CCP Maths 1 MP 2010

Thème de l'épreuve Phénomène de Gibbs
Principaux outils utilisés calcul différentiel, analyse de Fourier
Mots clefs Fourier, dérivées partielles, parties compactes, interversion, calcul numérique

Corrigé

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SESSION 2010 MPM 1002 A CONCOURS COMMUN?» POLYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en erpliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et donner directement la réponse sur la copie. Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants. EXERCICE 1 On considère la fonction f de R2 dans R définie par : v4 . f(æay) : @ 81(æ,y)#(0,0) et f(0,0) : 0- 1. Démontrer que la fonction f admet des dérivées partielles premières en (O, O) que l'on déter-- minera. 2. Démontrer que la fonction f est difiérentiable en (O, O). EXERCICE 2 1. Rappeler la définition (par les suites) d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé. 2. Soit E et F deux espaces vectoriels normés, et f une application continue de E dans F. Si A est une partie compacte de E, démontrer que f (A) est une partie compacte de F. L'image réciproque par f d'une partie compacte de F est--elle nécessairement une partie compacte de E ? 1/4 SESSION 2010 MPM 1002 A CONCOURS COMMUN?» POLYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en erpliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et donner directement la réponse sur la copie. Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants. EXERCICE 1 On considère la fonction f de R2 dans R définie par : v4 . f(æay) : @ 81(æ,y)#(0,0) et f(0,0) : 0- 1. Démontrer que la fonction f admet des dérivées partielles premières en (O, O) que l'on déter-- minera. 2. Démontrer que la fonction f est difiérentiable en (O, O). EXERCICE 2 1. Rappeler la définition (par les suites) d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé. 2. Soit E et F deux espaces vectoriels normés, et f une application continue de E dans F. Si A est une partie compacte de E, démontrer que f (A) est une partie compacte de F. L'image réciproque par f d'une partie compacte de F est--elle nécessairement une partie compacte de E ? 1/4 PROBLÈME : PHÉNOMÈNE DE GIBBS Partie préliminaire sint l. (a) Justifier que la fonction 15 |--> ? est intégrable sur l'intervalle ]O; 77]. t Onposel=/7T £dt. 0 t (b) Rappeler le développement en série entière en 0 de la fonction sinus et déterminer, avec 00 soin, une suite (...,),C20 vérifiant ] : Z(--l)'"u;,. k=0 'ÏL . 7Î . 77 2. (a) Démontrer que la su1te <--') converge et que la su1te ( n>0 n ') est décroissante. n>1 +OE) (b) Si R,, : î: (--l)kuk, majorer \Rnl, en utilisant la question (a). k=n+1 2 En déduire, en précisant la valeur de n utilisée, une valeur approchée du réel -- I a 10--2 7? près. Première partie : Phénomène de Gibbs On considère la fonction f définie sur R impaire et de période 277 vérifiant : f(t) : l pour t E ]O;7T[ et f(0) : f(7T) : O. 3. On pose pour tout entier naturel n non nul et t réel, t)=4îsin( [(2k +1)t] 7T 21EUR + 1 ' =0 Démontrer, a l'aide d'une série de Fourier, que la suite de fonctions (S,,)n>1 converge sim-- plement vers la fonction f sur R. La convergence est--elle uniforme sur R ? 4. Sur un même graphique, uniquement a l'aide d'une calculatrice, tracer sur l'intervalle {-- %; 7T} la courbe de la fonction f et l'allure de la courbe de la fonction S.... Puis sur un autre graphique, tracer sur l'intervalle {--%; 7T} la courbe de la fonction f et l'allure de la courbe de la fonction 320. Que constate--t--on sur les courbes des fonctions S,, lorsque 15 se rapproche de 0 par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures ? Cette particularité est appelée phénomène de Gibbs. 5. On pose pour n entier naturel non nul et t réel, 2/4 (a) Démontrer que Vn E N*, Vt E R \ 77Z, sin2 (nt) sin t T,,(t) = Dans la suite de cette question 5., on considère deux nombres réels & et [9 tels que a < 19 et [77,19] C l0;%[. (b) Justifier qu'il existe une constante M telle que pour tout entier naturel 77 non nul et tout 75 EUR [67,19], T,,(t) S M. (c) Démontrer que l'on peut trouver une suite de réels (wn) convergeant vers 0 et telle que pour tout entier naturel 77 non nul et tout 75 EUR [a, b], lf(t) -- S,,(t)l £ w,,. En commencant par observer que sin[(2k + 1)t] : Tk+1(t) -- T;,(t), on pourra chercher a majorer, pour tout couple (77, p) d'entiers naturels non nuls et tout 75 EUR [a, b], lSn+p(t) -- S,,(t)l. Que peut--on en déduire concernant la série de Fourier de la fonction f ? 6. (a) Calculer S,',(t) pour tout t E ]O; %} et déterminer la plus petite valeur ou,, qui annule S,',(t) sur ]0; 3}. (b) Démontrer que, pour a: E [O -E 72 2 oe ' 2t 1 7T ' S,,(æ) : _/0 M dt puis que S,,(ozn) : _/0 smu du. 77 sin t 7777 sin 23 'ÏL (c) Démontrer que la suite (S,,(oz,,))n21 converge et préciser sa limite. 29 On pourra utiliser sans démonstration : pour 79 E O' 3 sin9 Z --. 7 2 7 7T } et n entier naturel non nul, 7. Démontrer que la suite sup lS,,(a:) -- f (a:)l ne converge pas vers 0. oeEUR]0;%[ n Deuxième partie : Démonstration du théorème de convergence normale Pour une fonction f continue par morceaux de R dans (C et de période 277, on note pour tout 71 EUR Z : Cn(f)=à / fe--Wdt. 8. Rappeler le théorème de Parseval (avec les coefficients c,,( f )) pour une fonction continue par morceaux de R dans (C et de période 277. Dans le cas où la fonction f est de plus continue sur R, justifier que si pour tout 776 Z, c,,( f ) = 0 alors f est la fonction nulle. Ce résultat reste--t--il valable si la fonction f est seulement continue par morceaux de R dans C et de période 277 ? 9. Soit f une fonction continue de R dans (C et de période 277 dont la série de Fourier converge uniformément sur R vers une fonction g : % EUR a, g(t) : cO(f) + Z(c_p(f)e--W + cp(f)eW). (a) Justifier que l'application g est continue sur R puis pour tout entier 77 EUR Z, exprimer, avec soin, c,,(g) en fonction de c,,( f ) 3/4 (b) Démontrer que f = g. 10. Dans cette question, f est une fonction continue de R dans (C, de période 27r et de classe 01 par morceaux. On pose pour n entier naturel non nul et t réel, un(f)(t) = Cn(f)6mt + C--n(f)6_mt- (a) Déterminer une relation entre cn( ]" ) et cn( f ) (b) Démontrer que pour tout t réel, lun(f)(t)l s % + â(lCn(f')l2 + lC--n(f')l2)- (c) Démontrer, avec soin, que la série de fonctions Zun( f ) converge normalement sur R et préciser vers quelle fonction. (ol) Énoncer le théorème que l'on vient de démontrer. Le phénomène de Gibbs peut--il se produire pour cette fonction f ? Fin de l'énoncé 4/4

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 CCP Maths 1 MP 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Baptiste Morisse (ENS Cachan) ; il a été relu par Nicolas Weiss (Docteur en Mathématiques) et Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) Le sujet comporte deux exercices et un problème, tous les trois indépendants. · Les deux premiers exercices sont des questions de cours, l'un sur le calcul différentiel, l'autre sur les parties compactes d'un espace vectoriel normé. Ils ne contiennent aucune difficulté majeure. · Le problème est entièrement tourné vers les séries de Fourier. Il tente d'expliquer un comportement étrange mais fréquent, appelé phénomène de Gibbs, qui se produit lors de l'approximation d'une fonction par sa série de Fourier au niveau de ses points de discontinuité. On poursuit par la démonstration d'un théorème de Dirichlet sur la convergence normale de la série de Fourier d'une fonction, sous certaines hypothèses. Globalement, les questions s'enchaînent bien. Il n'y a aucune surprise, et un candidat bien préparé pouvait espérer terminer le problème dans le temps imparti. Indications Exercices I.1 Revenir à la définition et au calcul élémentaire d'une dérivée partielle. I.2 Utiliser le résultat de la question précédente et un théorème du cours qui caractérise la différentiabilité. II.2 Se servir de la caractérisation de la question précédente. Problème 1.b Interversion série/intégrale. 2.a Pour prouver la convergence de la suite, utiliser la convergence de la série. 3 Calculer explicitement les sommes partielles de la série de Fourier. 5.a Dans la somme, remplacer les cosinus par des exponentielles complexes, et faire le lien entre les deux sommes. 5.c Utiliser l'indication donnée, et partager Sn+p - Sn en deux sommes. Puis faire tendre p vers l'infini, en justifiant. 6.a Faire comme en 5.a pour trouver une expression plus réduite. 6.c Faire une interversion limite/intégrale rigoureuse. 7 Utiliser la question précédente pour exprimer la limite Sn (n ) - f (n ). 9.b Utiliser la question 8. 1 10.b Se servir de l'inégalité classique |ab| 6 (|a|2 + |b|2 ) pour tout a, b C et la 2 question 10.a. Premier exercice I.1 Il s'agit de partir de la définition d'une dérivée partielle pour une fonction à plusieurs variables : on fixe toutes les variables sauf une, et on étudie comme une fonction d'une seule variable cette nouvelle fonction. Par exemple, en fixant y et en laissant varier x, on calcule le taux de variation de f en (0, 0) : f (x, 0) - f (0, 0) =0 x La limite quand x tend vers 0 de ce taux est, par définition, la dérivée partielle selon x de f en (0, 0) : x 6= 0 f f (x, 0) - f (0, 0) (0, 0) = lim =0 x0 x x En procédant de la même façon, on calcule la deuxième dérivée partielle de f en (0, 0) : f f (0, y) - f (0, 0) (0, 0) = lim = lim y = 0 y0 y0 y y I.2 Vérifions la condition suffisante de différentiabilité suivante : si les deux dérivées partielles existent et sont continues sur R2 , alors f est différentiable sur R2 , et en particulier en (0, 0). Dans ce cas, la fonction est même C 1 sur R2 . Ce théorème est à retenir ; il permet de montrer, uniquement en calculant des dérivées partielles, qu'une fonction est différentiable. Alors que la différentiabilité d'une fonction est une caractéristique forte de la fonction. Comme f est un quotient de fonctions C et ne s'annulant pas sur R2 r {(0, 0)}, elle est C sur R2 r {(0, 0)}. Calculons donc ses dérivées partielles de f : f -2xy 4 (x, y) = 2 x (x + y 2 )2 et f 4y 3 -2y 5 4x2 y 3 + 2y 5 (x, y) = 2 + 2 = 2 2 2 y x +y (x + y ) (x2 + y 2 )2 Ces deux fonctions sont continues sur R2 r {(0, 0)}. Mais qu'en est-il en (0, 0) ? Une méthode classique est de passer en polaires, en posant le changement de variables x = r cos(t) , y = r sin(t) avec r > 0 Cela semble tomber du ciel, mais il ne s'agit que de formuler le fait que ces deux fonctions sont homogènes de degré un. Il s'agit de remarquer que le numérateur est de degré total 5 en r, alors que le dénominateur de degré total 4 seulement. Ainsi, le numérateur « gagne » sur le dénominateur, et la fonction est continue en (0, 0). Réécrivons les dérivées partielles de f dans le couple (r, t). On pose alors f (r cos(t), r sin(t)) = -r cos(t) sin(t)4 g1 (r, t) = x f et g2 (r, t) = (r cos(t), r sin(t)) = r(4 cos(t)2 sin(t)3 + 2 sin(t)5 ) y Il suffit maintenant de calculer la limite en (0, 0) des deux dérivées partielles. On procède comme suit. Par une majoration simple, on obtient pour tout t |g1 (r, t)| 6 r et donc lim g1 (r, t) = 0 uniformément en t r0 Étudier la limite de (x, y) en (0, 0) revient à étudier la limite de r en 0, uniformément en t ; ainsi, lim (x,y)(0,0) f (0, 0) = 0 x Or, d'après I.1, donc f (x, y) = lim g1 (r, t) = 0 r0 x lim (x,y)(0,0) f f (x, y) = (0, 0) x x Ainsi, la première dérivée partielle de f est bien continue en (0, 0). Pour les mêmes raisons, la deuxième l'est aussi. On a donc bien montré que f admet des dérivées partielles continues sur tout R2 . D'après le théorème fondamental, f est différentiable sur tout R2 , et en particulier La fonction f est différentiable en (0, 0).