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CCP Maths 1 MP 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à
l'université) ;
il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog
(Professeur
en CPGE).
Comme souvent dans les épreuves des Concours Communs Polytechniques,
ce sujet est composé de trois énoncés distincts : deux petits exercices et un
grand
problème, tous indépendants. Ils ne sont pas difficiles mais demandent de bien
maîtriser les définitions des différents concepts en jeu.
· Le premier exercice exploite les deux théorèmes classiques (Dirichlet et
Parseval) des séries de Fourier pour calculer deux sommes à partir du
développement
en série de Fourier d'une fonction très simple.
· Le deuxième exercice s'intéresse au thème, pas si fréquent, des systèmes
différentiels. Il a dû se révéler dévastateur pour tout élève ayant fait
l'impasse
sur ce sujet. La méthode pour traiter le seul exemple donné (système
différentiel linéaire du premier ordre de taille 2) était laissée au choix des
candidats,
qui pouvaient utiliser les exponentielles de matrices (comme l'énoncé
l'indiquait) ou la diagonalisation.
L'objectif du problème est d'étudier les liens entre le caractère C d'une
fonction
et le fait qu'elle soit ou non développable en série entière.
· Dans une partie préliminaire composée de trois questions de cours, on rappelle
la valeur d'une somme classique et la définition de la fonction Gamma d'Euler,
puis l'énoncé demande de démontrer la formule de Taylor avec reste intégral.
Il admet ensuite le théorème énonçant qu'une fonction développable en série
entière est de classe C .
· Dans une première partie, le sujet propose deux exemples d'utilisation de ce
théorème, puis un théorème des moments, donnant une condition pour qu'une
fonction développable en série entière sur un intervalle soit identiquement
nulle
sur cet intervalle.
· Dans une deuxième partie, le sujet demande quelques contre-exemples pour
montrer que l'implication inverse du théorème mentionné est fausse, c'est-à-dire
qu'une fonction de classe C n'est pas forcément développable en série entière
au voisinage de l'origine. Il s'appuie pour cela sur les intégrales à paramètre.
· Dans une troisième partie, très courte, l'énoncé conclut le problème en
proposant une condition suffisante pour qu'une fonction de classe C soit
développable en série entière au voisinage de l'origine.
En conclusion, les deux exercices font office de bons sujets de révision sur
leurs
thèmes respectifs. Ils pourront également être utilisés comme entraînement en
vue des
oraux. Enfin, le problème permet d'évaluer sa maîtrise des développements en
série
entière grâce à ses nombreux exemples et contre-exemples.
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Indications
Exercice 1
1.2 Utiliser le théorème de Dirichlet et l'égalité de Parseval.
Exercice 2
2.1 Calculer le polynôme caractéristique de la matrice A et exploiter le
théorème
de Cayley-Hamilton.
2.2 La solution du système différentiel est donnée par t 7 X(t) = e tA X(0).
Problème partie préliminaire
1 Remarquer que la série demandée est la dérivée d'une série connue.
2 Effectuer une intégration par parties.
3 Raisonner par récurrence.
Problème partie I
4 Montrer que f est développable en série entière sur R.
5 Utiliser la question 1 et l'unicité du développement en série entière.
6.a La fonction f est bornée sur [ 0 ; 1 ].
6.b Montrer que S(x) = f (x)2 , intégrer terme à terme cette égalité, puis
utiliser
l'hypothèse sur f .
6.c Montrer que f (n) (0) = 0 pour tout n N.
Problème partie II
1
.
1-x
8.b Raisonner par récurrence.
7 Considérer f : x 7
8.c Le résultat se prouve par récurrence en utilisant le théorème de
prolongement
par continuité.
8.d Raisonner par l'absurde en supposant que f soit développable en série
entière
sur un voisinage de 0.
9.a Montrer que la fonction est négligeable devant une fonction classique
intégrable,
puis vérifier toutes les hypothèses du théorème de dérivation des intégrales
à paramètre.
9.b Développer la fonction donnée en série entière, et utiliser l'unicité de la
décomposition en série entière pour en déduire ses dérivées successives en 0.
Utiliser
ensuite la propriété admise à la fin de la question précédente.
9.c Étudier la convergence absolue de la série entière en considérant la suite
des
sommes partielles.
Problème partie III
10.a Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral rappelée à la question 3
de la
partie préliminaire, puis montrer que l'intégrale en jeu tend vers 0 quand n
tend
vers l'infini.
10.b La fonction cosinus convient.
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Exercice 1 : une série de Fourier
1.1 Dessinons la courbe représentative de f sur [ 0 ; ], puis complétons-la par
imparité puis périodicité sur R.
y
1
·
-4
·
-3
·
-2
·
-
·
O
·
·
2
·
3
·
4 x
-1
La fonction f est 2-périodique et continue par morceaux, ce qui justifie
l'existence de ses coefficients de Fourier. Comme f est impaire, pour tout n
N, an (f ) = 0.
Soit n N . Calculons bn (f ) :
Z
1
bn (f ) =
f (t) sin(nt) dt
-
Z
2
=
f (t) sin(nt) dt
car f est impaire
0
Z
2
=
sin(nt) dt
0
2 -1
=
cos(nt)
n
0
bn (f ) =
2
[-(-1)n + 1]
n
Finalement,
n N
an (f ) = 0 b2n+1 (f ) =
4
(2n + 1)
b2n+2 (f ) = 0
Si f est 2-périodique et continue par morceaux, ses coefficients de Fourier
sont donnés par les formules
Z
1
n N an (f ) =
f (t) cos(nt) dt
-
Z
1
n N
bn (f ) =
f (t) sin(nt) dt
-
Si f est paire alors, pour tout n N , bn (f ) = 0 et si f est impaire,
alors, pour tout n N, an (f ) = 0.
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1.2 La fonction f est de classe C 1 par morceaux et 2-périodique. D'après le
théorème de Dirichlet, sa série de Fourier converge simplement et sa somme est
égale à
la fonction
1
x 7- [f (x+ ) + f (x- )]
2
Cette dernière valeur vaut 1 si x ] 2k ; (2k + 1) [ pour k Z, d'où
4
sin ((2n + 1)x)
n=0 (2n + 1)
+
k Z x ] 2k ; (2k + 1) [
1=
P
. Comme on a l'égalité
2
= (-1)n
sin (2n + 1)
2
On applique cette relation avec x =
n N
P (-1)n
=
2n
+
1
4
n=0
+
il vient
En outre, comme f est continue par morceaux et 2-périodique, le théorème
de Parseval assure que
Z
1 2 1 +P
1 2
2
2
2
a0 +
an + b n =
|f (x)| dx
4
2 n=1
2 0
En remplaçant les coefficients an (pour n > 0) et bn (pour n > 1) par les
valeurs
trouvées à la question précédente, il vient
2
Z
1 +P
4
1 2
2
=
|f (x)| dx = 1
2 n=0 (2n + 1)
2 0
1
2
=
2
8
n=0 (2n + 1)
+
donc
P
Penser aux théorèmes de Dirichlet et de Parseval pour relier des calculs de
somme au développement en série de Fourier d'une fonction bien choisie.
Dans le premier cas, il faut également bien choisir le point auquel on applique
le théorème.