm (î) . 7T III.6.C On se propose dans cette question de démontrer que la fonction U n'est pas continue par morceaux sur R. Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que la fonction U est continue par morceaux sur R. i. Déterminer alors les coefficients de Fourier de la fonction U. On pourra utiliser pour p et 71 entiers naturels non nuls : P # n» / sin(nâî) sin(pæ)dæ = 0 et pour p = n / sin(nâî) sin(pæ)dæ : % 0 0 ii. En utilisant la formule de Parseval, aboutir a une contradiction. Troisième partie : convergence uniforme d'une série entière III.7 . Si Zanz" est une série entière de la variable complexe de rayon R > O, rappeler le 7120 résultat du cours concernant la convergence uniforme de cette série. III.8. On considère la série entière de la variable complexe Z de rayon 1. Z'ÏL 7121fi III.8.a On note D = {21 EUR @, 1711 < 1}. Démontrer que la série entière de la variable réelle Ë ne converge pas uni-- 3371 7121 \/H formément sur ]--1, 1[ (en particulier la série Ë ne converge pas uniformément Z'ÏL 7121 \/H sur D). 4/5 III.8.b III.8.C III.8.d III.8.e On pourra confondre un point de R2 et son affixe. 77 Pour oz EUR }O, 5 {, on note Da l'ensemble des complexes z, tels que lzl S 1 et dont la partie réelle vérifie Re(z) S cos oz. Représenter géométriquement l'ensemble Da dans un repère orthonormé du plan. Démontrer que Da est une partie fermée de (C. On pourra écrire : Da : {(a:,y) EUR R2,a:2 +y2 S 1} fi {(a:,y) EUR R2,a: S cosa} et démontrer que Da est une partie fermée de R2. En déduire que Da est une partie compacte de (C. On note pour ?: EUR CC et n entier naturel, Fn(z) : 2 gif. k=0 Démontrer que pour tout ?: EUR Da et tout entier naturel n, si a: : Re(z) : 2 2 < \Fnls _ ___ . 1 a: 1 cosa Démontrer que la série entière Ë converge uniformément sur tous les compacts Z'ÏL nZl\/ñ Da (poura E }O,%{). Fin de l'énoncé 5/5

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 CCP Maths 1 MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Clément Mifsud (ENS Cachan) ; il a été relu par Émilie Liboz (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (ENS Cachan). Cette épreuve est constituée de deux exercices et d'un problème qui portent principalement sur le programme d'analyse (excepté le début de l'exercice 2, qui utilise des notions d'algèbre linéaire). · Le premier exercice a pour but de calculer une intégrale double d'une fonction continue. Cet exercice n'est plus conforme au nouveau programme de MP de la rentrée 2014. · Le deuxième exercice se consacre au problème du raccord de solutions d'équations différentielles. On établit deux résultats théoriques proches du cours, puis on examine trois exemples. La dernière question demande un certain recul sur l'exercice et a pu dérouter des candidats. · Le problème se consacre à la transformation d'Abel et à trois applications de celle-ci : la convergence de séries de réels, la convergence uniforme de séries de fonctions et la convergence uniforme d'une série entière. La majeure partie du problème demande d'appliquer aux exemples proposés les résultats associés à la transformation d'Abel démontrés au début des deux premières parties. Le deuxième exercice et le problème (excepté la question III.6.c) permettent de se tester sur les séries numériques, les séries de fonctions, les séries entières et les équations différentielles. Un bon candidat pouvait prétendre terminer le sujet dans le temps imparti. Indications Premier exercice I.1 [HP] Effectuer un changement de variables en coordonnées polaires. Deuxième exercice II.1 Diviser par x2 et utiliser le cours sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2. II.3 Poser z = y et se ramener à une équation différentielle linéaire d'ordre 1. II.5 Chercher une équation de la forme x2 y + axy + by = 0 avec (a, b) R2 dont x 7- x-1 et x 7- x-2 sont des solutions sur I. Problème III.2.a Voir qu'il s'agit d'une série télescopique. III.2.b Utiliser les deux questions précédentes. III.3.b Appliquer le résultat de la question III.2.b au cas où an = 1/n et bn = e i n lorsque 0 < 6 1. III.4 Se servir du résultat de la question III.3.b lorsque = 1/2. III.5.b Utiliser que la somme d'une série normalement convergente et d'une suite uniformément convergente est uniformément convergente. III.6.a Appliquer la question III.5.b au cas où fn (x) = sin(nx) et an = 1/ n. III.6.b Utiliser la question III.5.b lorsque fn (x) = sin(px) sin(nx) et an = 1/ n. III.6.c.i [HP] Intervertir somme et intégrale pour le calcul des coefficients de Fourier. Si f est une fonction continue par morceaux et 2-périodique, on définit ses coefficients de Fourier réels par Z 1 2 n N an (f ) = f (t) cos(nt) dt 0 et n N bn (f ) = 1 Z 2 f (t) sin(nt) dt 0 III.6.c.ii [HP] Si f est une fonction continue par morceaux et 2-périodique alors le théorème de Parseval implique que Z 2 1 2 |a0 (f )| 1 +P 2 2 2 |f (t)| dt = + |an (f )| + |bn (f )| 2 0 4 2 n=1 P III.8.a Raisonner par l'absurde et montrer que cela implique que 1/ n converge. III.8.c En dimension finie, les compacts sont les ensembles fermés et bornés. Premier Exercice I.1 La fonction x 7- 1/ 1 + x2 + y 2 est continue sur l'ensemble D. L'ensemble D est le disque de centre O et de rayon 1 et par conséquent il s'agit d'une partie élémentaire du plan. Par suite, l'intégrale double existe. D'après la formule de changement de variables en coordonnées polaires, il vient ZZ ZZ dx dy r dr d = 2 + y2 2 1 + x D [ 0 ;1 ]×[ 0 ;2 ] 1 + r D'après le théorème de Fubini, ZZ [ 0 ;1 ]×[ 0 ;2 ] r dr d = 1 + r2 Z 0 2 Z 0 1 r dr 1 + r2 d En observant qu'une primitive de la fonction r 7- r/ 1 + r2 est donnée par la fonction r 7- 1/2 ln(1 + r2 ), on aboutit à 1 ZZ Z 2 1 dx dy 2 = ln(1 + r ) d 2 2 2 0 D 1+x +y 0 Finalement, ZZ D dx dy = ln 2 1 + x2 + y 2 Deuxième Exercice II.1 Sur l'intervalle I, l'équation (E) s'écrit sous forme résolue a(x) b(x) y + 2 y=0 x2 x ( ( I - R I - R Les fonctions A : et B: x 7- a(x)/x2 x 7- b(x)/x2 y + sont continues sur l'intervalle I comme quotient de fonctions continues sur I dont le dénominateur ne s'annule pas (les fonctions a et b sont des fonctions continues sur R). D'après le cours sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2, L'espace vectoriel S+ est de dimension 2. Il en est de même pour S- . II.2 Soit f une fonction dans le noyau de l'application . Par définition de la fonction , fI et fJ sont nulles. Ainsi, f (x) = 0 pour tout x I = ] 0 ; + [ et pour tout x J = ] - ; 0 [. Or la fonction f est continue en zéro et par conséquent, f est l'application nulle, d'où Le noyau de l'application est réduit à l'application nulle. On en déduit ainsi que l'application linéaire : S S+ × S- est injective. Or, d'après la question II.1, on sait que dim S+ = dim S- = 2 et par suite, l'espace vectoriel S+ ×S- est de dimension 4. L'application linéaire est injective et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension 4. D'après le théorème du rang, L'espace vectoriel S est de dimension finie inférieure ou égale à 4. II.3 Pour résoudre l'équation (E) sur I, changeons d'inconnue et posons z = f , où f est une solution de (E) sur I. Soit x I. La fonction z est solution de l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 suivante (après division par x2 6= 0) 1 z=0 x Une primitive de la fonction, définie sur I, x 7- 1/x est la fonction x 7- ln x. Les solutions de l'équation précédente sont ainsi les fonctions de la forme ( I - R gC : x 7- Ce - ln x = C/x z + où C est un paramètre réel. Par conséquent, f est solution de (E) si et seulement s'il existe C R tel que f (x) = C/x pour tout x I. Par intégration, on en déduit que ( ( ) I - R + 2 S = f: avec (C, D) R x 7- C ln(x) + D La démarche est exactement similaire sur J. Il faut remarquer qu'une primitive de la fonction x 7- 1/x sur J est la fonction x 7- ln(-x). Par suite, ( ( ) I - R - 2 S = f: avec (E, F) R x 7- E ln(-x) + F Soit f S. D'après le travail précédent, il existe quatre réels C, D, E et F tels que ( C ln(x) + D si x > 0 f (x) = E ln(-x) + F si x < 0 Par hypothèse, f est continue en zéro donc bornée au voisinage de 0. Ceci implique que C = E = 0 et ensuite que D = F. Cela signifie que f est une fonction constante. Les fonctions constantes étant solutions, on en conclut (en notant U la fonction constante égale à 1 définie sur R) que L'espace S est égal à la droite vectorielle RU et par suite dim S = 1. II.4 Soit R tel que la fonction x 7- x est solution de (E) sur I. Ainsi, l'équation x2 ( - 1)x-2 - 6xx-1 + 12x = 0 qui équivaut à x × 2 - 7 + 12 = 0 est vérifiée pour tout x I. Ceci implique que est racine du polynôme X2 - 7X+ 12. Les racines de ce polynôme sont 3 et 4. On vérifie alors que x 7- x3 et x 7- x4 sont bien solution de (E) sur I, de sorte que Les fonctions x 7- x3 et x 7- x4 sont des éléments de S+ .