CCP Maths 1 MP 2012

Thème de l'épreuve Normes équivalentes. Continuité d'une fonction définie par une intégrale. Une intégrale curviligne. Comparaison de convergences.
Principaux outils utilisés intégrales à paramètres, normes, suites et séries de fonctions
Mots clefs normes équivalentes, intégrales curvilignes

Corrigé

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SESSION 2012 MPM1002 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ____________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures ____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ Tournez la page S.V.P. C1 E [0;1] R f E kf k = |f (0)| + 2 Z 1 |f (t)| t kf k = 2 |f (0)| + 0 kk |f (t)| t . 0 E kk k k E kk E J x I, 1 E k k I Z t 7 g(x, t) x I, f (x) = I ×J g R Z R J g(x, t) t J f x R, f1 (x) = Z + 0 f1 x [0, +[ , f2 (x) = f2 (x) I arctan(xt) t 1 + t2 R Z + x -xt t 0 x [0, +[ [0, +[ f2 Z -y x x+ 2 y 2 +y x + y2 x2 P |fn (x)| P fn P fn I P x I I fn fn I P I P I R I fn P P I fn I fn fn I [0; 1] x [0; 1] fn (x) = (-1)n P fn P x2 + n n2 [0; 1] . fn I P I (n )n1 x I fn (x) = n x (1 - x) fn I = [0; 1[ n P (n )n1 fn n1 I n > 1 kfn k = sup |fn (x)| xI P fn I n1 P n n n1 Tournez la page S.V.P. X xI xk k=n+1 P (n )n1 fn I n1 k n + 1 k n+1 P fn n1 (n )n1 I (n )n1 P fn P fn P fn I n1 I n1 I n1 I IMPRIMERIE NATIONALE ­ 12 1232 ­ D'après documents fournis I

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 CCP Maths 1 MP 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Silvère Gangloff (ENS Ulm) et Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA). Ce sujet, très proche du cours, est séparé en trois exercices et un problème indépendants, qui traitent de sujets tout à fait différents. · Le premier exercice a pour objectif de montrer que deux normes ne sont pas toujours équivalentes. Il considère pour cela l'espace vectoriel des applications de classe C 1 de [ 0 ; 1 ] dans R. · Le deuxième exercice traite de la continuité d'une fonction définie par une intégrale. La première question demande de rappeler le théorème de continuité sous le signe intégrale, qui est ensuite utilisé sur un exemple dans la deuxième question. La troisième question permet d'assurer la nécessité de l'hypothèse de domination dans ce théorème. · Le troisième exercice a pour objet le calcul d'une intégrale curviligne. · L'objectif du problème est de comparer les différents types de convergence d'une série de fonctions. La première partie compare convergences absolue, normale et uniforme. La deuxième partie étudie un exemple de série de fonctions et considère les conditions sous lesquelles cette série converge. Ce sujet est plutôt facile mais demande de bien maîtriser les théorèmes principaux du cours et, dans le problème, d'avoir suffisamment de recul sur les différents types de convergence pour être capable de proposer des contre-exemples. Au final, il constitue une excellente révision des différents points traités et permet de s'assurer que les concepts importants sont bien compris. Indications Exercices A.2 Comparer la norme donnée et la norme k·k1 définie dans le cours en utilisant par exemple la suite fn : t 7 tn . B.3 Calculer directement l'intégrale pour x 6= 0 et pour x = 0. C.1 Paramétrer le cercle en posant x = cos(t) et y = sin(t) avec t [ 0 ; 2 ]. Problème D.I.2 Montrer que la suite des restes converge uniformément vers 0. D.I.3 Utiliser le critère des séries alternées pour montrer que la série converge ainsi que pour majorer la suite des restes. D.I.4 Considérer la suite de fonctions (fn )nN définie sur [ 0 ; 1 [ par fn : x 7 xn . D.II.5 Utiliser la majoration 0 6 n 6 1 pour tout n > 1. D.II.6.a Pour tout n > 1, étudier les variations de fn sur I en calculant sa dérivée. D.II.6.b La série converge normalement si et seulement si la série de terme général n nn /(n + 1)n+1 converge. D.II.7.b Montrer que la suite des restes converge uniformément vers 0. D.II.7.c Raisonner par l'absurde en supposant que la limite de (n )nN est non nulle et établir une contradiction sur le reste de la série. D.II.8 Chercher une suite (n )nN qui vérifie les conditions des questions D.II.6.b , D.II.7.b et D.II.7.c . Exercice I : Normes équivalentes A.1.a Pour tout f E, la valeur kf k est bien définie. En effet, comme f est de classe C 1 , |f | est continue, donc intégrable sur le segment I = [ 0 ; 1 ]. Montrons que c'est une norme : · Soient f E et R. Alors Z 1 Z kf k = |f (0)| + 2 |f (t)| dt = || |f (0)| + 2 || 0 1 |f (t)| dt = || kf k 0 donc kf k = || kf k · Soit f E. L'intégrale d'une fonction positive étant positive, kf k > 0. · Soit f E telle que kf k = 0. Comme kf k est une somme de deux nombres positifs, chacun de ces deux nombres est nul : Z 1 |f (0)| = 0 et |f (t)| dt = 0 0 Ainsi, |f | est une fonction positive et continue d'intégrale nulle. Par suite, c'est la fonction nulle : f = 0. La fonction f est donc constante sur I, car I est un intervalle. Comme f (0) = 0, c'est la fonction nulle. · Montrons que l'application k · k vérifie l'inégalité triangulaire. Soit (f, g) E2 . L'inégalité triangulaire (sur la valeur absolue) donne |f (0) + g(0)| 6 |f (0)| + |g(0)| et |f (t) + g (t)| 6 |f (t)| + |g (t)| t I Par croissance de l'intégrale, on en déduit que kf + gk 6 kf k + kgk Finalement, L'application f 7 kf k est une norme sur E. A.1.b.i k · k1 et k · k2 sont deux normes équivalentes sur E si et seulement si a > 0 b > 0 x E A.1.b.ii Soit f E. On a Z kf k = |f (0)| + 2 akxk2 6 kxk1 6 bkxk2 1 |f (t)| dt 6 4 |f (0)| + 2 0 1 Z |f (t)| dt = 2kf k 0 De même, kf k = 2 |f (0)| + Z 1 |f (t)| dt 6 2 |f (0)| + 4 0 donc Finalement, Z 1 |f (t)| dt = 2kf k 0 1 kf k 6 kf k 6 2kf k 2 Les normes sont équivalentes. A.2 Considérons la fonction k · k1 définie sur E telle que, pour tout f E, Z 1 kf k1 = |f (t)| dt 0 C'est bien une norme sur E d'après le cours. Définissons la suite (fn )nN de fonctions de E par fn : t 7 tn et calculons n+1 1 Z 1 t 1 n kfn k1 = t dt = = n + 1 n + 1 0 0 et kfn k = 0 + 2 Z 1 1 fn (t) dt = 2 [fn (t)]0 = 2 0 Comme la suite (kfn k1 )nN converge vers 0, il n'existe pas de réel a > 0 tel que, pour tout f E, akf k 6 kf k1 . Ainsi, Toutes les normes ne sont pas équivalentes à k · k sur E. Rappelons que toutes les normes sont équivalentes sur un espace de dimension finie, ce qui n'est pas le cas ici. Sur l'espace E, les normes connues et définies dans le cours sont les normes k · k1 , k · k2 et k · k définies par Z 1 f E kf k2 = f 2 (t) dt et kf k = max |f (t)| 0 tI Exercice II : Continuité d'une fonction définie par une intégrale B.1 D'après le cours, si · pour tout x I, t 7 g(x, t) est intégrable sur J ; · pour tout t J, x 7 g(x, t) est continue sur I ; · il existe une fonction continue par morceaux de J dans R+ et intégrable sur J telle que, pour tous x I et t J, |g(x, t)| 6 (t) ; Z alors la fonction f : x 7 g(x, t) dt est continue sur I. J Les théorèmes concernant les intégrales à paramètres doivent être connus parfaitement, et en particulier leurs hypothèses précises. La première sert à justifier la définition de l'intégrale (elle est d'ailleurs superflue car impliquée par la troisième). Les deux suivantes, quant à elles, assurent la continuité de la fonction ainsi définie. Comme l'énoncé le souligne dans la question B.3 , il ne faut pas oublier cette hypothèse de domination.