CCP Maths 1 MP 2011

Thème de l'épreuve Autour de la transformée de Laplace
Principaux outils utilisés intégrales généralisées, séries entières, équations différentielles linéaires
Mots clefs Laplace, équation différentielle, intégration

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2011 MPM1002 A CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené a prendre. Les calculatrices sont autorisées. Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème indépendants. Exercice 1 233" On considère la série de fonctions 5 2--1 . n _ n22 1. Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière. 2 'n L1 . Déterminer S sur ] -- Ra Rl- 2. On note S la fonction somme de la série Z 2 n _ 7122 3. Démontrer que S (a:) admet une limite lorsque 3: tend vers 1 par valeurs strictement inférieures et déterminer cette limite. Exercice 2 On considère l'équation différentielle (E) 2æy' -- 3y : JE. 1. Résoudre (E) sur ]O,+oo[. 2. Déterminer l'ensemble des solutions de (E) sur l'intervalle [O, +oo[. 1/4 Problème AUTOUR DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE Dans tout ce problème, on note : -- Î(lR+, IR) l'ensemble des applications de IR+ dans IR; -- E l'ensemble des fonctions f : lR+ --> IR, continues, telles que, pour tout a: > () réel, la fonction 15 |--> f (t)e_oe' soit intégrable sur lR+; -- F l'ensemble des fonctions continues et bornées sur lR+. Pour tout f dans E, on appelle transformée de LAPLACE de f et on note L'( f) la fonction définie pour tout a: > () réel par : --l--OO £(f)(ff) = f (fie--"" dt - 0 1. Question préliminaire Soient & EUR IR et f : [a, +oo[--> IR une fonction continue par morceaux. Pour tout a: dans [a, +oo[, on pose : F(a:) =/ f(t)dt. On considère les propositions suivantes : (i) f est intégrable sur [a, +oo[; (ii) F admet une limite finie en +oo. Donner, sans démonstration, toutes les implications possibles entre (1) et (ii) lorsque : (a) f est positive sur [a, +oo[; (b) f n'est pas positive sur [a, +oo[. PARTIE I : Exemples et propriétés 2. (a) Démontrer que E est un sous--espace vectoriel de .7--"(lRJF7 IR). (b) Démontrer que F est un sous--espace vectoriel de E. (c) Justifier que L' est une application linéaire de E dans .7--"(lRÏ, IR), espace vectoriel des applications de ]O, +oo[ dans IR. 3. (a) On considère la fonction U : IR+ --> IR définie par U(t) : 1. Déterminer L'(U ) (b) Soit A > () réel. On considère la fonction hÀ : [O, +oo[--> IR définie pour tout t > () réel par : hÀ(ÎÎ) : EUR_Àt Démontrer que hÀ est dans E et déterminer £(hÀ). 2/4 4. Soient f dans E et n dans lN. On considère g,, : t |--> t"f(t) de [O, +oo[ dans IR. Pour 33 > O, justifier de l'existence de A > 0 tel que ine--"' { e_OEît pour tout t > A. En déduire que g,, est un élément de E. 5. Transformée de Laplace d'une dérivée Soit f dans E de classe C', croissante et bornée sur [D, +oo[. Démontrer que f' est encore dans E et que l'on a : V9?" EURl07 +oo[, £(f')(ff) = âî£(f)(fi) -- f(0) - 6. Régularité d'une transformée de Laplace (a) Démontrer que pour tout f dans E, la fonction L'(f) est de classe C1 sur ]0, +oo[ et que l'on a L'(f)' : --L'(g1) où gl a été définie a la question 4. (b) Démontrer que pour tout f dans E, la fonction L'(f) est de classe COO sur ]0, +oo[ et pour a: > 0 et n EUR lN, déterminer £(f)(")(oe) a l'aide d'une transformée de Laplace. PARTIE II : Comportements asymptotiques de la transformée de LAPLACE Dans toute cette partie, f est un élément de E. 7. On suppose dans cette question que f est dans F. (a) Déterminer la limite en +00 de £(f). (b) Théorème de la valeur initiale On suppose, de plus, que f est de classe C1 et croissante sur IR+, avec ]" bornée sur lR+. Démontrer que lim æ£(f)(æ) : f(0). a:-->--l--oo 8. Théorème de la valeur finale On suppose dans cette question que tlim f (75) = EUR où EUR est un réel. Soit (an)nEUR]N une suite --> 00 de réels strictement positifs qui converge vers 0. (a) Démontrer que f appartient a F. +00 (b) Soit n un entier naturel. Démontrer que a,,£(f)(a...) : / h,,(oe) da: où ii,, est la 0 fonction définie sur [D, +oo[ par hn(âî) : e_OEf (£). @ TL (c) En déduire, a l'aide du théorème de convergence dominée, que lim a,,L'( f )(an) : EUR. "nf--> 00 (d) Lorsque EUR # O, déterminer un équivalent de L'( f )(OE) en 0. +00 9. Dans cette question, on suppose que f est intégrable sur IR+ et on pose R(a:) : f (75) dt pour tout a: dans [D, +oo[. 3/4 (a) Démontrer que R est une fonction de classe C1 sur [D, +oo[ et déterminer R' . En déduire que, pour tout a: > () réel, on a : L'(f)(a:) : R(O) -- æ£(R)(æ). (b) On fixe 8 > O. Justifier de l'existence de A réel positif tel que pour tout t > A, on ait lR(t)l { EUR. En déduire que, pour tout a: > 0, on a : A \£<æ> -- R<0>\ < x / \R\ d... 0 (c) Démontrer que L'( f ) se prolonge par continuité en 0 (on précisera la valeur en 0 de ce prolongement). PARTIE III : Application 10. Calcul de l'intégrale de Dirichlet ' t Ici f est la fonction définie par f(0) : 1 et f(t) : % pour t > () réel. (3) Démontrer que la fonction F : IR+ --> IR définie par F (a:) = / f (75) dt admet une 0 limite réelle EUR en +oo. (n--l--1)7r (b) En considérant la série Zun où u,, = / \ f (t)l dt, démontrer que f n'est pas TL>O n7r intégrable sur IR+. (c) Soit 33 > O. Démontrer, en détaillant les calculs, que pour tout X > 0 on a : X l /0 (sint)e_oe'dt=--1+OE2(e_OEX(oesinX+cosX)--l) . Démontrer que la fonction 15 |--> (sin t) e_"'t est intégrable sur lR+. --l--oo Déterminer alors / (sin t) e_oe' dt. 0 (d) Déterminer, pour a: > 0, une expression simple de L'( f )(QÎ) et en déduire EUR. Pour cela, on pourra utiliser le résultat suivant (la démarche de la preuve étant identique a celle de la question 9) : Lorsque f dans E vérifie lim / f(t) dt : EUR EUR IR, alors linàL'(f)(oe) : EUR. 0 OE--> oe-->--l--oo On notera que, par rapport a la question 9, on a remplacé l'hypothèse f intégrable sur IR+ par l'hypothèse lim / f(t) dt : EUR EUR IR. oe-->--l--oo 0 Fin de l'énoncé 4/4

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 CCP Maths 1 MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre-Elliott Bécue (ENS Cachan) ; il a été relu par Julien Reygner (École Polytechnique) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Ce sujet est composé de deux et d'un problème. Le premier exercice P exercices porte sur une analyse de la série 2xn /(n2 - 1) ; on cherche à déterminer son rayon de convergence, une expression de sa somme à l'aide de fonctions usuelles et à étudier la limite de cette somme en 1. Ce dernier point peut d'ailleurs mener à un développement très intéressant sur les séries entières et la convergence de leur somme aux bornes de l'intervalle ouvert de convergence. Le second exercice porte sur l'étude des solutions sur R+ , puis sur R+ , de l'équa tion différentielle 2xy - 3y = x. Il met en oeuvre les techniques classiques du cours de première année. Le problème traite quant à lui de la transformée de Laplace, d'utilisation courante en cours de sciences industrielles, mais dont la théorie et la compréhension sont souvent limitées car elle n'est pas étudiée d'un point de vue mathématique. Le problème se découpe ainsi : · La première partie vise à étudier quelques propriétés basiques de la transformée de Laplace, l'appliquer sur des exemples simples, puis enfin montrer que l'image par cette transformée d'une fonction continue vérifiant une certaine propriété d'intégrabilité est de classe C . Ce résultat est très puissant au vu des hypothèses faites au départ sur la fonction f . Cette partie nécessite donc une maîtrise correcte du cours d'intégration sur des domaines non bornés. · La seconde partie porte sur le comportement asymptotique d'une fonction image par la transformée de Laplace. Les théorèmes de la valeur initiale et finale vus en classe de sciences industrielles prendront ici leur signification mathématique. Un dernier point est la prolongation des fonctions images en 0. Ici, les connaissances exigées sont sensiblement identiques à celles demandées en première partie. · La dernière partie est une application à la fonction t 7 sin(t)/t, qui n'est pas intégrable sur R+ mais dont l'intégrale est convergente, et on cherche la somme de cette dernière. Cette partie exige surtout de la patience, une bonne maîtrise des étapes dans les calculs, et un certain sens du détail. Le sujet est d'une longueur raisonnable. Une bonne assimilation du cours permettait d'en traiter une bonne partie dans le temps imparti, c'est-à-dire quatre heures. Indications Exercice 1 1 Utiliser une règle de Riemann ou une règle de d'Alembert. 2 Décomposer en éléments simples et faire apparaître des sommes bien connues. 3 Montrer que la série est normalement convergente. Exercice 2 1 La solution particulière se trouve facilement à l'aide de la méthode de variation de la constante. 2 Les solutions obtenues doivent être suffisamment régulières. Problème 1.b S'intéresser à (-1)(n+1) /(n + 1) sur [ n ; n + 1 [. 2.a Ne pas oublier de vérifier que E est non vide. 2.b Penser à montrer que F E. 3.a La fonction U étant constante égale à 1, il s'agit d'intégrer une exponentielle... 3.b Vérifier que la fonction h appartient à E. 4 Une fois l'existence de A prouvée, découper Z b gn (t)e -xt dt où b > A. 0 5 Intégrer par parties sur un segment, puis passer à la limite. 6.a Utiliser le théorème de dérivation sous l'intégrale. 6.b Pour rappel, il n'y a pas de théorème pour le cas C n si n > 1, une récurrence s'impose donc. 7.a Le théorème de convergence dominée permet d'obtenir le résultat... Mais il y a plus simple ! 7.b On peut partir du résultat de la question 5. 8.b Effectuer un changement de variable. 9.a Pour dériver proprement il faut couper l'intégrale en deux à l'aide de la relation de Chasles, le résultat à démontrer découle d'une intégration par parties. Z + 9.b Utiliser le résultat précédent et majorer finement x |R(t)|e -xt dt en cou0 pant en A. 9.c Il faut le déduire de ce qui précède, quitte à revenir à la définition formelle de la limite. 10.a Couper l'intégrale fournie par F(x) en écrivant F(x) = F(1) + F(x) - F(1) et intégrer par parties la seconde intégrale, puis conclure. 10.b On peut par exemple minorer chaque un par un réel de la forme /(n + 1) et en déduire le résultat. 10.c Question de calcul, intégrer deux fois par parties, en prenant garde aux signes. 10.d Écrire L(f )(x) en fonction d'une intégrale de L(f ) (x) et d'une constante, puis travailler sur cette intégrale. Exercice 1 1 Déterminons les réels x tels que la série Pour n N et x R, notons un (x) = Si |x| 6 1, P 2xn /(n2 - 1) converge absolument. 2 xn 2 |x|n = n2 - 1 n2 - 1 2 =O n2 - 1 0 6 un (x) 6 1 n2 P 2 Or la série 1/n P converge. D'après le théorème de comparaison des séries à termes positifs, la série un (x) converge absolument pour |x| 6 1 d'où R > 1. De : une série P façon équivalente, il est possible d'utiliser la règle de Riemann un converge absolument s'il existe k R+ et > 1 tels que n |un | ---- k n (la condition est seulement suffisante !). Si |x| > 1, un (x) > 2 |x|n ---- + n2 n car n2 = o(|x|n ) (croissances comparées). Par conséquent, la série grossièrement pour |x| > 1 donc R 6 1. Finalement, P un (x) diverge R=1 Une autre méthode consiste à utiliser la règle de d'Alembert pour les séries numériques à termes positifs (celle pour les séries entières ne figurant pas explicitement au programme). Avec la notation du corrigé, la suite (un+1 (x)/un (x))n>2 est bien définie pour x 6= 0 (hypothèse souvent oubliée) et converge : 2xn+1 un+1 (x) n2 - 1 (n + 1)2 - 1 = ---- |x| = |x| n 2x un (x) (n + 1)2 - 1 n n2 - 1 P Par conséquent, la série un (x) converge si cette limite |x| vérifie 0 < |x| < 1 et diverge (grossièrement) si |x| > 1. Comme la convergence d'une série entière est immédiate pour x = 0, on conclut à nouveau que R = 1. 2 Soit x ] -1 ; 1 [. Remarquons d'abord que le terme général de la série étudiée se décompose en éléments simples : 2 xn 1 1 n N > 2 = x - n2 - 1 n-1 n+1 Rappelons que la fonction x 7 ln(1-x) est développable en série entière sur ] -1 ; 1 [ : x ] -1 ; 1 [ ln(1 - x) = - xn P n=1 n Calculons la somme partielle de rang N de la série pour N > 2 : N N N P P P 2xn 1 1 = xn - xn 2 n - 1 n - 1 n + 1 n=2 n=2 n=2 = N-1 P n=1 P xn-1 xn+1 N+1 - n n n=3 Supposons x non nul (pour x = 0, S(0) = 0). Alors, N-1 N-1 P xn P xn P xn P xn 2xn 1 N+1 1 N+1 x =x - =x - +1+ 2 x n=3 n x n=1 n 2 n=2 n - 1 n=1 n n=1 n Finalement, lorsque N , il vient xn xn P P 2 xn 1 P x = x - +1+ 2-1 n n x n 2 n=2 n=1 n=1 N P d'où x ] -1 ; 1 [ S(x) = ( -x ln(1 - x) + 1 x ln(1 - x) + + 1 si x 6= 0 x 2 0 si x = 0 P 3 Considérons la série de fonctions 2 xn /(n2 -1), continues sur [ -1 ; 1 ]. Montrons la convergence normale de cette série sur [ -1 ; 1 ] : x [ -1 ; 1 ] n > 2 2 2xn 6 2 n2 - 1 n -1 Le terme majorant est équivalent à 2/n2 , terme général d'une série convergente, P en tant que série de Riemann. Ainsi, la série 2xn /(n2 - 1) converge normalement sur [ -1 ; 1 ], donc converge uniformément. On en déduit que S est continue en 1 et P P 2 xn 2 lim S(x) = lim 2 = = S(1) 2-1 - n - 1 n x1- x1 n=2 n=2 Comme dans la question précédente, calculons pour tout N > 2 N N N P P P 2 1 1 = - 2 n - 1 n - 1 n + 1 n=2 n=2 n=2 = N-1 P n=1 N P P 1 1 N+1 - n n=3 n 2 3 1 1 3 = - - ---- 2-1 N n 2 N N + 1 2 n=2 Finalement, lim S(x) = x1- 3 = S(1) 2 Un calcul de limite dans l'expression de S(x) obtenue à la question 2 permet également de répondre à la question mais ne permet pas de conclure que la limite vaut S(1). En effet, 1 - x2 x S(x) = ln(1 - x) + + 1 x 2 1 - x2 ln(1 - x) - 2 (1 - x) ln(1 - x) ---- 0 x x1 x1- 3 par croissances comparées d'où lim- S(x) = . 2 x1 et