CCP Maths 1 MP 2013

Thème de l'épreuve Deux exercices. Séries de Taylor et développement en série entière.
Principaux outils utilisés séries de Fourier, systèmes différentiels, séries entières, développements en série entière
Mots clefs Nilpotente, exponentielle de matrice, fonction Gamma d'Euler, théorème de Dirichlet, théorème de Parseval, formule de Taylor avec reste intégral

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SESSION 2013 MPM1002 _:â=_ CONCOURS COMMUNS - POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures N .B . : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. \ Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants. 1/4 Exercice 1 : une série de Fourier On considère la fonction f de R dans R, 27T--périodique7 impaire, vérifiant : pour tout réel 3: EUR ]O,7T[, f(a:) : 1 et f(0) : f(7r) : O. 1. Représenter graphiquement la fonction f sur R, puis déterminer la série de Fourier de la fonction f. 2. Justifier l'existence des sommes suivantes et utiliser la question précédente, en énonçant les théorèmes utilisés, pour donner leur valeur : +°°<--1>k ... 1  = Z--dt . k! 71! k=0 ON RAPPELLE LE THÉORÈME SUIVANT : Si une fonction f admet un développement en série entière sur l'intervalle ]--a, a[, alors : -- la fonction f est de classe COO sur ]--a, a[, -- son développement en série entière est unique et est donné par la série de Taylor de la fonction f a l'origine : +00 (71) 0 pour tout réel 3: EUR ]--a, a[ , f(a:) : f--'()æn n. n=0 I. Quelques exemples d'utilisation de ce théorème 4. On considère la fonction f définie sur R par : f(0) : 1 et pour tout réel a: # O, f(a:) : sma:. 33 Démontrer que la fonction f est de classe COO sur R. 5. Expliciter une fonction f de classe COO sur un voisinage de 0 et vérifiant, pour tout entier naturel n, l'égalité f(")(0) : n. n! 6. Un théorème des moments Soit f une fonction développable en série entière sur ]--R, R[ avec R > 1 : +OO (fi) Voeei--R.Rt f<æ>=îjf nf"æ" n=0 ' 1 On suppose, que pour tout entier naturel n, / oe"f(oe)doe : O. 0 L'objectif de cette question est de montrer que f est identiquement nulle sur ]--R, R[. f <") (0) (a) Démontrer que la série Z f(a:) ... 7120 1 (lo) A l'aide du calcul de / (f ($))2dâî, démontrer que la fonction f est nulle sur l'intervalle [O, 1] . (c) Démontrer que f est la fonction nulle sur l'intervalle ]--R, R[. a:" converge normalement sur l'intervalle [O, 1]. II. Contre-exemples 7. Donner un exemple de fonction f a la fois de classe COO sur un intervalle ] et développable en série entière au voisinage de l'origine? mais qui ne coïncide pas avec sa série de Taylor en 0 sur ] tout entier. 3/4 8. Un exemple de fonction ne coïncidant avec sa série de Taylor en 0 sur aucun voisinage de 0 On considère la fonction f définie sur R par : pour tout réel a: # O, f(a:) : exp <--l) et f(0) : O. 332 (a) Donner, a l'aide de la calculatrice (sans étude), l'allure de la courbe de la fonction f. (b) Par les théorèmes généraux, la fonction f est de classe COO sur ]0, +oo[. Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un polynôme P,, tel que, pour tout a: e ]0, +oo[, f(æ) : P;(OE) exp <--l). 371 332 (c) Démontrer que la fonction f est de classe COO sur [D, +oo[ avec pour tout entier naturel n, f(")(0) : 0. Par parité, la fonction f ainsi définie est de classe COO sur R. (d) La fonction f est--elle développable en série entière sur un intervalle ]--7°, 7°[ ? 9. Un exemple où la série de Taylor de la fonction f en 0 a un rayon nul +oo --t e Pour tout a: réel, on ose : a: = _ dt. p " ' /0 1 + ta:2 --t 1 + ta:2 {O, +oo[, puis démontrer que la fonction f est de classe C' sur R. (a) Justifier que, pour tout réel a:, la fonction t % est bien intégrable sur On admettra que la fonction f est de classe COO sur R et que l'on obtient les dérivées successives en dérivant sous le signe intégrale. (b) Pour 75 EUR]O, +oo[, calculer, au moyen d'une série entière, les dérivées successives en EUR zéro de la fonction a: n--> _ 1 + ta:2 pour en déduire l'expression de f(")(0) pour tout entier naturel n. (n) 0 (c) Quel est le rayon de la série entière î:f--'()æn ? n. 7120 La fonction f est--elle développable en série entière a l'origine ? III. Condition suffisante On se propose, dans cette partie, d'étudier une condition suffisante pour qu'une fonction de classe COO sur un intervalle centré en 0 soit développable en série entière au voisinage de O. 10. Soient & un réel strictement positif et f une fonction de classe COO sur l'intervalle ]--a, a[. On suppose qu'il existe un réel M > 0 tel que, pour tout réel 3: EUR ]--a, a[ et pour tout entier naturel n, f(")(a:)l S M. (a) Démontrer que la fonction f est développable en série entière au voisinage de l'ori-- gine. (b) Donner un exemple simple de fonction pour laquelle ce résultat s'applique. Fin de l'énoncé 4/4 IMPRIMERIE NATIONALE -- 131156 -- D'aprèsdocumentsfournis

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 CCP Maths 1 MP 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Comme souvent dans les épreuves des Concours Communs Polytechniques, ce sujet est composé de trois énoncés distincts : deux petits exercices et un grand problème, tous indépendants. Ils ne sont pas difficiles mais demandent de bien maîtriser les définitions des différents concepts en jeu. · Le premier exercice exploite les deux théorèmes classiques (Dirichlet et Parseval) des séries de Fourier pour calculer deux sommes à partir du développement en série de Fourier d'une fonction très simple. · Le deuxième exercice s'intéresse au thème, pas si fréquent, des systèmes différentiels. Il a dû se révéler dévastateur pour tout élève ayant fait l'impasse sur ce sujet. La méthode pour traiter le seul exemple donné (système différentiel linéaire du premier ordre de taille 2) était laissée au choix des candidats, qui pouvaient utiliser les exponentielles de matrices (comme l'énoncé l'indiquait) ou la diagonalisation. L'objectif du problème est d'étudier les liens entre le caractère C d'une fonction et le fait qu'elle soit ou non développable en série entière. · Dans une partie préliminaire composée de trois questions de cours, on rappelle la valeur d'une somme classique et la définition de la fonction Gamma d'Euler, puis l'énoncé demande de démontrer la formule de Taylor avec reste intégral. Il admet ensuite le théorème énonçant qu'une fonction développable en série entière est de classe C . · Dans une première partie, le sujet propose deux exemples d'utilisation de ce théorème, puis un théorème des moments, donnant une condition pour qu'une fonction développable en série entière sur un intervalle soit identiquement nulle sur cet intervalle. · Dans une deuxième partie, le sujet demande quelques contre-exemples pour montrer que l'implication inverse du théorème mentionné est fausse, c'est-à-dire qu'une fonction de classe C n'est pas forcément développable en série entière au voisinage de l'origine. Il s'appuie pour cela sur les intégrales à paramètre. · Dans une troisième partie, très courte, l'énoncé conclut le problème en proposant une condition suffisante pour qu'une fonction de classe C soit développable en série entière au voisinage de l'origine. En conclusion, les deux exercices font office de bons sujets de révision sur leurs thèmes respectifs. Ils pourront également être utilisés comme entraînement en vue des oraux. Enfin, le problème permet d'évaluer sa maîtrise des développements en série entière grâce à ses nombreux exemples et contre-exemples. Indications Exercice 1 1.2 Utiliser le théorème de Dirichlet et l'égalité de Parseval. Exercice 2 2.1 Calculer le polynôme caractéristique de la matrice A et exploiter le théorème de Cayley-Hamilton. 2.2 La solution du système différentiel est donnée par t 7 X(t) = e tA X(0). Problème ­ partie préliminaire 1 Remarquer que la série demandée est la dérivée d'une série connue. 2 Effectuer une intégration par parties. 3 Raisonner par récurrence. Problème ­ partie I 4 Montrer que f est développable en série entière sur R. 5 Utiliser la question 1 et l'unicité du développement en série entière. 6.a La fonction f est bornée sur [ 0 ; 1 ]. 6.b Montrer que S(x) = f (x)2 , intégrer terme à terme cette égalité, puis utiliser l'hypothèse sur f . 6.c Montrer que f (n) (0) = 0 pour tout n N. Problème ­ partie II 1 . 1-x 8.b Raisonner par récurrence. 7 Considérer f : x 7 8.c Le résultat se prouve par récurrence en utilisant le théorème de prolongement par continuité. 8.d Raisonner par l'absurde en supposant que f soit développable en série entière sur un voisinage de 0. 9.a Montrer que la fonction est négligeable devant une fonction classique intégrable, puis vérifier toutes les hypothèses du théorème de dérivation des intégrales à paramètre. 9.b Développer la fonction donnée en série entière, et utiliser l'unicité de la décomposition en série entière pour en déduire ses dérivées successives en 0. Utiliser ensuite la propriété admise à la fin de la question précédente. 9.c Étudier la convergence absolue de la série entière en considérant la suite des sommes partielles. Problème ­ partie III 10.a Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral rappelée à la question 3 de la partie préliminaire, puis montrer que l'intégrale en jeu tend vers 0 quand n tend vers l'infini. 10.b La fonction cosinus convient. Exercice 1 : une série de Fourier 1.1 Dessinons la courbe représentative de f sur [ 0 ; ], puis complétons-la par imparité puis périodicité sur R. y 1 · -4 · -3 · -2 · - · O · · 2 · 3 · 4 x -1 La fonction f est 2-périodique et continue par morceaux, ce qui justifie l'existence de ses coefficients de Fourier. Comme f est impaire, pour tout n N, an (f ) = 0. Soit n N . Calculons bn (f ) : Z 1 bn (f ) = f (t) sin(nt) dt - Z 2 = f (t) sin(nt) dt car f est impaire 0 Z 2 = sin(nt) dt 0 2 -1 = cos(nt) n 0 bn (f ) = 2 [-(-1)n + 1] n Finalement, n N an (f ) = 0 b2n+1 (f ) = 4 (2n + 1) b2n+2 (f ) = 0 Si f est 2-périodique et continue par morceaux, ses coefficients de Fourier sont donnés par les formules Z 1 n N an (f ) = f (t) cos(nt) dt - Z 1 n N bn (f ) = f (t) sin(nt) dt - Si f est paire alors, pour tout n N , bn (f ) = 0 et si f est impaire, alors, pour tout n N, an (f ) = 0. 1.2 La fonction f est de classe C 1 par morceaux et 2-périodique. D'après le théorème de Dirichlet, sa série de Fourier converge simplement et sa somme est égale à la fonction 1 x 7- [f (x+ ) + f (x- )] 2 Cette dernière valeur vaut 1 si x ] 2k ; (2k + 1) [ pour k Z, d'où 4 sin ((2n + 1)x) n=0 (2n + 1) + k Z x ] 2k ; (2k + 1) [ 1= P . Comme on a l'égalité 2 = (-1)n sin (2n + 1) 2 On applique cette relation avec x = n N P (-1)n = 2n + 1 4 n=0 + il vient En outre, comme f est continue par morceaux et 2-périodique, le théorème de Parseval assure que Z 1 2 1 +P 1 2 2 2 2 a0 + an + b n = |f (x)| dx 4 2 n=1 2 0 En remplaçant les coefficients an (pour n > 0) et bn (pour n > 1) par les valeurs trouvées à la question précédente, il vient 2 Z 1 +P 4 1 2 2 = |f (x)| dx = 1 2 n=0 (2n + 1) 2 0 1 2 = 2 8 n=0 (2n + 1) + donc P Penser aux théorèmes de Dirichlet et de Parseval pour relier des calculs de somme au développement en série de Fourier d'une fonction bien choisie. Dans le premier cas, il faut également bien choisir le point auquel on applique le théorème.