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CCP Maths 1 MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à
l'université) ;
il a été relu par Silvère Gangloff (ENS Ulm) et Guillaume Dujardin (Chercheur
INRIA).
Ce sujet, très proche du cours, est séparé en trois exercices et un problème
indépendants, qui traitent de sujets tout à fait différents.
· Le premier exercice a pour objectif de montrer que deux normes ne sont pas
toujours équivalentes. Il considère pour cela l'espace vectoriel des
applications
de classe C 1 de [ 0 ; 1 ] dans R.
· Le deuxième exercice traite de la continuité d'une fonction définie par une
intégrale. La première question demande de rappeler le théorème de continuité
sous le signe intégrale, qui est ensuite utilisé sur un exemple dans la deuxième
question. La troisième question permet d'assurer la nécessité de l'hypothèse de
domination dans ce théorème.
· Le troisième exercice a pour objet le calcul d'une intégrale curviligne.
· L'objectif du problème est de comparer les différents types de convergence
d'une
série de fonctions. La première partie compare convergences absolue, normale
et uniforme. La deuxième partie étudie un exemple de série de fonctions et
considère les conditions sous lesquelles cette série converge.
Ce sujet est plutôt facile mais demande de bien maîtriser les théorèmes
principaux
du cours et, dans le problème, d'avoir suffisamment de recul sur les différents
types de
convergence pour être capable de proposer des contre-exemples. Au final, il
constitue
une excellente révision des différents points traités et permet de s'assurer
que les
concepts importants sont bien compris.
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Indications
Exercices
A.2 Comparer la norme donnée et la norme k·k1 définie dans le cours en utilisant
par exemple la suite fn : t 7 tn .
B.3 Calculer directement l'intégrale pour x 6= 0 et pour x = 0.
C.1 Paramétrer le cercle en posant x = cos(t) et y = sin(t) avec t [ 0 ; 2 ].
Problème
D.I.2 Montrer que la suite des restes converge uniformément vers 0.
D.I.3 Utiliser le critère des séries alternées pour montrer que la série
converge ainsi
que pour majorer la suite des restes.
D.I.4 Considérer la suite de fonctions (fn )nN définie sur [ 0 ; 1 [ par fn : x
7 xn .
D.II.5 Utiliser la majoration 0 6 n 6 1 pour tout n > 1.
D.II.6.a Pour tout n > 1, étudier les variations de fn sur I en calculant sa
dérivée.
D.II.6.b La série converge normalement si et seulement si la série de terme
général n nn /(n + 1)n+1 converge.
D.II.7.b Montrer que la suite des restes converge uniformément vers 0.
D.II.7.c Raisonner par l'absurde en supposant que la limite de (n )nN est non
nulle
et établir une contradiction sur le reste de la série.
D.II.8 Chercher une suite (n )nN qui vérifie les conditions des questions
D.II.6.b ,
D.II.7.b et D.II.7.c .
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Exercice I : Normes équivalentes
A.1.a Pour tout f E, la valeur kf k est bien définie. En effet, comme f est de
classe C 1 , |f | est continue, donc intégrable sur le segment I = [ 0 ; 1 ].
Montrons que
c'est une norme :
· Soient f E et R. Alors
Z 1
Z
kf k = |f (0)| + 2
|f (t)| dt = || |f (0)| + 2 ||
0
1
|f (t)| dt = || kf k
0
donc
kf k = || kf k
· Soit f E. L'intégrale d'une fonction positive étant positive, kf k > 0.
· Soit f E telle que kf k = 0. Comme kf k est une somme de deux nombres
positifs, chacun de ces deux nombres est nul :
Z 1
|f (0)| = 0
et
|f (t)| dt = 0
0
Ainsi, |f | est une fonction positive et continue d'intégrale nulle. Par suite,
c'est
la fonction nulle : f = 0. La fonction f est donc constante sur I, car I est un
intervalle. Comme f (0) = 0, c'est la fonction nulle.
· Montrons que l'application k · k vérifie l'inégalité triangulaire. Soit (f,
g) E2 .
L'inégalité triangulaire (sur la valeur absolue) donne
|f (0) + g(0)| 6 |f (0)| + |g(0)|
et
|f (t) + g (t)| 6 |f (t)| + |g (t)|
t I
Par croissance de l'intégrale, on en déduit que
kf + gk 6 kf k + kgk
Finalement,
L'application f 7 kf k est une norme sur E.
A.1.b.i k · k1 et k · k2 sont deux normes équivalentes sur E si et seulement si
a > 0
b > 0 x E
A.1.b.ii Soit f E. On a
Z
kf k = |f (0)| + 2
akxk2 6 kxk1 6 bkxk2
1
|f (t)| dt 6 4 |f (0)| + 2
0
1
Z
|f (t)| dt = 2kf k
0
De même,
kf k = 2 |f (0)| +
Z
1
|f (t)| dt 6 2 |f (0)| + 4
0
donc
Finalement,
Z
1
|f (t)| dt = 2kf k
0
1
kf k 6 kf k 6 2kf k
2
Les normes sont équivalentes.
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A.2 Considérons la fonction k · k1 définie sur E telle que, pour tout f E,
Z 1
kf k1 =
|f (t)| dt
0
C'est bien une norme sur E d'après le cours. Définissons la suite (fn )nN de
fonctions
de E par fn : t 7 tn et calculons
n+1 1
Z 1
t
1
n
kfn k1 =
t dt =
=
n
+
1
n
+
1
0
0
et
kfn k = 0 + 2
Z
1
1
fn (t) dt = 2 [fn (t)]0 = 2
0
Comme la suite (kfn k1 )nN converge vers 0, il n'existe pas de réel a > 0 tel
que, pour
tout f E, akf k 6 kf k1 . Ainsi,
Toutes les normes ne sont pas équivalentes à k · k sur E.
Rappelons que toutes les normes sont équivalentes sur un espace de dimension
finie, ce qui n'est pas le cas ici.
Sur l'espace E, les normes connues et définies dans le cours sont les
normes k · k1 , k · k2 et k · k définies par
Z 1
f E
kf k2 =
f 2 (t) dt
et kf k = max |f (t)|
0
tI
Exercice II : Continuité d'une fonction
définie par une intégrale
B.1 D'après le cours, si
· pour tout x I, t 7 g(x, t) est intégrable sur J ;
· pour tout t J, x 7 g(x, t) est continue sur I ;
· il existe une fonction continue par morceaux de J dans R+ et intégrable sur J
telle que, pour tous x I et t J, |g(x, t)| 6 (t) ;
Z
alors la fonction f : x 7 g(x, t) dt est continue sur I.
J
Les théorèmes concernant les intégrales à paramètres doivent être connus
parfaitement, et en particulier leurs hypothèses précises. La première sert à
justifier la définition de l'intégrale (elle est d'ailleurs superflue car
impliquée
par la troisième). Les deux suivantes, quant à elles, assurent la continuité de
la fonction ainsi définie. Comme l'énoncé le souligne dans la question B.3 ,
il ne faut pas oublier cette hypothèse de domination.
